1En 1810, Joseph-Diez Gergonne lançait ses Annales de Mathématiques¹, éditées à Nîmes durant une vingtaine d’années jusqu’en 1832, relayées en 1836 par le Journal de Mathématiques pures et appliquées de Liouville. C’est dans ce premier journal de mathématiques qu’est publié le premier article d’Évariste Galois, mathématicien prodige tué à vingt ans dans un obscur duel. Étonnant parallèle, sa courte vie (1811-1832) correspond à la période d’édition de ces Annales de Gergonne. Figure majeure de l’histoire des mathématiques, Évariste Galois est l’auteur d’une « théorie de l’ambiguïté » où se profilent les idées de groupe et d’invariant qui allaient unifier l’algèbre et la géométrie, et jouer un rôle fondamental dans toutes les mathématiques, en physique classique et quantique et jusqu’en chimie. Sa disparition précoce contribue au mythe du mathématicien prodige.

Études et œuvre mathématique de Galois (1811-1832)

2Né le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine, il étudie à Louis-le-Grand, où il entre en 1823 en classe de Quatrième. Durant l’année scolaire 1827-1828, en classe de première, il découvre les mathématiques. En 1828, lauréat du Concours général de Mathématiques, il est exceptionnellement admis en Mathématiques Spéciales avant d’avoir obtenu son bac afin de pouvoir présenter le concours de Polytechnique « hors ligne », mais il essuie son premier échec. Il prépare à nouveau ce concours. Mais le suicide de son père, suite à une campagne de diffamation politique est probablement à l’origine de son second échec à Polytechnique en 1829, quinze jours plus tard. Il entre alors à l’École préparatoire à l’Agrégation (où il se classe second).

3Il contracte alors un engagement décennal avec l’Université. Tour à tour, il publie pour la première fois dans les Annales de Mathématiques de Gergonne (éditées à Nîmes en mars 1829), tente le Prix de l’Académie en 1830, puis obtient sa Licence et ouvre un cours privé de Mathématiques. En 1831, il publie un article intéressant dans la Gazette des Écoles, dans lequel il livre sa vision de l’enseignement des Sciences.

4Hormis la publication de deux articles dans le Bulletin de Férussac en juin 1830, son grand Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux connaît une destinée mouvementée. D’abord adressé en 1829 à Cauchy, il est révisé et soumis à Fourier en février 1830 pour le Grand Prix de Mathématique de l’Académie des Sciences. Réécrit à la demande de Poisson qui le refuse en juillet, il est égaré après la mort de Fourier, puis retrouvé en 1843 par Liouville dans les archives de Galois, qui le présente enfin à l’Académie et le publie en 1846 dans son Journal de mathématiques, lui ouvrant un rayonnement international.

Engagement républicain de Galois

5L’idéal républicain de Galois constitue un autre aspect de sa personnalité, qui va perturber son investissement en mathématiques et contribuer à abréger son existence². En 1830, après les Trois Glorieuses, dont il est tenu à distance comme les autres élèves par le Directeur de l’École Préparatoire (à la différence des élèves de Polytechnique), il s’inscrit à la Société des Amis du Peuple de Raspail le 10 novembre et s’enrôle dans la Garde Nationale, à nouveau dissoute. Son exclusion de l’École Préparatoire le 9 décembre déclenche une polémique. Le 9 mai 1831, lors d’un banquet républicain, il porte un toast « À Louis Philippe… » avec un couteau à la main, ce qui lui vaut un premier séjour d’un mois de prison, entre le 10 mai et le 15 juin. Il est arrêté à nouveau le 14 juillet suivant, lors de la commémoration républicaine et non autorisée de la Fête de la Fédération, qui n’était pas encore fête nationale, cette fois pour port d’armes illégal et usurpation de l’uniforme de l’artillerie. Condamné le 23 octobre à six mois de prison, le duel fatal lié apparemment à une querelle amoureuse, survient lors d’un aménagement de sa peine pour raison de santé. L’hypothèse d’une provocation de la police secrète pour éliminer cet antimonarchiste n’étant pas écartée. Libéré le 29 avril, il rédige le 29 mai sa fameuse lettre « testamentaire » en maths, la veille du duel qui entraîne son décès le 31 mai 1832³.

Joseph-Diez Gergonne (1771-1859)

6Joseph Diez Gergonne est né à Nancy le 19 juin 1771. Il fait ses études dans cette ville, et manifeste très jeune une inclination pour les Mathématiques. Enrôlé volontaire pour défendre la République, il participe à la bataille de Valmy (1792), puis à la campagne d’Espagne (1794). Entre-temps, il se classe premier à un oral de mathématiques de l’École d’artillerie de Chalons. Avec l’armée des Pyrénées, il participe aux sièges de Port-Vendres et de Collioure. La guerre avec l’Espagne ayant cessé, en 1796, son corps d’Artillerie est rappelé à Nîmes. C’est l’époque où l’on organise les Écoles centrales décrétées dans les derniers jours de la Convention, prévoyant une école pour 300 000 habitants. Nîmes et le Gard étant concernés, Gergonne obtient par concours la Chaire de Géométrie transcendante en Mathématiques, poste qu’il conserve après leur transformation en Lycées en 1802⁴.

7Féru d’astronomie, notamment auteur d’une étude théorique et observationnelle de la comète de 1807, il devient titulaire de la Chaire d’astronomie de la Faculté des Sciences de Montpellier en 1816. Peu après la Révolution de 1830, il est nommé Recteur de l’Académie de Montpellier. La surcharge d’activité occasionnée (quelque 44 000 lettres et correspondances administratives en une quinzaine d’années) le conduit à la fin 1831 à cesser la publication des Annales. À la retraite en 1844, il décède à 88 ans (4 mai 1859)⁵.

Les premières publications scientifiques

8Les publications généralistes se développent avec le dernier tiers du xvii^e siècle. Le Journal des Savans et les Philosophical Transactions à Londres paraissent concomitamment en 1665, complétés par des publications académiques comme les Histoires et Mémoires de l’Académie des Sciences. Pour la plupart des disciplines, les premières publications spécialisées démarrent quasiment un siècle plus tard, dans le dernier quart du xviii^e siècle. Pour l’Astronomie, les Recueils pour les astronomes de Bernoulli sont édités depuis Bâle entre 1771 et 1779. Les Monatliche Correspondenz du Baron de Zach sont lancées depuis Jena en 1798. Il y a aussi les recueils annuels d’éphémérides, qui comportent un cahier d’observations publiées en Additions, comme pour la Connaissance des Tems en France, à l’initiative de Lalande, ou les Berliner Astronomisches Jahrbuch (B.A.J.) fondées en 1776 en Allemagne. Pour les sciences physiques et naturelles, le Journal de physique, de chimie, d’histoire naturelle et des arts est lui aussi édité à partir des années 1770, connu sous le nom de Journal de La Métherie quand celui-ci assure son édition à partir de 1785. Il est accompagné sous la Révolution par le Journal des sciences utiles, par une société de gens de lettres, avec douze livraisons en quatre volumes rédigé en 1791 par l’abbé Bertholon, déjà auteur de La Nature considérée sous ses différents aspects, ou Journal d’histoire naturelle entre 1787 et 1789.

Les premières Annales de Mathématiques

9Ainsi, les Mathématiques n’ont toujours pas de journal périodique au commencement du xix^e siècle. C’est durant son séjour à Nîmes que Gergonne décide en 1810, avec la collaboration de Thomas Lavernède les deux premières années, de fonder les premières Annales de Mathématiques pures et appliquées, désignées depuis Annales de Gergonne, livrées mensuellement et réunies par années universitaires. Elles constituent le premier grand journal de l’histoire des mathématiques (tant de recherches qu’à visée didactique). Le premier volume (1810-1811) est achevé en 1811. Jusqu’en 1832, une collection de 21 volumes (le 22^e étant inachevé), réunit 948 articles, lettres ou mémoires, et près de 9 000 pages émanant de 140 auteurs de tous niveaux (du simple élève de Collège aux membres de l’Institut). Le dernier volume renferme deux tomes au sens où l’entendait Gergonne, avec des années de parution allant de juillet à juin : bien qu’inachevé (il ne comporte que quatre articles et une note de Gergonne expliquant l’interruption de la publication), ce tome XXII (1831-1832) y apparaît séparément.

10En filigrane, dans le Prospectus qui sert d’éditorial au premier numéro, on perçoit dans les intentions et les publics visés qu’une frustration est à l’origine de ce lancement depuis la lointaine province de Nîmes. L’isolement dans lequel Gergonne se sent est celui de nombre de mathématiciens en province, ou de militaires isolés, enseignant parfois les mathématiques ou des techniques y faisant appel, et qui souhaitent eux aussi enrichir la science de leurs propres avancées (résolution de problèmes, démonstrations de théorèmes, etc.)

11Au fil des numéros, on rencontre les scientifiques les plus illustres de l’époque, le succès des Annales attirant les élites françaises et européennes : Ampère, Poisson, Cauchy, Abel, Chasles, Liouville, Crelle, Brianchon, Poncelet, Lamé, Dupin, Steiner, Plücker, Gergonne… et Évariste Galois, alors âgé de 17 ans, en classe préparatoire, qui signe ici son premier article (1829). Abordés sous l’angle théorique ou pédagogique, les sujets d’astronomie reviennent régulièrement au sommaire des Annales, aux côtés de ceux d’algèbre, d’analyse, d’arithmétique, de mécanique, d’optique, de physique théorique, de gnomonique et de « philosophie mathématique », domaine cher au rédacteur.

12Scrupuleux jusqu’au détail pour la qualité des illustrations, notamment des figures sur des planches à part, Gergonne s’initie à la gravure. Ses quelque 200 articles reflètent la diversité de ses contributions en mathématiques, comme son principe de dualité en géométrie, (objet d’une célèbre polémique avec Poncelet) ou encore le théorème de Gergonne, le point et le triangle de Gergonne ainsi qu’une originale Arithmétique politique où il établit que des élections à partir d’assemblées représentatives peuvent aboutir au contraire de la majorité citoyenne générale. Nombre d’articles non signés lui reviennent. Son entreprise est bientôt imitée, d’abord par Crelle qui lance en 1826 depuis Berlin son Journal de Mathématiques pures et appliquées, puis par Liouville à Paris en 1834, avec son journal au même titre qu’il ouvre en 1836, souhaitant prendre le relais des Annales de Gergonne, arrêtées trois ans plus tôt.

Évariste Galois et sa première publication dans les Annales de Gergonne

13En mars 1829, le premier article d’Évariste Galois (âgé de 17 ans), dans les Annales de mathématiques de Gergonne, porte sur le développement en fractions continues des racines d’un polynôme⁶. La partie entière a d’un réel x est le premier terme du développement de x ; le second terme b est la partie entière de y = 1 / (x-a) ; le troisième terme est la partie entière de 1 / (y-b) ; et ainsi de suite… La suite d’entiers ainsi obtenue constitue le développement en fractions continues ; elle est définie de manière unique.

14Si le développement en fractions continues d’un réel x est périodique, x se trouve alors défini par un ensemble fini d’entiers. Il était connu depuis les travaux de Lagrange que le développement en fractions continues de toute solution d’une équation polynomiale du second degré est périodique. Galois prouve que la période est symétrique si et seulement si le polynôme s’écrit sous la forme ax² –bx – a. De plus, si un polynôme à coefficients réels admet une racine réelle x dont le développement en fractions continues est périodique, alors ce polynôme admet une seconde racine réelle vérifiant la même propriété.

15Ce Mémoire s’inscrit dans une problématique plus générale : la recherche des solutions d’une équation polynomiale. Au commencement du xix^e siècle, des formules exactes avaient été déterminées pour exprimer les solutions d’une équation polynomiale du second, troisième ou quatrième degré en fonction des coefficients. Il restait à établir des formules générales pour des équations polynomiales de degré supérieur. Lagrange avait reformulé la question comme la résolution d’une équation polynomiale par radicaux. Il avait émis l’hypothèse que certaines équations polynomiales ne pouvaient vraisemblablement pas être résolues par radicaux. Cette suggestion était basée sur le calcul du nombre d’expressions polynomiales à n variables obtenues par permutation des variables. En 1813, Cauchy s’était déjà intéressé à cette question et étudia les permutations alors appelées substitutions, travaux précurseurs de la théorie des groupes.

Les continuateurs de Galois en Mathématiques

16Les travaux de Galois sont à la source de divers développements par ses successeurs en algèbre de la Théorie de Galois et du concept de Groupes. On retiendra en particulier Félix Klein et son extension en géométrie en 1872 (« Les géométries sont des groupes »), Sophus Lie en 1888, avec ses Groupes de Lie en géométrie différentielle, et Henri Poincaré à la fin du xix^e, avec sa notion de structure. Nombreux sont les mathématiciens du xx^e siècle qui s’accordent sur sa vision moderne des mathématiques⁷.

17Plus récemment, afin de rendre hommage à sa démarche généralisante, fondatrice des mathématiques modernes, Alexander Grothendieck, Lauréat de la médaille Fields en 1966, refondateur de la géométrie algébrique, a écrit en 1981 La longue marche à travers la théorie de Galois⁸, manuscrit de 1600 pages où il développe les pistes de recherches actuelles et futures.

18Rares sont les mathématiciens conjuguant une vie aussi brève et un impact aussi grand sur leur discipline. Le cas de Galois est exceptionnel dans l’histoire des sciences, à l’image de Carnot et de son concept fondant la thermodynamique.