1Mesoamérica se caracteriza por su diversidad lingüística. Al momento de la conquista se hablaban cientos de lenguas, muchas de las cuales desaparecieron a raíz del derrumbe demográfico provocado por la llegada de los españoles. Sin embargo, hasta la fecha subsisten más de 50, que pertenecen a tres grandes grupos: la familia otomangue, el tronco macromaya, el uto-azteca, a los cuales se aúnan lenguas de distinta filiación. A pesar de esta diversidad, todas las lenguas mesoamericanas siguen ciertos procedimientos de enunciación de los números, comparten un mismo sistema numérico que se diferencia de todos los demás sistemas existentes en la América indígena del Norte y del Sur.

Los medios del “saber contar”

2No hay sociedad humana que no utilice el número y el cálculo. Aquellas sociedades cuyo vocabulario carece de todo sistema de numerales —como es el caso de varios grupos aborígenes australianos, de los vedas de Ceilán y de ciertos habitantes del estrecho de Torres y de Papúa Nueva Guinea— pueden, no obstante, transmitir datos numéricos y contar los objetos mediante apareamiento, asociándolos unos con otros (Crump, 1995: 67). Las demás sociedades utilizan numerales e implementan procedimientos lingüísticos específicos.

La base

3Para contar con numerales, teóricamente sería necesario designar cada guarismo por medio de un símbolo específico, lo cual obligaría a memorizar un número muy elevado de palabras distintas. Casi todas las lenguas han encontrado una manera de resolver este problema.

4La base es una simbolización estructurada de los números que tiene aplicación en la lengua y la notación gráfica. Una base designa el valor cuyas potencias sucesivas intervienen en la numeración, en el entendido de que la potencia es el resultado de la multiplicación de un número por sí mismo. Así, nuestro sistema decimal se basa en 10 y sus potencias: 10² = 100, 10³ = 1000, 10⁴ = 10 000, etcétera. Esto permite limitar el número de palabras necesarias para contar, pues a partir de la base pueden fabricarse otros nombres por medio de operaciones. Así, en nuestro sistema de base decimal, el numeral 19 combina mediante suma la base 10 y el número 9.

5La gama de números que pueden servir de base es muy amplia. La más frecuente es la base 10, pero también existen las bases 2, 3, 4, 5, 15, 20, 60 u 80, entre otras. En el Viejo Mundo los sumerios usaban la base 60 y sus potencias (3 600, 216 000, etcétera). Sin embargo, como se trataba de una base muy grande, usaban de manera complementaria las sub-bases 10 y 12 —obtenidas mediante división de 60 entre 6 y 5, respectivamente—. Estas bases y sub-bases sobreviven en nuestra sociedad para medir el tiempo (horas, minutos, segundos), así como los arcos y ángulos (grados, minutos, segundos). De ahí proviene también la costumbre europea de vender ciertos productos por docenas, los huevos o las ostras, por ejemplo.

6Existen lenguas, como el chino y el náhuatl, en las cuales los numerales se forman sin anomalía a partir de la base elegida. Pero también existen sistemas que presentan anomalías por la supervivencia de sistemas anteriores en la lengua. Tal es el caso del francés: aunque el sistema numérico actualmente en uso es, en términos generales, de base 10, subsiste un sistema de base 20: en particular, los numerales quatre-vingts (80: 4 veces 20) y quatre-vingt-dix (90: 4 veces 20 más 10). En francés antiguo estas supervivencias eran más numerosas y daban lugar a designaciones como trois vingts (3 por 20, o sea, 60), six vingts (6 por 20, o sea, 120) y sept vingts (7 por 20, o sea, 140).

Los sistemas productivos

7Un sistema productivo es aquel que, mediante una operación, genera nuevos numerales a partir de la base. Las operaciones que con mayor frecuencia suelen aplicarse son la suma, la multiplicación y la resta, como en los ejemplos siguientes:

• mediante suma: 19 se dice en español diecinueve = 10 + 9.
• mediante multiplicación: 200 se dice en español doscientos = 2 × 100.
• mediante resta: entre los pawnees de Oklahoma 17 se dice tres menos [sobreentendido: 20] = 20 − 3.

8Finalmente, existen sistemas que, si bien disponen de una base, no le aplican operación alguna: se les llama sistemas improductivos.

Los sistemas de numeración amerindios

9Nuestro conocimiento de los sistemas de numeración amerindios proviene esencialmente del estudio realizado por Barriga Puente (1998) sobre una muestra de 344 lenguas y dialectos, pertenecientes a 110 familias lingüísticas diferentes de América del Norte y del Sur. Estas lenguas presentan una gran diversidad en cuanto a las soluciones adoptadas.

Las bases

10De acuerdo con este autor, las bases presentes en la América indígena son las siguientes: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 40 y 80.1

• La base 2 existe, por ejemplo, entre los apinayé (familia yê) de Brasil.
• La base 4 se encuentra en una lengua tupí de la Amazonia, el guaraní de Paraguay.
• La base 5 es usada por los chocó de la costa pacífica de Colombia.
• La base 6 fue adoptada por los misquitos de la costa caribeña de Nicaragua y Honduras. Es una base poco común en América.
• La base 8 es la de los yuki de Round Valley, en California.
• La base 10 es la más frecuente: la mayor parte de las lenguas de la muestra (103, es decir, 30 % aproximadamente) utilizan sólo esta base. Se encuentra, en particular, en la lengua quechua que fue hablada en los Andes por los incas.
• La base 12 es usada por los chumash de San Luis Obispo, en California.
• La base 16 se encuentra entre los yuki de California, que utilizan la base 6 del número 7 al 17, y la base 16 para números superiores a 17. El yuki es el único ejemplo de base 16 en América.
• La base 20 es característica de Mesoamérica, de las lenguas del Ártico y de las Antillas. Sus potencias son 400 y 8 000. Con frecuencia, la base 20 se encuentra asociada a los números 5, 10, 15. En efecto, como ocurre cuando se trata de una base con un alto valor numérico, ésta se construye a partir de un sistema de sub-bases que permiten llegar hasta ella. En este caso, el cuerpo humano brinda un modelo: una mano con sus dedos forma la sub-base 5; al añadir la otra mano se llega a 10; al sumar el pie se llega a 15, y con el otro pie, a 20. Barriga Puente utiliza el nombre bases para referirse a todos estos números; por mi parte, prefiero reservar este término para el 20, que tiene potencias, y calificar los otros números (5, 10, 15) como sub-bases debido a que sus potencias no se usan. El 80, utilizado en una lengua mesoamericana de la familia maya, el cakchikel de Guatemala, es una base adicional derivada, a mi juicio, de la base 20.
• Finalmente, la base 40 es usada por el pomo que se habla en California y lo emplea para formar los números 80, 90 y 100.

11Barriga Puente no utiliza el concepto sub-bases, y esto lo conduce a afirmar que ciertas lenguas disponen de una sola base, mientras que otras poseen dos o más. Entre las lenguas monobásicas cita el atabascano de Canadá, de base 10. Una lengua dibásica es el kuna de Panamá, que posee las bases 10 y 20. La lengua tribásica está representada por el sumo de Nicaragua, que utiliza las bases 5, 10 y 20, y el misquito del mismo país, que emplea las bases 5, 6 y 20. Barriga Puente califica el náhuatl clásico —lengua de los mexicas— de lengua cuadribásica debido a que utiliza las bases 5, 10, 15 y 20. Encuentra un solo ejemplo de lengua pentabásica: el andoque, que emplea las bases 2, 5, 10, 15 y 20. Como acabo de mencionarlo, prefiero considerar que estos sistemas no poseen bases múltiples, sino una base y sub-bases. Calificaré como sistemas de base 20 a aquellos que, según Barriga Puente, son de bases 5, 10 y 20, de bases 5, 10, 15 y 20, y de bases 2, 5, 10, 15 y 20.

Sistemas productivos e improductivos

12Los sistemas improductivos son raros en América, donde sólo corresponden a 31 lenguas de la muestra de Barriga Puente, es decir, 9 %. Todos son originarios de la Amazonia; la mayor parte proviene de lenguas del grupo macro-yê. A título de ejemplo puede citarse el sistema improductivo del puri de Brasil, de tres números, que se enuncia tocando las falanges de los dedos. Otra lengua del grupo macro-yê, el xerente, posee un sistema improductivo de cinco términos que se cuentan con los dedos de la mano, y para designar un número mayor se utiliza un término que significa muchos. Los yanomami poseen la secuencia 1, 2, 3, muchos.

13Todas las demás lenguas amerindias poseen sistemas productivos que representan 292 casos, es decir, 84.88 % de la muestra. Pueden ser productivos mediante suma, multiplicación y resta.

14Los sistemas productivos que sólo utilizan la suma están representados por 10 lenguas, es decir, 10 % de los sistemas productivos. La forma más simple es la suma de la base 2 que usan, por ejemplo, los nambikwara de Brasil:

15Otro grupo amazónico, los aucas de Ecuador, utiliza un sistema simple de suma de la base 2, mediante repetición. Para designar 10 animales dicen:

Bika bika bika bika bika: “2 carne, 2 carne, 2 carne, 2 carne, 2 carne”
(Idem)

16El segundo tipo de sistema productivo utiliza la multiplicación combinada con la suma: así proceden 259 lenguas de la muestra, o sea, 88.69 %. Son pocos los casos en los que la multiplicación sirve para formar números pequeños. Esto puede realizarse mediante duplicación (multiplicación por 2), como entre los wintu de California:

Ser panu, “dos tres” (2 × 3 = 6), ser awi, “dos cuatro” (2 × 4 = 8)
(Ibidem: 75)

17Raras son las lenguas que usan la triplicación (multiplicación por 3), como las lenguas yuma que forman el 9 mediante la multiplicación de 3 × 3.

18Es mucho más frecuente que la multiplicación se use para formar números más elevados, como en náhuatl, la lengua de los mexicas:

Cempohualli, “uno veinte” (1 × 20 = 20)
Ompohualli, “dos veinte” (2 × 20 = 40)
Eipohualli, “tres veinte” (3 × 20 = 60), etcétera.

19El tercer tipo de sistema productivo recurre a la resta, combinada con la suma y la multiplicación. Este caso sólo corresponde a tres lenguas de la muestra (1.02 %). Es lo que ocurre, por ejemplo, entre los pawnees de Oklahoma:

20La cuarta operación productiva es la división; sin embargo, no existe ningún caso en América, con excepción de las formas compuestas a partir de términos tomados del español en Mesoamérica: la expresión “mitad de 100” designa el 50 en varias poblaciones contemporáneas de México, como en la expresión siguiente que combina el náhuatl y el español: tlàco ciento (Ibidem: 85).

21Por último, el término protracción, formado sobre el modelo de la palabra sustracción, se refiere a la operación que designa un número por su orientación hacia un límite (Hagège [1982] 2007: 93). Este sistema productivo, bastante raro en el mundo, está representado en América por ciertas lenguas mayas; detallaré más adelante su funcionamiento.

La distribución de los sistemas de numeración

22De acuerdo con Barriga Puente, las grandes áreas culturales de América tienden a adoptar un sistema homogéneo. Así, el Ártico se caracteriza por el empleo de las bases 5, 10, 15, 20 exclusivamente, lo que en mi opinión puede expresarse como una base 20 y sub-bases 5, 10, 15. América del Norte utiliza principalmente 10 y 5, 10, con excepción de las Grandes Llanuras y California, donde existen lenguas que utilizan bases poco comunes. Los Andes son el ámbito del 10 y del 5, 10. Brasil y Tierra del Fuego reúnen todos los sistemas improductivos y binarios (con dos numerales), y si bien poseen algunos sistemas productivos mediante suma, no poseen ninguno que proceda mediante multiplicación. Finalmente, Mesoamérica se caracteriza por el empleo de las bases 5, 10, 15, 20 según Barriga Puente; lo que, por mi parte, prefiero llamar sistemas de base 20 y sub-bases 5, 10, 15 (véase la ilustración 2.1).

ILUSTRACIÓN 2.1 Algunas características de los sistemas numéricos amerindios

Los sistemas de numeración mesoamericanos

23A pesar de su extrema diversidad (puesto que son hoy en día más de 50, pertenecientes a más de tres familias lingüísticas), todas las lenguas existentes en Mesoamérica tienen en común su base 20 (asociada frecuentemente a las sub-bases 5, 10, 15) y su productividad mediante suma, multiplicación y, en ciertos casos, resta.

24La lengua náhuatl, que fue la del imperio mexica, es hablada en el centro de México y pertenece a la familia uto-azteca. La numeración del 1 al 20 evidencia claramente la base 20: cempohualli significa “una cuenta”. Las sub-bases son: macuilli, “el hecho de tomar con la mano”, es decir, los dedos de una mano = 5, màtlactli, “parte superior de las manos”, es decir, los dedos de las dos manos = 10, y caxtolli, cuyo significado se desconoce. El nombre de estas sub-bases revela claramente que el sistema se basa en el conteo de los dedos de las manos. Del 5 al 10, del 10 al 15 y del 15 al 20, el sistema es productivo mediante suma.

25Posteriormente, el sistema combina la productividad mediante suma (del 21 al 39), y la productividad mediante multiplicación (para los múltiplos de 20). El número 40 se dice dos cuentas (2 × 20), 60 tres cuentas (3 × 20), 80 cuatro cuentas (4 × 20), 100 cinco cuentas (5 × 20), y así sucesivamente.

26La base 20 se multiplica por sí misma para obtener las potencias: 400 (20²) y 8 000 (20³). La potencia 400 se dice tzontli, “cabellera” y 8 000 se dice xiquipilli, “bolsa de granos de cacao”.

27Las demás lenguas mesoamericanas también son vigesimales, es decir, que cuentan en base 20. Cabe señalar la presencia (o quizá la supervivencia) de una sub-base 9 en algunas lenguas del tronco maya: tzotzil, tzeltal, chol, maya, chaneabal. Sólo se manifiesta en la formación del número 11, que se dice 9 + 2 (Barriga Puente, 1998: 69).

28Merecen señalarse algunas particularidades de otras lenguas aparte del náhuatl. El zapoteco, perteneciente a la familia otomangue y hablado en el estado de Oaxaca, era una de las raras lenguas de América que recurría a la productividad mediante resta, al momento de la conquista, de acuerdo con la gramática de Córdova (1987) redactada en el siglo xvi. Así, 17 se decía 20 menos 3.

29Y como el zapoteco poseía una sub-base 5, para decir 36 enunciaba 41 menos 5:

30Las lenguas mayas figuran entre las raras lenguas del mundo que forman un número por medio de una operación orientada hacia un límite situado en el futuro, operación que ha sido llamada protraction por Hagège ( [1982], 2007: 93) y going on operation por Greenberg (1987). Por tanto, sus sistemas de numeración pueden llamarse sistemas protractivos. Un ejemplo de tales sistemas se encuentra en el tzotzil, lengua contemporánea del estado de Chiapas donde el número 25 se expresa como 5, 40, porque en el camino que, a partir del 20, conduce al 40 se ha contado cinco cuando se llega a este número.

31La existencia de sistemas protractivos muestra que la base no sólo sirve para formar números compuestos sino que brinda el principio de organización de los ciclos. La base puede constituir el punto de partida de la cuenta en los sistemas de productividad mediante suma; constituye el punto de llegada en los sistemas prospectivos que recurren a una productividad mediante resta. Se considera que los sistemas protractivos forman parte de sistemas prospectivos que enfocan su atención en el número que viene (Barriga Puente, 1998: 94).

32Los sistemas protractivos son relativamente raros en América; se concentran en la mitad inferior de Mesoamérica —península de Yucatán, estados de Oaxaca y Chiapas, parte de Guatemala—. Como se ha visto, el náhuatl no es un sistema protractivo porque organiza una productividad mediante suma y multiplicación a partir del punto de partida formado por la base.

Sistema de numeración y visión del mundo

33Los sistemas de numeración constituyen verdaderos ejercicios de aritmética que generalizan el manejo de las operaciones a toda una población, independientemente del campo de utilización de los números —comercio, tributos, ritual o medidas del tiempo—. Cabe preguntarse si estos sistemas guardan alguna relación con la visión del mundo.

34Precisamente, este tema ha sido abordado por Jadran Mimica (1988), un investigador australiano que realizó un trabajo de campo entre los iqwaye —una población papú de Nueva Guinea— entre 1977 y 1983. Su obra se esfuerza por relacionar el sistema numérico con la cosmovisión presente en el mito de origen del universo. Entre los iqwaye el cuerpo y los dedos constituyen los primeros objetos-números (number objects), y brindan un auténtico instrumento para transformar cosas concretas en series abstractas de relaciones numéricas. Los iqwaye cuentan con los dedos de la siguiente manera:

351, 2, 2 + 1, 2 + 2, mano (5)

365 + 1, 5 + 2, 5 + 2 + 1, 5 + 2 + 2, 2 manos (10)

3710 + 1, 10 + 2, 10 + 2 + 1, 10 + 2 + 2, 2 manos y 1 pie (15)

3810 + 5 + 1, 10 + 5 + 2, 10 + 5 + 2 + 1, 10 + 5 + 2 + 2, 2 manos y 2 pies o 1 persona (20)

39Con tan sólo dos numerales (1 y 2) y los términos que designan la mano y el pie, los iqwaye forman subconjuntos —1 mano, 2 manos, 2 manos y 1 pie, 2 manos y 2 pies— que desembocan en la representación del cuerpo humano y del número 20. Y una vez allí, se puede volver a contar con los dedos, otorgando a cada dedo el valor 20. Los 20 dedos permiten así llegar al 400, y así sucesivamente.

40Lo interesante de este caso radica en que muestra cómo es posible pasar de un sistema binario de dos numerales (1 y 2) a un sistema vigesimal (en base 20) con sub-bases (5, 10, 15), ya que el sistema iqwaye contiene estos dos sistemas.

41Pero lo que busca realmente Mimica es establecer una relación directa entre esta manera de contar y el mito de origen de los iqwaye (Ibidem: 75). En un principio, el cielo y la tierra estaban unidos. El primer hombre y creador del cosmos, Omalyce, estaba representado por un cuerpo encerrado en sí mismo, con el pene o cordón umbilical en la boca; cuando Omalyce cortó el cordón umbilical, el cielo y la tierra se separaron, sus ojos se volvieron luceros, sol y luna, y al vomitar creó todas las cosas.

42Por consiguiente, el punto de partida es un hombre replegado en sí mismo cuyo cuerpo es simultáneamente el cosmos, una totalidad, una extensión homogénea; este ser total es también un no ser que cobrará vida mediante diferenciación y multiplicación: cada una de sus manos produce cinco dedos, como un genitor crea a sus hijos. Para Mimica, la numeración iqwaye es una construcción mitológica. En otros términos, existiría entre los iqwaye una homología entre el sistema numérico y el sistema mítico que nombra mythopoeia. El locutor iqwaye puede generar series de números enteros de manera indefinida (un dedo = 20, por consiguiente 1 cuerpo = 400; 1 dedo = 400, por consiguiente 1 cuerpo = 8 000, etcétera), del mismo modo que Omalyce crea el universo. En el cuerpo humano se encuentra lo infinito y la totalidad del cosmos. Por ello, la parte siguiente del libro de Mimica trata de la teoría de conjuntos de Cantor, en particular la noción de infinito y de números transfinitos que, según él, han sido descubiertos por los iqwaye.

43Esta investigación no deja de guardar cierta relación con el material mesoamericano, fundamentado en la base 20, que suele completarse con las sub-bases 5, 10 y 15. En náhuatl, el 5 y el 10 se refieren explícitamente a la raíz mano. En ciertas lenguas mayas la palabra veinte designa al hombre. La cuenta vigesimal llega evidentemente a 400 y 8000. De lo que se trata, por consiguiente, es de contar por grupos —la mano, el pie—, es decir, por conjuntos y subconjuntos: en ello, la lógica subyacente es la misma en Mesoamérica que entre los iqwaye.

44La obra de Mimica es digna del mayor interés, sobre todo si se toma en cuenta que es la única, hasta donde tengo conocimiento, que plantea la relación entre un sistema de numeración y la teoría de conjuntos. Sin embargo, da pie a dos críticas. En primer lugar, el autor pasa directamente del sistema de los numerales —obtenido de un informante— al mito de la creación —recopilado en las mismas condiciones—, pasando por alto los usos sociales del número. Para tener plena certeza de que los números se usan de determinada manera en una sociedad dada, no es posible conformarse con consignar el sistema de numeración; el análisis debe necesariamente tener en consideración el uso de los números en los distintos ámbitos sociales. Por otra parte, Mimica considera que desde el momento en que los iqwaye utilizan los conjuntos llegan a las mismas conclusiones que Cantor, en particular al descubrimiento del infinito. Esta aserción ha recibido críticas por parte de matemáticos que asumen que la teoría de los conjuntos de Cantor parte del descubrimiento del infinito y no puede ser comparada con la concepción común de los conjuntos.

45Como quiera que sea, es indudable que la cuestión de los conjuntos reviste particular importancia en Mesoamérica, como se verá en el capítulo siguiente, dedicado a las modalidades del recuento en la lengua y la escritura.