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Les principes métaphysiques

 | 
Alexandre Declos
, 
Jean-Baptiste Guillon

III. Études de cas : les principes in situ

Plénitude, recombinaison et paradoxe

Pierre Saint-Germier

Texte intégral

1. Introduction

  • 1 Le terme de « principe de plénitude » a été popularisé par l’historien des idées Arthur Lovejoy dan (...)

1La métaphysique des modalités, qui s’occupe de la nature de la possibilité et de la nécessité, est un domaine florissant de la métaphysique contemporaine. On y discute, entre autres choses, de certains principes métaphysiques qui gouvernent spécifiquement le domaine de la modalité, parmi lesquels figure le principe de plénitude dont il sera question ici. Une métaphysique des modalités a pour but, au moins en partie, d’identifier ce qui rend vrais les énoncés qui font intervenir des expressions modales telles que « il est possible que » ou « il est nécessaire que ». Une approche désormais classique consiste à faire référence à des mondes possibles pour expliquer les notions de possibilité et de nécessité, et c’est dans ce cadre que nous situerons la discussion. Une fois identifié ce en vertu de quoi ces énoncés sont vrais, un principe de plénitude affirmera alors que les choses qui rendent vrais les énoncés modaux doivent être en nombre suffisant pour rendre compte de la vérité de tous les énoncés modaux. Ainsi, du point de vue d’une théorie des mondes possibles, le principe de plénitude a pour fonction de garantir qu’il y a suffisamment de mondes possibles pour rendre vrais tous les énoncés modaux qui le sont1.

2Ce principe de plénitude soulève au moins deux questions. Une première question concerne la formulation du principe. Comment conceptualiser ce qui est censé expliquer que toute possibilité trouvera un monde possible pour l’expliquer ? Il nous faut trouver une manière de formuler une condition que l’espace des mondes possibles doit satisfaire pour pouvoir répondre à l’exigence de plénitude. L’idée de recombinaison a pu paraître ici prometteuse : intuitivement, il suffit que, pour toute pluralité d’entités arbitrairement prises dans l’espace de tous les mondes possibles, et pour toute manière de les recombiner, il existe un monde possible dans lequel cette pluralité existe selon cette combinaison. La première question consiste ainsi à se demander si l’idée de recombinaison fournit une bonne base pour formuler un principe de plénitude dans le cadre d’une théorie des mondes possibles.

3La seconde question concerne la cohérence du principe de plénitude. Il s’avère que la formulation naïve d’un principe de plénitude, associée à des hypothèses d’arrière-plan apparemment plausibles, peut facilement conduire à des paradoxes qui ne sont pas sans rappeler certains paradoxes bien connus de la théorie naïve des ensembles (Uzquiano 2015a). En particulier, il a été montré qu’un principe de plénitude formulé en termes de recombinaison conduit à une contradiction lorsqu’il est combiné à l’hypothèse, apparemment innocente, que l’on peut réunir au sein d’un ensemble tous les objets possibles (Nolan 1996). Fritz (2017) a montré récemment qu’un principe de plénitude formulé en termes de recombinaison conduit à lui seul à des contradictions, indépendamment de toute considération de type ensembliste. Ainsi, se pose la question de savoir comment formuler un principe de plénitude qui soit en lui-même cohérent, et cohérent avec des propositions indépendamment plausibles, tirées de notre métaphysique des modalités ou de notre métaphysique tout court.

4Les deux questions sont bien évidemment liées. S’il s’avère qu’il est impossible de formuler un principe de recombinaison qui ne génère des paradoxes insolubles, alors il devient clair que l’idée de recombinaison ne saurait convenir à la formulation d’un principe de plénitude. C’est une des conclusions possibles que l’on peut tirer des travaux récents sur les paradoxes de la recombinaison, en particulier de (Fritz 2017) et c’est de l’acceptabilité de cette conclusion que nous voudrions discuter ici. Nous commencerons par présenter la théorie des mondes possibles et l’idée de définir le principe de plénitude en termes de recombinaison (§ 2), avant de présenter le paradoxe « impur » de Nolan, qui dérive une contradiction du principe de recombinaison, lorsqu’il est associé à des hypothèses ensemblistes au sujet du domaine des possibilia (§ 3), et le paradoxe « pur » de Fritz, qui menace plus directement l’idée de recombinaison en l’absence de prémisses ensemblistes (§ 4). Nous proposons ensuite une formulation du principe de recombinaison qui évite les deux paradoxes, et défendons ainsi la cohérence de la notion de recombinaison (§ 5). Nous confrontons ensuite cette résolution des paradoxes à des objections possibles (§ 6), avant de développer des conséquences portant sur la thèse de l’actualisme au sujet des possibilia (§ 7).

2. Modalité, plénitude et recombinaison

5Certaines choses qui ne sont pas vraies auraient pu l’être – au moins en principe, c’est-à-dire tant qu’elles ne violent aucune nécessité métaphysique. Emmanuel Macron, par exemple, aurait pu être le premier président trotskiste de la République française, s’il avait été une taupe trotskiste qui aurait réussi à se faire élire en séduisant le capital, pour mieux ensuite le détruire de l’intérieur une fois arrivé au sommet du pouvoir. Certaines choses sont vraies qui n’auraient pu être fausses. Il est nécessaire à Emmanuel Macron d’être un être humain. Dans tous les mondes possibles où Emmanuel Macron existe, il est un être humain, et s’il existe un monde possible dans lequel une marionnette humanoïde ressemblant à s’y méprendre à Emmanuel Macron, et savamment programmée par l’âme de Margaret Thatcher, parvient à gagner l’élection présidentielle de 2017, c’est un monde qui n’est qu’improprement décrit comme un monde dans lequel Emmanuel Macron devient président de la République. Une théorie philosophique de la possibilité et de la nécessité a pour but d’expliquer ce qui est requis pour que des choses fausses soient néanmoins possibles, et pour que des choses vraies ne puissent être fausses. Une approche désormais classique consiste à faire référence à des mondes possibles pour expliquer les notions de possibilité et de nécessité. Ce qui fait que Macron aurait pu être un président trotskiste, c’est qu’il existe un monde possible dans lequel il est une taupe trotskyste. Ce qui fait qu’il est nécessairement humain, c’est qu’il n’est aucun monde possible où, trotskiste ou pas, Macron ne soit humain.

6Toutes les théories des mondes possibles admettent ainsi le principe suivant :

(MP1) Pour tout p, il est possible que p si et seulement s’il existe un monde possible w tel que p est vrai dans w,

ainsi que le principe dual selon lequel

(MP2) Pour tout p, il est nécessaire que p si et seulement si p est vrai dans tous les mondes possibles.

7Étant entendu que le monde réel est a fortiori un monde possible, ces principes permettent de rendre compte de façon très élégante de la validité d’inférences modales telles que :

1. s’il est nécessaire que p, alors p

2. si p, alors il est possible que p

3. s’il est nécessaire que p, alors il est possible que p.

  • 2 Le développement de la théorie des mondes possibles en métaphysique peut être vu comme une suite na (...)

Ce pouvoir explicatif de la théorie des mondes possibles est un argument central en faveur de son adoption2.

  • 3 Cette approche est généralement associée à une théorie indexicale de l’actualité, selon laquelle l’ (...)

8Les théories des mondes possibles se distinguent cependant par ce qu’elles affirment au sujet de la nature de ces mondes possibles. Pour certains théoriciens, ce sont des entités abstraites, par exemple des états de choses (Plantinga 1974), des ensembles de propositions (Adams 1974) ou des propriétés (Stalnaker 1976). Pour d’autres, les mondes possibles sont des entités concrètes, aussi concrètes que le monde réel (Lewis 1986)3. Chaque option théorique présente ses avantages et ses difficultés propres. Il ne s’agit pas ici de choisir entre l’une ou l’autre de ces versions, mais il est important de garder à l’esprit que la théorie des mondes possibles admet ces différentes déclinaisons, certaines de ces différences n’étant pas sans conséquences pour le principe de plénitude.

9Se donner un domaine de mondes possibles, et en préciser la nature, est peut-être une étape nécessaire pour parvenir à une explication des concepts de nécessité et de possibilité, mais ne saurait à soi seul suffire. À supposer qu’il existe un ensemble de mondes possibles, selon telle ou telle théorie des mondes possibles, encore faut-il qu’il ne contienne ni trop, ni trop peu de mondes possibles. Une théorie des mondes possibles serait incorrecte si elle s’avérait compatible avec l’existence d’un monde possible dans lequel p est vrai alors qu’il n’est manifestement pas possible que p, pour un certain énoncé p au moins – par exemple si une théorie des mondes possibles admettait l’existence d’un monde possible, par exemple, où Macron serait et ne serait pas humain. Elle sur-génèrerait alors de fausses possibilités. Inversement, une théorie des mondes possibles qui s’avérerait compatible avec l’absence de tout monde possible dans lequel p est vrai, alors qu’il est manifestement possible que p, pour un certain énoncé p, sous-générerait des possibilités authentiques, et serait par conséquent incomplète. Ainsi, il ne suffit pas de poser l’existence d’un ensemble de mondes possibles pour expliquer ce qui est possible et ce qui est nécessaire. Encore faut-il que cet ensemble ait suffisamment d’éléments pour expliquer toutes les possibilités. Telle est l’exigence de plénitude qui nécessite un principe supplémentaire, distinct de (MP1) et (MP2).

  • 4 Voir la note 3 ci-dessus.
  • 5 Je possède exactement 4 livres de philosophie de la musique. Pour chacun de ces livres, j’aurais pu (...)
  • 6 Armstrong (1989) a, par exemple, repris le principe de plénitude proposé par Lewis (1986) dans le c (...)

10Cette exigence se fait plus ou moins pressante suivant la version de la théorie des mondes possibles considérée, et suivant certaines hypothèses d’arrière-plan que l’on veut bien admettre. Par exemple, il semble plausible de supposer que le domaine des propositions est clos sous les opérations de conjonction, de disjonction, de négation et d’implication, de sorte que si p est une proposition, alors il existe une autre proposition ~p qui est la négation de p, et si q est une proposition, alors nous avons aussi les propositions p ⋀ q, p ⋁ q et p → q qui sont respectivement la conjonction de p et q, la disjonction de p et q et l’implication de p à q. Si l’on suppose, en outre, qu’il y a au moins autant de propositions qu’il y a de phrases déclaratives exprimables dans une langue naturelle présente ou passée, alors le domaine des propositions se présente d’emblée comme relativement « plein ». En revanche, lorsqu’on travaille à partir d’un domaine d’états de choses ou de propriétés, la plénitude de ce domaine n’a rien d’évident, du moins sans un certain nombre d’hypothèses supplémentaires substantielles au sujet de ce que sont les états de choses et les propriétés. Pour satisfaire à l’exigence de plénitude, il faut supposer que les états de choses ou les propriétés sont clos sous des opérations analogues à celles de conjonction, disjonction, négation et implication. Or il n’est pas immédiatement évident, en l’absence d’une théorisation plus avancée des états de choses et des propriétés, que pour tout état de choses e, il existe un état de choses ~e correspondant à la négation de e, ou pour toute propriété P, une propriété ~P correspondant à la négation de P. La situation est peut-être encore plus délicate pour le théoricien des mondes possibles qui conçoit les mondes possibles comme des entités concrètes. De ce point de vue, tel qu’il a été élaboré et défendu par Lewis (1986), ce qui unifie un monde possible, c’est un tissu de relations spatio-temporelles : deux objets appartiennent au même monde possible si et seulement si ils sont reliées par une relation spatio-temporelle (ou une relation analogue pour les mondes possibles qui possèdent un espace-temps différent de celui du monde réel, ou éventuellement pas d’espace-temps du tout). Deux entités appartenant à deux mondes possibles distincts n’ont ainsi aucune relation spatio-temporelle (ou aucune relation analogue à une relation spatio-temporelle). En d’autres termes, les mondes possibles existent tous, et sont spatio-temporellement isolés les uns des autres. Ce qui distingue le monde réel est simplement le fait que c’est celui où nous sommes, conformément à la théorie indexicale de l’actualité4. Alors, on peut légitimement demander ce qui nous oblige à exclure l’hypothèse selon laquelle il n’y aurait que quinze mondes possibles, pas un de plus, pas un de moins. Il semble n’y avoir aucune raison particulière, fondée sur la nature des mondes possibles tels que les conçoit la théorie, de penser que le domaine des mondes possibles ne possède que quinze membres. Or un tel domaine serait manifestement incapable de satisfaire l’exigence de plénitude5. Par conséquent, Lewis doit introduire un principe de plénitude indépendant, qui vient s’ajouter à (MP1) et (MP2). Notons que même si d’autres théories des mondes possibles n’ont pas forcément besoin d’ajouter un principe de plénitude totalement indépendant de la nature des mondes possibles, il est utile de se focaliser sur le principe indépendant dont a besoin Lewis dans la mesure où il permet de donner, par la même occasion, un principe de plénitude aussi général que possible, qui ne repose pas sur une hypothèse particulière au sujet des mondes possibles6.

11Comment formuler précisément ce principe de plénitude ? Une suggestion à première vue raisonnable pourrait ressembler à ceci :

(PP0) Absolument tout cours que pourrait prendre le monde réel est un cours que prend un monde possible.

12Le problème est que, si l’on accepte la théorie des mondes possibles, alors un cours possible du monde réel est quelque chose comme une propriété maximale, c’est-à-dire instanciable seulement par un monde possible en totalité. Et alors (PP0) affirme simplement que pour toute propriété maximale, il existe un monde possible qui l’instancie. Nous obtenons alors un principe tautologique, dénué de contenu et donc inutile. Pour fournir un contenu à un principe de plénitude, il faut faire appel à un concept indépendant de la notion de monde possible. L’idée de recombinaison semble à ce titre être un candidat prometteur :

  • 7 Pour toute pluralité d’objets P, on note |P| le nombre d’objets contenus dans P.

(PPR) Pour toute pluralité d’objets possibles P, et toute manière R de recombiner |P| objets, il existe un monde possible dans lequel existent tous les membres de P dans l’arrangement R7.

13Intuitivement, l’idée est que si l’on prend au hasard plusieurs objets distincts dans plusieurs mondes possibles distincts, alors pour toute manière de les combiner, on doit toujours pouvoir trouver un monde possible dans lequel des copies exactes de ces objets sont ainsi recombinées. Si notre ensemble de mondes possibles satisfait ce principe, on peut avoir confiance dans le fait que nous avons suffisamment de mondes possibles pour rendre compte de toutes les possibilités. Essayons d’imaginer un domaine de mondes possibles dans lequel Pierre et Paul n’existent toujours que dans des mondes possibles séparés, mais jamais au sein du même monde. Un tel domaine serait manifestement incomplet : l’absence d’un monde possible où Pierre et Paul seraient réunis semble constituer une lacune arbitraire, et métaphysiquement injustifiée. Or l’existence de toute lacune de ce genre est exclue par le principe (PPR). L’idée de recombinaison semble ainsi nous offrir une manière de formuler un principe de plénitude à la fois non-tautologique et correct.

3. Le paradoxe de Nolan

  • 8 Voir Cook (2013), chapitre 4.
  • 9 Avant Nolan, Forrest et Armstrong (1984) ont proposé un argument similaire, mais qui n’est pas tota (...)

14Il a été remarqué cependant que le principe de recombinaison (PPR) est à la source de paradoxes (Uzquiano 2015a), qui ne sont pas sans rappeler le paradoxe de Cantor en théorie des ensembles8. De fait, les premiers paradoxes à avoir été dérivés du principe de recombinaison, comme le paradoxe de Nolan (1996), faisaient référence à des prémisses tirées de la théorie des ensembles9. Plus précisément, le paradoxe de Nolan consiste dans la dérivation d’une contradiction à partir d’une conséquence de (PPR), de la théorie des ensembles, et des hypothèses selon lesquelles :

(EP) il existe un ensemble de tous les objets possibles,

et

(EPNV) il existe au moins un objet possible.

  • 10 Voir par exemple Jech (2003), et en particulier le chapitre 3 consacré aux cardinaux.
  • 11 Cette théorie impure des ensembles peut être axiomatisée par le système ZFA, augmenté de l’axiome d (...)

15Le recours à la théorie des ensembles peut être motivé par le fait qu’on peut présumer l’ensemble des objets possibles infini. La théorie des ensembles étant la meilleure théorie dont nous disposons pour raisonner sur des collections infinies, et en particulier sur des nombres cardinaux infinis qui permettent de mesurer la taille des collections infinies, il semble naturel de la convoquer ici10. Il faut ajouter que la théorie des ensembles dont nous avons besoin ici doit être impure, à la différence de la théorie de Zermelo-Fraenkel augmentée de l’axiome du choix (ZFC), utilisée habituellement par les logiciens et les mathématiciens, en ce qu’elle admet dans son ontologie à la fois des ensembles et des « ur-éléments », c’est-à-dire des objets qui ne sont pas des ensembles mais peuvent entrer dans des ensembles à titre d’éléments11.

  • 12 Comme souvent lorsqu’on raisonne sur l’infini, il convient de se méfier de nos intuitions. Deux ens (...)
  • 13 Voir Jech (2003, p. 27) pour un énoncé et une démonstration du théorème de Cantor.

16La théorie des ensembles associe à tout ensemble E, qu’il soit fini ou fini, une cardinalité |E|, correspondant intuitivement à sa « taille », mesurée par un nombre cardinal K12. Elle implique, en outre, que pour tout nombre cardinal K, il existe un nombre cardinal K’ tel que K < K’. Par exemple, en vertu du théorème de Cantor13, pour tout cardinal K, K < 2K.

17Nolan ne dérive pas directement son paradoxe du principe de recombinaison, tel que nous l’avons formulé, mais d’une formulation alternative qui est en une conséquence :

  • 14 Comme le souligne Nolan (1996, p. 245), la qualification « au moins » (plutôt que « exactement ») e (...)

(PPR-K) Pour toute pluralité d’objets possibles P, il existe un monde possible dans lequel existent au moins K copies exactes de P, pour tout nombre cardinal K14.

  • 15 Dans le cas où K est un cardinal limite, c’est-à-dire qui n’est le successeur d’aucun cardinal infé (...)

18Il est facile de voir que (PPR) nous donne le cas où K=1. Il suffit alors d’appliquer à nouveau (PPR) à la pluralité constituée par la pluralité départ augmentée de la copie exacte ainsi obtenue, pour obtenir l’instance de (PPR-K) pour K=2. Plus généralement, on voit qu’en réitérant le processus, on peut construire K copies exactes de la pluralité de départ, pour tout nombre cardinal K15.

19Nous sommes à présent en position de dériver une contradiction à partir de la conjonction du principe de recombinaison (PPR-K), de l’hypothèse (EP) selon laquelle il existe un ensemble de possibilia, et de l’hypothèse non moins évidente (EPNV) selon laquelle cet ensemble n’est pas vide.

1. Soit P l’ensemble de tous les possibilia (par EP)

2. Soit o un élément quelconque de P (par EPNV)

3. |P|=k, pour un certain nombre cardinal k (par la théorie des ensembles)

4. Il existe un monde possible w contenant au moins 2kcopies exactes de o (par 1,2 et PPR-K, pour K=2k)

5. |P| ≥ 2k (par 1 et 4)

6. |P| < 2k (par 3 et le théorème de Cantor)

7. Contradiction (par 5 et 6)

20Nous devons par conséquent renoncer au moins à l’une des hypothèses dont nous sommes partis. Il semblerait extravagant de rejeter la théorie des ensembles sur la base d’une difficulté rencontrée dans l’une de ses applications, qui plus est lorsque son application concerne un domaine aussi controversé que la métaphysique des modalités. L’hypothèse (EPNV) semble également difficile à remettre en cause, à moins d’embrasser un nihilisme non moins extravagant, selon lequel rien n’existe. Restent donc (PPR) et (EP). Auquel des deux faut-il renoncer ?

21Une première option consiste à restreindre le principe de recombinaison. C’est par exemple ce que préconisait Lewis dans Plurality, en partie pour se prémunir contre ce genre de paradoxes ensemblistes :

La seule limite qui pèse sur la possibilité de remplir un monde de copies exactes d’individus possibles est que les parties d’un monde respectent la taille et la forme d’un espace-temps possible (Lewis 1986, p. 89, nous traduisons).

22La partie de cette restriction portant sur la taille d’un espace-temps possible implique qu’il doit y avoir une limite au nombre d’objets que peut accueillir un monde possible. Lewis ne s’engage pas en faveur d’une limite précise, mais soutient seulement qu’il doit exister une telle limite.

  • 16 Pour une élaboration de la notion de généralisation naturelle dans le cadre d’une discussion des pr (...)

23Une difficulté immédiate, pour cette position, est que toute désignation d’une limite pourra sembler irrémédiablement arbitraire, du moins tant que l’on dispose d’une généralisation mathématique naturelle de la forme et de la taille de l’espace-temps considéré16. Il semblerait complètement ad hoc, et totalement contraire à l’esprit du principe de plénitude, de soutenir qu’aucun monde ne peut avoir un espace-temps de plus de dix-sept dimensions. Pourquoi pas dix-huit ? Pourquoi pas dix-neuf ?

24Du point de vue de Lewis, on répondra qu’il peut y avoir des points d’arrêts plus ou moins naturels au sein d’une progression mathématique. Par exemple, soutenir que seuls sont possibles des espaces-temps de dimensions finie semble définir une limite plus naturelle que de s’arrêter à un espace-temps de dix-sept dimensions. Même en admettant que certains points d’arrêts sont plus naturels que d’autres, il semble toujours contraire au principe de plénitude de devoir s’arrêter lorsqu’au moins une généralisation naturelle existe, du moins en l’absence d’arguments d’impossibilité indépendants. Pourquoi ne pourrait-il pas y avoir d’espace-temps ayant une infinité dénombrable de dimensions ? Pourquoi pas une infinité indénombrable ? La théorie des nombres cardinaux fournit une progression qui s’étend indéfiniment, sans qu’un unique point d’arrêt naturel ne semble s’imposer. Pour défendre la restriction, il faut soutenir qu’il doit y avoir une raison à s’arrêter là plutôt qu’ailleurs, bien qu’en l’état de nos connaissances nous ne puissions la saisir complètement. Il est difficile, cependant, de concevoir le genre de raison que cela pourrait constituer. Cela ne peut pas être une raison strictement mathématique, puisque la progression continue indéfiniment. Il pourrait alors s’agir d’une raison conceptuelle, fondée sur une analyse du concept d’espace-temps qui invaliderait certaines généralisations mathématiquement naturelles, comme n’ayant pas de sens pour décrire un espace-temps. En d’autres termes, il y aurait des limites imposées par le concept d’espace-temps sur la classe des structures mathématiques que l’on peut mobiliser pour caractériser sa forme et sa taille. Il semble difficile, cependant, de supposer que de telles limites puissent être prescrites a priori, sur la base de la seule analyse du concept d’espace-temps. Or si l’on en croit les développements de la physique moderne, ce sont des arguments empiriques qui nous ont poussés à reconsidérer nos conceptions de l’espace-temps. L’analyse conceptuelle a priori semble être d’un secours extrêmement limité dans ce contexte. Comme l’a souligné Nolan (1996), restreindre le principe de recombinaison revient en outre à admettre que la taille de tout espace-temps est nécessairement inférieure à une certaine cardinalité. Si c’est le cas, nous avons affaire à une forme de nécessité nouvelle et relativement étrange, dont l’admission, au fond, ne semble motivée que par le désir de bloquer la dérivation d’un paradoxe.

  • 17 C’est la position que Lewis, convaincu par les arguments de Nolan (1996), a fini par adopter. Voir (...)

25La solution alternative consiste alors à renoncer tout simplement à l’idée que la pluralité des possibilia forme un ensemble17. Il n’est plus nécessaire de restreindre le principe de recombinaison, mais il convient toutefois d’expliquer pourquoi on ne peut pas faire rentrer tous les possibilia au sein d’un ensemble. Si l’on répond que c’est la seule manière d’éviter la contradiction, alors la solution reste ad hoc. Dans le cas parallèle de la théorie des ensembles, le rejet d’un ensemble de tous les ensembles peut s’expliquer de différentes manières. Une première explication se fonde sur la conception itérative des ensembles, selon laquelle

un ensemble est quelque chose que l’on peut obtenir à partir des entiers (ou de tout autre pluralité d’objets bien définis) en itérant l’application de l’opération ‘ensemble de’, et non quelque chose que l’on obtient en divisant la totalité des choses existantes en deux catégories (Gödel 1983, p. 475).

  • 18 Pour une présentation détaillée de cette conception et de sa relation avec les axiomes de ZFC, voir (...)
  • 19 Certes, nous avons montré que l’on peut réitérer (PPR) pour générer toujours plus de possibilia, ma (...)

26C’est justement la conception qui est axiomatisée par la théorie ZFC18. On comprend alors facilement pourquoi il ne peut pas y avoir d’ensemble de tous les ensembles : supposons qu’il y ait un ensemble de tous les ensembles V. En vertu de la conception itérative, tous les ensembles, y compris V, sont obtenus par itération de l’opération « ensemble de » à partir d’un ensemble premier d’ur-éléments. Or, toujours par la conception itérative, on peut alors, par une nouvelle itération de l’opération « ensemble de », former un nouvel ensemble {V} qui ne sera pas, par hypothèse, contenu dans V. Cette explication se transfère mal au cas des possibilia, dans la mesure où les possibilia ne se prêtent pas aussi naturellement à une conception itérative19. En outre la conception itérative des ensembles repose sur l’idée qu’il existe un ensemble initial d’ur-éléments. Si les possibilia sont censés jouer le rôle d’ur-éléments, l’idée que les possibilia forment une classe propre s’avère même incompatible avec la conception itérative des ensembles.

  • 20 Voir Hallett (1984) pour une étude du développement de cette conception et de ses fondements.
  • 21 Le principe (PCP) est une conséquence de l’idée selon laquelle une proposition n’est rien d’autre q (...)

27Une seconde explication consiste à dire que les ensembles obéissent à un principe de limitation de taille : au-delà d’une certaine taille, les pluralités ne peuvent plus former un ensemble. En d’autres termes, il y a trop d’ensembles pour qu’il puisse y avoir un ensemble de tous les ensembles, ou encore il y a trop d’ordinaux pour que l’on puisse former un ensemble de tous les ordinaux. Cette idée remonte à Cantor et a été exploitée par Von Neumann (1925, 1928) pour proposer un système axiomatique alternatif à ZFC permettant de raisonner à la fois sur des ensembles et des classes, où les classes sont des collections qui ne sont pas soumises au principe de limitation de taille, et ne peuvent pas elles-mêmes entrer dans un ensemble à titre d’élément20. Cette explication se transfère mieux au cas des possibilia, mais soulève de nouvelles difficultés lorsqu’elle est combinée à des principes associés à la doctrine de la limitation de taille. En particulier, selon l’interprétation influente de cette doctrine qu’a donnée Von Neumann, toutes les classes propres, c’est-à-dire toutes les classes trop grandes pour être des ensembles, ont la même taille que la classe des ordinaux. Il s’ensuit que toutes les classes propres ont la même taille. La classe propre des possibilia a la même taille que la classe propre des ensembles et que la classe propre des ordinaux. Comme l’a montré Uzquiano (2015b), des difficultés surviennent lorsqu’on tient compte de certains principes de compréhension modaux qui semblent raisonnables pour des raisons indépendantes21. Par exemple, à l’aide d’un principe de compréhension propositionnel suivant :

(PCP) ∃p □(Tp ↔ A) (où A ne contient aucune variable propositionnelle)

  • 22 Voir Uzquiano (2015b) pour les détails de l’argument. Voir également Hawthorne et Uzquiano (2011) p (...)

et selon lequel, pour tout énoncé A, il existe une proposition p telle que nécessairement, p est vraie si et seulement si A, on obtient le résultat qu’il y a plus de propositions qu’il n’y a de possibilia, ce qui est impossible d’après la doctrine de la limitation de taille22.

28Le paradoxe de Nolan nous laisse ainsi dans une situation relativement inconfortable. Avec la doctrine selon laquelle les possibilia forment une classe propre, nous avons une solution ensembliste techniquement adéquate, mais qu’il semble difficile de justifier philosophiquement à partir des fondements de la théorie des ensembles. Une manière de ne pas prendre trop au sérieux ces difficultés consiste à faire remarquer qu’elles proviennent de l’application immédiate de la théorie des ensembles à un domaine pour lequel elle n’était pas initialement conçue, à savoir celui des possibilia. Il n’est peut-être pas très surprenant que la conception itérative des ensembles ou encore la doctrine de la limitation de taille, dont le but premier est de servir de fondement à la théorie mathématique des ensembles en la libérant des paradoxes qui l’ont un temps menacée, se marie mal au principe de recombinaison non restreint. Il est ainsi difficile, en raison de cette conjonction de philosophie des modalités et de mathématique de l’infini, de tirer du paradoxe de Nolan une leçon philosophique univoque au sujet du principe de recombinaison. La difficulté provient-elle du principe de recombinaison lui-même, de la théorie impure des ensembles, ou de leur combinaison ?

29La situation serait différente si l’on avait affaire à un paradoxe modal « pur » qui dérive une contradiction directement du principe de recombinaison non restreint, sans passer par la médiation de la théorie des ensembles. Dans ce cas, on pourrait tirer du paradoxe une leçon philosophique plus claire concernant la modalité elle-même.

4. Le paradoxe de Fritz

30Fritz (2017) a récemment mis en évidence un paradoxe de la recombinaison qui repose sur un raisonnement purement modal, sans qu’il ne soit nécessaire introduire de prémisses ou même de notions ensemblistes. Le paradoxe consiste à dériver du principe de recombinaison (PPR), et d’hypothèses d’arrière-plan manifestement inoffensives, deux propositions modales mutuellement incompatibles.

  • 23 Fritz préfère les anges, sans doute après avoir lu (Hawthorne et Uzquiano, 2011). Occupant des poin (...)
  • 24 En effet, si un grain de sable a dans un monde w était deux grains de sable distincts b et c dans w (...)

31Nous prendrons en exemple, pour exposer le paradoxe, des collections de grains de sable23. Les seules hypothèses modales qu’il faut admettre au départ sont, d’une part que les grains de sable sont possibles, et d’autre part qu’un grain de sable n’aurait pas pu être deux grains de sable. La première suit de l’existence, empiriquement attestée, de plages de sable dans le monde réel. La seconde est une conséquence du principe de la nécessité de l’identité24.

32Considérons tout d’abord un monde possible arbitraire w. Prenons dans w toutes les choses qui sont des grains de sable dans w. Alors (PPR), par l’intermédiaire de sa conséquence (PPR-K), nous autorise à poser l’existence d’un monde possible w’ dans lequel tous les grains de sable de w ont une copie exacte, et où il existe en outre un grain de sable supplémentaire.

33Il suffit pour cela d’appliquer une première fois (PPR-K) avec K=1 pour obtenir un monde possible w* dans lequel se trouve une copie exacte de chaque grain de sable w. On considère alors la pluralité formée par tous les grains de sable de w et un grain de sable arbitrairement choisi dans w*. (PPR-K), toujours avec K=1, appliqué à cette pluralité, nous donne alors le monde possible w’ contenant tous les grains de sable de w, plus un grain de sable supplémentaire.

34Du point de vue de w, on peut décrire cette situation à l’aide d’une proposition purement modale :

(D0) Il est possible que tous les grains de sable actuellement existant existent accompagnés d’un grain de sable qui n’existe pas actuellement.

35On note, avec Fritz, que cette proposition ne fait appel qu’à des opérateurs modaux et n’emploie aucun vocabulaire ensembliste. Elle peut être formalisée dans un langage modal quantifié, où le prédicat « G » symbolise la propriété d’être un grain de sable, moyennant l’addition d’un opérateur d’actualité A, que l’on peut lire : « il est vrai dans le monde réel que ». L’énoncé (D0) peut alors être formalisé comme suit :

(D0-F) ◊(x (A Gx → Gx) ∃y (Gy  A Gy))

36Le monde w ayant été choisi arbitrairement, nous pouvons en déduire la proposition suivante :

(D1) Nécessairement, il est possible que tous les grains de sable existants existent accompagnés d’un grain de sable supplémentaire.

  • 25 Voir Correia (2007) pour une étude de ces opérateurs.

37En langue naturelle, cet énoncé est certes ambigu. Contrairement à (D0), l’ajout d’un opérateur d’actualité n’est pas suffisant pour résoudre l’ambiguïté, de sorte qu’il faut un langage modal plus expressif pour formaliser (D1) de façon adéquate. Fritz montre comment le faire en utilisant des opérateurs de Vlach « ↑» et « ↓i ». Intuitivement, une occurrence de « ↑» enregistre la valeur du monde possible w considéré à cette occurrence, et alors l’opérateur « ↓i » rappelle ce monde possible, et devient équivalent à « dans le monde possible w ». Les opérateurs de Vlach permettent ainsi de faire référence à des mondes simplement possibles là où l’opérateur d’actualité ne peut faire référence qu’au monde réel25. Munis de ces opérateurs, nous pouvons exprimer (D1) sans ambiguïté comme suit :

  • 26 Intuitivement, cette formule affirme que pour tout monde possible w, il existe un monde possible w’(...)

(D1-F) □ ↑1 ◊ (↑2 ∀x (↓1 Gx → ↓2 Gx)  ∃y (Gy ∧ ↓1 ~Gy))26.

Nous tenons ainsi avec (D1), selon la lecture précisée par (D1-F), le premier membre de notre dyade paradoxale.

38La seconde proposition modale découle de l’application de (PPR) à la totalité de tous les grains de sable possibles. La totalité des grains de sable forme une pluralité dont, par (PPR), une copie exacte trouve une place dans un monde possible. On peut exprimer cela en langage modal par la proposition suivante :

(D2) Il est possible que tous les grains de sable possibles soient des grains de sable.

39Là encore, la formulation en français reste ambiguë, mais les opérateurs de Vlach permettent une nouvelle fois d’identifier la lecture pertinente :

  • 27 Intuitivement, cette formule dit qu’il existe un monde possible dans lequel tout ce qui est un grai (...)

(D2-F) ◊ ↑1 □ ∀x (Gx  1 Gx)27

40Nous avons avec (D2), dont l’interprétation pertinente est donnée par (D2-F), le second membre de notre dyade paradoxale. (D1) et (D2) sont manifestement des conséquences rigoureuses de (PPR). Or ces deux propositions modales sont logiquement incompatibles, ce qui peut se montrer par l’argument informel suivant :

1. Il existe un monde possible, w0, accueillant tous les grains de sable possibles (par D2).

2. Il existe un monde possible w1, contenant une copie exacte de tous les grains de sable de w0, accompagnée d’un grain de sable supplémentaire g. (par D1)

3. Les grains de sable de w0 sont tous les grains de sable possibles. (par 1)

4. Aucun grain de sable n’aurait pu être deux grains de sable (par la nécessité de l’identité)

5. Aucun grain de sable possible n’est g. (par 2, 3 et 4)

6. g est un grain de sable possible. (par 2)

8. Contradiction (par 5 et 6)

  • 28 Fritz donne également une preuve sémantique de l’incompatibilité de (D1) et (D2). Voir Fritz (2017, (...)

41Nous arrivons une nouvelle fois à une contradiction, mais cette fois-ci sans théorie des ensembles. Nous avons ainsi affaire à un paradoxe pur de la recombinaison28.

42Il semble exclu de faire porter le chapeau aux hypothèses modales d’arrière-plan que nous avons prises pour installer le paradoxe. La possibilité des grains de sable est suffisamment attestée par les belles plages de Normandie. On pourrait peut-être vouloir contester l’idée qu’un grain de sable ne puisse être deux. Après tout, les grains de sable ne sont pas des atomes ; il doit être possible de les couper en deux. Il semble cependant plus raisonnable de dire que lorsqu’un grain de sable est coupé en deux, ce dernier cesse d’exister, au profit de deux nouveaux grains de sable. Si cette proposition au sujet de l’individuation des grains de sable devait porter à controverse, il suffit de prendre à la place des grains de sable des entités concrètes du monde réel pour lesquelles ce problème ne se pose pas (par exemple les particules élémentaires du Modèle Standard), ou du moins des entités pour lesquelles le mode d’individuation que nous avons proposé semble plus raisonnable. Le problème ne peut venir que du principe de recombinaison lui-même : s’il permet de dériver deux propositions logiquement incompatibles, alors il est tout simplement incohérent et c’est une très mauvaise nouvelle pour ceux qui souhaitent faire appel à l’idée de recombinaison pour formuler leur principe de plénitude.

  • 29 Voir en particulier les travaux d’Angelika Kratzer sur le sujet, en particulier ses articles « What (...)

43On peut trouver cependant des raisons de douter de l’incompatibilité de (D1) et (D2) si l’on prend au sérieux la dépendance contextuelle du discours modal. C’est un fait bien connu des linguistes que la force des opérateurs modaux, dans les langues naturelles, peut varier en fonction du contexte29. Par exemple, la force du mot « possible » varie, suivant que l’on est dans le contexte d’une discussion de physique ou d’une discussion de métaphysique. Dans le premier cas, « possible » quantifie uniquement sur la classe des mondes possibles qui ont les mêmes lois physiques que le monde réel, alors que dans le second cas, on s’autorise à quantifier sur tous les mondes possibles sans exception. Ainsi, à chaque contexte conversationnel est associé un domaine spécifique de mondes possibles sur lequel quantifient les opérateurs modaux, de sorte qu’un énoncé vrai dans un contexte peut devenir faux dans un autre. Une manière de défendre la cohérence de (PPR) consisterait alors à dire que (D1) et (D2) sont chacun vrais dans des contextes différents, mais jamais vrais dans un même contexte. Fritz lui-même (2017, p. 555) considère une hypothèse pragmatique tout à fait plausible selon laquelle le raisonnement recombinatoire peut conduire à changer le contexte conversationnel et la classe de mondes possibles qui lui est associée : en recombinant des pluralités d’objets pris dans des mondes possibles saillants dans un contexte c, on peut être amené à construire un monde possible qui ne faisait pas partie du domaine de mondes possibles de c. En rendant ce nouveau monde possible saillant, on passe du contexte conversationnel c à un contexte conversationnel c+ dont le domaine est plus inclusif. De ce point de vue, le raisonnement recombinatoire qui semble conduire à (D2) conduit seulement à :

(D2’) Il est possiblec+ que tous les grains de sable possiblesc soient des grains de sable

dont la lecture pertinente est donnée par

(D2’-F) (D2-F) ◊c+1c ∀x (Gx  1 Gx)

où « possiblec » et « □c « sont des opérateurs modaux relatifs au contexte de départ, alors que « possiblec+ » et « ◊c+ » sont des opérateurs modaux correspondant au contexte faisant suite au changement introduit par le raisonnement recombinatoire. Il est facile de voir que la dérivation de la contradiction s’effondre.

44Cette hypothèse ne manque pas de plausibilité linguistique, mais, comme le note Fritz (2017, p. 556), elle s’applique mal à l’idée que nous nous faisons de la modalité métaphysique, définie en référence à la totalité la plus englobante de tous les mondes possibles. Il est indéniable que le sens de « possible » et « nécessaire » varie, en général, en fonction du contexte. Mais une fois que nous passons la porte du séminaire de métaphysique, le contexte se fixe un sens bien précis, où « possible » et « nécessaire » sont d’emblée associés à la classe de tous les mondes possibles sans exception, de sorte qu’il est impossible de lui substituer en cours de raisonnement métaphysique une classe plus inclusive. Pour autant que l’on prenne cette notion de modalité métaphysique comme bien fondée, cette tentative d’expliquer l’apparente incompatibilité de (D1) et (D2) comme une illusion fondée sur la dépendance au contexte des opérateurs modaux échoue.

45La situation peut donc être résumée comme suit. Si nous tenons à la notion classique de modalité métaphysique, nous devons arriver à la conclusion que le principe de recombinaison (PPR) est incohérent, puisqu’il permet de dériver deux propositions logiquement incompatibles. Si l’hypothèse pragmatique évoquée plus haut est la seule manière d’échapper au paradoxe, ou du moins la plus prometteuse, alors la leçon philosophique qu’il convient d’en tirer est qu’il nous faut choisir entre d’un côté l’idée même de quantifier sur tous les mondes possibles pour pouvoir définir la notion de modalité métaphysique, et de l’autre caractériser l’étendue de toutes les possibilités par un principe de recombinaison. Aucune branche du dilemme ne peut être acceptée sans faire subir de graves dommages, soit à la notion même de modalité métaphysique, soit à l’idée de définir la plénitude des mondes possibles par un principe de recombinaison.

5. Recombinaison, indéfinie extensibilité et multiplicités inconsistantes

  • 30 Cavaillès traduit « Zusammensein » par « existence simultanée », ce qui introduit une métaphore tem (...)
  • 31 Nous renvoyons également au chapitre 4 de (Cook 2013) pour une présentation du paradoxe de Burali F (...)

46Il existe cependant une autre manière de sortir du paradoxe que ne semble pas avoir envisagée Fritz, et qui permet de conserver à la fois la notion classique de modalité métaphysique et un principe de plénitude par recombinaison, même si la formulation de ce principe diffère légèrement de (PPR), tout en en conservant l’esprit. La clé de cette solution tient dans l’observation que (PPR), parce qu’il incarne un principe de recombinaison non restreint, fait de la pluralité des possibilia une pluralité indéfiniment extensible. En effet, pour toute pluralité de possibilia donnée, (PPR) pose, par l’intermédiaire de (PPR-K) qui s’en déduit, l’existence d’une pluralité plus inclusive. Si l’on avait préféré un principe de recombinaison restreint, comme l’avait initialement proposé Lewis avant de changer d’avis, alors cette conséquence aurait pu être évitée. Mais dès lors que l’on opte pour un principe de recombinaison non restreint tel que (PPR), les possibilia acquièrent un caractère « auto-reproductif », comparable à celui d’autres pluralités indéfiniment extensibles comme celle, par exemple, des ordinaux en théorie des ensembles. Même si ce caractère auto-reproductif, dans le cas des possibilia, n’a aucune source ensembliste et demeure purement modal, le phénomène est le même. Cantor, dans sa correspondance avec Dedekind, a caractérisé ces pluralités indéfiniment extensibles comme des « multiplicités inconsistantes » (Cavaillès 1962, p. 238). Une multiplicité de Xs est contradictoire si « l’hypothèse de l’existence conjointe de tous ses membres conduit à une contradiction, de telle sorte qu’il est impossible de concevoir cette multiplicité comme un seul objet » (Cavaillès p. 239, traduction modifiée30). Supposons que l’on conçoive une pluralité P contenant tous les ordinaux sans exception. Alors le raisonnement à la base du paradoxe de Burali Forti montre que cette pluralité ne peut pas être celle de tous les ordinaux : comme la classe des ordinaux est bien ordonnée, cette pluralité doit avoir une structure d’ordre, et par conséquent définir un nouvel ordinal qui ne peut être compris dans la pluralité de départ31. Le concept d’une pluralité de tous les ordinaux est donc incohérent. De la même manière, si l’on conçoit une pluralité de tous les possibilia, il suit de (PPR) qu’il existe dans l’espace logique des possibilia supplémentaires et donc que la pluralité de départ est et n’est pas la pluralité de tous les possibilia.

47Une fois cette conséquence de (PPR) bien comprise, il n’est pas surprenant que (PPR) conduise à des contradictions, telles que celle qui ressort de la conjonction de (D1) et (D2). Tout d’abord, il est facile de voir que la pluralité de tous les grains de sable possible forme une multiplicité inconsistante. C’est même une leçon positive que l’on peut tirer de l’argument qui mène au paradoxe. Ensuite, une fois la distinction entre multiplicités consistantes et inconsistantes posée, il est difficile de rejeter l’idée selon laquelle

(PCM) toute pluralité d’entités habitant le même monde forme une multiplicité consistante.

En effet, si un monde possible w pouvait accueillir une multiplicité inconsistante, alors il y aurait une contradiction à ce que tous ses membres existent de façon conjointe. Or tous ses membres existent bel et bien de façon conjointe dans w, puisqu’ils y cohabitent. Le monde possible w serait alors contradictoire, et donc impossible, ce qui est absurde.

48On observe cependant que (PPR) ne pose aucune condition sur les pluralités qui peuvent être recombinées au sein d’un monde. Rien ne bloque l’application d’un raisonnement recombinatoire à une pluralité inconsistante, comme la pluralité de tous les grains de sable, pour en placer une copie exacte dans un même monde possible. Ce monde ne pouvant accueillir que des multiplicités consistantes, il n’est pas surprenant que nous obtenions une contradiction. Nous voyons maintenant pourquoi (PPR) conduit à une contradiction : parce qu’il autorise de façon indiscriminée à recombiner des pluralités consistantes et inconsistantes. Une fois la source de la contradiction bien comprise, on voit facilement comment la formulation de (PPR) peut être amendée pour éviter le désastre logique. Il suffit de dire :

(PPRC) Pour toute pluralité consistante d’objets possibles P, et toute manière R de recombiner |P| objets, il existe un monde possible dans lequel existent tous les membres de P dans l’arrangement R.

De (PPRC) se déduit alors seulement

(PPRC-K) Pour toute pluralité consistante d’objets possibles P, il existe un monde possible dans lequel existent au moins K copies exactes de P, pour tout nombre cardinal K.

49Une fois que nous abandonnons (PPR) au profit de (PPRC), le paradoxe de Fritz s’évanouit. Il est toujours possible de déduire (D1), mais (D2) reste hors d’atteindre. La contradiction disparaît. Nous voyons qu’il est possible de conserver l’idée de recombinaison pour définir un principe de plénitude cohérent.

6. Objections

50Pour les lectrices et les lecteurs qui trouveraient la solution du paradoxe de Fritz présentée au paragraphe précédent trop facilement acquise, nous présentons quelques objections possibles qui auront pu se présenter à leur esprit et tâchons d’y répondre.

51(1) On pourrait tout d’abord objecter que le passage de (PPR) à (PPRC) reste ad hoc. On ne peut simplement dire qu’il faut préférer (PPRC) à (PPR) pour éviter un paradoxe, encore faut-il avoir des raisons positives à offrir en sa faveur.

52La seule chose qui change, avec (PPRC), c’est que l’application du principe de recombinaison se limite à des multiplicités consistantes. Or nous avons des raisons indépendantes de soumettre la recombinaison à cette condition, à savoir la thèse, défendue plus haut, selon laquelle un monde possible ne peut accueillir qu’une multiplicité consistante d’objets. Cette thèse est elle-même justifiée à partir des définitions des notions de multiplicité inconsistante et de monde possible. Il y a donc une raison profonde, la nature des mondes possibles, pour passer de (PPR) à (PPRC).

53(2) Une seconde objection consisterait à dire que l’indéfinie extensibilité des possibilia ne convient pas à l’interprétation traditionnelle de la modalité métaphysique. En effet, selon cette objection, une fois que l’on accepte l’indéfinie extensibilité des possibilia, il devient impossible de rendre compte des propriétés absolument nécessaires de tout objet, c’est-à-dire des propriétés que tout objet possible possède, comme par exemple l’identité à soi. En effet, poursuit l’objecteur, pour qu’une propriété soit instanciée avec une nécessité métaphysique par tout objet, il faut qu’elle soit instanciée par tous les possibilia sans exception. Or si les possibilia sont indéfiniment extensibles, il est incohérent de former la totalité de tous les possibilia. On ne pourra a fortiori jamais dire de tous les possibilia qu’ils ont chacun la propriété d’être identique à soi.

54Cet argument repose cependant sur une fausse idée de la quantification sur des multiplicités inconsistantes. La difficulté serait bien réelle s’il fallait supposer que tout domaine de quantification doit former une multiplicité consistante. Mais cette supposition, souvent tenue pour acquise, demande une justification substantielle qui reste difficile à trouver dans chez les auteurs qui la font, comme l’a souligné en particulier Cartwright (1994). Il existe en outre des raisons indépendantes de penser qu’il n’y a pas de difficulté particulière à quantifier sur des multiplicités inconsistantes. Considérons à nouveau les ordinaux, qui forment eux-aussi une multiplicité inconsistante. Les théoriciens des ensembles qui développent la théorie des ordinaux quantifient sur les ordinaux, par exemple lorsqu’ils disent que tout ordinal a un successeur, sans que cela ne pose de problème d’intelligibilité et de cohérence.

  • 32 Plus précisément, étant donné un langage modal quantifié, un modèle de Kripke est un quintuplet  W, (...)

55(3) Une autre objection, dans un ordre d’idée similaire, consisterait à dire qu’un domaine indéfiniment extensible de possibilia ne parviendrait pas à donner un fondement métaphysique à la logique de la modalité métaphysique, définie par la sémantique de Kripke (1963). En effet les modèles de Kripke, qui sont les ingrédients de base de la sémantique, sont des constructions qui représentent le domaine des possibilia par un ensemble32. Faut-il en conclure que la sémantique de Kripke est inadéquate pour décrire la logique de la possibilité métaphysique ? Ce serait un résultat surprenant, et possiblement problématique dans la mesure où la théorie des mondes possibles est censée fournir le soubassement métaphysique dont a besoin la sémantique de Kripke pour s’appliquer à la modalité.

56En réalité, il n’y a pas plus de difficulté à utiliser une théorie des modèles ensemblistes pour raisonner, en logique modale, sur un domaine de possibilia, qu’il n’y a de difficulté à utiliser une théorie des modèles ensembliste pour raisonner, en logique du premier ordre, sur un domaine formant une classe propre, tel le domaine des ensembles, comme l’a remarqué Kreisel (1967), et l’a rappelé Cartwright (1994) à sa suite. Il suffit pour cela nous ayons une logique complète, ce qui est le cas pour la logique classique du premier ordre et pour la logique modale quantifiée, si nous pensons, conformément à l’opinion dominante, que le système S5 est la logique de la modalité métaphysique. On peut en effet montrer, à la manière de Kreisel (1967, p. 154), qu’un énoncé A d’un langage modal quantifié, quantifiant sur la classe propre de tous les possibilia, est valide si et seulement s’il est vrai dans tous les S5-modèles de Kripke. L’implication de gauche à droite est donnée par le fait que les S5-modèles de Kripke correspondent à un sous-ensemble de toutes les interprétations possibles des constantes non logiques de A. Si A est valide, alors A sera vrai selon toutes ces interprétations, et a fortiori dans tous les modèles de Kripke. L’implication de droite à gauche est donnée par le fait que la logique S5 est complète et reconnue comme une logique correcte de la modalité métaphysique. Ainsi, le fait que la logique modale préférée des théoriciens des mondes possibles modélise le domaine de tous les possibilia comme un ensemble est tout à fait compatible avec que le fait que le domaine des possibilia forme en réalité une classe propre.

57(4) On pourrait ensuite objecter que la référence à la distinction cantorienne entre les multiplicités consistantes et les multiplicités inconsistantes réintroduit un ingrédient ensembliste dans notre solution au paradoxe de Fritz, de sorte que nous offririons, de façon illégitime, une solution impure à un paradoxe pur. Or la distinction avancée par Cantor, certes pour répondre à des difficultés dans le fondement de la théorie des ensembles, est extérieure à la théorie des ensembles proprement dite et rien n’indique, dans sa définition, qu’elle ne doive s’appliquer qu’à des entités ensemblistes. Le fait que les premiers exemples donnés par Cantor soient des pluralités formées d’objets définissables dans la théorie des ensembles n’implique pas que seules des pluralités formées d’objets ainsi définissables peuvent instancier la notion de multiplicité inconsistante. Par exemple, Michael Dummett, qui a attiré l’attention sur cette propriété d’indéfinie extensibilité, tient la notion d’énoncé pour indéfiniment extensible :

58Une compréhension suffisamment définie d’un langage, par exemple, est de ce point de vue une compréhension qui nous donne une conception intuitive de la notion de vérité, appliquée aux énoncés assertoriques de ce langage. Étant donné cela, nous pouvons toujours former un langage plus riche, que nous pouvons employons pour parler du premier langage, au sens où nous pouvons formuler des propriétés sémantiques de ce langage, et également dire tout ce que nous pouvons dire avec lui. Ainsi, il ne peut y avoir de totalité de tous les énoncés d’un langage (Dummett 1993, p. 453).

  • 33 La conception particulière que Dummett propose du phénomène de l’indéfinie extensibilité, pour auta (...)

59La notion de multiplicité inconsistante s’applique aussi bien à cette totalité d’énoncés qu’à celle de tous les ordinaux33. Par conséquent, le simple recours à la distinction cantorienne ne nous conduit pas à réintroduire des notions ensemblistes. La résolution que nous donnons du paradoxe n’est pas donc moins pure que le paradoxe lui-même.

  • 34 Nous parlons ici seulement des ensembles purs, c’est-à-dire d’ensembles qui ne peuvent contenir que (...)

60(5) Une dernière objection pourrait porter directement sur le principe (PCM) qui joue un rôle crucial dans notre résolution. Selon ce principe, aucun monde possible ne peut accueillir une multiplicité inconsistante. Comme nous le savons, les ensembles forment une multiplicité inconsistante, tout comme les ordinaux. Or les ensembles et les ordinaux sont généralement considérés comme des objets abstraits qui existent de toute nécessité34. Ils doivent par conséquent exister dans tous les mondes possibles. Le principe (PCM) interdit très exactement cela. Par conséquent, (PCM) est incapable de rendre compte de la nécessité des objets abstraits tels que les ensembles et les nombres.

61La force de cette objection dépend de la manière dont il convient de concevoir la nécessaire existence des ensembles et des nombres. Ce que nous pousse à voir dans les ensembles et les nombres des existants nécessaires, c’est indéniablement le fait que nous ayons du mal à concevoir leur existence comme contingente. Si les nombres et les ensembles doivent leur existence nécessaire au fait qu’ils existent dans tous les mondes possibles sans exception, alors on semble contraint de les faire exister dans chaque monde possible, et ainsi d’enfreindre (PCM). Mais sommes-nous forcés d’adopter cette conception de la non-contingence des ensembles et des nombres ? Fine (2005a) a proposé de distinguer deux manières de concevoir l’absolue nécessité d’une vérité, et corrélativement, l’absolue nécessité d’une existence. Une vérité absolument nécessaire peut être nécessaire de façon immanente ou transcendante. Une proposition est une nécessité immanente lorsqu’elle est vraie en toutes circonstances. Une proposition est une nécessité transcendante lorsqu’elle est vraie indépendamment de toute circonstances. Par exemple, la proposition selon laquelle Emmanuel Macron existe ou n’existe pas est une nécessité immanente. Prenez une circonstance au hasard, c’est-à-dire un monde possible à un temps donné, soit Macron y existe, et alors cette circonstance rend vraie la proposition considérée, soit Macron n’y existe pas, et alors cette circonstance la rend fausse. Dans tous les cas de figure possibles, les circonstances rendront cette proposition vraie. Considérons à présent la proposition selon laquelle Macron est identique à lui-même. C’est une propriété générale qui vaut pour tout objet en tant qu’objet, indépendamment de toute circonstance. En particulier, une circonstance où Macron n’existe pas n’a rien à nous dire au sujet de l’identité à soi de Macron. Nous avons ainsi affaire à un second type de nécessité, transcendante, qui ne peut s’expliquer en faisant référence aux circonstances. On peut penser cette distinction par analogie avec celle des vérités éternelles et sempiternelles : alors que les vérités sempiternelles sont vraies à chaque instant du temps, les vérités éternelles sont vraies indépendamment du temps. De la même manière, l’existence nécessaire peut être pensée de façon immanente, comme existence en toute circonstance, ou comme transcendante, comme existence indépendante de toute circonstance. Pour de nombreux croyants, Dieu est un existant nécessaire. S’ils ont raison, alors Dieu est présent en toute circonstance. Il n’est pas de mondes possibles qui ne comptent Dieu parmi les choses qui y existent. En revanche, les ensembles purs et les nombres, dont l’existence ne dépend pas de celle d’autres êtres, ont une existence nécessaire transcendante. Si l’on accepte cette distinction, alors les ensembles purs et les nombres n’ont pas besoin d’appartenir à un monde pour être nécessaires. Les ensembles et les nombres appartiennent à un domaine transcendant qui n’appartient à aucun monde possible. C’est dans ce domaine transcendant et seulement dans ce domaine transcendant qu’existent les multiplicités transcendantes.

62La conception de ce domaine transcendant soulève, il est vrai, de nouvelles questions qu’il est impossible de régler dans le cadre de cet article. On pourrait continuer l’objection en soutenant que cette distinction est ad hoc, et qu’elle est introduite seulement pour répondre à une difficulté. À cela on peut toutefois répondre qu’elle peut être motivée de façon indépendante, d’une part par analogie avec la distinction communément acceptée dans le cas temporel entre éternité et sempiternalité, d’autre part parce qu’elle est indépendamment utile pour résoudre certains paradoxes de la non-existence que décrit Fine (2005a). Ainsi pour être parfaitement cohérente, (PCM) demande l’élaboration d’une théorie plus vaste de la nécessité transcendante, qui soit compatible avec la théorie des mondes possibles. Si la tâche demande du travail, elle n’est pas pour autant incohérente.

7. Conséquences

63La substitution de (PPRC) à (PPR) nous paraît donc être une solution robuste au paradoxe de Fritz. Cette solution, contrairement à une autre qu’a pu considérer Fritz, ne nous oblige pas à renoncer au concept de modalité métaphysique. Il existe cependant une conséquence non triviale de (PPRC) pour une question connexe de philosophie des modalités.

64L’actualisme est la doctrine selon laquelle tout ce sur quoi nous quantifions est réel, au sens de l’appartenance au monde réel, de sorte que si nous acceptons de quantifier sur des mondes possibles et des possibilia, nous devons les considérer comme des entités réelles, au sens où elles appartiennent au monde réel. Même si la restriction de la recombinaison aux multiplicités consistantes nous empêche de mettre tous les possibilia au sein d’un monde possible, un actualiste insistera sur la nécessité de pouvoir mettre tous les possibilia au sein du monde réel, ou au moins de les réduire par procuration en les associant un à un à des entités situées de plein pied dans le monde réel. Or, en vertu de la thèse, défendue plus haut, selon laquelle seules des multiplicités consistantes peuvent peupler un monde, il sera tout simplement impossible à l’actualiste de mener à bien son programme d’identification, ou de réduction par procuration : il n’y a tout simplement pas assez de place dans le monde réel pour y mettre tous les possibilia, ou même associer chaque objet possible à un objet réel, en prenant garde de toujours associer des possibilia distincts à des objets réels distincts. Une des leçons que nous pouvons tirer du paradoxe de Fritz est ainsi que le principe de plénitude par recombinaison est incompatible avec l’actualisme. Si l’on avait de bonnes raisons de penser que l’actualisme est une vérité a priori au sujet des possibilia, on devrait prendre cette incompatibilité pour un problème insurmontable à l’encontre du principe de recombinaison. Or c’est loin d’être le cas. On peut reconnaître des motivations sensées aux philosophes qui s’embarquent dans le programme actualiste pour expliquer le possible seulement en termes d’entités réelles, il ne s’ensuit pas que ces motivations soient parfaitement cohérentes et que le programme soit effectivement réalisable. Une des leçons de l’on peut tirer du paradoxe de Fritz est donc que si le principe de recombinaison non restreinte (PPRC) caractérise la plénitude des possibilia, alors le programme actualiste ne pourra pas être rempli, du moins s’il prend la forme d’une réduction directe à des actualia ou d’une réduction par procuration. C’est une conclusion que Fine (2005b) a tirée d’un paradoxe analogue à celui de Fritz, présenté moins comme un paradoxe de la recombinaison que comme un paradoxe de l’actualisme :

65Imaginons que nous voulions déterminer combien qu’il y a d’égo cartésiens possibles. Même s’il n’y a pas d’égos cartésiens dans le monde réel, il aurait pu y en avoir. En d’autres termes

(F0) Il y a au moins un égo cartésien possible.

Il est également plausible que :

(F1) Étant donné un monde possible contenant un ou plusieurs égos, il y a un monde possible dans lequel tous ces égos existent et tel que, pour toute sous-classe d’égos, il existe un égo qui est en communication télépathique avec les égos qui appartiennent à cette sous-classe et seulement eux.

Enfin, nous souhaitons admettre que :

(F2) Pour toute classe d’égos, il existe un monde possible dans lequel ils existent tous.

Bien que toutes ces prémisses soient individuellement plausibles, elles sont mutuellement incompatibles (Fine 2005b, p. 223, nous traduisons, et adaptons la numérotation des exemples).

66Par-delà la différence entre les égos cartésiens et les grains de sable, on retrouve la même structure que celle du paradoxe de Fritz : (F1) joue le même rôle de (D1), et (F2) que (D2). La principale différence est que Fritz formule en termes purement modaux l’idée que pour tout monde possible w il existe un monde possible contenant plus de grains de sable (et d’égos cartésiens) que dans w. La morale de l’histoire, pour Fine, qui rejette (F2), est qu’il y a trop d’égos cartésiens possibles pour entrer dans un unique monde possible, et a fortiori dans le monde réel. Il en conclut que la réduction actualiste des possibilia ne pourra pas fonctionner. Il ne fait pas de lien avec le principe de recombinaison, même s’il est implicite dans son raisonnement que la plausibilité de (F1) et (F2) est motivé par un raisonnement de type recombinatoire. Nous pouvons également y voir, en adoptant le point de vue de Fritz, un paradoxe de la recombinaison, si nous tenions (F1) et (F2) pour des conséquences directes du principe de recombinaison. Or nous avons montré qu’un principe de recombinaison cohérent, (PPRC), permet d’éviter (F2), tout en conservant (F1). Ainsi, si Fine a raison au sujet de l’actualisme, et si nous avons raison au sujet du principe de recombinaison, alors le principe de recombinaison non restreinte (PPRC) est incompatible avec l’actualisme, du moins si l’actualisme implique de pouvoir établir une correspondance biunivoque entre les possibilia et des objets pris dans le monde réel. Il existe ainsi un lien intime entre l’acceptation d’un principe de recombinaison non restreint et la doctrine possibiliste selon laquelle notre discours au sujet des objets simplement possibles est factuel et irréductible à un discours portant sur des objets appartenant au monde réel.

67Il y a aussi une deuxième manière de voir la relation entre le principe de recombinaison tel que nous l’envisageons et la faillite de l’actualisme. La plupart des actualistes, en effet, envisagent de réduire les possibilia à des objets abstraits, par exemple des essences individuelles, ou des propriétés singularisantes, qu’ils tiennent pour des objets réels, existant dans le monde réel. Si, comme nous le suggérons, les objets abstraits ont une existence nécessaire de type transcendante, alors la réduction actualiste des possibilia à des objets abstraits pourra certes être menée à bien, mais donnera un résultat beaucoup plus faible que le résultat escompté : tout ce que nous pourra donner une réduction à des objets abstraits sera une réduction à des objets transcendants, et non à des objets actuels.

8. Conclusion

68La théorie des mondes possibles a besoin d’un principe de plénitude qui doit garantir qu’il existe suffisamment de mondes possibles pour que l’on puisse rendre compte de toutes les possibilités. Nous nous sommes demandés si la notion de recombinaison permet d’en donner une formulation cohérente, notamment à la lumière de deux paradoxes, purs et impurs, identifiés par Nolan et Fritz. Du paradoxe impur de Nolan, nous tirons la leçon selon laquelle il n’y a pas d’incohérence à utiliser le principe de recombinaison sans restriction sur le résultat de la recombinaison, pourvu que l’on accepte l’idée que la pluralité de tous les possibilia ne forme pas un ensemble. Du paradoxe pur de Fritz, nous tirons la leçon selon laquelle un principe de recombinaison, pour être cohérent, doit néanmoins poser une condition sur la pluralité à la source de la recombinaison, à savoir que cette pluralité forme une multiplicité cohérente, au sens de Cantor. En combinant les deux idées, nous arrivons à une image de l’espace des possibilités où les possibilia forment une totalité indéfiniment extensible, qui sans être en conflit avec la notion traditionnelle de modalité métaphysique, l’éclaire sous un jour nouveau. En particulier, il apparaît que le principe de recombinaison non restreint (PPRC) que nous proposons porte en lui l’échec du programme actualiste visant à réduire les possibilia à des entités bien réelles. Une des leçons que l’on peut ainsi tirer des paradoxes de la recombinaison, une fois dissipés, est que pour rendre compte de tous les possibilia, le monde ne suffit pas.

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Notes

1 Le terme de « principe de plénitude » a été popularisé par l’historien des idées Arthur Lovejoy dans son livre The Great Chain of Being (Lovejoy 1936) pour désigner un principe différent, selon lequel tout ce qui est possible se réalisera tôt ou tard. Il s’agit d’un principe différent de celui que nous discutons ici, même s’il existe une analogie formelle entre les deux : là où le principe de plénitude de Lovejoy quantifie sur des temps – pour toute possibilité, il existe un temps t où elle est réalisée –, le principe de plénitude auquel nous nous intéressons quantifie sur des mondes possibles – pour toute possibilité, il existe un monde possible w où elle est réalisée.

2 Le développement de la théorie des mondes possibles en métaphysique peut être vu comme une suite naturelle du développement d’une sémantique pour la logique modale qui traite les opérateurs modaux « il est possible que » et « il est nécessaire que » comme des quantificateurs, existentiel et universel respectivement, sur un domaine que l’on peut se représenter intuitivement comme un domaine de mondes possibles (Kripke 1963). Si l’on accepte l’image intuitive qui guide cette sémantique comme fondamentalement juste, alors il faut faire une place, d’une manière ou d’une autre, aux mondes possibles dans notre métaphysique de la modalité. La manière la plus simple de le faire est de reconnaître leur existence (quitte à ramener ensuite leur existence à l’existence d’entités mieux connues et mieux comprises comme les états de choses, les propriétés ou les propositions).

3 Cette approche est généralement associée à une théorie indexicale de l’actualité, selon laquelle l’expression « le monde réel » dénote systématiquement le monde possible dans lequel elle est prononcée. Dans ma bouche, « le monde réel » renvoie au monde réel. Dans un monde possible w distinct du monde réel, habité par des aliens francophiles, « le monde réel » renvoie à w. Cette théorie indexicale de l’actualité permet de conserver l’idée qu’il n’existe qu’un seul monde réel, le nôtre, même si le monde réel et les autres mondes possibles existent au même sens et sont tous concrets. Cette théorie suscite généralement, chez qui la découvre, un regard incrédule que les vertus explicatives de la théorie sont néanmoins censées dissiper. Nous renvoyons au livre de Lewis (1986) pour une défense de ces vertus. Pour une discussion de la thèse de l’indexicalité de l’actualité, voir van Inwagen (1980).

4 Voir la note 3 ci-dessus.

5 Je possède exactement 4 livres de philosophie de la musique. Pour chacun de ces livres, j’aurais pu choisir d’utiliser l’argent dépensé pour aller écouter un concert. Ces choix étant mutuellement indépendants, il existe donc au moins 16 mondes possibles.

6 Armstrong (1989) a, par exemple, repris le principe de plénitude proposé par Lewis (1986) dans le cadre d’une théorie la modalité traitant les mondes possibles comme de simples fictions utiles, sans leur accorder le moindre poids ontologique.

7 Pour toute pluralité d’objets P, on note |P| le nombre d’objets contenus dans P.

8 Voir Cook (2013), chapitre 4.

9 Avant Nolan, Forrest et Armstrong (1984) ont proposé un argument similaire, mais qui n’est pas totalement concluant, comme l’a montré Nolan (1996). Nous nous focaliserons donc sur l’argument, à la fois plus simple et plus robuste, de Nolan.

10 Voir par exemple Jech (2003), et en particulier le chapitre 3 consacré aux cardinaux.

11 Cette théorie impure des ensembles peut être axiomatisée par le système ZFA, augmenté de l’axiome du choix, décrit par exemple dans Jech (1973, p. 44). À chaque énoncé de ZFC correspond un énoncé « pur » de ZFA+AC où les quantificateurs sont restreints de façon appropriée aux seuls ensembles.

12 Comme souvent lorsqu’on raisonne sur l’infini, il convient de se méfier de nos intuitions. Deux ensembles ont la même cardinalité si et seulement s’ils peuvent être reliés par une application bijective. Ainsi l’ensemble des entiers naturels et celui des entiers naturels pairs possèdent la même cardinalité. Il y a « autant » d’entiers naturels pairs que d’entiers naturels, même si les premiers forment un sous-ensemble propre des seconds.

13 Voir Jech (2003, p. 27) pour un énoncé et une démonstration du théorème de Cantor.

14 Comme le souligne Nolan (1996, p. 245), la qualification « au moins » (plutôt que « exactement ») est ici nécessaire, sans quoi le principe générerait immédiatement une contradiction lorsqu’il est appliqué à des pluralités contenant déjà des copies exactes. Considérons par exemple une pluralité contenant deux boules de billard qui sont, par hypothèse, deux copies exactes l’une de l’autre. Alors une version de (PPR-K) qui remplacerait « au moins » par « exactement » conduirait, pour K=2, à l’existence d’un monde possible contenant exactement quatre boules de billard. Or, comme les membres de la pluralité de départ sont des copies exactes, il y a dans le monde possible d’arrivée, de fait, non seulement deux, mais encore six copies exactes de la pluralité de départ – une pour chaque paire de boules distinctes –, ce qui conduit au résultat absurde que le monde ainsi obtenu ne contient pas exactement deux copies exactes de la pluralité de départ. La difficulté est levée si l’on utilise « au moins » au lieu de « exactement » dans la formulation de notre principe de recombinaison.

15 Dans le cas où K est un cardinal limite, c’est-à-dire qui n’est le successeur d’aucun cardinal inférieur, comme par exemple ℵ0 qui mesure la taille de l’ensemble des entiers naturels, il faut supposer que le principe (PPR) est itéré de façon transfinie : une fois qu’il a été itéré n fois, pour tout entier naturel n, on obtient alors une pluralité, à laquelle on peut encore appliquer (PPR) pour obtenir ℵ0 copies exactes de la pluralité de départ. Dans la mesure où (PPR) est un principe tenu pour universellement vrai, il n’y a pas de limite au nombre de fois où il peut être appliqué dans un raisonnement, que ce nombre soit fini, ou infini.

16 Pour une élaboration de la notion de généralisation naturelle dans le cadre d’une discussion des principes de plénitudes relatifs à la structure spatio-temporelle des mondes possibles, voir Bricker (1991). Voir également Belot (2011) pour une étude détaillée de la notion de possibilité géométrique.

17 C’est la position que Lewis, convaincu par les arguments de Nolan (1996), a fini par adopter. Voir Lewis (2002, p. 8).

18 Pour une présentation détaillée de cette conception et de sa relation avec les axiomes de ZFC, voir Boolos (1971).

19 Certes, nous avons montré que l’on peut réitérer (PPR) pour générer toujours plus de possibilia, mais cela ne veut pas dire que tous les possibilia peuvent être obtenus par itération de (PPR) à partir d’une collection bien définie de possibilia. Une théorie de ce genre a été proposée par Skyrms (1981), où les mondes possibles sont construits par recombinaison à partir de l’ensemble des objets peuplant le monde réel, mais il n’envisage que deux étapes, non une succession transfinie comme dans la conception itérative des ensembles.

20 Voir Hallett (1984) pour une étude du développement de cette conception et de ses fondements.

21 Le principe (PCP) est une conséquence de l’idée selon laquelle une proposition n’est rien d’autre que l’ensemble des mondes possibles dans lesquels elle est vraie, une idée souvent associée à la théorie des mondes possibles, lorsqu’elle n’est pas contenue dans certaines versions de la théorie, par exemple celles qui identifient les mondes possibles à des ensembles de propositions.

22 Voir Uzquiano (2015b) pour les détails de l’argument. Voir également Hawthorne et Uzquiano (2011) pour un paradoxe similaire impliquant des principes méréologiques.

23 Fritz préfère les anges, sans doute après avoir lu (Hawthorne et Uzquiano, 2011). Occupant des points spatiaux et étant capable de colocation, les anges présentent l’avantage de pouvoir être multiplié indéfiniment, sans que cela n’outrepasse les limites de tout espace-temps possible. Comme nous avons exclu l’idée que la taille de l’espace-temps puisse être restreinte, cet avantage est ici inutile. Ayant plus de facilité avec les intuitions physiques qu’avec les intuitions théologiques, nous avons préféré l’exemple des grains de sable. Ce choix ne change rien à l’essence du paradoxe.

24 En effet, si un grain de sable a dans un monde w était deux grains de sable distincts b et c dans w’, alors il serait le cas dans w’ que a = b, que a = c et que b ≠ c. Par la transitivité de l’identité, nous aurions alors a ≠ a dans w’, ce qui veut dire qu’il serait possible que a ≠ a dans w, ce qui est contraire à la nécessité de l’identité.

25 Voir Correia (2007) pour une étude de ces opérateurs.

26 Intuitivement, cette formule affirme que pour tout monde possible w, il existe un monde possible w’ tel que tout ce qui est un grain de sable dans w est un grain de sable dans w’, et tel qu’il y existe au moins un grain de sable qu’il n’est pas un grain de sable dans w.

27 Intuitivement, cette formule dit qu’il existe un monde possible dans lequel tout ce qui est un grain de sable dans quelque monde possible que ce soit est un grain de sable.

28 Fritz donne également une preuve sémantique de l’incompatibilité de (D1) et (D2). Voir Fritz (2017, p. 558).

29 Voir en particulier les travaux d’Angelika Kratzer sur le sujet, en particulier ses articles « What must and can must and can mean? » et « The notional category of modality », tous deux repris dans (Kratzer 2012).

30 Cavaillès traduit « Zusammensein » par « existence simultanée », ce qui introduit une métaphore temporelle qui n’est pas présente dans le texte original et pourrait induire en erreur le lecteur qui la prendrait trop au sérieux. L’expression « existence conjointe » a selon nous l’avantage d’éviter cette connotation, tout en restant aussi proche que possible du mot allemand.

31 Nous renvoyons également au chapitre 4 de (Cook 2013) pour une présentation du paradoxe de Burali Forti.

32 Plus précisément, étant donné un langage modal quantifié, un modèle de Kripke est un quintuplet < W,D,R,v > où W est un ensemble non vide représentant l’ensemble de tous les mondes possibles, D est une fonction associant à chaque monde possible un sous-ensemble non-vide de W, R est une relation binaire sur W, représentant une relation d’accessibilité entre mondes possibles, et v est un fonction qui associe à chaque constante du langage une dénotation pour chaque monde possible. Ainsi D(w), pour un monde possible w, représente l’ensemble de tous les objets qui existent dans w, ce que l’on peut appeler le « domaine » de w. Le domaine de tous les possibilia est alors représenté ici par l’union des domaines de tous les mondes possibles, ce qui donne à nouveau un ensemble.

33 La conception particulière que Dummett propose du phénomène de l’indéfinie extensibilité, pour autant qu’elle soit claire, ne se marie certes pas très bien avec l’usage que nous en faisons dans cet article. En précisant sa pensée quelques lignes plus bas, Dummett nie que l’on puisse parler de la totalité des ordinaux de façon cohérente, à moins de renoncer à un langage obéissant à la logique classique, en faveur d’un langage dépourvu du principe de bivalence et obéissant à une logique intuitionniste (Dummett 1993, p. 455). Défendre la logique intuitionniste contre la logique classique ne fait pas partie de notre programme. Discuter plus en détail les conceptions de Dummett nous conduirait cependant trop loin. On notera cependant que Williamson (1998) a proposé une explication du concept d’indéfinie extensibilité, appliqué à l’exemple sémantique évoqué par Dummett, qui préserve une logique classique.

34 Nous parlons ici seulement des ensembles purs, c’est-à-dire d’ensembles qui ne peuvent contenir que des ensembles. Le profil modal des ensembles impurs, qui peuvent contenir des ur-éléments concrets et contingents, est généralement tenu pour être contingent— le singleton {Emmanuel Macron} existe dans tous les mondes possibles et seulement dans les mondes possibles où Emmanuel Macron existe.

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© Collège de France, 2020

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