1El número era omnipresente en el México prehispánico. La Triple Alianza, conformada por México-Tenochtitlan, Texcoco y Tlacopan, controlaba, poco antes de la conquista, más de 400 ciudades subordinadas. Para facilitar su administración, este vasto territorio había sido dividido en 32 provincias sujetas a sendas cabeceras que recaudaban cada 80 días los tributos de las ciudades. Los productos tributados comprendían importantes cantidades de mantas, así como otros artículos perfectamente medibles, como los granos, cuya unidad era la troje o cuezcomate.

2Destacaban las piezas de manta como equivalente monetario, paralelamente a la moneda de granos de cacao. Mientras que estos últimos sólo se contaban, el valor de las mantas dependía, en primera instancia, de su dimensión, además de su calidad y espesor. Antes de la conquista las mantas permitían obtener una gran variedad de productos y se cambiaban por granos de cacao. Numerosas transacciones se realizaban en los mercados, que se celebraban a intervalos regulares en las ciudades. Como lo apuntó el conquistador Hernán Cortés a propósito del mercado de Tlatelolco, las plazas eran cuidadosamente vigiladas por hombres encargados de verificar las medidas que en ellas se usaban (Castillo, 1972: 199). Asimismo, es preciso mencionar el papel de los mercaderes a larga distancia o pochtecâ, quienes permitían a las ciudades dominantes adquirir valiosos bienes. Los pochtecâ emprendían expediciones a tierras lejanas de donde traían jade, plumas, conchas y pieles de animales, que obtenían a cambio de productos elaborados en el altiplano central, tales como tejidos de lujo, cuchillos de obsidiana y cochinilla.

3Finalmente, las parcelas arables eran objeto de mediciones. Mientras que a la sazón los españoles calculaban la dimensión de los campos por el volumen de granos que en ellos podía sembrarse, los indios usaban unidades precisas de longitud y superficie. Las tierras de riego y los diques cultivados —llamados chinampas—, que en particular se extendían por todo el altiplano central, se medían cuidadosamente. Lo mismo sucedía con las construcciones: templos, plazas y monumentos.

4 Los productos indígenas, y por ende sus medidas, no desaparecieron con la conquista. Las mantas, entre otras cosas, conservaron su importancia durante unos cincuenta años; servían en el mundo indígena para adquirir tierras e incluso para formar la dote de las doncellas que se casaban a la europea (Rojas, 1998: 73). Hasta que los tributos fueron sustituidos por la moneda, lo que ocurrió a mediados del siglo xvi, la población autóctona continuó tributando mantas, pero esta vez a los encomenderos españoles. Además, los campesinos indígenas siguieron intercambiando bienes locales, tales como tierras y granos. Así se explica la supervivencia de medidas y modalidades prehispánicas de conteo.

5Todos los documentos de los cuales se dispone para analizar las prácticas numéricas en el México central fueron elaborados durante el periodo inmediato posterior a la conquista. Consisten, por una parte, en vocabularios recopilados por los frailes franciscanos encargados de evangelizar a los indios; y por otra, en numerosos manuscritos pictográficos que los indios presentaron ante los tribunales españoles, ya fuera para protestar contra las recaudaciones tributarias que les imponían los encomenderos o en el marco de litigios agrarios entre descendientes de la nobleza mexica. Un manuscrito excepcional, el Códice Mendoza, ofrece la relación de los tributos prehispánicos que las provincias pagaban al rey de México-Tenochtitlan, aunque fue realizado a principios del siglo xvi a solicitud de las autoridades españolas. Pese a su fecha de elaboración, estos documentos conservan la marca de las tradiciones numéricas prehispánicas. Tanto de la lengua como de los documentos pictográficos se desprende una particularidad: el recuento por medio de clases o conjuntos.

Los clasificadores

6Para contar no bastan los numerales; también es necesario pluralizar. Las lenguas europeas poseen una técnica de pluralización que consiste en asociar un numeral a una voz en plural “dos hombres”. Las lenguas amerindias, al igual que otras en el mundo, recurren a clasificadores.

Contando por clases

7En las lenguas con clasificadores no se cuenta de la misma manera las cosas que pertenecen a clases distintas. El numeral debe asociarse a un clasificador que especifique a qué clase pertenece la palabra a pluralizar. Por ejemplo, “dos tomates” en náhuatl se dice dos piedras [de] tomate, porque el tomate es un objeto redondo que pertenece a la clase de las piedras. Esta particularidad fue señalada desde el siglo xvi por el franciscano Alonso de Molina:

Es de saber que la cuenta general que es uno, dos, tres, etc., en esta lengua muchas veces varía y diferencia entre los vocablos, conforme a la diferencia y diversidad que hay de cosas […]; y no es como en nuestra lengua, que todo lo que se cuenta es por unos mismos vocablos; porque de cualquier cosa decimos uno, dos, tres, etc. Mas en esta lengua, hay diferentes vocablos. (Molina [1571] 1966: 263)

8De acuerdo con el lingüista Michel Launey (1987, I: 672-673), los clasificadores usados por el náhuatl son consecuencia de un empleo restringido del plural, y pueden, por tanto, calificarse como verdaderos clasificadores, como en chino. Por ejemplo, en náhuatl la palabra calli puede significar tanto “una casa” como “unas casas”. El español usa una forma similar cuando dice harina o agua, porque estas expresiones pueden designar indistintamente pequeñas o grandes cantidades de harina o de agua. Esto constituye lo que Launey llama un “ámbito denso”.

9Por definición, el ámbito denso no se presta para una operación de recuento, a menos que haya sufrido con anterioridad una discretificación mediante la introducción de un criterio de diferenciación interno, ya sea cuantitativo o cualitativo. Se cuentan entonces los elementos de la discretificación. Tal procedimiento existe en español cuando, para contar ganado, se dice cinco cabezas de ganado. Pero, a diferencia del chino o del náhuatl, esta forma es rara y puede identificarse por la presencia de la preposición de.

10En términos generales, las lenguas amerindias recurren a clasificadores: desde dos en la lengua térraba que pertenece al grupo chibcha de Panamá y Costa Rica, hasta más de 100 en la lengua chontal del tronco maya, hablada en el estado de Tabasco, en México (Barriga Puente, 1998: 45). La importancia de este procedimiento depende directamente de la extensión de los ámbitos en los cuales los nombres carecen de plural. Por ejemplo, existen lenguas en las cuales ninguna palabra puede pluralizarse, ni siquiera las que designan a los seres humanos. De manera inversa, en náhuatl sólo los inanimados carecen de plural; por tanto, los nombres que designan a animados —seres humanos o animales— poseen una forma plural, mientras que los inanimados forman su plural con ayuda de un clasificador.

La construcción gramatical

11Cuando una lengua recurre a un clasificador, lo combina en forma más o menos estrecha con un numeral. Si esta asociación es tan íntima que provoca la aparición de formas fusionadas, los lingüistas hablan de series numéricas contextuales. Tal es el caso de una lengua como el yurok, hablado en California, que distingue 15 series que se aplican respectivamente a los seres humanos, los animales, los objetos redondos, las herramientas, las plantas, los árboles, las partes del cuerpo y la vestimenta, las cosas que se parecen a las serpientes y las cuerdas, los objetos planos, las casas, las embarcaciones, las veces, los días, las medidas de longitud y las falanges (Barriga Puente, op. cit.: 45).

12En el caso del náhuatl, el numeral se combina con el clasificador de la siguiente manera:

Macuiltetl tomatl: cinco tomates (literalmente: “cinco piedras [de] tomate”)
Macuil-li: cinco; tetl: piedra; toma-tl: tomate

13El numeral macuil-li, que posee un sufijo de nombre -li, lo pierde al combinarse con el clasificador te-tl, “piedra”, el cual conserva su sufijo de nombre -tl. El nombre a pluralizar (toma-tl) se coloca después —o en otros casos, delante— del nombre compuesto formado por la combinación del numeral y del clasificador (macuiltetl).

14El número 20 (pohualli) y sus potencias (tzontli, 400, y xiquipilli, 8 000) son sus propios clasificadores:

Cempohualli: “una cuenta” (de cen-tli: 1, y pohual-li: 20) = 1 × 201
Ompohualli: “dos cuentas” (de om-e: 2, y pohual-li: 20) = 2 × 20
Centzontli: “una cabellera” (de cen-tli: 1, y tzon-tli: 400) = 1 × 400
Ontzontli: “dos cabelleras” (de om-e: 2, y tzon-tli: 400) = 2 × 400
Cenxiquipilli: “una bolsa” (de cen-tli: 1, y xiquipil-li: 8 000) = 1 × 8 000
Onxiquipilli: “dos bolsas” (de om-e: 2, y xiquipil-li: 8 000) = 2 × 8 000

15En términos generales, todos los nombres de medida son a la vez sus propios clasificadores:

Màtlacxihuitl: “diez años” (de màtlac-tli: diez, y xihui-tl: año).

16Los numerales compuestos por la suma de una sub-base y un número siguen una construcción particular. El clasificador se combina con la sub-base y no con el número sumado. Para expresar “13 años” se dice 10 años y tres; y para “12 ciudades”: 10 ciudades y dos.

Màtlacxihuitl omeyei: “13 años” (de màtlac-tli om-ei: 13, es decir, 10 + 3, y xilhui-tl: año).
Màtlactepetl omome: “12 ciudades” (de màtlac-tli om-ome: 12, es decir, 10 + 2, y tepe-tl: montaña, aquí en el sentido de ciudad).

17La lengua náhuatl, que cuenta por clases de objetos, dispone de dos tipos distintos de conjunciones de coordinación: una sirve para agregar objetos dentro de un mismo conjunto, y la otra para sumar conjuntos diferentes. La primera coordinación es ihuan, que significa literalmente “con él” y puede traducirse como “y junto con esto”. La segunda es ipan, que significa “sobre él” y puede traducirse como “y además de esto”.

18Ambas conjunciones se usan en la numeración para diferenciar las sumas que se realizan dentro de un mismo conjunto, de las que se efectúan entre conjuntos diferentes. Esta distinción aparece claramente y de manera gráfica en una cuenta redactada en el siglo xvi para acompañar la demanda interpuesta por un gobernador indio contra un español cuyo rebaño destruyó sus cultivos: “las vacas comieron la milpa del gobernador de Acatlán” (gobernador imil acatlan oquicuaquê cuacuahuequê)2 (véase la ilustración 3.1). El número de plantas de maíz destruidas se especifica (5 820) y se expresa como sigue:

Màtlactzontli ihuan nauhtzontli ipan màtlacpohualli ihuan cempohualli in omocempouh toctli.
Se contaron en matas de maíz 10 × 400 y junto con esto 4 × 400
y además de esto 10 × 20 y junto con esto 1 × 20.

19Los múltiplos de 400 constituyen dos subconjuntos (10 × 400 y 4 × 400) unidos mediante la conjunción ihuan, “y junto con esto”. Los múltiplos de 20 forman dos subconjuntos (y 10 × 20 y 1 × 20) unidos también entre sí mediante ihuan. Pero es la conjunción ipan, “y además de esto” la que une el conjunto de 400 con el de 20.

20Gráficamente, los cuatro números aparecen dibujados en forma de hileras superpuestas: una hilera de 10 cabelleras, que significa 10 × 400; una hilera de cuatro cabelleras, que significa 4 × 400; una hilera de 10 banderas, que significa 10 × 20; y hasta arriba, una bandera que significa 1 × 20. Cabe observar que las hileras se componen de 10 elementos que corresponden a la sub-base 10, mientras que las unidades superiores a 10 se encuentran colocadas en sus propias hileras (4 y 1).

21La distinción entre ambas conjunciones de coordinación también se observa en los documentos de pleitos agrarios del siglo xvi en el valle de México (Matías Alonso, 1984: 42). Cuando se sumaban unidades de medida distintas, éstas se unían por medio de ipan, “y además de esto”, onmaitl ipan cenyolotli, “dos ‘brazos’ y además de esto un ‘corazón’” (véase el capítulo 6).

ILUSTRACIÓN 3.1 Una cuenta por clases

22La misma distinción es muy común en náhuatl, mucho más allá de la numeración. En la literatura, ihuan, “y junto con esto”, une los elementos de un mismo conjunto lógico, mientras que las conjunciones auh y ànozo, “o bien”, unen dos conjuntos distintos, como lo muestra el ejemplo siguiente: Xiuhtecuhtli: ixcozauhqui, ihuan cuetzaltzin. Yèhuatl motocayotia in tletl, ànozo huehue teotl ihuan totâ (FC, I, 13): “El Dios del fuego [es] cabeza amarilla y [es] plumas de flamenco rosa. Se llama fuego o bien dios viejo y nuestro padre”.

23En la primera oración, el Dios del fuego se caracteriza por sus tonalidades — amarillo y rojo rosado— que forman parte del conjunto lógico de los colores. En la segunda, el término descriptivo fuego se opone al conjunto de los términos reverenciales dios viejo y nuestro padre.

Las clases de objetos

24Cuentas y medidas eran omnipresentes en la sociedad mexica y reposaban, como lo he mencionado, en el empleo de los numerales y los clasificadores. De ahí la necesidad, para contar, de descomponer la realidad en partes.

El clasificador cualitativo

25El término que designa una clase o un conjunto existe en náhuatl: es tlamantli, “especie de”, “suerte de”, que corresponde a las palabras chinas yang o zong. Vuelve a encontrarse esta raíz en el verbo tlamana, que significa “presentar una ofrenda, realizar un depósito ritual”, probablemente debido a que un depósito se compone de numerosas clases de objetos distintos (véase el capítulo 12).

26De acuerdo con fray Alonso de Molina ( [1571] 1966), a quien debemos el mejor estudio del sistema de los clasificadores en el náhuatl del siglo xvi, el término tlamantli servía para contar “pláticas, sermones, pares de zapatos o cacles, papel, platos, escudillas, trojes o cielos: y esto se entiende cuando está una cosa sobre otra doblada, o cuando una cosa es diversa o diferente de otra”. Como se advierte, este término se usó ampliamente para designar objetos introducidos por los españoles.

27Además de este clasificador cualitativo, el náhuatl disponía de clasificadores para designar un objeto por medio de su forma.

Los clasificadores de forma

28Tetl, “piedra”, servía para las cosas redondas u ovaladas: por ejemplo, centetl chimalli, “un escudo”, màtlactetl cacahuatl, “10 granos de cacao”. Fray Alonso de Molina menciona en desorden una lista de objetos importantes en la época prehispánica —granos de cacao, tunas, frijoles, calabazas, huevos, tamales— e importaciones españolas —como gallinas, panes de Castilla, nabos y melones—, lo cual revela la vitalidad de este sistema capaz de adaptarse a los préstamos.

29Olotl, “corazón de la mazorca de maíz”, se usaba para los objetos alargados. En la lista que presenta Molina se reconocen objetos de origen prehispánico —como mazorcas y ciertos tamales de forma alargada— e importaciones — como piñas, plátanos y pilares de iglesia—.

30Pantli, “hilera”, se usaba para designar cosas o seres dispuestos en líneas — como surcos, muros o filas de personas, según Molina—.

Los clasificadores por base

31Como lo he mencionado, la base 20 (pohualli, “cuenta”) y sus múltiplos 400 (tzontli, “cabellera”) y 8 000 (xiquipilli, “bolsa”) respetaban la composición gramatical propia de los clasificadores.

32Además, algunos clasificadores permitían contar los seres u objetos por grupos de 20:

• Tecpantli servía para contar “una veintena de seres”: por ejemplo, in totolin nauhtecpantli, “ochenta guajolotes” (literalmente: “el guajolote 4 × 20”). El término tecpantli es de particular interés, porque en la época prehispánica también designaba al palacio (de tecuh-tli, “rey”, y pan-tli, “hilera”). Puede pensarse que esta palabra alude a la disposición por hileras de los señores subalternos o de los hombres del pueblo en ocasión de ciertas ceremonias o de la partida a la guerra.
• Ipilli significaba “una veintena de objetos planos”: por ejemplo, cuachtli cemipilli, “una veintena de mantas” (literalmente: “manta una veintena”). Este término se aplicaba a las mantas, hojas de papel y pieles de animales, cuando eran objeto de recaudaciones tributarias y transacciones comerciales en la época prehispánica, las cuales siguieron practicándose después de la conquista.
• Quimilli distinguía “una veintena de mantas”. Este término se reservaba para las mantas guardadas en un quimilli, es decir, “un bulto anudado” (de quimiloa, “envolver”). En la expresión onquimilli in cuachtli, “40 mantas” (literalmente: “dos veces un bulto de 20 mantas”), debe comprenderse que las mantas estaban anudadas en fardos, y no, como en el caso de ipilli, colocadas unas sobre otras en capas sucesivas.
• Tlamic se refería a “una veintena de mazorcas”. Este término nunca se usaba junto con un multiplicador, ya que tlamic significa “terminado”.

Clasificadores y pares metafóricos

33A esta lista, Launey (1987, I: 675) agrega un clasificador propio de los discursos ceremoniales. Camatl tentli (boca labios) es un par metafórico que significa “palabras”, de uso común en los diálogos rituales. Así, in cententli, in cencamatl in amonanyotzin, in amotàyotzin (una boca, un labio de su maternidad, de su paternidad) significa “una palabra que ustedes pronunciaron como padres”. A esta lista básica podrían agregarse probablemente otros varios pares metafóricos más. Por ejemplo, una ciudad se llamaba “agua montaña” (atl tepetl) o, en forma abreviada, “montaña” (tepetl). Este término se utiliza como clasificador en la expresión màtlactepetl omome in quinnotzaya, “invitaba a los de las 12 ciudades” (FC, IX: 52).

Las medidas

34Todas las unidades de medida constituían clasificadores. En las lenguas que usan clasificadores, tales unidades forman siempre un nutrido conjunto: alrededor de 150 términos en chino y más de 400 en tzeltal, una lengua maya. Aunque es difícil establecer un inventario exhaustivo de las unidades de medida en náhuatl, pueden señalarse las más importantes.

Las unidades de medida del tiempo

35El día (ilhuitl), el mes (metztli) y el año (xihuitl) seguían la composición gramatical reservada para los clasificadores, como en nauhilhuitl, “cuatro días”.

Las unidades de medida de longitud

36A las unidades basadas en las partes del cuerpo humano, que se analizarán detalladamente en el capítulo 6, deben agregarse el olotl, que señala los objetos del tamaño de un olote o corazón de la mazorca (véase el cuadro 3.1). Por consiguiente, este último término podía calificar un tamaño, además de una forma, como se vio en líneas anteriores.

CUADRO 3.1 Unidades de longitud

37Las largas distancias que recorrían los mercaderes y guerreros durante sus expediciones antes de la conquista difícilmente podían medirse con ayuda de las unidades mencionadas en el cuadro 3.1. Con este fin los nahuas usaban dos medidas basadas en el cuerpo en acción: netlalolli (cennetlalolli, “una carrera”) y necehuilli (cennecehuilli, “un descanso”) o para decirlo en otros términos, una jornada de marcha y reposo.

Las unidades de medida de superficies

38Los mexicas calculaban las superficies para medir las mantas y las tierras (véase el cuadro 3.2). En el primer caso, una tira longitudinal del ancho del telar y de longitud variable se llamaba en náhuatl zotl y en español “pierna”. De acuerdo con Castillo (1972: 207-210), el telar de cintura indígena medía 0.75 m de ancho como máximo, aunque con frecuencia era más angosto. Para obtener una manta más ancha era preciso coser entre sí tiras longitudinales, y eran estas últimas las que constituían superficies.

CUADRO 3.2 Unidades de superficie

39Los cuadriláteros también fueron considerados como superficies. Castillo (op. cit.: 210) brinda dos ejemplos: el montículo que separa dos surcos, llamado cuemitl, y la línea o pantli. Se puede agregar el tacatl —el grupo, el manojo, la mata— que es una medida de superficie calculada en función del número de objetos que contiene un terreno. En los documentos que estudió Matías Alonso (1984: 91), centacatl, “un manojo”, refiere a una planta de maíz. Para medir pequeñas superficies se contaba el número de matas de maíz que crecían en ellas.

40Asimismo, en un texto de 1714 procedente de la provincia colonial de Zacualpan, gran productora de sal, se habla de “ruedas de salinas”, tacatl iztamilli (Dehouve, 1994: 183). También se tienen evidencias del cálculo de superficies agrarias designadas con el término tlahuelmantli. Éste se refería a un ámbito en el cual las unidades de longitud se convertían en unidades de superficie, de la misma manera que en nuestro sistema los metros se usan como metros cuadrados. Este punto se desarrollará más adelante, en el presente capítulo.

Las unidades de medida de volumen y peso

41Eran numerosas las unidades de capacidad (véase el cuadro 3.3) que servían para medir líquidos. Tal era el caso de la “canoa”, acalli, cuya capacidad no ha sido determinada con exactitud. Sólo se conoce su valor: una canoa de agua usada para cocinar durante un banquete suntuoso valía una pequeña pieza de tejido o cuachtli (FC, IX: 48). Asimismo, se habla de “canoas” de frijoles y de chía, Salvia hispanica (Wimmer, acalli). La “bola de algodón” o pòpolli (probablemente del verbo pòpohua, “lavar”) representaba la “cantidad de líquido que puede absorber una bola de algodón del tamaño de medio huevo” (Castillo, 1972: 204); se usaba con fines terapéuticos. La “cucharada” y la “caña” servían para medir cantidades reducidas de líquido. La “gota” era posiblemente la más pequeña unidad de medida; la usaban los médicos y curanderos prehispánicos y estaba contenida en un pequeño recipiente de barro ad hoc (Castillo, op. cit.).

42Los granos se medían en trojes o “cuezcomates”, o bien por “puñados” o “medios puñados”. Finalmente, existían unidades especiales que se usaban para los cuerpos flexibles; la porción de masa de maíz, denominada testal —del náhuatl textli, “masa”—, designaba la cantidad de masa necesaria para elaborar una tortilla. La “cuerda”, mecatl, además de usarse como instrumento de medida de las milpas, también permitía medir una cantidad de hierbas o de leña; el volumen que se podía atar con una cuerda de una “braza” era parte de las transacciones comunes después de la conquista (Castillo, op. cit.: 222).

43Entre los mexicas era poco usual cuantificar el peso. No obstante, existía una unidad usada antes de la conquista por los tlamemê o tameme (cargadores). Esta unidad, llamada tlamamalli (carga), designaba la carga contenida en un armazón de madera llamado cacaxtli que un hombre podía llevar a cuestas durante un día de marcha.

44El inventario de los clasificadores nahuas, por cierto muy incompleto, consta de unos cincuenta términos de uso frecuente. No cabe duda de que una investigación más minuciosa permitiría poner en evidencia otros numerosos términos, cuya calidad de clasificadores se reconocería por su construcción gramatical.

CUADRO 3.3 Unidades de volumen

La simbolización gráfica

45En una lengua que recurre a clasificadores para contar, la manera como se designan verbalmente los números depende de la clase a la cual pertenezcan las cosas que se cuentan. Por tanto, no es sorprendente que la misma distinción se aplique a la escritura y que la notación gráfica use símbolos distintos, dependiendo de la categoría de objetos de que se trate.

Contando objetos

46Como lo revelan algunos ejemplos tomados del Códice Mendoza (1992) que establece el inventario de los tributos recaudados en la época prehispánica, y del Códice de Tepetlaoztoc o Códice Kingsborough (1994)3 que enumera los tributos debidos a Hernán Cortés a partir de 1523 (véase el cuadro 3.4), la numeración básica no era tan uniforme como suele afirmarse.

47El uno se expresaba mediante un círculo o una vara vertical, dependiendo de los documentos; el cinco mediante un círculo repetido cinco veces, o cinco varas verticales; la numeración maya utilizaba una barra. El 20 se representaba por medio de la bandera que significa la hilera o pantli. No obstante, en ciertos documentos podía estar representado por medio de un punto: en el plano de la ciudad de Texcoco, de acuerdo con el Fragmento Humboldt VI, un punto negro no equivale a una unidad sino a 20 unidades de medida (capítulo 6, ilustración 6.3c).

48El clasificador quimilli, “bulto de mantas”, brindaba una opción para figurar 20 mantas. La cabellera estilizada expresaba el 400 y la bolsa de granos de cacao el 8 000 (véanse el cuadro 3.4 y la ilustración 3.2). De lo cual resulta que para descifrar las cuentas se requiera conocer el tipo de documentos pictográficos que las contenía.

CUADRO 3.4 Símbolos gráficos de los números

ILUSTRACIÓN 3.2 Representaciones gráficas de recuentos de cosas y personas

Contando los días y los años

49El recuento de las unidades temporales estaba sujeto a distintas variantes. En un mismo documento (Códice Mendoza), el círculo con cuatro esquinas se usaba unas veces para representar un día, y otras, un mes de 20 días (véase la ilustración 3.3a). En el Códice Kingsborough, el día se designa mediante un punto y el mes de 20 días mediante un rectángulo (véase la ilustración 3.3b). El año puede transcribirse como un círculo de color azul-verde —de acuerdo con el nombre que lleva en náhuatl, donde xihuitl significa “año, hojas, piedra preciosa azul-verde”— o como un mosaico (véanse las ilustraciones 3.3d, e, f). Una fecha precisa siempre se encuentra encerrada dentro de un cuadrilátero (véase la ilustración 3.3c).

ILUSTRACIÓN 3.3 Representaciones gráficas de las unidades temporales

50Por consiguiente, las pictografías constituían la expresión gráfica de los principales clasificadores lingüísticos —en particular, de las sub-bases 5 y 2 × 5, de la base 20 y de las potencias de la base 400 y 8 000 que se respetaban de manera estricta en la notación—, así como de los clasificadores temporales.

51Un último factor podía intervenir en la notación gráfica de los números: la elección de la suma, la multiplicación o la posición para asociar los símbolos.

Las numeraciones escritas

52El área mesoamericana utilizó conjuntamente tres sistemas de notación.

La numeración escrita mediante suma y multiplicación

53La numeración mediante suma y la numeración mediante multiplicación coexistían en los documentos pictográficos de la época de la conquista. Así, en el Códice Mendoza (véase la ilustración 3.4a), la representación de un jarro de miel coronado por la bandera expresaba la multiplicación: 20 veces un jarro. La misma pictografía repetida 10 veces —es decir, mediante suma— permitía el recuento de 10 veces 20 jarros de miel, o sea, 200 jarros.

54En el Códice Kingsborough la multiplicación era más frecuente. El símbolo de la base (la bandera para 20) o de la potencia (la cabellera para 400) se multiplicaba por uno o varios puntos para obtener 20 × 5 (ilustración 3.4b), 400 × 1 (ilustración 3.4c) o 400 × 15 (ilustración 3.4d). Los mismos puntos, colocados arriba del bulto de 20 mantas (quimilli) significaban 1 bulto × 8, es decir, 160 piezas (ilustración 3.4f). Finalmente, lo mismo que en el sistema verbal de numeración, la multiplicación se usaba en combinación con la base y sus potencias, y la suma servía para representar las unidades menores a 20 (ilustración 3.4e).

La numeración escrita posicional y el cero

55Se supone que la numeración posicional y el cero fueron característicos del área maya en la época clásica (de 250 a 600-900 de nuestra era). Se considera que estos descubrimientos constituyen el desenlace de un proceso que comenzó en el área olmeca de la costa del Golfo de México. La numeración maya se basaba en tres clases de símbolos: el punto para la unidad, la barra para el cinco, mientras que una gran variedad de signos representaban el cero (véase la ilustración 3.5). El punto habría sido una alusión al dedo (uno), y la barra habría representado una mano extendida (cinco). Cabe subrayar que estos símbolos numéricos sólo se usaban para medir el tiempo y, hasta donde se sabe, no sirvieron para contar objetos de tributo.

ILUSTRACIÓN 3.4 La numeración mediante suma y multiplicación

ILUSTRACIÓN 3.5 Los numerales mayas (punto, barra y cero)

56El cero maya es un cero asociado a la numeración de posición, en el marco de aquello que ha recibido el nombre de “cuenta larga” (Blume, 2011). Se le conoce por medio de las estelas de piedra que servían para registrar fechas, como la de la entronización de un soberano. La fecha a memorizar se calculaba a partir de un inicio convencional. La notación se fundamentaba en las unidades temporales siguientes:

571 día = 1 k’in

581 mes de 20 días = 1 winal = 20 k’in

591 año de 360 días = 18 meses de 20 días = 1 tun = 18 winal = 360 k’in

6020 años = 1 k’atun = 20 tun = 7 200 k‘in

61400 años = 1 bak’tun = 20 k’atun = 144 000 k‘in4

62En otros contextos, los mayas consideraban que el año constaba de 18 meses de 20 días, a los cuales agregaban cinco días adicionales para alcanzar los 365 días. Sin embargo, en la cuenta larga se basaban en un año de 360 días. Su objetivo era el de ubicar un acontecimiento a partir de un inicio convencional fijado en 13.0.0.0.0 (13 bak’tun, 0 k’atun, 0 tun, 0 winal y 0 k’in), que los especialistas han identificado como el 11 o 13 de agosto de 3114 antes de Cristo.

63Toda fecha de la cuenta larga se componía de cinco cifras, empezando por el bak’tun (400 años de 360 días) y terminando por el k’in (día). Estas cinco cifras se colocaban verticalmente y se leían de arriba hacia abajo. De este modo, la secuencia 9.15.11.16.2 señalaba una fecha ocurrida 1 408 282 días después del día inicial; se leía como sigue:

64Es posible imaginar una fecha carente de toda unidad de año, mes y día. Tal es el caso, por ejemplo, de la fecha grabada en las estelas 18 y 19 de Uaxactún.

8 bak’tun
16 k’atun
0 tun
0 winal
0 k‘in
(Blume, 2011: 58).

65Aquí es donde intervenía el cero posicional. Como en cualquier numeración posicional, señalaba el espacio vacío en una de las unidades de la cuenta. El cero posicional se expresaba mediante toda una gama de símbolos (véase la ilustración 3.5), siendo los más frecuentes una flor de cuatro pétalos con una parte oculta, una concha de gasterópodo marino y una deidad humanoide cuya mandíbula estaba oculta por una mano.

66A partir de 1990 los epigrafistas mayistas identificaron estos glifos como el logógrafo MIH, correspondiente a la sílaba mi, que significa “no” o “ausencia de” (Blume, 2011: 63).

67Al lado del cero posicional, otro símbolo representaba un tipo de cero muy distinto. Servía para expresar una fecha en el calendario solar basado en 18 meses de 20 días, es decir, 360 días, a los cuales se agregaban cinco días baldíos o adicionales para alcanzar los 365 días.

68Cada uno de estos meses poseía un nombre en maya; por ejemplo, el primero se llamaba zak (véase el capítulo 4, cuadro 4.6). Al igual que los demás, el mes zak constaba de 20 días que se identificaban mediante un número del 0 al 19, y no del 1 al 20, como podría imaginarse. Se contaba así:

0 zak, 1 zak, 2 zak, 3 zak, 4 zak, 5 zak, 6 zak, 7 zak, 8 zak, 9 zak, 10 zak, 11 zak, 12 zak, 13 zak, 14 zak, 15 zak, 16 zak, 17 zak, 18 zak, 19 zak

69Los cinco días adicionales, llamados wayeb se numeraban del 0 al 4:

0 wayeb, 1 wayeb, 2 wayeb, 3 wayeb, 4 wayeb

70Como se advierte, este segundo tipo de cero no tenía nada que ver con el cero posicional; señalaba el comienzo de un ciclo en el calendario solar. Correspondía a la palabra chum, que significa “sentar o fundar un lugar”. Sus diversas formas glíficas representaban una figura sentada. El más antiguo ejemplo de este cero en una piedra esculpida proviene de la llamada placa de Leyden, que registra la fecha de entronización de un soberano: 8 bak’tun, 14 k’atun, 3 tun, 1 winal, 12 k’in en la cuenta larga, que corresponde a chum yaxk’in en el año solar, día seguido de 1 yaxk’in. Algunos investigadores han propuesto llamar “día chum” el día con el cual empiezan las secuencias de 20 días y la de cinco días adicionales en el calendario solar, para evitar todo riesgo de confusión con el cero posicional (Blume, 2011: 66).

71Cabe agregar que durante el Posclásico los mayas introdujeron un cambio en la numeración de sus meses de 20 días: de 0-19 pasaron a 1-20, de modo que su calendario armonizó con el calendario mexica.

72Varios siglos separan a los mayas de la época clásica de los mexicas del centro de México. Éstos jamás adoptaron la cuenta larga y, por consiguiente, no usaron en el calendario ni la numeración posicional ni el cero. Además, para nombrar los 20 días de cada uno de los 18 meses, los mexicas contaban del 1 al 20, y no del 0 al 19. Por tanto, tampoco usaban el segundo tipo de cero maya para señalar el comienzo de un ciclo.

73En cambio, se han encontrado pruebas del empleo del sistema posicional en documentos agrarios de principios del siglo xvi, en los alrededores de la ciudad de México. Los investigadores estadounidenses Harvey y Williams (1981) hicieron este descubrimiento al estudiar manuscritos redactados poco después de la conquista en la región de Tepetlaoztoc, a seis kilómetros de la ciudad de Texcoco, en el sector noreste de la cuenca de México —el Códice Santa María Asunción, conservado en la Biblioteca Nacional de México, y el Códice Vergara, conservado en la Biblioteca Nacional de París—. Comparando los levantamientos de planos con las milpas que se cultivan actualmente en la misma región, consiguieron descifrar estos manuscritos.

74Los documentos en cuestión son censos coloniales que establecen el inventario de las casas, junto con sus habitantes, y de sus milpas (véase la ilustración 3.6). El perímetro de las milpas se designa como milcocoli en las glosas en caracteres latinos que acompañan la representación pictográfica, y su superficie se llama tlahuelmantli. Es en esta última donde interviene la numeración posicional.

75La parte tlahuelmantli presenta las milpas dibujadas como rectángulos abstractos (véase la ilustración 3.6a). La numeración posicional basada en rayas y puntos contiene tres registros (véase la ilustración 3.6b). El primer registro se sitúa en la parte superior derecha, en la pestaña lateral; consta de las unidades 1 al 19. El segundo registro se sitúa en la parte inferior; expresa las unidades de veintenas, del 20 al 380. El tercer registro se encuentra en el centro; expresa las unidades de veintenas arriba de 400: un punto equivale a una unidad de veintena multiplicada por 20, es decir, 400; una raya equivale a 20 y cinco rayas equivalen a 100.

76En tales condiciones, es necesario poder expresar el cero, es decir, la ausencia de unidades, en cada uno de los tres registros (véase la ilustración 3.6c). En el caso del primer registro, el cero está representado por la ausencia de pestaña lateral. Para señalar el cero del segundo registro se deja el espacio vacío. Y el cero del tercer registro se señala por medio de una mazorca situada en la parte superior del rectángulo.

ILUSTRACIÓN 3.6 Superficies de las milpas en el Códice Santa María Asunción (f^o 2 r^o, 10 r^o y 19 v^o)

77Las ilustraciones 3.6b y 3.6c se descifran como sigue:

Primera milpa:
El tercer registro consta de un punto y 11 rayas, es decir, 20 × 20 + 11 × 20 = 620.
No hay segundo registro (espacio vacío), y el primer registro consta de cuatro rayas. Por tanto, esta primera milpa mide 620 + 4 = 624 unidades al cuadrado.

Segunda milpa:
No hay tercer registro (una mazorca representa un cero) ni primer registro (no hay pestaña); el segundo registro, en la parte inferior, consta de 10 rayas, es decir, 10 × 20 = 200 unidades al cuadrado.

78Para Harvey y Williams, este sistema presenta una coherencia interna que demuestra que estos documentos, si bien se redactaron después de la conquista, son de tradición prehispánica. Por tanto, suministran la prueba del uso de la numeración posicional y del cero en el México central, fuera de los contextos calendáricos y tributarios.

79De esto puede concluirse que, contrariamente a lo que suele pensarse, los tres tipos de numeración escrita —mediante suma, multiplicación y posición— se usaron en toda el área mesoamericana, aunque dentro de contextos precisos que deben distinguirse cuidadosamente.

Conjuntos y fractales

80Entre los antiguos mexicanos la cuenta no era un asunto meramente lingüístico. Si bien la estructuración de la cuenta por clases se basaba en la lengua, también se ponía en práctica en los recuentos reales, cuando los hombres, las mantas o mazorcas se agrupaban por veintenas, que a su vez se agrupaban por veintenas de veintenas. Estas cuentas también tenían una expresión gráfica en la escritura.

81Por consiguiente, los mexicas contaban simultáneamente por medio del enunciado verbal y de la figuración material, motivo por el cual la forma tenía tanta importancia en la selección de un clasificador: los objetos eran redondos o alargados, los hombres se formaban en hileras. Las clases esenciales en la numeración estaban constituidas por conjuntos y subconjuntos de números. En su base se encuentra la mano humana. Para la lengua náhuatl, el número cinco representa el hecho de tomar con la mano, y el 10 la parte superior de las manos. En la escritura del México central, el cinco se expresa por medio de cinco rayas unidas como los dedos de una mano. De acuerdo con los mayistas, la mano tendida estaría en el origen de la barra que expresa el cinco. En las cuentas que se han examinado, las sub-bases 5, 10 y 15 siempre se respetan; así, el número nueve nunca se enuncia ni se representa como nueve unidades, sino como la sub-base 5, a la cual se agregan cuatro unidades. Para números mayores, las cuentas reconocen la base 20 y sus potencias 400 y 8 000. Gráficamente, esta descomposición se figura por medio de hileras superpuestas de símbolos o por medio de rayas que unen a estos últimos. Por otra parte, la existencia de dos tipos de coordinación —ihuan, “y junto con esto”, e ipan, “y además de esto”— es típica de una construcción por conjuntos.

82Además, el sistema respeta una estructura en forma de fractal (Dehouve, 2014b). El término fractal fue introducido en los años setenta por Benoît Mandelbrot para designar conjuntos que poseen propiedades geométricas particulares: la similitud interna y la no variabilidad en los cambios de escala. Una estructura fractal es la misma de cerca como de lejos, como es el caso de múltiples formas naturales a modo de la col romanesca o de los tubos ramificados de los bronquios. El fractal es una construcción geométrica, por lo cual el uso de este término en las producciones humanas debería, en sentido estricto, reservarse al habitat y a las producciones plásticas en los cuales sea posible calcular la “dimensión fractal” (Eglash, 1999). La aplicación del fractal a formas duplicadas mediante el fenómeno de la réplica representa una extensión de la noción fuera del ámbito puro de las matemáticas.

83En el sistema numérico mexica, la noción de fractal puede, por extensión, aplicarse a la homología entre los conjuntos y sus subconjuntos, ya que los sistemas gráficos tratan a menudo de la misma manera la unidad y la unidad de veintenas. Así, en el Códice Mendoza las mismas ruedas temporales poseen, dependiendo del contexto, el significado de días o de meses de 20 días, por lo que cuatro días se dibujan del mismo modo que 80 días (véase la ilustración 3.3a). La clave de lectura se encuentra en las explicaciones en náhuatl que proporcionan otros documentos: en el contexto de las recaudaciones tributarias, los cuatro símbolos que coronan una lista de tributos designan los 80 días que separan los distintos pagos. Estos mismos cuatro símbolos colocados encima de un recién nacido llevado por una partera, señalan que la ceremonia de atribución del nombre al niño se celebra cuatro días después de su nacimiento. Asimismo, una raya (o un punto) puede designar ya sea una unidad o 20 unidades de medida. Esto es, por supuesto, lo que ocurre en la numeración posicional (véase la ilustración 3.6). El contexto también puede señalar el valor que debe atribuirse a estos símbolos. Así, un punto que se lee como uno en la representación de una milpa, adquiere el significado de 20 en el plano de una ciudad (véase el capítulo 6, ilustración 6.3c).

84Este empleo es prueba de que una unidad y una unidad de grupo se conceptualizaban de idéntica manera. Esto presenta una sorprendente similitud con el sistema iqwaye que menciona Mimica (1988), según el cual un dedo puede representar ya sea una unidad o una unidad de veintena (20), o una vez 400, o una vez 8 000, dependiendo de la convención que se elija. De ello debe deducirse también que la cuenta por conjunto va necesariamente acompañada de una contextualización, sin la cual la lectura es imposible.

85En toda sociedad, la medida representa la aplicación concreta más importante de esa invención abstracta que es el número. De ahí que la presentación de los usos del número conduzca naturalmente a la medida fundamental en la sociedad mexica: la medida del tiempo.