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Les arts de la mémoire et les images mentales

 | 
Alain Berthoz
, 
John Scheid

Les chemins et les espaces de la géométrie, de Babylone à Bures-sur-Yvette

Daniel Bennequin

Full text

  • 1 Voir le chapitre de John Scheid, « Le cheminement virtuel des Questions romaines et la méthode exég (...)

1Une des méthodes de l’art de la mémoire consiste à associer des lieux ou des images à des éléments du récit ou à des arguments, les transitions pouvant être associées à des passages, et les progressions à des cheminements. Quelle est la nature de ces parallèles entre les lieux ou les chemins d’une part et les développements ou les transitions d’autre part ? Il s’agit non pas d’un lien de cause à effet, ni même d’une nécessité, mais peut-être d’une expression de la profonde analogie qui est faite, dans le système nerveux central, entre les espaces et les significations, d’une part, et entre les voyages et les enchaînements, d’autre part, comme si ces derniers venaient de déplacements dans des espaces imaginaires, dans un monde virtuel, où se réfracte le monde sensible, comme dans un kaléidoscope de symboles. Or, une bonne partie de l’activité mathématique consiste à associer des énoncés avec des figures et avec des mouvements imaginaires, souvent subjectifs. Comme dans le texte de Plutarque dont a parlé John Scheid1, un texte mathématique est une longue suite de questions et de propositions qui ne peuvent se comprendre vraiment que lorsqu’on les rapproche de certains gestes et déplacements, certains ayant lieu au dehors, rarement dans Rome, étant plus souvent rattachés à des pratiques humaines, à des actions dans l’environnement ou simplement à des formes de contemplation, d’autres ayant lieu au-dedans, dans des demi-rêves ou dans l’inconscient.

2On ne peut pas simplement dire que l’extérieur et l’intérieur de l’individu se confondent ou s’échangent, car l’individu n’est pas plus une surface que la cellule vivante. Chaque être vivant est traversé par son environnement, et ne le perçoit qu’en s’y projetant, mais cette évidence ne suffit pas à expliquer son fonctionnement, car c’est de l’intérieur, en interaction avec l’extérieur, que s’élabore et s’adapte l’épaisse frontière de ses échanges avec le monde. Une autre chose est certaine : il n’y a pas d’un côté le monde des sensations, et de l’autre celui du calcul.

  • 2 Cela évoque les peintures rupestres encore visibles dans certaines grottes d’Afrique du Sud, qui ép (...)
  • 3 Voir Marika Moïsseeff, « L’inscription spatiale du Rêve : un art de la mémoire et de l’oubli chez l (...)

3Tous les mathématiciens s’accordent pour dire que la part la plus importante de leur travail est l’imagination. Selon la psychanalyste et historienne des sciences Michèle Bompard-Porte, le matériau des mathématiciens, leur domaine d’exploration, est le psychisme, dont l’essentiel est inconscient. Presque tout le travail mathématique se fait inconsciemment, souvent après de nombreux efforts pour se familiariser avec des définitions, des énoncés vrais ou faux, des représentations conscientes, et des exemples. Quelques mathématiciens, comme Henri Poincaré ou Jacques Hadamard, ont raconté de quelle manière leurs grandes découvertes avaient surgi d’un coup, par surprise, à partir de longs détours inconscients, de raccourcis invisibles, après une période silencieuse qui faisait suite à des essais conscients sans succès2. Les énoncés mathématiques renvoient à des chemins dans la pensée, ils relatent des histoires rêvées dans l’imagination. Ils rapportent un détour par des lieux invisibles, à la manière des aborigènes australiens évoqués par Marika Moïsseeff3, qui puisent dans leurs rêves la source des nouvelles lois, des vérités à partager en société.

4Je me permets de préciser que, si j’ai jusqu’ici parlé des mathématiciens, il existe aussi depuis la nuit des temps des mathématiciennes, comme la célèbre Hypathie ; il faudra donc désormais entendre la mathématicienne ou le mathématicien dans ce qui suit. Ce choix me semble préférable à une répétition systématique des deux genres. En parlant de poésie, dirions-nous la poétesse et le poète ? On parle en général du poète pour désigner les deux ensembles, bien que Sappho ou Ingeborg Bachmann n’aient pas plus à envier aux plus grands poètes masculins qu’Hypathie ou Emmy Noether n’ont à envier aux plus grands mathématiciens masculins. Les mathématiciennes sont trop rares à cause d’évidentes pesanteurs sociales.

5Parallèlement, je dirais qu’il n’existe pas qu’une seule sorte de mathématicien. Chacun suit en effet un chemin différent, selon son caractère et sa culture. Certains ou certaines aiment les formules et l’algèbre pure, d’autres préfèrent les subtilités de l’analyse, découper les epsilons en quatre ou construire des normes alambiquées, d’autres encore ne sont à l’aise que dans un monde de diagrammes enchevêtrés, avec des flèches jusqu’à l’infini, et certains ne sont satisfaits que lorsqu’un petit dessin explique tout mieux qu’un long discours. La plupart d’entre eux vont d’une attitude à une autre. Chacun suit un chemin différent, en espérant démontrer des théorèmes, trouver des vérités mathématiques à partager.

6Les mathématiques se distinguent des autres activités humaines par leur idéal des démonstrations, l’idéal de la rigueur des preuves, curieusement dépendante de leur beauté. Le plaidoyer de l’orateur ne doit lui non plus pas comporter de faille, mais il hérite d’une tradition de la persuasion et de l’éloquence, alors que le mathématicien se refuse en général à tout jeu de manches. Ainsi, même s’il spécule sans cesse et conjecture, il doit être prêt à abandonner toutes ses convictions devant une évidence. Cette évidence se présente parfois au réveil, bien qu’il arrive que ce soit le rêve ou le demi-rêve qui la fasse surgir. Combien de fois une erreur a-t-elle brusquement surgi, après des jours de négligence, sans qu’on y ait fait attention ? Le mathématicien n’en demeure pas moins un être humain, qui se leurre souvent, et prend ses désirs pour des vérités, mais s’il cesse un peu d’être mathématicien, et s’il insiste, il s’égare. Pourtant, même lorsque, parfois, son sentiment le trompe, il arrive qu’il porte un jour ses fruits.

7Chasseurs-cueilleurs, chamanes ou mathématiciens, hommes et femmes, chacun suit son propre chemin intérieur. Toutefois, cela ne donnerait rien sans apprentissage : quelque chose émerge parce que les espaces imaginaires parcourent des dédales dans des palais de pensées construits par les Anciens. Ainsi, dans chaque pièce, à chaque croisée des chemins, une sorte de texte déjà écrit ou prononcé à demi apparaît, auquel peuvent être associés une figure, un mouvement ou un sentiment. Lorsque la théorie mathématique se déploie, dans un texte apparemment linéaire, les rencontres imaginaires qui en sont la source ne sont pas exposées ; elles restent le plus souvent implicites, comme les monuments dans les Questions romaines de Plutarque, et pourtant, en faisant un parcours personnel différent, comme celui de John Scheid empruntant les routes modernes, les mathématiciens retrouveront des figures comparables aux motifs anciens, et seront initiés par le texte à travers ces rencontres, comme ont pu l’être les Romains. C’est cet entrelacement des chemins individuels, de l’histoire et des théorèmes eux-mêmes, que j’aimerais évoquer dans ce chapitre.

8En d’autres termes, je voudrais témoigner du fait que les mathématiques racontent des visions intérieures, et que ces visions se rapportent au monde environnant et aux interactions entre l’intérieur et ce monde, en particulier à travers le mouvement. Au fur et à mesure de leur histoire, les mathématiques ont explicité ce rapport, tout en le transformant en des relations universelles nouvelles, ce qui les a conduites à investir de plus en plus d’objets suivant une démarche davantage unifiée, de construire un texte de plus en plus volumineux et crypté, mais qui s’approche paradoxalement des rapports les plus primitifs et les plus fondamentaux de l’esprit avec les réalités quotidiennes.

9Dans le corpus de la théorie déroulée se sont accumulées les dimensions de la mémoire et du chemin parcouru. Tout cela de façon explicite, car c’est le rôle des mathématiques d’expliciter, de déplier pour les autres sciences, soit à des fins techniques ou politiques, soit au contraire dans un but critique, ou tout simplement pour la satisfaction contemplative propre à la nature humaine.

10Il est difficile de reconstituer la manière dont les premières notions mathématiques sont apparues. Elles semblent avoir été contemporaines de l’invention de l’écriture, et avoir porté en premier lieu sur les nombres entiers naturels et les figures régulières, comme les carrés, les triangles ou les pyramides. Il y a d’abord eu une longue accumulation d’expériences et de découvertes, à Sumer et en Égypte, puis à Babylone, notamment à l’époque où fut écrit le code d’Hammurabi. Puis la méthode mathématique – notamment les démonstrations – fut mise en place en Grèce entre le viiie et le ive siècle avant J.-C. ; il est encore possible d’admirer cette invention en lisant le chef d’œuvre écrit par Euclide. Son traité principal (Les Éléments) culmine avec la construction des polyèdres réguliers, mais il contient également des développements originaux d’arithmétique. L’un des plus beaux points est l’introduction des rapports et des rapports de rapports, entre nombres et entre longueurs, qui a permis non seulement de démontrer les principaux résultats de géométrie (Thalès, Pythagore, etc.), mais également d’élucider les propriétés de divisibilité des nombres entiers, l’existence d’une infinité de nombres premiers, c’est-à-dire ceux qui diffèrent de 1 et qui ne possèdent pas d’autres diviseurs entiers que 1 et eux-mêmes, puis le fait que tout nombre est un produit de nombres premiers, et que cette factorisation est unique.

11Avant de revenir à la suite historique, sautons vingt-quatre siècles, et voyons les nombres entiers avec les yeux de Kurt Hensel ou de David Hilbert, comme des fonctions sur des points, ces points étant tous les nombres premiers, et la multiplicité d’un entier n en un point p étant le nombre de fois que p divise n. Une notion de valeur en p apparaît aussi pour un entier m en un point p qui ne le divise pas, c’est le reste de la division euclidienne par p. Et l’analyse de ce nombre m, comme celle de n, « près de p », peut être poursuivie en observant les restes des divisions par les puissances successives de p, c’est-à-dire, p², p³, etc. Ce rapprochement entre nombre et fonction fut généralisé, ou plutôt conçu comme inévitable : n’importe quel ensemble A (une notion inimaginable dans l’Antiquité, mais avec laquelle nous sommes devenus presque tous familiers) sur lequel sont définies deux opérations notées + et ×, satisfaisant aux règles usuelles du calcul des entiers, avec un 0 et un 1 (les règles d’associativité, de distributivité, de commutativité), c’est-à-dire un « anneau commutatif », est vu comme un ensemble de fonctions, c’est-à-dire des quantités mesurables, observables, sur un ensemble de points plus ou moins fictif appelé le spectre de A. C’est le début de la géométrie algébrique moderne, le renversement effectué par Alexandre Grothendieck. Le paradigme en est celui qu’avait développé René Descartes, et qui était apparu au xie siècle dans les pays arabes ou persans, des fonctions algébriques sur une courbe ou une surface définies par des équations algébriques. Partant de ce renversement, de René Descartes et Bernhard Riemann à Alexandre Grothendieck, les mathématiques ont explicité pour l’imagination les opérations les plus fondamentales que font les êtres vivants quels qu’ils soient : plonger, projeter, couper, relever, pousser en avant, tirer en arrière, composer, étaler, itérer, localiser, écraser, déployer, déformer.

12« Transformer » était apparu plus tôt : en plus d’avoir inventé l’algèbre, les algorithmes, et bien d’autres choses encore, les mathématiciens arabes et persans au Moyen Âge, comme Al-Sijistani ou Alhazen, ont découvert l’utilisation des transformations en géométrie, ce qui donna naissance à une problématique nouvelle, qui fut développée en Europe à la Renaissance et à l’âge classique. Au point que Félix Klein à la fin du xixe siècle proposa, avec succès, que toute géométrie soit caractérisée par un « groupe » de transformations, un ensemble de transformations qui peuvent toujours être composées entre elles et inversées. Il faut dire qu’avant lui, Évariste Galois avait inventé la structure de groupe, à propos de la résolution des équations algébriques, et que Gaspard Monge, Joseph Diez Gergonne, Jean-Victor Poncelet, August Ferdinand Möbius, Carl Friedrich Gauss, János Bolyai, Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski et Bernhard Riemann, avaient démontré l’existence d’une multiplicité de géométries, une multiplicité d’espaces possibles. Un espace dans une de ces géométries équivaut à la donnée des « sous-groupes » qui stabilisent les points ; ceux-ci se nomment les « isotropies » des points.

13Une autre opération consiste à suivre les chemins et à garder la mémoire des parcours dans des fibres. La notion sur laquelle je voudrais particulièrement insister est celle qui émergea des travaux de Monge, Gauss et Riemann, et qui non seulement permet de s’écarter du modèle plus ou moins rigide proposé par Klein, mais donne aussi lieu à la notion de courbure. Imaginons une multiplicité étendue, faite comme un univers indistinct homogène, localement modelé sur un espace numérique, c’est-à-dire localement descriptible par des coordonnées, mais sans qu’un choix particulier de coordonnées s’impose, soit ce qui s’appelle une « variété », et supposons donné en chaque point un modèle d’espace sous la forme que voulait Klein, d’un groupe et d’un sous-groupe modèle d’isotropie. Et près de chaque point, supposons donnée en plus une manière de raccorder ces modèles qui dépende des déplacements dans la variété, c’est-à-dire une manière de relever les déplacements infinitésimaux dans la variété en des déformations infinitésimales du groupe modèle, compatible avec la géométrie (c’est-à-dire identifiant l’espace tangent au modèle de Klein et possédant une sorte d’invariance par rapport au sous-groupe d’isotropie modèle). Il est alors possible de relever les plus longs chemins en transports dans les groupes, réalisant ainsi un passage du local au global. La courbure se laisse dès lors définir comme la différence entre les transports qui relèvent deux chemins différents ayant les mêmes extrémités, par exemple deux lacets qui reviennent à leur point de départ. Cette structure se nomme « connexion de Cartan » ou « géométrie de Cartan », du nom du mathématicien Elie Cartan qui a poussé le plus loin la notion des géométries classiques et des espaces courbes. Grâce aux connexions et à leurs courbures, la géométrie trouve une forme de mémoire. En effet, la courbure conserve la mémoire des chemins parcourus et, le long d’un lacet, qui fait une boucle dans la variété, cette mémoire est un élément du groupe modèle. Il est remarquable que la théorie de la relativité générale d’Einstein ait identifié la gravitation à une telle courbure. La notion de connexion a également permis de comprendre géométriquement l’électromagnétisme de Maxwell et sa relation avec la mécanique quantique. Pour cela, il faut considérer un ensemble d’espaces modelés sur un groupe auxiliaire, nommé « groupe de jauge », décrivant les symétries internes de particules, et disposer ces espaces en fibres au-dessus de l’espace-temps. Un « potentiel d’interaction », par exemple le potentiel électromagnétique, correspond alors à une connexion entre ces fibres, compatible avec les symétries internes ; il permet de relever les chemins de l’espace-temps dans les fibres, le champ classique étant la courbure. En fait, toutes les interactions fondamentales en physique des hautes énergies sont à présent convenablement décrites par ce type de connexions. La matière, quant à elle, est décrite par des fonctions d’ondes qui sont des sections de fibrés vectoriels, comme le font par exemple les « spineurs », en formant des sortes de racines carrées de vecteurs. Ceux-ci ouvrent sur un nouveau genre d’espaces encore, dont l’exploration ne fait que commencer.

14Une homotopie entre deux chemins est une déformation continue de l’un dans l’autre. Le « groupe fondamental » d’un espace pointé, introduit par Henri Poincaré, est l’ensemble des classes d’homotopie des lacets partant du point marqué et y revenant. Généralisant l’étude des chemins de leurs concaténations et de leurs homotopies, la notion de « catégorie » (Samuel Eilenberg, Saunders MacLane et d’autres) fut formulée au xxe siècle, et elle peut être vue comme un ensemble de flèches entre des objets distincts, capables d’être composées. Les fonctions entre ensembles sont alors généralisées en des morphismes d’une catégorie dans une autre, nommés « foncteurs », sortes d’ensembles de flèches transversales. Mais pourquoi s’arrêter là ? Il a bien fallu considérer les transformations naturelles entre foncteurs, les chemins dans les catégories, et les chemins de chemins, etc.

15Un autre effort a consisté à décrire les relations de dimensions supérieures à 1. L’invention de « l’algèbre homotopique » (Daniel Quillen, Dennis Sullivan, Edgard Brown, John-Frank Adams et d’autres) a révélé la proximité profonde entre la « topologie », rapports des formes, et l’« algèbre », manipulation de symboles, et de formules, ce dont avait rêvé Leibniz, à partir des textes aujourd’hui perdus de Pascal sur les lignes courbes.

16Un laboratoire de la banlieue parisienne, l’Institut des hautes études scientifiques (IHES) à Bures-sur-Yvette, illustre assez bien cette tendance du mariage de l’abstraction algébrique et de l’intuition géométrique. Dans les années 1960, René Thom et Alexandre Grothendieck s’y côtoyaient, sans beaucoup interagir directement, il faut bien l’avouer ; tous deux jetaient les bases d’une bonne partie des mathématiques d’aujourd’hui. Le premier avait développé une algèbre des formes lisses, en commençant par le « cobordisme » – une catégorie dont les objets sont les variétés sans bord et dont les flèches d’une variété à une autre sont les variétés qui les ont pour bords. En appliquant cette catégorie dans un espace quelconque X, on obtient un instrument d’investigation des formes internes de X, qui joue un rôle universel, appelé « théorie homologique » extraordinaire.

  • 4 Thom, 1977 et 1988.

17Thom se passionna ensuite pour les formes des dynamiques, venant des champs de vecteurs sur les variétés, et pour leurs singularités, avec l’ambition résolue de renouer avec une « philosophie naturelle » caractérisée par l’exigence d’intelligibilité, exposée en particulier dans ses deux livres, Stabilité structurelle et morphogénèse et Esquisse d’une sémiophysique4. Son séminaire à l’IHES dans les années 1970 et 1980 portait avant tout sur Aristote, mais parlait toujours de biologie et de mathématiques. Quant à Grothendieck, il avait introduit la théorie des schémas, qui permettait de comprendre d’un même coup les variétés algébriques et les problèmes d’arithmétique. J’ai déjà mentionné plus haut que l’idée de considérer tout anneau commutatif comme un ensemble de fonctions sur un espace peut être attribué à Grothendieck, qui a développé cette idée en un gigantesque édifice. Avec ses élèves, dont Jean-Louis Verdier, il développa une topologie toute nouvelle, mais renouant avec les notions les plus primitives de raffinements et de recollements, le cadre étant celui des catégories. Ainsi s’introduisent notamment les topos qui sont des ensembles de foncteurs sur une catégorie donnée, satisfaisant à des exigences naturelles de localités ; ceux-ci fournissent une vaste généralisation de la théorie des ensembles, et de la logique habituelle, et permettent de comparer diverses façons de définir des formes de façon homologique. La forme de localisation décrite par un topos s’inspire des chemins d’observation. L’expérience actuelle des mathématiques depuis lors montre que tout cela était bien loin de généralisations gratuites.

  • 5 Bennequin et Berthoz, 2017.
  • 6 Bennequin, 2014.
  • 7 Bennequin et Berthoz, 2009.

18Avec Alain Berthoz, nous avons récemment suggéré une manière d’utiliser de tels topos pour définir des espaces et des géométries adaptés aux mouvements des êtres vivants5. Dans les actes d’un colloque de robotique (Toulouse, 2017), on peut trouver les définitions des topos nécessaires. Le rôle de ces géométries dans le cerveau serait d’organiser les plans et les exécutions des actions dans l’espace extérieur, en tenant compte des champs de forces agissant dans le monde physique et dans les parties du corps impliquées. Ces géométries guideraient les activités musculaires et les activités neuronales dans les boucles sensori-motrices. Leur rôle principal serait de guider les divers niveaux d’adaptation qui sont nécessaires à toute action, comme à toute perception. Elles se reflèteraient dans différents réseaux du cerveau qui prennent en charge des classes de mouvements différents – par exemple la préhension, l’initiation de la locomotion, la locomotion proche ou la navigation, voire cette sorte de vol virtuel d’un lieu à un autre que l’on ne fait qu’imaginer. Une comparaison peut aider à mieux comprendre le rôle d’une géométrie pour organiser les perceptions et les actions : la géométrie affine, dégagée par Leonhard Euler au xviiie siècle, fondée sur les propriétés des directions parallèles en oubliant les relations métriques, est utilisée par plusieurs aires cérébrales, par exemple dans le thalamus et les aires visuelles, pour la définition et la perception des couleurs6, ou dans un réseau impliquant probablement le cortex pariétal, les ganglions de la base, les aires pré-motrices et le cervelet, pour la production des mouvements de la main ou de la locomotion dans des temps adaptés7. On voit que la géométrie prépare la forme des perceptions et des actions, ni une réception de l’extérieur, ni une fantaisie intérieure, mais plutôt une fenêtre sur l’extérieur, ou un portail peut-être. La nouvelle suggestion, avec les topos, est de faire intervenir une catégorie qui relie entre elles plusieurs géométries, remplaçant la notion habituelle de point et de trajectoire à contrôler et à adapter par une notion de transformation entre plusieurs espaces au sens usuel, au-moins un espace géométrisé des postures et des chemins d’équilibre ou de déséquilibre entre postures qui organise les éléments du corps et un espace physique des positions et déplacements dans le monde. Ce serait une géométrie des champs, offrant une discussion sur la perception et l’action plus proche des idées de Maurice Merleau-Ponty que du point de vue habituel.

19Reprenons un instant le résumé de l’histoire des espaces géométriques : d’abord l’espace euclidien, le plus symétrique, en apparence immuable et stable ; puis l’accent mis sur les transformations, élargissement des concepts de symétries, groupes et sous-groupes ; ensuite la courbure, l’incorporation des chemins, des déformations topologiques, des systèmes dynamiques. Aujourd’hui, c’est le passage aux catégories, aux chemins de chemins, toute structure étant revisitée comme constituant une sorte d’espace avec ses déformations possibles, et devenant structure « à homotopie près ». Nous constatons que l’évolution des mathématiques est allée de l’espace lointain, ou de l’espace physique plus ou moins objectif, à un espace démultiplié et changeant, dépendant d’un investissement, ce qui est plus proche du vécu.

  • 8 Poincaré, 1902
  • 9 Voir Edmund T. Roll, « A scientific theory of ars memoriae: spatial view cells in a continuous attr (...)
  • 10 Je renvoie ici à la contribution d’Alain Berthoz, « Les bases neurales des arts de la mémoire », su (...)

20Reprenons encore une fois cette histoire, mais en ajoutant l’action qui y fut depuis toujours sous-entendue, et en pensant au topos qui implique le sujet en mouvement ou préparant ses mouvements. Les plus anciens essais euclidiens correspondaient déjà à des déplacements, comme Poincaré l’a montré, par exemple dans La Science et l’Hypothèse8 : l’espace est la trace des mouvements effectués pour atteindre un point ; sa géométrie rend compte d’une indétermination fondamentale, à savoir l’ambiguïté qui résulte de la compensation possible entre certains mouvements volontaires et certains changements du monde. Chez les mammifères, les stratégies de déplacement dans le monde euclidien s’appuient entre autres sur un système installé dans la région parahippocampale, temporale, en relation avec les aires pariétale et préfrontale. Dans cette région, on trouve cellules de lieu (place cells), les cellules de direction de la tête (head direction cells), les cellules de grille (grid cells), ou leurs transpositions visuelles chez les primates, par exemple les cellules de vision (view cells) découvertes par Edmund Rolls9. Ces éléments reflètent une géométrie particulièrement bien adaptée à la navigation dans le plan horizontal ou dans l’espace, et à la mémoire des trajets. Le topos derrière cette géométrie implique plus qu’un point, plus qu’un repère se déplaçant dans l’espace ; il implique un champ d’attention, et la comparaison de plusieurs chemins entre eux, de plusieurs repères, certains liés au corps imaginé et d’autres ancrés dans l’environnement, mais eux aussi, d’une certaine façon imaginés ; il implique également des structures dynamiques de la décision10. Ensuite, historiquement, vint l’espace fondé sur les transformations, dont certaines sont affines et non-euclidiennes, comme les homothéties ; ces espaces sont mieux adaptés que le précédent à un programme souple qui mobilise des points de vue mobiles, des repères visuels et vestibulaires mobiles, comparés à des vecteurs moteurs, afin de minimiser la variabilité aux endroits cruciaux ou d’optimiser en temps réel les durées de parcours. Cela donne une géométrie pour la locomotion proche, où le champ de pesanteur doit être pris en compte pour contrôler l’équilibre en déséquilibre du corps en marche. Plus proche ? Une géométrie fondée sur les directions partant du corps vers le monde, orchestrant l’accord du regard et du geste, disposant des champs récepteurs tactiles, visuels et moteurs, prenant en compte les relations des objets entre eux, et les liens avec les autres humains. Son site possède au minimum une flèche d’appartenance au monde, d’implication dans le monde ; son topos redouble les mouvements physiques dans le monde par un espace des attitudes de soi, comme une géométrie de l’être au monde ?

Bibliography

Bennequin D. (2014), « Remarks on invariance in the visual system of mammals », in Giovanna Citti et Alessandro Sarti (dir.), Neuromathematics of vision, Berlin, Springer, DOI : 10.1007/978-3-642-34444-2_7.

Bennequin D., Fuchs R.Berthoz A. Flash T. (2009), « Movement timing and invariance arise from several geometries », PLoS Computational Biology, vol. 5, no 7, e1000426, DOI : 10.1371/journal.pcbi.1000426.

Bennequin D. et Berthoz A. (2017), « Several geometries for movements generations », in J.-P. Laumond, ‎N. Mansard et ‎J.-B. Lasserre (dir.), Geometric and Numerical Foundations of Movements, Cham, Springer.

Poincaré H. (1902), La Science et l’Hypothèse, Paris, Flammarion, coll. « Bibliothèque de philosophie scientifique ».

Thom R. (1977), Stabilité structurelle et morphogenèse : essai d’une théorie générale des modèles, 2e éd. revue et corrigée, Paris, Interéditions.

Thom R. (1998), Esquisse d’une sémiophysique, Paris, Interéditions.

Notes

1 Voir le chapitre de John Scheid, « Le cheminement virtuel des Questions romaines et la méthode exégétique gréco-romaine », supra.

2 Cela évoque les peintures rupestres encore visibles dans certaines grottes d’Afrique du Sud, qui épousent les fractures courant dans les rochers, par où sont censés entrer et sortir les esprits qui s’absentent un temps de ce monde-ci pour entrer en contact avec le monde des morts et des divinités, monde souterrain ou monde d’à-côté.

3 Voir Marika Moïsseeff, « L’inscription spatiale du Rêve : un art de la mémoire et de l’oubli chez les Aranda du désert central australien », infra.

4 Thom, 1977 et 1988.

5 Bennequin et Berthoz, 2017.

6 Bennequin, 2014.

7 Bennequin et Berthoz, 2009.

8 Poincaré, 1902

9 Voir Edmund T. Roll, « A scientific theory of ars memoriae: spatial view cells in a continuous attractor network with linked items », supra.

10 Je renvoie ici à la contribution d’Alain Berthoz, « Les bases neurales des arts de la mémoire », supra.

Author

Professeur à l’université Paris Diderot, chercheur à l’Institut de mathématiques de Jussieu (IMJ)

© Collège de France, 2018

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