De la nécessité d’écrire des livres élémentaires après la Révolution

1La Révolution française bâtit un nouveau système éducatif au niveau des écoles et des formations, mais aussi des manuels. De nombreux savants vont être enrôlés dans cette entreprise1, dont le chimiste Étienne-Marie Barruel qui présente, en 1791, un Plan d’éducation nationale, considérée sous le rapport des livres élémentaires adressé aux Amis de la constitution. Pour dénoncer le manque de bons « livres élémentaires », Barruel cite Jean Le Rond d’Alembert :

« Ce que d’Alembert dit des éléments de géométrie, peut également convenir aux livres élémentaires en général. De tels éléments, dit-il, ne sont pas l’ouvrage d’un géomètre ordinaire […]. Ils sont pour l’ordinaire l’ouvrage de mathématiciens médiocres, dont les connaissances finissent où se termine leur livre, et qui pour cela même sont incapables de faire un livre utile : car il ne faut pas s’imaginer que pour avoir effleuré les principes d’une science, on soit en état de l’enseigner ; c’est à ce préjugé, fruit de la vanité et de l’ignorance, qu’on doit attribuer l’extrême disette où nous sommes, presque en chaque science, de bons éléments […]2 »

2Pour lui, la tâche d’écrire de bons manuels doit être accomplie par des savants, mais :

« Ce n’est qu’en proposant de très-grands encouragements aux savants du premier ordre, que nous les déterminerons à consacrer quelques veilles à la perfection de nos livres élémentaires3. »

3Ce qui importe pour les livres élémentaires est d’abord l’ordre des connaissances exposées :

« Le plus grand défaut de ces sortes d’ouvrages, c’est de commencer par la définition de la science dont ils traitent, tandis que ce devrait être la dernière proposition de tout livre élémentaire qui suivrait rigoureusement l’ordre des idées4. »

4Concernant l’ordre, Barruel oppose la « méthode synthétique » à la « méthode analytique » et il se rapporte aux écrits d’Étienne Bonnot de Condillac pour relever les avantages de l’une et de l’autre. Nous allons examiner dans la suite de l’article comment ces deux méthodes ont été définies et distinguées par les auteurs d’ouvrages de géométrie et de manuels.

5La même année, en 1791, sont édités les Cinq mémoires sur l’instruction publique de Nicolas de Condorcet qui insiste aussi sur la nécessité d’écrire des livres pour les élèves et les enseignants, car :

« Il ne peut y avoir de bonne méthode d’enseigner des éléments sans un livre mis à la portée des enfants, et auquel ils puissent toujours recourir ; mais il ne peut y en avoir non plus sans un autre livre qui apprenne aux maîtres les moyens de suppléer à ce que le premier ne peut contenir5. »

6Comme Barruel, il se rapporte à l’ordre que doit suivre un manuel de géométrie :

« Des notions de géométrie, on s’élèvera aux éléments de l’arpentage, qu’on développera suffisamment pour mettre en état d’arpenter un terrain, non par la méthode la plus commode et avec les simplifications usitées dans la pratique, mais par une méthode générale dont on puisse difficilement oublier les principes ; en sorte que le défaut d’usage n’empêche pas de pouvoir l’employer lorsqu’on en aura besoin6. »

7En 1792, le mathématicien Louis François Arbogast propose qu’un concours soit organisé pour l’écriture des livres élémentaires nécessaires aux écoles primaires et secondaires et, deux ans plus tard, le Comité d’instruction publique ouvre un concours et compose un jury7. Mais les résultats sont très médiocres, comme en convient Joseph Lakanal dans son Rapport et projet de loi sur l’organisation des écoles primaires, en octobre 1794, en rappelant l’importance de la mission :

« C’est aux bons livres élémentaires et à des ouvrages capables de guider les instituteurs, qu’il est donné d’atteindre toutes les fins de l’instruction publique8. »

8Avant d’expliquer en quoi les concurrents ont failli :

« Les citoyens qui ont travaillé pour ce Concours ont généralement confondu deux objets très-différents, des élémentaires avec des abrégés. Resserrer, y coarcter [rendre plus étroit] un long ouvrage, c’est l’abréger ; présenter les premiers germes et en quelque sorte la matrice d’une science, c’est l’élémenter […]. Ainsi l’abrégé est précisément l’opposé de l’élémentaire ; et c’est cette confusion de deux idées très-distinctes, qui a rendu inutile pour l’instruction les travaux d’un très-grand nombre d’hommes estimables, qui se sont livrés, en exécution de vos décrets, à la composition des livres élémentaires9. »

9Nous utilisons le terme « élémentation » pour désigner la mise en ordre d’une science, ici la géométrie élémentaire, qui semble la plus propre pour son enseignement. Le terme « éléments » est présent dans le titre de l’ouvrage mathématique le plus ancien qui nous soit parvenu, celui d’Euclide daté du iii^e siècle av. J.-C. Nous allons examiner pourquoi l’ordre suivi par Euclide est fortement critiqué à partir du xvii^e siècle et comment des auteurs de manuels défendent un ordre nouveau.

Des élémentations de la géométrie depuis Euclide à Alexis Clairaut

10Le livre I des Éléments d’Euclide commence par une liste de « demandes » et de « notions communes » qui jouent le rôle d’axiomes. Elles sont suivies par des propositions ordonnées de sorte que chaque proposition soit déduite logiquement des axiomes ou des propositions précédentes. Les Éléments d’Euclide suivent un ordre logique de propositions et s’accordent en cela aux préceptes de l’Organon d’Aristote, pour lequel la science est la démonstration et la démonstration est le syllogisme. Le texte euclidien n’indique ni comment les énoncés des propositions ont été trouvés, ni comment leurs démonstrations ont été obtenues.

11Au iii^e siècle de notre ère, le philosophe grec Proclus commente Euclide en indiquant qu’il a deux buts, l’un du point de vue des choses et l’autre du point de vue de l’apprenti, auxquels correspondent deux ordres :

« Si, d’une part, nous avons égard aux objets mêmes de l’ouvrage nous dirons que la totalité de son discours au géomètre concerne les figures du Monde. Il le commence par des figures simples, le termine dans la variété de leur coordination […]. D’autre part, si, distinguant le but, nous avons égard à l’apprenti, […] les théorèmes qui paraissent les plus primitifs, les plus simples et les plus approchés des premières hypothèses sont rassemblées dans un ordre convenable10. »

12Ce sont deux ordres de simplicité. Le premier est un ordre des choses, car Euclide commence par le triangle, le carré, etc., c’est-à-dire des figures planes simples. Le second est un ordre de simplicité des théorèmes, les premiers étant de simples conséquences des axiomes.

L’ordre « naturel » des Nouveaux éléments de géométrie d’Arnauld (1667)

13Dans les Règles pour la direction de l’esprit de 1628, Descartes critique les ouvrages de géométrie des Anciens. En effet, leurs énoncés sont bien la suite de conséquences rigoureuses, mais cela est insuffisant car « pourquoi il en était ainsi et comment on parvenait à le trouver, ils ne me paraissaient pas suffisamment le montrer à l’intelligence elle-même11 ». Donc, lire leurs démonstrations ne suffit pas pour savoir résoudre des problèmes et inventer. Pour lui, « toute la science humaine consiste uniquement à voir d’une manière distincte comment les choses simples concourent ensemble à la composition des autres choses12 ». Cette déduction cartésienne des choses composées en choses simples s’oppose à la déduction logique de la science aristotélicienne.

14Dans La géométrie de 1637, il donne une méthode pour « résoudre tous les problèmes » en les ramenant à la résolution d’équations algébriques. Mais, peut-on considérer qu’un résultat ainsi obtenu soit démontré ? Descartes répond positivement dans les réponses aux secondes objections de ses Méditations métaphysiques, en écrivant qu’il y a deux façons de démontrer, l’analyse et la synthèse :

« L’analyse montre la vraie voie par laquelle une chose a été méthodiquement inventée […] ; en sorte que si le lecteur la veut suivre, et jeter les yeux soigneusement sur tout ce qu’elle contient, il n’entendra pas moins parfaitement la chose ainsi démontrée, et ne la rendra pas moins sienne, que si lui-même l’avait inventée. La synthèse, au contraire, par une voie toute autre, […] démontre à la vérité clairement ce qui est contenu en ces conclusions, et se sert d’une longue suite de définitions, d’axiomes, de théorèmes […], elle arrache le consentement du lecteur […], mais ne donne pas, comme l’autre, une entière satisfaction aux esprits de ceux qui désirent apprendre, parce qu’elle n’enseigne pas la méthode par laquelle la chose a été inventée13. »

15Analyse et synthèse se distinguent ainsi par rapport à la réception du lecteur. Dans La logique ou l’art de penser (1662), Antoine Arnauld et Pierre Nicole reprennent ce propos quand ils énoncent les défauts des géomètres, dont l’ouvrage d’Euclide est plein. En effet, le premier défaut est de préférer « convaincre » que « d’éclairer ». Le cinquième défaut est le plus important, il concerne l’ordre suivi par les géomètres :

« Sans se mettre en peine des règles de la véritable méthode, qui est de commencer toujours par les choses les plus simples et les plus générales, pour passer ensuite aux plus composés et aux plus particulières, ils brouillent toutes choses, et traitent pêle-mêle les lignes et les surfaces, les triangles et les carrés : prouvent par des figures les propriétés des lignes simples, et font une infinité d’autres renversements qui défigurent cette belle science14. »

16Ils se prononcent en faveur de l’ordre cartésien des choses (des choses simples aux composées) contre l’ordre euclidien des propositions. Pour corriger ce défaut, Arnauld écrit de Nouveaux éléments de géométrie en 1667 contenant « un ordre tout nouveau » :

« Ce qui lui a donc fait croire qu’il était utile de donner une nouvelle forme à cette science est, qu’étant persuadé que c’était une chose avantageuse de s’accoutumer à réduire ses pensées à un ordre naturel, cet ordre étant comme une lumière qui les éclaircit toutes les unes par les autres, il a toujours eu quelque peine de ce que les Éléments d’Euclide étaient tellement confus et brouillés, que bien loin de pouvoir donner à l’esprit l’idée et le goût du véritable ordre, ils ne pouvaient au contraire que l’accoutumer au désordre et à la confusion15. »

17Le manuel, destiné aux Écoles de Port-Royal, suit un « ordre naturel » des figures. Il commence par traiter les simples lignes – les droites perpendiculaires et parallèles et les arcs et les cercles –, puis les angles, les figures considérées comme des assemblages de droites et enfin les figures considérées comme des aires. Cet ordre est repris dans les Éléments de géométrie de Bernard Lamy, puis en partie dans ceux des siècles suivants16.

Les Éléments de géométrie d’Alexis Clairaut : l’ordre des inventeurs (1741)

18Alexis Clairaut est un mathématicien célèbre quand il publie, en 1741, ses Éléments de géométrie. L’ouvrage suscite un renouveau d’intérêt au xix^e siècle avec une nouvelle édition en 1853. Dans sa préface, il critique l’ordre des Éléments « ordinaires » :

« On y débute toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes, et de principes préliminaires, qui semblent ne promettre rien que de sec au lecteur. Les propositions qui viennent ensuite ne fixant point l’esprit sur des objets plus intéressants, et étant d’ailleurs difficiles à concevoir, il arrive communément que les Commençants se fatiguent et se rebutent, avant que d’avoir aucune idée distincte de ce qu’on voulait leur enseigner17. »

19Son propos est « d’éclairer », mais aussi « d’intéresser » le lecteur. Pour cela, il se rapporte à l’invention de la géométrie, comme « mesure de la terre » : cette science, comme toutes les autres, devait s’être formée par degrés et un besoin devait être à son départ. Il écrit :

« Afin de suivre dans cet ouvrage une route semblable à celle des inventeurs, je m’attache d’abord à faire découvrir aux commençants les principes dont peut dépendre la simple mesure des terrains, et des distances accessibles ou inaccessibles, etc. […] Je parviens à faire parcourir tout ce que la Géométrie élémentaire a de plus intéressant. […] J’espère qu’elle [cette méthode] aura encore une utilité plus importante, c’est qu’elle accoutumera l’esprit à chercher et à découvrir18. »

20Le « chemin des inventeurs » va de problème en problème et les figures, les notions et les propositions ne sont introduites qu’au fur et à mesure, lorsqu’elles sont rendues nécessaires pour résoudre un problème19. Ainsi, Clairaut introduit à la notion de perpendiculaire, pour résoudre le premier problème qui consiste à mesurer la largeur d’une rivière, donc une distance inaccessible. Clairaut précise bien que son manuel ne doit pas être confondu avec un traité d’arpentage, la mesure des terrains étant seulement l’occasion pour « faire découvrir » les principales vérités géométriques.

L’ordre des Éléments de géométrie chez Condillac et d’Alembert

21Quelques années après l’édition des Éléments de Clairaut et alors que ceux de Lamy, inspirés par Arnauld, sont réédités, les réflexions sur la connaissance de Condillac et d’Alembert les ramènent à la géométrie et à son ordre d’exposition. Nous avons vu plus haut que Barruel se réfère à Condillac pour le choix entre la synthèse et l’analyse. Ce dernier distingue ces deux termes dans son Essai sur l’origine des connaissances humaines de 1746 :

« L’inutilité et l’abus des principes paraît surtout dans la synthèse : méthode où il semble qu’il soit défendu à la vérité de paraître qu’elle n’ait été précédée d’un grand nombre d’axiomes, de définitions et d’autres propositions prétendues fécondes. […] Il n’est pas difficile de faire voir que ce n’est point à la méthode synthétique que les mathématiques doivent leur certitude. […] Elle [l’analyse] ne consiste qu’à composer et décomposer nos idées pour en faire différentes comparaisons, et pour découvrir, par ce moyen, les rapports qu’elles ont entre elles, et les nouvelles idées qu’elles peuvent produire. Cette analyse est le vrai secret des découvertes, parce qu’elle nous fait toujours remonter à l’origine des choses20. »

22Ses propos sont proches de ceux de Descartes, avec cette différence majeure, qu’il s’agit ici de composer et de décomposer des idées, et non des choses. Condillac indique ensuite un ordre d’exposition à suivre pour apprendre à faire des découvertes, éclairer et intéresser, qui s’apparente au chemin des inventeurs de Clairaut.

« Pour exposer la vérité dans l’ordre le plus parfait, il faut avoir remarqué celui dans lequel elle a pu naturellement être trouvée ; car la meilleure manière d’instruire les autres, c’est de les conduire par la route qu’on a dû tenir pour s’instruire soi-même. Par ce moyen, on ne paraîtrait pas tant démontrer des vérités déjà découvertes, que de faire chercher et trouver des vérités nouvelles. On ne convaincrait pas seulement le lecteur, mais encore on l’éclairerait ; et, en lui apprenant à faire des découvertes par lui-même, on lui présenterait la vérité sous les jours les plus intéressants21. »

23Tandis que d’Alembert, dans la partie des Éclaircissements sur les Éléments de philosophie consacrée aux « Éléments de géométrie », estime que la médiocrité des ouvrages provient du non respect de « l’ordre naturel » dans les idées présentées :

« On se plaint, et avec raison, de la disette réelle où nous sommes de bons éléments de cette science, au milieu de la malheureuse et stérile abondance d’ouvrages dont nous sommes inondés en cette partie. Tous les défauts qu’on reproche à ces ouvrages, se réduisent presque uniquement à un seul qui est la source commune ; à ce que les idées n’y sont pas placées dans l’ordre naturel qui leur convient22. »

24Dans l’article « Éléments » de l’Encyclopédie méthodique (1784-1789), il présente deux acceptions de ce terme. D’une part, on peut considérer que les éléments des sciences sont les propositions, et elles sont alors disposées dans un ordre « le plus naturel et le plus rigoureux qu’il soit possible » en « sorte que chaque proposition dépende uniquement et immédiatement des précédentes23 ». D’autre part, « on peut encore considérer les éléments d’une science comme les propositions qui considèrent cet objet de la manière la plus simple24 ». Les deux acceptions correspondent, respectivement, à une mise en ordre des propositions par déduction, et à une mise en ordre selon la simplicité des figures. Pour d’Alembert, elles reviennent au même du point de vue de l’ordre obtenu, car « ces éléments pris dans le premier sens étant une fois traités, l’ordre des propositions élémentaires et primitives y sera réglé par le degré de simplicité ou de multiplicité, sous lequel on envisagera l’objet25 ».

25Les différentes élémentations que nous avons présentées, correspondent à des mises en ordre d’objets qui diffèrent – propositions, figures, problèmes ou bien idées –, mais pour lesquelles l’argument de simplicité intervient toujours. Par ailleurs, chez tous les héritiers d’Euclide, la mise en ordre du discours est établie selon le propos de l’auteur vis-à-vis du lecteur, qu’il ne s’agit plus de « convaincre » comme chez Euclide, mais « d’éclairer » et « d’intéresser », auquel on doit permettre de résoudre des problèmes ou d’inventer. Nous résumons ceci dans le tableau ci-dessous.

Tabl. 1. – Les différentes élémentations et leurs propos vis-à-vis du lecteur.

Ordre du discours	Auteurs	Propos du discours
Synthèse	Euclide d’Alembert 1	« convaincre »
	Arnauld d’Alembert 2	« éclairer »
Analyse	Descartes	« inventer »
	Condillac
	Clairaut	« intéresser » et « inventer »

Doc. E. Barbin

Les manuels de géométrie pour les Écoles de la Révolution

26Après la Révolution, deux écoles sont créées à Paris : l’École normale de l’an III, pour former les enseignants des écoles normales pour l’enseignement primaire et secondaire, et l’École centrale des travaux publics (qui deviendra l’École polytechnique), pour former les ingénieurs civils et militaires.

27Gaspard Monge est un mathématicien français qui est impliqué dans la réorganisation des enseignements à tous les niveaux. Avant la Révolution, il a enseigné les mathématiques à l’École d’ingénieurs de Mézières, où il a mis au point une méthode pour unifier et généraliser des pratiques de représentation géométrique inventées par des artisans, des architectes et des ingénieurs. Dans son « Projet de l’instruction publique qui sera donnée dans les Écoles secondaires destinées aux artisans et ouvriers de tous genres » du 15 septembre 1793, il propose d’enseigner cette méthode dès l’enseignement secondaire :

« Il existe un ordre de connaissance d’une nécessité indispensable pour les Appareilleurs, les tailleurs de pierres, les charpentiers, les menuisiers, les serruriers, les entrepreneurs de tous les genres, les peintres, les ingénieurs des ponts et chaussées, les officiers du génie […]. L’ordre de connaissances dont il s’agit ici est fondé sur une géométrie particulière des trois dimensions dont il n’existe pas de traité bien fait ; sur une géométrie purement descriptive, mais rigoureuse, et dont l’objet est de représenter par des dessins qui n’ont que deux dimensions des objets qui en ont trois26. »

28Le terme « géométrie descriptive » apparaît dans ce projet. Cette géométrie, très différente de celle d’Euclide, est appelée à remplacer ou à suivre l’enseignement de la « géométrie ordinaire ». Elle sera enseignée par Monge dans les deux Écoles.

L’École normale de l’an III et les Leçons de Monge

29L’enseignement à l’École normale est donné en amphithéâtre avec des élèves de niveau plus ou moins avancé27. Les organisateurs de l’École ont souhaité que les leçons ne soient pas lues mais improvisées, puis qu’elles soient sténographiées et corrigées par les enseignants avant d’être distribuées. Trois genres de cours sont prévus : les leçons sur les sciences (y compris littéraires), les leçons sur la science de l’enseignement lui-même et les débats. De plus, l’enseignement doit être élémentaire (organisé en éléments). Monge débute l’introduction à ses Leçons en situant la géométrie descriptive dans leur contexte historique :

« Pour tirer la nation française de la dépendance où elle a été jusqu’à présent de l’industrie étrangère, il faut premièrement diriger l’éducation nationale vers la connaissance des objets qui exigent de l’exactitude, ce qui a été totalement négligé jusqu’à ce jour, et accoutumer les mains de nos artistes au maniement des instruments de tous les genres, qui servent à porter la précision dans les travaux et à mesurer ses différents degrés : alors les consommateurs, devenus sensibles à l’exactitude, pourront l’exiger dans les divers ouvrages, y mettre le prix nécessaire ; et nos artistes, familiarisés avec elle dès l’âge le plus tendre, seront en état de l’atteindre28. »

30La première Leçon du 20 janvier 1795 débute par un problème simple :

« Parmi tous les objets simples, nous allons rechercher quels sont ceux qui présentent plus de facilité pour la détermination de la position d’un point29. »

31Monge expose quatre solutions selon que le point est déterminé par sa distance à trois points, trois droites, trois plans ou deux plans. Il explique que la dernière solution est « la plus simple », car les autres demandent de considérer des intersections de sphères ou de cylindres. La méthode de représentation, ayant été ainsi motivée, est introduite seulement dans la Leçon suivante.

32Il y a 83 occurrences du mot « simple » et de ses dérivés dans les Leçons de Monge, dont 25 dans les deux premières Leçons. Nous avons vu comment l’argument de simplicité intervient dans les élémentations de la géométrie, quoiqu’il s’adresse à des objets différents. Monge commence par un problème simple et il soutient que la solution l’est aussi. Mais les premiers débats nous apprennent que l’élève Duchesne conteste : il demande s’il y avait nécessité de passer par les difficultés qu’offrent des trois premières solutions, avant de présenter « l’opération simple de la projection, qui détermine un point d’une manière plus commode30 ». Monge répond qu’il a voulu donner une « belle leçon de géométrie » :

« J’aurais pu commencer par définir sèchement la méthode des projections, mais la science aurait été sans intérêt : j’aurais laissé échapper l’occasion de vous faire une belle leçon de géométrie, et j’aurais manqué mon but qui est de vous familiariser avec les propriétés de l’étendue, afin que vous puissiez accoutumer vos élèves à toute la rigueur dont elles sont susceptibles et contribuer un jour, de tout votre pouvoir, à élever de quelques degrés l’instruction générale de nos jeunes artistes, et à perfectionner l’industrie nationale31. »

33Il est clair que la géométrie descriptive ne suit pas « l’ordre naturel » de simplicité des figures d’Arnauld, puisqu’elle demande de se situer d’emblée dans une géométrie spatiale. De plus, Monge invite à considérer d’emblée des objets complexes comme les sphères et les cylindres. Dans les Leçons suivantes, comme dans la première, Monge suit un ordre qui va du général au particulier. Ainsi, s’il adopte un ordre d’invention par les problèmes, à l’instar de Clairaut, son choix se présente d’abord comme un moyen d’intéresser et d’intriguer son lecteur.

34Il est important de savoir que les Leçons (sans les débats avec les élèves) seront publiées en 1799 dans un ouvrage intitulé Géométrie descriptive, qui sera traduit et repris pour enseigner dans de nombreuses Écoles qui reprendront le « modèle polytechnicien » et universités en Europe et dans les deux Amériques. Cet ouvrage ne contient pas non plus les trois dernières leçons sur les applications, en particulier la perspective, alors que celles-ci prennent une place importante dans les leçons données par Monge et Hachette à l’École centrale des travaux publics, en 1794-1795.

L’École centrale des travaux publics : Monge et Hachette

35Monge participe activement à l’organisation de l’École32, qui deviendra École polytechnique. Son rapport de 1794 sur les « Développements de l’enseignement pour l’École centrale des Travaux publics33 » propose un enseignement des mathématiques comprenant trois parties : l’analyse, la géométrie descriptive et l’art du dessin. En 1794-1795, il donnera vingt-quatre Leçons de géométrie descriptive, dont nous connaissons les intitulés grâce à son élève Jean Nicolas Pierre Hachette, qui prendra la suite de cet enseignement. Cinq Leçons présentent la méthode de la géométrie descriptive et le reste est consacré à ses applications (ombres, perspectives, stéréotomie, art de la charpenterie, etc.).

36Hachette publie un traité de géométrie descriptive en 1822, mais il écrit aussi des Éléments de géométrie à trois dimensions en 1817, alors qu’il n’enseigne plus à l’École polytechnique et qu’il est devenu enseignant de la Faculté des sciences de Paris. Il est intéressant pour notre propos d’examiner en quels termes Hachette soutient la présence de la géométrie de Monge dans des Éléments de géométrie :

« Quel que soit le jugement qu’on porte sur cet essai, on y reconnaîtra l’intention de répandre des vérités susceptibles d’applications utiles. La géométrie aux trois dimensions renferme les principes de la Géométrie descriptive, si nécessaire à l’ingénieur chargé de la direction des travaux publics […]. Propager la géométrie à trois Dimensions, c’est donner un nouvel essor aux arts qui sont la principale source de la prospérité publique34. »

37Hachette considère la géométrie comme un art graphique dont toutes les constructions doivent s’exécuter avec la règle et le compas. Ses Éléments s’organisent à partir de problèmes de constructions. Il définit deux « opérations simples », à partir desquelles les autres « opérations de la géométrie descriptive » sont obtenues. La première est de construire la distance de deux points dont on connaît les projections et la seconde est de construire le point de rencontre d’un plan qui passe par trois points donnés et d’une droite menée par deux points donnés.

38Le souhait de Monge de voir la géométrie descriptive répandue à tout l’enseignement, et pas seulement réservée aux ingénieurs, est rapidement exaucé en France, mais aussi dans de nombreux pays européens et des deux Amériques35.

L’École centrale des quatre-nations et les Éléments de géométrie de Lacroix

39Les École centrales sont les établissements du second degré de l’instruction créés par la Révolution et fonctionnent de 1794 à 1802. Elles sont ainsi nommées parce qu’elles doivent être placées au centre des écoles primaires de chaque département et à la portée de tous. Parmi elles, l’École centrale des quatre-nations est établie à Paris dans l’ancien collège du même nom. Sylvain-François Lacroix en devient professeur de mathématiques ; il est un disciple de Monge et a été son adjoint à l’École normale de l’an III. Il publie de nombreux manuels de mathématiques qui rencontreront un grand succès, en France et à l’étranger, en particulier des Éléments de géométrie à l’usage de l’École centrale des quatre-nations.

40Le manuel de Lacroix est précédé d’un discours préliminaire intitulé « Réflexions sur l’ordre à suivre dans les Éléments de Géométrie, sur la manière de les écrire, et sur la méthode en Mathématiques », dans lequel il cite d’Alembert et Condillac. Sur la question de l’ordre, qui lui semble essentielle, il approuve la mise en « ordre naturel » d’Arnauld. Il explique qu’il existe dans Euclide « une espèce de désordre », dont beaucoup de « bons esprits » ont été choqués et il ajoute :

« Arnauld (de Port-Royal), non seulement s’en est exprimé avec force dans la Logique ou l’art de penser, mais il a encore entrepris de corriger ce défaut dans ses Nouveaux Éléments de Géométrie, imprimée pour la première fois à Paris, en 1667. Cet ouvrage, est, je crois, le premier où l’on a rendu l’ordre des propositions de Géométrie conforme à celui des abstractions, en considérant d’abord les propriétés des lignes, puis celle des surfaces, et celle des corps36. »

41Nous avons indiqué plus haut que les géomètres n’accordent pas la même signification et la même forme à la synthèse et à l’analyse. Lacroix prend le parti de ne pas trancher, ce qui était patent dans les propos de Condillac, et il en tire une conséquence nouvelle :

« J’ajouterai qu’on ne doit pas négliger de présenter dans les démonstrations géométriques, un exemple des diverses formes du raisonnement37. »

42Il insiste sur la priorité de l’exercice du raisonnement par rapport à l’étude des règles de la logique. Il cite Condillac :

« Les règles, dit Condillac, sont comme des garde-fous mis sur les ponts, non pas pour faire marcher les voyageurs, mais pour les empêcher de tomber38. »

43Lacroix suit de près « l’ordre naturel » d’Arnauld, en commençant son manuel par les lignes, puis les angles, les figures, etc. Mais il indique un ordre d’enseignement proche de celui de Clairaut, lorsqu’il s’agit de défendre la place de la géométrie dans l’enseignement :

« La géométrie est peut-être, de toutes les parties des mathématiques, celle que l’on doit apprendre en premier ; elle me paraît très propre à intéresser les enfants, pourvu qu’on la leur présente principalement par rapport à ses applications, soit sur le papier, soit sur le terrain. Les opérations de tracé et de mesurage ne manqueront pas de les occuper agréablement, et les conduiront ensuite, comme par la main, au raisonnement. Ce n’est pas le lieu de développer ces idées, qui sont exposées d’une manière aussi vraie qu’éloquente, vers la fin du 2^e livre d’Émile. Les Éléments de géométrie de Clairaut, ordonnés suivant la méthode des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le maître dans cette circonstance, car il ne faut pas de livre pour l’élève, et il me semble impossible d’en faire pour le premier âge, dans quelque science que ce soit39. »

44La référence à l’Émile de Jean-Jacques Rousseau concerne le passage où ce dernier examine la manière d’enseigner la géométrie et où il écrit son plaisir de lire les Éléments de Lamy40. Bien que son maître Monge introduise les connaissances comme réponses à des problèmes et que « la méthode des inventeurs » de Clairaut soit saluée par lui, Lacroix ne pratique pas cette méthode. Ses Éléments de géométrie suivent un ordre synthétique de raisonnement, allant d’énoncé en énoncé.

Conclusion : l’ordre révolutionnaire

45Les Leçons de Monge à l’École normale de l’an III et de Hachette à l’École polytechnique suivent « l’ordre des inventeurs », en ce sens qu’ils reposent sur des résolutions de problèmes, et donc sur une démarche analytique, tandis que Lacroix adopte un ordre synthétique, tout en approuvant « l’ordre des inventeurs ». Ainsi, il ne prend pas parti entre les deux « méthodes », comme le promeut Barruel, qui écrit dans son « Plan d’éducation nationale » :

« On a préféré jusqu’à présent la méthode synthétique, parce qu’elle est plus commode pour un auteur, qu’elle est moins difficile sur les intermédiaires, et que le point où elle arrive est souvent moins éloigné que celui d’où part l’analyse. L’une et l’autre de ces méthodes, comme nous l’avons déjà remarqué, ont leurs avantages […] ; et nous ne faisons en cela que suivre le conseil du philosophe moderne41, qui a le mieux analysé la pensée42. »

46Nous avons montré que, ce faisant, Monge, Hachette et Lacroix s’inscrivent dans un héritage qui commence avec les célèbres Éléments d’Euclide et qui continue avec leurs détracteurs. Ces derniers, depuis Descartes, en passant par Arnauld et Clairaut, argumentent contre l’ordre synthétique d’Euclide et en faveur d’un ordre méthodique ou analytique qui prend en compte la réception du lecteur ou de l’apprenant. Pour eux, l’ordre de la déduction logique assure de la certitude des énoncés, mais cela n’est pas suffisant pour le lecteur qui veut savoir pourquoi et comment ont été obtenus les énoncés et les démonstrations. En utilisant leurs propres termes, il ne s’agit plus simplement de « convaincre » mais « d’éclairer », « d’intéresser » le lecteur et de lui permettre de résoudre des problèmes et d’inventer (cf. tabl. 2).

Tabl. 2. – Les élémentations dans les Écoles de la Révolution.

Ordre du discours	Auteurs	Propos du discours
Synthèse	Euclide	« convaincre »
	Arnauld	« éclairer »
	Lacroix	« éclairer » et « intéresser »
Analyse	Clairaut	« intéresser » et « inventer »
	Monge	« inventer » et « intéresser »
	Hachette

Doc. E. Barbin

47Nous lisons donc les propos de Monge, Hachette et Lacroix comme des choix qu’ils opèrent dans un héritage, mais aussi comme des résolutions qui s’accordent aux conceptions des promoteurs et des législateurs des Écoles de la Révolution.