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Symétrie et gravitation

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Marc Henneaux

Symétrie et gravitation

Leçon inaugurale prononcée au Collège de France le jeudi 5 mars 2020

Marc Henneaux

Texte intégral

  • 1 Chen Ning Yang, exposé à la Conférence internationale de physique théorique TH-2002, Paris, Palais (...)

1« La symétrie est une des mélodies thématiques de la physique du xxe siècle. » C’est en ces termes très imagés que le prix Nobel de physique Chen Ning Yang souligne l’invasion de la physique moderne par les idées de symétrie, qui ont joué un rôle de guide essentiel dans son développement et qui continuent de jouer ce rôle avec la même vigueur1.

  

2Monsieur l’Administrateur,
Chers collègues,
Chers amis,
Mesdames, Messieurs,

3Ma leçon inaugurale abordera l’un des défis majeurs de la physique actuelle, celui qui consiste à réconcilier mécanique quantique et gravitation einsteinienne. Elle le fera en montrant l’importance des principes de symétrie dans la démarche des physiciens.

4Mais avant d’entrer dans le vif du sujet, je voudrais remercier très chaleureusement l’Assemblée des professeurs du Collège de France qui m’a élu sur la chaire Champs, cordes et gravité. Cette nomination est un grand honneur pour moi. C’est aussi une belle reconnaissance de la place prise par la théorie de la relativité générale dans la physique actuelle, et par les questions scientifiques extrêmement profondes, variées et fascinantes soulevées par cette théorie plus de cent ans après sa formulation par Albert Einstein en 1915. Cette chaire s’inscrit dans la lignée de plusieurs chaires illustres et je voudrais mentionner en particulier celle de Physique mathématique occupée par André Lichnerowicz (1952-1986) et celle, plus récente, de Particules élémentaires, gravitation et cosmologie, détenue par Gabriele Veneziano (2004-2013).

5La physique du xxe siècle a connu deux grandes révolutions : d’une part, la théorie de la relativité d’Einstein, qui a commencé avec la relativité restreinte (1905) et a culminé avec la relativité générale (1915), la théorie qui décrit la force gravitationnelle selon des lois compatibles avec le principe de relativité ; et, d’autre part, la mécanique quantique, la théorie qui décrit le monde des atomes, des particules élémentaires et de leurs interactions.

6Ces deux théories ont été abondamment validées par l’expérience et ont permis de faire de nombreuses prédictions nouvelles, vérifiées ensuite avec un succès spectaculaire. Le problème, cependant, est que, lorsqu’on applique les principes de la mécanique quantique à la théorie de la gravitation d’Einstein, on obtient des résultats absurdes ou incontrôlables. En ce sens, ces deux théories sont incompatibles.

7Ce conflit n’a pas de conséquence directe car on n’a pas besoin de la gravitation quantique aux échelles qui nous sont accessibles. Comme je l’expliquerai plus loin, explorer les effets quantiques de la gravité nécessiterait des énergies considérables hors de notre portée. Mais, au-delà du fait que cette tension est intellectuellement perturbante (deux théories contradictoires ne peuvent être toutes deux correctes), elle ne nous permet pas de comprendre des situations extrêmes telles que le Big Bang ou les trous noirs, où la gravitation quantique devrait jouer un rôle essentiel.

8Le but de ma leçon inaugurale est de donner un bref aperçu de ces deux piliers de la physique moderne, de leur conflit, et de certaines pistes qui offrent un espoir de surmonter les difficultés.

9Un des thèmes récurrents de mon exposé sera la notion de symétrie. Je commencerai donc par développer cette notion. J’expliquerai ensuite les idées centrales de la théorie d’Einstein et esquisserai celles de la mécanique quantique. Je parlerai enfin du conflit entre ces deux théories et aborderai les approches qui cherchent à réaliser une synthèse cohérente de la gravitation et de la mécanique quantique.

Symétrie et lois de la physique

10Pourquoi les principes de symétrie ont-ils envahi la physique ? L’importance des symétries tient au fait que l’invariance qu’elles expriment impose des contraintes qui peuvent être très fortes, jusqu’à déterminer dans certains cas la forme des lois de la physique de manière unique.

11Je vais illustrer ces idées d’abord dans un contexte familier, celui de la géométrie du plan à deux dimensions. Je reviendrai ensuite aux lois de la physique.

12Commençons donc par un peu de géométrie, en nous intéressant à des figures géométriques très simples du plan, les quadrilatères, qui sont des polygones à 4 côtés.

13Voici un quadrilatère qui n’a rien de particulier (fig. 1).

Figure 1

Figure 1

Un quadrilatère quelconque.

14En voici trois autres, le « cerf-volant », le rectangle et le carré (fig. 2).

Figure 2

Figure 2

Un « cerf-volant », un rectangle et un carré.

15Il est clair que les trois derniers quadrilatères sont plus réguliers que le premier. Le cerf-volant a des côtés adjacents égaux par paires, le rectangle a ses côtés opposés égaux par paire et a en outre tous ses angles égaux (à 90 degrés), et le carré a tous ses côtés et tous ses angles égaux.

16On peut caractériser ces différences en termes de propriétés de symétrie.

17Commençons par le cerf-volant. Cette figure possède une symétrie miroir par rapport à l’axe vertical (fig. 3).

Figure 3

Figure 3

Le cerf-volant possède un axe de symétrie, représenté par la droite verticale.

18Si l’on effectue une réflexion par rapport à cet axe, le cerf-volant est invariant (renvoyé sur lui-même). Cette propriété distingue le cerf-volant d’un quadrilatère quelconque qui ne possède en général pas de tel axe (fig. 4). Si on effectue la réflexion par rapport à un axe passant par deux sommets opposés d’un quadrilatère quelconque, on obtient en général un quadrilatère distinct.

Figure 4

Figure 4

Un quadrilatère quelconque ne possède en général aucun axe de symétrie : le quadrilatère en trait discontinu obtenu par réflexion par rapport à l’axe vertical du quadrilatère en trait continu ne coïncide pas avec celui-ci.

19La symétrie miroir est présente en abondance dans la nature ; l’image du papillon reproduite ici (fig. 5) en fournit un exemple.

Figure 5

Figure 5

Un papillon, invariant par symétrie axiale gauche-droite.

Crédit : Jean-Charles Chenu, Encyclopédie d'histoire naturelle ou Traité complet de cette science d'après les travaux des naturalistes les plus éminents de tous les pays et de toutes les époques, Paris, Maresq & Cie, p. 190.

20Un quadrilatère peut être invariant sous l’effet de plusieurs symétries bilatérales par rapport à des axes de réflexion différents. Le rectangle possède ainsi deux axes de réflexion passant par les milieux des côtés opposés, l’un marquant la symétrie gauche-droite et l’autre la symétrie haut-bas (fig. 6).

Figure 6

Figure 6

Le rectangle possède deux axes de symétrie.

21Le carré possède en outre deux symétries bilatérales par rapport aux axes à 45 degrés joignant les sommets opposés (fig. 7).

Figure 7

Figure 7

Le carré possède quatre axes de symétrie.

22Le carré est le seul quadrilatère possédant autant de symétries de réflexion (quatre axes).

23Les caractéristiques des symétries qui seront importantes pour mon propos peuvent être résumées comme suit :

  • une symétrie exprime une propriété d’invariance (pour le cas de la géométrie que je viens d’illustrer, l’invariance de figures géométriques) ;

  • l’existence de symétries impose des contraintes qui, dans le cas géométrique qui nous a intéressé, permettent parfois de reconstruire complètement la figure. Si l’on cherche un quadrilatère et qu’on dispose de l’information qu’il possède quatre axes de symétrie, on sait que c’est nécessairement un carré.

24Ces propriétés essentielles de la symétrie se retrouvent de manière plus abstraite en physique.

25Je considérerai ici ce qu’on appelle les « symétries des lois de la physique », ou « principes de symétrie ».

26La symétrie d’une loi de la physique, c’est l’invariance de cette loi pour certaines transformations. Cette définition est un peu vague et je vais l’illustrer par un exemple, celui de la chute des corps dans le champ de gravitation de la Terre.

27Imaginons que je laisse tomber un objet – mon trousseau de clés – et que je mesure l’accélération de son mouvement due à l’attraction terrestre. Je trouverai une certaine valeur pour le temps mis par l’objet pour atteindre le sol. Si je répète la même expérience demain, au même endroit, dans les mêmes conditions, je trouverai la même valeur pour le temps de chute, et c’est cette même valeur que j’aurais mesurée si j’avais effectué l’expérience hier. La connaissance seule des résultats de l’expérience ne permet donc pas de déterminer le jour où elle a été faite. La loi qui décrit la chute des corps dans le champ de gravitation de la Terre ne dépend pas du moment où l’on effectue l’expérience. En d’autres termes, elle est invariante par translation dans le temps. Cette invariance constitue un principe de symétrie.

28L’existence de cette invariance limite la forme de la loi physique qui décrit la chute des corps, qui ne peut pas faire apparaître explicitement le moment où l’on effectue l’expérience. L’invariance impose donc des contraintes.

29Plusieurs géants de la physique ont saisi toute la portée des principes de symétrie, mais on peut affirmer sans risque de se tromper qu’Einstein en a été l’un des plus importants, en exploitant la puissance de ces idées pour formuler ses nouvelles théories.

Théorie de la gravitation d’Einstein

  • 2 Le livre de Thibault Damour, Si Einstein m’était conté (Paris, Le Cherche Midi, 2005) présente un b (...)

30Cela m’amène à la relativité einsteinienne, qui constitue l’une des deux grandes révolutions de la physique du xxe siècle. La première étape de cette révolution est la formulation de la relativité restreinte en 19052.

31C’est un fait familier que, si l’on se trouve dans un train ou dans un avion se déplaçant à vitesse constante (après décollage et avant atterrissage), et qu’on laisse tomber le livre qu’on est en train de lire (par exemple), ce dernier tombera à nos pieds comme si l’on était au repos. L’objet qui tombe ne sera pas entraîné vers l’arrière à cause de notre mouvement. Tout se passe comme si nous ne bougions pas. On ne peut donc détecter son mouvement par des expériences de mécanique effectuées à l’intérieur du train ou de l’avion (la mécanique est la branche de la physique qui étudie le mouvement). Cette propriété montre l’équivalence des observateurs se déplaçant à vitesse relative constante les uns par rapport aux autres, appelés « observateurs inertiels ». Ce principe est un principe de symétrie, exprimant l’invariance des lois de la mécanique sous l’effet des transformations qui font passer d’un observateur inertiel à un autre.

32C’est en cherchant à vérifier également ce principe de symétrie pour les lois de l’électromagnétisme (électricité et magnétisme) qu’Einstein a été amené à formuler la théorie de la relativité restreinte. Dans cette nouvelle théorie, ce ne sont pas seulement les lois de la mécanique, mais aussi celles de l’électromagnétisme qui sont invariantes par changement de référentiel.

33La théorie de la relativité restreinte a conduit à un premier changement radical dans nos conceptions de l’espace et du temps, dont l’un des aspects les plus frappants est sans doute la relativité du temps, dont l’écoulement n’est plus absolu mais dépend de la vitesse de l’observateur. Les transformations qui relient les observateurs inertiels entre eux mêlent l’espace et le temps, qui ne peuvent plus être conçus séparément. On parle ainsi d’« espace-temps ». Cet espace-temps possède quatre dimensions, l’une correspondant au temps et les trois autres à l’espace.

34La relativité du temps et de l’espace est elle-même la conséquence d’un autre aspect allant à l’encontre de notre intuition quotidienne, qui est l’invariance de la vitesse de la lumière sous l’effet des transformations qui font passer d’un référentiel en mouvement à un autre, et qui doit être vérifiée si l’on veut que les équations de l’électromagnétisme prennent la même forme pour tous les observateurs. La vitesse de la lumière est une vitesse-limite, qu’on ne peut dépasser. Sa valeur est énorme dans des unités ordinaires :

c (vitesse de la lumière) = 300 000 km/s = 3 × 105 km/s.

35L’extension de la théorie de la relativité pour y inclure la force de gravitation a conduit à des bouleversements encore plus profonds dans la description physique de l’espace et du temps. C’est la relativité générale, ou théorie de la gravitation einsteinienne.

36Rappelons que la force d’attraction gravitationnelle des corps massifs entre eux, sous l’effet de leur masse, est responsable de la pesanteur terrestre et se manifeste dans une grande diversité de phénomènes physiques : les marées, le mouvement de la Lune autour de la Terre, l’orbite des planètes dans le système solaire, jusqu’à la structure à grande échelle de l’Univers. C’est à Isaac Newton que l’on doit le premier édifice théorique rendant compte de la gravitation universelle. Mais, dans la théorie de Newton, l’interaction gravitationnelle, décrite par des forces instantanées, se propage à vitesse infinie, ce qui est en contradiction avec l’impossibilité d’aller plus vite que la lumière.

37C’est pour surmonter cette tension entre gravitation newtonienne et relativité restreinte qu’Einstein a développé la relativité générale. Cette théorie constitue une véritable révolution dont j’esquisserai à présent les grands traits.

38Selon Einstein, la gravitation ne se décrit pas en termes de force, comme dans la théorie de Newton, mais se manifeste par la déformation de l’espace-temps. L’espace et le temps ne forment plus un cadre rigide donné une fois pour toute dans lequel la physique se déroule : l’espace-temps lui-même est soumis à des équations physiques, les équations d’Einstein. Le cadre mathématique approprié est celui de la géométrie non euclidienne, dans laquelle la déformation de la géométrie est quantitativement décrite par ce qu’on appelle sa « courbure ».

39Cette géométrisation de la physique constitue non seulement une révolution conceptuelle, mais elle est aussi extrêmement esthétique et très satisfaisante puisque l’espace-temps, qui échappait aux lois de la physique jusqu’à Einstein, devient un objet dynamique, soumis à des équations qui en déterminent la courbure.

40Tous les grands physiciens se sont d’ailleurs émerveillés devant cette théorie, de Paul Dirac à Wolfgang Pauli, Lev Landau ou Steven Weinberg, pour n’en citer que quelques-uns.

41Mais qu’entend-on lorsqu’on assimile la gravitation à la géométrie de l’espace-temps ? Pour comprendre la description einsteinienne, j’utiliserai des analogies qui, comme toutes les analogies, sont imparfaites, mais ont le mérite de donner une bonne idée des concepts utilisés.

42Considérons d’abord une surface plane (fig. 8). Celle-ci est décrite par la géométrie étudiée au lycée. Les règles d’Euclide s’y appliquent. Ainsi, la somme des angles d’un triangle est de 180 degrés, et deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, à savoir ne se rencontrent jamais.

Figure 8

Figure 8

Dans le plan, la somme des angles d’un triangle vaut 180° et deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles (ne se rencontrent jamais).

43La présence de masses (plus généralement, d’énergie, selon la fameuse équation E = mc2), modifie la géométrie. Dans l’analogie à deux dimensions, le plan est déformé en une surface dont la courbure est d’autant plus importante qu’on est proche de la source gravifique (fig. 9).

Figure 9

Figure 9

La géométrie de l’espace-temps est déformée par la matière.

Crédit : European Space Agency (ESA).

44Examinons cette nouvelle géométrie. Près de la masse qui la déforme, elle ressemble à la géométrie d’une portion de sphère. Étudions donc dans celle-ci ce que deviennent les règles rappelées précédemment (fig. 10). On voit que la somme des angles d’un triangle est maintenant supérieure à 180 degrés, et que deux « droites » (grands cercles) perpendiculaires à une même droite se rencontrent.

Figure 10

Figure 10

Dans le cas de la sphère, les « lignes droites », c’est-à-dire les courbes qui minimisent la distance (« géodésiques ») sont les grands cercles, dont l’équateur et les méridiens donnent des exemples. La somme des angles d’un triangle sphérique est supérieure à 180° (dans le cas de la figure, on a 270°) et deux grands cercles (dans le cas de la figure, deux méridiens) perpendiculaires à un même grand cercle (équateur) se rencontrent (ici aux pôles).

  • 3 Voir par exemple l’ouvrage de John Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, New York, Scienti (...)

45La matière déforme donc l’espace-temps. Selon l’expression imagée du physicien américain John Wheeler, père des trous noirs, « la matière dicte à l’espace-temps comment se courber3 ». Les équations qui déterminent la courbure (déformation) de l’espace-temps en présence de matière sont les équations d’Einstein, qui prennent la forme suivante :

46Ces équations ne diront sans doute pas grand-chose à la plupart d’entre nous, car il faut avoir un bagage de géométrie non euclidienne pour en apprécier le sens, mais si je les ai écrites, c’est pour illustrer leur simplicité, non seulement d’écriture, mais aussi conceptuelle : à gauche se trouve ce qu’on appelle le « tenseur d’Einstein », lié à la courbure de l’espace-temps ; à droite, le tenseur d’énergie-impulsion qui décrit le contenu matériel de l’espace-temps. Ce dernier induit donc un tenseur d’Einstein non nul. Le couplage de la matière à la courbure est mesuré par le facteur k,

qui fait intervenir le nombre π, ainsi que la vitesse de la lumière dont nous avons déjà parlé, mais aussi la constante de Newton ou constante gravitationnelle G,

peut-être familière à certains car elle apparaît déjà dans la théorie de Newton.

47Il est intéressant d’observer que, dans des unités de la vie de tous les jours (mètres, kilogrammes, secondes), la valeur numérique de la constante de couplage k est très petite :

48Dans des circonstances ordinaires, la déformation de la géométrie est donc elle aussi très petite. C’est un fait sur lequel nous reviendrons.

  • 4 Ibid.

49La courbure de l’espace-temps modifie en retour le mouvement des objets. Je citerai de nouveau John Wheeler : « l’espace-temps dicte à la matière comment se déplacer4 ». La matière se déplace selon l’équivalent des lignes droites de la géométrie courbe, appelées « géodésiques », et nous avons vu que celles-ci pouvaient avoir une accélération relative les unes par rapport aux autres. Cette propriété rend complètement compte de la gravitation. C’est la déformation de l’espace-temps qui courbe les trajectoires et qui conduit à ce que certaines « lignes droites » manifestent un comportement très différent de celui de lignes droites de l’espace-temps non courbé.

50Imaginons deux êtres vivants à deux dimensions qui se déplacent en « ligne droite », c’est-à-dire qui suivent des géodésiques (fig. 11). Pour la sphère, ces géodésiques sont de grands cercles, comme nous l’avons vu, dont l’équateur et les méridiens constituent des exemples. Imaginons aussi que ces deux êtres hypothétiques partent dans des directions initialement parallèles. On voit que, dans le cas du plan, ils ne se rencontreront jamais, alors que, dans le cas de la sphère, ils se rejoignent aux pôles.

Figure 11

Figure 11

L’accélération relative des géodésiques due à la déformation de la géométrie de l’espace-temps rend compte de la force de gravitation.

51Ces êtres à deux dimensions peuvent interpréter ce qui leur arrive ainsi : dans le premier cas, c’est comme si ne s’exerçait sur eux aucune force, et dans le deuxième cas, comme s’ils étaient attirés l’un par l’autre par une force qui les fait se rapprocher. C’est la déformation de la géométrie qui est responsable de l’accélération relative des corps.

52On peut ainsi comprendre les orbites des planètes dans le champ gravitationnel du Soleil grâce à la déformation de la géométrie de l’espace-temps due au Soleil, et montrer qu’apparaissent de très petites corrections par rapport aux orbites newtoniennes. L’observation de ces différences a constitué un premier succès de la théorie d’Einstein.

53La courbure de l’espace-temps affecte également la trajectoire des rayons lumineux. Ces rayons sont déviés par la déformation de la géométrie au voisinage des corps gravifiques. Si nous observons une étoile, sa position apparente est différente de sa position réelle lorsque le Soleil s’interpose entre cette étoile et nous, puisque les rayons lumineux sont alors courbés, en raison de la déformation de la géométrie due au Soleil (vers l’intérieur, à cause de la nature attractive de la gravitation). Cet effet peut être observé lorsque la lumière du Soleil est occultée par la Lune (sinon, on ne voit rien, du fait de l’éblouissement provoqué par la lumière solaire) – et il a effectivement été observé pour la première fois par l’astrophysicien Arthur Eddington en 1919, cette observation confirmant ainsi très tôt l’une des prédictions les plus frappantes de la théorie. L’angle de déviation est extrêmement petit, à peine 1,75 seconde d’arc, mais il est le double de la valeur prédite par la théorie de Newton qui prévalait jusqu’alors.

54Pour observer la déviation des rayons lumineux, Eddington organisa une expédition sur l’île de Principe, au large de la côte ouest de l’Afrique, où l’éclipse totale était visible. Les mesures furent effectuées le 29 mai 1919 (jour de l’éclipse) et les résultats annoncés à la Royal Society de Londres le 6 novembre de la même année.

55Cette observation eut immédiatement un retentissement considérable dans la presse de l’époque et a contribué à forger la légende einsteinienne (fig. 12).

Figure 12

Figure 12

Coupures du Times de Londres (7 novembre 1919) et du New York Times (10 novembre 1919) annonçant les résultats de l’expédition d’Eddington.

56Voici ce qu’en dit le Times de Londres le 7 novembre 1919 : « Révolution dans les sciences. Une nouvelle théorie de l’Univers. Les idées de Newton renversées. » Et voici le texte qu’envoie le correspondant du New York Times à Londres à sa direction, publié dans le journal le lundi 10 novembre 1919 : « Lumières sens dessus dessous dans les cieux. Les hommes de science plus ou moins sidérés face aux résultats de l’observation de l’éclipse. La théorie d’Einstein triomphe. Les étoiles ne sont pas là où elles semblaient être, où l’on avait calculé qu’elles devaient être, mais il n’y a pas de quoi s’inquiéter » – sans doute une allusion à la valeur extrêmement petite de la déviation. Suit une allusion à un livre d’Einstein sur sa théorie réputée très difficile : « Un livre pour douze hommes sages : pas davantage au monde ne sont capables de le comprendre, a dit Einstein quand ses audacieux éditeurs l’ont accepté. »

57La gravitation ralentit, « déforme » aussi le temps. Le temps ne s’écoule pas de la même façon selon que la gravitation est plus ou moins forte. Il en résulte que des horloges initialement synchronisées, mais situées à des endroits différents, ne resteront pas synchronisées, même si elles sont au repos les unes par rapport aux autres. Ce phénomène est négligeable à la surface de la Terre, mais il a des effets notables dans le cas du système de localisation GPS, qui fait intervenir des horloges embarquées dans des satellites situés à une altitude de 20 000 km.

Ordres de grandeur

58Avant d’aller plus loin, il convient de garder à l’esprit les ordres de grandeur pertinents pour la gravitation.

59La gravitation est une force extrêmement faible. C’est uniquement en présence de masses importantes que ses effets sont sensibles. Pour illustrer ce fait fondamental, rappelons que la force magnétique exercée par un petit aimant sur un objet métallique, une aiguille par exemple, contrebalance l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre tout entière sur cette même aiguille ! Ou encore : soulignons que le rapport de la force électrique à la force de gravitation qu’exercent l’un sur l’autre un électron et un proton est énorme, de l’ordre de 1039.

60La déformation de la géométrie de l’espace-temps à la surface du Soleil est de l’ordre de 10−5, et de l’ordre de 10−9 à la surface de la Terre. Dans ce contexte, on peut donc utiliser sans crainte les règles de la géométrie habituelle, ainsi que les lois de Newton. Contrairement à l’affirmation un peu provocante du journaliste du Times, Newton n’est pas détrôné. On ne peut pas dire que la théorie de Newton soit fausse, mais plutôt que c’est une théorie approchée de la théorie plus correcte d’Einstein, et que ces corrections sont extrêmement petites dans le système solaire. C’est la raison pour laquelle la théorie de Newton fonctionne si bien à notre échelle.

61Ces ordres de grandeurs très petits sont liés au fait que la constante k qui couple la matière à la déformation de la géométrie possède une valeur extrêmement petite dans les unités de mesure pertinentes à notre échelle.

62Mais la théorie de Newton possède ses limites. Comme je l’ai indiqué, même dans le système solaire, on a pu mettre en évidence la nécessité d’introduire de très petites corrections. Plus la gravitation est importante, plus les différences entre la théorie d’Einstein et celle de Newton deviennent significatives.

63Pour avoir une déformation sensible de la géométrie, il faut des objets beaucoup plus compacts ou massifs que la Terre ou le Soleil : étoiles à neutrons (étoiles ayant une masse de l’ordre de celle du Soleil, mais ayant un rayon de l’ordre d’une dizaine de kilomètres), pour lesquelles la déformation de la géométrie à la surface de l’étoile est de 10−1, trous noirs ou Big Bang cosmologique, pour lesquels la déformation est encore bien plus impressionnante.

Une théorie abondamment corroborée par l’expérience

64Les tests classiques dont j’ai parlé (corrections pour les orbites des planètes, déviation des rayons lumineux, ralentissement du temps) ne sont que trois parmi une foule de vérifications expérimentales qui se sont accumulées depuis la formulation de la théorie en 1915. La théorie d’Einstein est non seulement élégante du point de vue mathématique, mais elle a été aussi corroborée expérimentalement avec un énorme succès à de nombreuses échelles.

65Cette théorie produit en effet plusieurs prédictions remarquables. L’une d’elles est l’existence d’ondes gravitationnelles, qui sont des oscillations de la géométrie de l’espace-temps se propageant dans l’espace à la vitesse de la lumière. Les ondes gravitationnelles ont été directement observées sur Terre en 2015, et plusieurs fois depuis, cent ans après la naissance de la relativité générale, par les détecteurs Virgo et Ligo (Laser interferometer gravitational-wave observatory). Quel beau succès !

66Une autre prédiction célèbre de la relativité générale est l’existence de trous noirs, objets si compacts que rien, pas même la lumière, ne peut échapper à leur attraction gravitationnelle. Initialement accueillie par de nombreux physiciens avec grand scepticisme, cette prédiction a été graduellement acceptée par la communauté quand les calculs théoriques ont montré le caractère inévitable des trous noirs comme états finaux d’étoiles dont la masse dépasse une certaine limite.

67L’évidence observationnelle est à présent extrêmement convaincante. De nombreux trous noirs dont la masse se situe entre 3 et 80 masses solaires ont été identifiés. Ce sont en particulier les ondes gravitationnelles émises par des collisions de trous noirs – phénomène extrêmement violent – qui ont pu être détectées récemment par la collaboration Ligo-Virgo.

68Il est aussi accepté par les astrophysiciens que des trous noirs supermassifs, dont la masse peut être comprise entre des millions et des milliards de fois celle du Soleil, se situent au centre des galaxies, y compris la nôtre. C’est l’image d’un tel trou noir monstrueux, au centre de la galaxie M87 (fig. 13), à environ 50 millions d’années-lumière de nous, qui a été dévoilée en avril 2019 par la collaboration internationale Event Horizon Telescope (EHT), regroupant de nombreux radiotélescopes répartis autour de la Terre.

Figure 13

Figure 13

Image du trou noir supermassif au centre de la galaxie M87.

Crédit : Event Horizon Telescope Collaboration, https://www.eso.org/​public/​images/​eso1907a/​.

69On notera que la gravitation à l’intérieur des trous noirs est énorme, et qu’elle tend même vers l’infini (« singularité ») quand on s’approche de leur centre.

70La relativité générale joue également un rôle central dans la compréhension de l’évolution de l’Univers. Elle a permis la formulation d’un modèle cosmologique possédant une grande cohérence à la fois théorique et observationnelle, dans lequel notre Univers est en expansion. Ce modèle dit « standard », qui trouve son origine dans les travaux d’Alexandre Friedman et de Georges Lemaître, rend compte non seulement du décalage vers le rouge des fréquences des galaxies à travers l’expansion de l’Univers, mais aussi de la formation des éléments et de l’apparition d’une structure à grandes échelles.

71Dans cette description, l’Univers en expansion est d’autant plus petit que l’on remonte le temps et il serait « né » d’une explosion violente, le Big Bang, laquelle se serait produite il y a environ 13,7 milliards d’années. Inutile de préciser que les conditions physiques qui prévalaient lors du Big Bang, moment où, pour le dire de façon imagée, l’infiniment grand rejoint l’infiniment petit, étaient particulièrement extrêmes.

Une révolution inachevée

72En dépit de tous ces succès impressionnants, la théorie d’Einstein classique est incomplète et doit être remplacée par une théorie plus fondamentale, qui se réduit à la théorie d’Einstein dans les domaines où celle-ci fonctionne bien, mais qui la dépasse là où celle-ci présente des limites. La théorie d’Einstein est une révolution inachevée.

73Les limitations de la théorie d’Einstein apparaissent quand on cherche à y incorporer les effets quantiques. Il n’existe en effet pas pour le moment pas de description cohérente de la gravitation à l’échelle microscopique.

  • 5 Plusieurs livres peuvent être recommandés sur l’histoire des conseils Solvay : Pierre Marage et Gré (...)

74La mécanique quantique est cette autre grande révolution de la physique du xxe siècle, fruit des efforts de nombreux physiciens que l’on voit réunis sur la photographie du célèbre cinquième conseil de physique Solvay5, qui s’est tenu à Bruxelles en 1927 (fig. 14).

Figure 14

Figure 14

Participants au cinquième conseil de physique Solvay, « Électrons et photons » (Bruxelles, 1927).

Crédit : Instituts internationaux de physique et de chimie Solvay, http://www.solvayinstitutes.be/​img/​photo_gallery/​solvay_conseils_physique/​SolvayPhysiq1927.jpg.

75Ce pilier de la physique moderne régit le monde à l’échelle moléculaire, atomique, subatomique. Ses succès sont également prodigieux – voire vertigineux ! –, et on ne compte plus les applications de la mécanique quantique qui ont un impact sur notre vie quotidienne, des lasers aux transistors et à toute l’électronique.

76Pour appréhender les raisons du conflit entre gravitation einsteinienne et mécanique quantique, faisons un bref détour et arrêtons-nous un instant sur cette dernière théorie.

  • 6 Serge Haroche, Physique quantique, Paris, Collège de France/Fayard, coll. « Leçons inaugurales », 2 (...)

77Il est impossible d’expliquer en quelques mots les principes de la mécanique quantique. La leçon inaugurale de Serge Haroche, Physique quantique, a magistralement exposé les fondements, les propriétés, et surtout le caractère étrange du monde quantique6. Je n’utiliserai ici que quelques concepts de la mécanique quantique sans entrer dans les détails de cette dernière.

78Le monde microscopique se comporte en effet de manière très étrange, qui va à l’encontre de notre intuition macroscopique. Ainsi, une particule est à la fois une particule et une onde, et la description la plus adéquate dépend du contexte. Les prédictions qu’on y fait ont un caractère probabiliste. Une des manifestations les plus emblématiques de ce caractère étrange de la mécanique quantique est le fameux principe d’incertitude de Heisenberg, selon lequel il est impossible de mesurer simultanément la vitesse et la position d’un objet. Ce principe prend la forme suivante :

où h est la constante de Planck,

dont la valeur est, comme on le voit, très petite pour les unités de mesure usuelles. À notre échelle, cette relation n’a donc pas de conséquence pratique dont nous devrions nous préoccuper, mais, à l’échelle microscopique, ce principe joue un rôle essentiel.

79Le principe d’incertitude de Heisenberg s’applique en fait à toute variable dynamique – toute variable soumise à des équations du mouvement –, et pas seulement à la position et à la vitesse d’une particule. Elle s’applique ainsi aux champs. Le mariage de la théorie électromagnétique de Maxwell avec la mécanique quantique, dans le cadre de ce qu’on appelle la « théorie quantique des champs », a conduit à l’électrodynamique quantique, une des théories physiques vérifiées avec la plus grande précision. Les forces nucléaires, qui s’exercent à l’échelle du noyau atomiques, entrent également admirablement dans ce cadre.

80Les idées de symétrie prédominent aussi en mécanique quantique. Les motifs invoqués pour l’attribution du prix Nobel à Eugène Wigner en 1963 (je cite ici la fondation Nobel), « pour ses contributions à la théorie du noyau atomique et des particules élémentaires, en particulier à travers la découverte et l’application de principes de symétrie fondamentaux7 », ou à Murray Gell-Mann en 1969 (et je cite à nouveau la fondation Nobel) « pour ses contributions et découvertes concernant la classification des particules élémentaires et leurs interactions8 », « selon leurs propriétés de symétrie », comme précisé dans le discours complet9, sont particulièrement clairs à cet égard.

81Les difficultés pour faire entrer la théorie d’Einstein dans le cadre quantique apparaissent sur plusieurs plans. Je n’en citerai que deux ici.

82Tout d’abord, les règles du monde quantique appliquées à la théorie d’Einstein conduisent à des résultats absurdes et incontrôlables : les probabilités ont des valeurs infinies pour les processus quantiques impliquant la gravitation. Comme je l’ai rappelé, cette situation contraste de façon frappante avec celle qui prévaut pour les autres interactions fondamentales (électromagnétisme et interactions nucléaires).

83Par ailleurs, la théorie d’Einstein nous apprend que la géométrie de l’espace-temps est une quantité dynamique, donc soumise au principe d’incertitude de Heisenberg. Mais que veulent dire un temps ou un espace qui fluctuent ? Comment définir le concept de « géométrie quantique », et comment y décrire la physique ? Quels sont les concepts qui transcendent ceux d’espace et de temps, probablement émergents à l’échelle classique ? Nous ne possédons pas encore le cadre adéquat pour traiter ces questions de manière contrôlable.

84Comme je l’ai mentionné au début de mon exposé, la tension entre gravitation et mécanique quantique n’a pas de conséquence pratique directe, car les situations physiques ordinaires auxquelles nous sommes confrontés se situent dans un régime de paramètres qui ne fait pas appel à la gravité quantique.

85Pour être plus précis, l’échelle caractéristique de la gravité quantique est celle de Planck, définie comme suit : à partir de la vitesse de la lumière, de la constante de Newton et de la constante de Planck, on peut former une longueur qui caractérise le régime de la gravité quantique. Celle-ci est appelée « longueur de Planck » et donnée par la formule :

86Elle est de l’ordre de 10−35 mètre, et est donc minuscule aux échelles qui nous sont accessibles. Pour donner une idée de ces différentes grandeurs, la taille de notre système solaire est estimée à 20 milliards de kilomètres, soit environ 1013 mètres ; la taille d’un atome est typiquement de l’ordre de 10−10 mètre ; le rapport entre la taille du système solaire et celle d’un atome est ainsi comparable à celui entre la taille d’un atome et la distance de Planck.

87Pour percevoir la gravité quantique, il faudrait pouvoir explorer des distances aussi petites que la longueur de Planck. Mais plus l’échelle à explorer est petite, plus il faut d’énergie pour y accéder. L’accélérateur de particules LHC (Large Hadron Collider) à hautes énergies du Cern (organisation européenne pour la recherche nucléaire), qui est le plus puissant « microscope » au monde, peut explorer des petites distances jusqu’à 10−18 mètre, bien loin, donc, de l’échelle de Planck. Et même si l’on était capable de produire les énergies nécessaires, ces énergies, confinées dans un aussi petit volume, conduiraient à la formation de trous noirs rendant l’observation de l’échelle de Planck impossible. On ne peut donc avoir d’accès direct à la gravité quantique.

88Mais le conflit entre théorie d’Einstein et mécanique quantique est un conflit intellectuellement inconfortable, puisque deux théories ne peuvent être à la fois simultanément correctes et en contradiction. En outre, une théorie quantique cohérente de la gravitation est indispensable pour comprendre certaines situations physiques extrêmes qui fascinent les physiciens : les tout premiers instants de l’Univers (Big Bang), lors desquels la gravité quantique doit jouer un rôle dominant, la taille de l’Univers (l’infiniment grand) rejoignant alors la longueur de Planck (l’infiniment petit), ou encore le sort des trous noirs, à l’intérieur desquels on atteint également l’échelle de Planck.

89Trouver une formulation cohérente de l’interaction gravitationnelle au niveau microscopique est ainsi un défi majeur de la physique de ce siècle. Malgré de nombreux efforts impressionnants et l’identification de pistes extrêmement prometteuses, ce problème, dont la résolution conduira à une compréhension plus profonde de questions fondamentales liées à l’évolution de l’Univers, n’a pas encore trouvé de solution complète. Tout indique que la réconciliation des deux piliers de la physique moderne que sont la mécanique quantique et la relativité générale conduira à une nouvelle révolution conceptuelle, qui nous mènera bien au-delà de la théorie d’Einstein.

Théorie des cordes

  • 10 Un très bel article d’introduction aux enjeux de la théorie des cordes est celui de Constantin Bach (...)

90Il existe plusieurs voies suivies activement pour tenter de résoudre le problème de la quantification de la gravitation. Une approche particulièrement séduisante et prometteuse est donnée par la théorie des cordes, un domaine extrêmement fertile qui fait appel à une foule de concepts physiques et mathématiques très profonds10. Un des pères de cette théorie est Gabriele Veneziano, que j’ai déjà évoqué au début de mon exposé.

91Dans la théorie des cordes, les quanta fondamentaux ne sont pas des particules ponctuelles, mais des objets étendus à une dimension, des « cordes », qui peuvent être « ouvertes » ou « fermées » (fig. 15). Ces cordes sont minuscules et, à notre échelle, on ne peut percevoir leur extension spatiale.

Figure 15

Figure 15

Les cordes fondamentales de la théorie des cordes sont des objets minuscules à une dimension spatiale. Celles-ci peuvent être « ouvertes » ou « fermées ».

92Les cordes possèdent une tension et peuvent vibrer comme les cordes d’un violon. Les différents modes de vibration des cordes (« harmoniques ») correspondent à des particules de caractéristiques distinctes (masse, charges diverses). Les harmoniques étant en nombre infini, le nombre de particules distinctes décrites par la théorie est également infini.

93Les cordes sont soumises à des interactions mutuelles, et ces interactions conduisent aux forces connues entre les particules. La théorie des cordes reproduit en particulier la théorie d’Einstein pour les distances beaucoup plus grandes que la longueur de Planck, là où la théorie d’Einstein a été pleinement vérifiée. Les différences avec la théorie d’Einstein n’apparaissent qu’à très hautes énergies. Mais, même si c’est un domaine inaccessible expérimentalement, cette différence aux très hautes énergies est essentielle, puisqu’elle rend la gravitation compatible avec la mécanique quantique – en tout cas dans le cadre dit « perturbatif ». Dans le jargon des physiciens, la théorie des cordes est une « complétion ultraviolette » quantiquement cohérente de la gravitation einsteinienne.

94On peut donc parler de limite einsteinienne de la théorie des cordes, comme on parle de limite newtonienne de la théorie d’Einstein. La théorie d’Einstein n’est pas fausse, mais est la limite d’une théorie plus complète, qui s’y réduit dans les régimes de paramètres où elle a été testée.

95Une autre propriété attrayante de la théorie des cordes est qu’elle unifie toutes les forces fondamentales de la nature. Un des grands triomphes de la physique du xixe siècle a été de montrer que l’électricité et le magnétisme constituaient différents aspects d’une même force, la force électromagnétique. La théorie des cordes y ajoute gravitation et forces nucléaires, réalisant ainsi un rêve qui remonte à Einstein, celui d’une unification complète de toutes les interactions fondamentales.

96Malgré toutes ces belles réussites, la théorie des cordes souffre d’une limitation majeure. Elle ne constitue pas encore une véritable théorie. Les physiciens disposent d’un cadre puissant, riche en idées très séduisantes combinant des concepts profonds de physique, de géométrie et d’algèbre, et ouvrant des portes inattendues vers d’autres branches de la physique (physique nucléaire, physique de la matière condensée). Les outils disponibles permettent de faire des calculs approchés valables dans certaines limites et extrêmement fructueux et convaincants. Cependant, les équations fondamentales de la théorie – analogues aux équations de Maxwell pour l’électromagnétisme – ne sont pas encore connues. Pour cette raison, de nombreuses questions physiques faisant appel à la gravitation quantique et sortant des limites indiquées ne peuvent encore être abordées.

Symétries : la clé ?

97Malgré l’omniprésence des idées de symétrie dans les formulations actuelles de la théorie des cordes, plusieurs indications laissent penser que nous ne les avons pas encore découvertes toutes, et qu’une meilleure appréhension de ces symétries nous permettra de faire des progrès immenses. Et si ces symétries sont suffisamment larges – et donc, suffisamment contraignantes, comme nous l’avons vu plus haut –, elles détermineront peut-être de manière unique la formulation plus fondamentale recherchée de la théorie des cordes.

  • 11 Thibault Damour et Marc Henneaux, « E(10), BE(10) and arithmetical chaos in superstring cosmology » (...)

98Parmi ces indications sur l’existence de symétries encore à découvrir, je n’examinerai ici que la démarche développée en collaboration avec Thibault Damour de l’IHES (Institut des hautes études scientifiques), à Bures-sur-Yvette, et Hermann Nicolai de l’institut Max Planck à Potsdam11.

99Cette démarche repose sur une étude de la théorie d’Einstein et de ses généralisations supersymétriques dans un régime où les longueurs caractéristiques du champ de gravitation tendent vers la longueur de Planck.

  • 12 Les travaux de Belinski, Khalatnikov et Lifshitz (BKL) sont repris dans le livre : Vladimir Belinsk (...)

100Les physiciens théoriciens russes Vladimir Belinski, Isaak Khalatnikov et Evgeni Mikhailovich Lifshitz de l’institut Landau à Moscou ont fait à la fin des années 1960 des travaux remarquables sur les solutions des équations d’Einstein en régime de champ fort, au voisinage de ce qu’on appelle des « singularités de genre espace », où les longueurs qui caractérisent le champ de gravitation atteignent et dépassent l’échelle de Planck12. Ces situations prévalent au début de l’univers (Big Bang) ainsi qu’à l’intérieur des trous noirs (les deux situations sont décrites par le même type de solutions). On sait que ce régime est précisément celui où la théorie d’Einstein atteint ses limites, mais il est intéressant de pousser les équations, pour ainsi dire, dans leurs derniers retranchements.

101Ces physiciens ont montré que, dans ces situations extrêmes, la déformation de la géométrie – la gravitation donc –, donnée par l’évolution de trois facteurs d’échelle selon trois directions indépendantes, se caractérisait par des étirements alternant avec des compressions d’amplitudes de plus en plus grandes, en nombre infini lorsqu’on tend vers la singularité. Ce comportement anisotrope violent, correspondant à des forces de marée oscillant avec le temps, et qui déchirerait tout observateur ayant l’imprudence de s’y aventurer, a été baptisé « comportement oscillant BKL », du nom des théoriciens russes qui l’ont découvert. Même s’il est classique (non quantique), ce travail est très important car il décrit une propriété générique de la gravitation. Le comportement BKL possède des caractéristiques dynamiques de chaos très intéressantes, mais c’est sur d’autres propriétés, celles de symétrie, que je voudrais m’arrêter quelques instants.

102En reprenant l’étude de Belinski-Khalatnikov-Lifshitz dans le but de l’étendre à d’autres dimensions d’espace-temps et d’y inclure d’autres champs, nous avons pu mettre en évidence de manière tout à fait inattendue (car ce n’était pas ce que nous cherchions) des structures extrêmement régulières associées à des groupes de symétrie gigantesques et encore mal compris.

103Les travaux de Belinski-Khalatnikov-Lifshitz, et leur reformulation faisant apparaître des liens avec des groupes de symétrie inattendus, constitueront l’objet de ma première année de cours au Collège de France.

104Pour être plus concret, nous avons montré que la dynamique des facteurs d’échelles qui caractérisent la géométrie pouvait être reformulée, en chaque point de l’espace, comme la dynamique d’une boule de billard se déplaçant dans une portion de l’espace hyperbolique délimitée par des murs provenant du potentiel lié à la courbure de l’espace. On parle de « billards cosmologiques ». Qui plus est, ce billard est remarquablement régulier car les angles entre les murs sont des sous-multiples entiers de π (180 degrés).

105Dans le cas de la gravitation pure, la figure suivante montre le billard en question (fig. 16). Le plan hyperbolique est infini, mais il a été ramené à un disque de rayon fini par une contraction des distances de plus en plus grande lorsqu’on tend vers le bord qui représente l’infini.

Figure 16

Figure 16

Le billard hyperbolique associé à la théorie d’Einstein à quatre dimensions d’espace-temps (zone plus claire). Les angles entre les murs du billard sont de 0°, 60° et 90°. La surface du billard est finie, même si deux des murs ne se rejoignent qu’à l’infini.

106Si elle ne préserve pas les distances, cette représentation préserve les angles, qui peuvent donc directement être lus sur la représentation, car ce sont les mêmes que pour la géométrie euclidienne. Les angles du billard sont de 0, 60 et 90 degrés (angles dont la somme est strictement inférieure à 180 degrés car la courbure est négative).

107Il faut donc s’imaginer la dynamique des facteurs d’échelle comme une succession de mouvements libres dans le plan hyperbolique (fig. 17), décrivant la compression uniforme selon deux directions et l’étirement selon une direction des facteurs d’échelle, interrompus par des collisions avec les murs du billard, qui décrivent les oscillations où étirements et compressions deviennent portés par d’autres directions.

Figure 17

Figure 17

La dynamique des facteurs d’échelle est la même que celle d’une boule de billard se déplaçant dans la région du plan hyperbolique délimitée par les murs. C’est une succession de mouvements libres (représentés symboliquement par des segments de droites euclidiennes) interrompus par des collisions contre les murs, avec réflexion spéculaire (angle d’incidence = angle de réflexion).

108Lorsqu’on tend vers la singularité, il y a une dilatation infinie du temps, qui fait que le nombre de collisions (oscillations) est infini. Le mouvement de la boule de billard représentant notre géométrie ne s’arrête jamais.

109Cette description est sans doute abstraite et un peu mystérieuse. Mais il n’est pas nécessaire de comprendre les détails de la dérivation pour voir que des propriétés extrêmement intéressantes émergent. Le fait important à retenir de ce que je viens de présenter est qu’on peut réécrire, en chaque point de l’espace, la dynamique gravitationnelle comme celle d’une boule de billard se mouvant dans un billard très régulier, à savoir un triangle dont les angles sont des sous-multiples entiers de 180 degrés.

110Le même phénomène persiste si l’on inclut les champs correspondant aux autres forces (dont le champ électromagnétique), ainsi que les champs de matière prévus par la théorie des cordes. On obtient à nouveau, en régime de champs violents (au voisinage d’une singularité), une description des degrés de liberté retenus en termes de mouvement dans une portion de l’espace hyperbolique délimitée par des murs, définissant ainsi un billard cosmologique. Selon que l’on inclut tous les champs qui apparaissent en plus de la gravitation ou seulement une fraction d’entre eux, on obtient des billards de dimensions différentes, avec des murs différents, mais, à chaque coup, les murs définissent une région remarquablement régulière.

111Pour la théorie des cordes, le billard est une région de l’espace hyperbolique à 9 dimensions (il y a plus de degrés de liberté que les 3 facteurs d’échelle), délimitée par 10 hyperplans (un simplex, donc) formant des angles repris dans le schéma ci-dessous (fig. 18).

Figure 18

Figure 18

Schéma reprenant les angles entre les 10 murs du billard hyperbolique associé à la théorie des cordes.

112Dans ce schéma, chaque nœud représente un mur. Si les murs sont orthogonaux (angle de 90 degrés), on ne représente aucun lien entre eux. S’ils forment un angle de 180 degrés/n (où n est un entier > 2), on lie les nœuds correspondants et on marque n au-dessus de la ligne, sauf si n = 3, auquel cas on n’écrit rien (valeur par défaut).

113La régularité remarquable des billards ouvre la voie, comme je vais l’expliquer, vers des structures de symétrie encore plus remarquables.

114Quelles sont ces structures qui apparaissent ? Pour en donner un aperçu, revenons aux exemples géométriques du début de mon exposé. La symétrie pouvait s’y décrire en termes simples, comme symétrie axiale ou produit de quelques symétries axiales.

115La symétrie peut être plus compliquée. Les pavages du plan possèdent une infinité de symétries (fig. 19), tout comme la sphère. Dans ces cas, il est assez facile de décrire les transformations qui laissent ces figures invariantes. Ainsi, le pavage est invariant sous l’effet des translations et d’une série de symétries axiales.

Figure 19

Figure 19

Pavages du plan possédant une infinité de symétries (symétries axiales, translations, rotations).

116Le nombre de symétries est infini, mais discret, tandis que, pour la sphère, invariante par rotation, le nombre de symétries est infini et continu, dépendant de trois paramètres continus, la direction de l’axe de rotation (deux paramètres) et l’angle de rotation.

117Dans le cas des figures suivantes, correspondant à des pavages du plan hyperbolique (fig. 20), il y a aussi de la symétrie, mais elle est probablement plus compliquée à formaliser.

Figure 20

Figure 20

Quelques exemples de pavage du plan hyperbolique d'après Maurits Cornelius Escher.

118Les choses sont encore plus abstraites dans le cas qui nous intéresse, où les symétries agissent sur des équations, sur les lois de la physique.

119Pour être précis, il faut faire appel aux mathématiques. Le bon langage pour décrire la symétrie est celui de la théorie des groupes. Ce n’est pas ici, au Collège de France, où Jacques Tits, titulaire de la chaire Théorie des groupes de 1973 à 2000, a apporté des contributions magistrales au développement de la théorie des groupes, qu’il faut rappeler l’importance de cette dernière.

120À propos de la place prépondérante prise par les mathématiques dans la formulation des théories physiques, dont la relativité générale d’Einstein et la mécanique quantique nous ont déjà donné des exemples particulièrement significatifs, je voudrais citer Henri Poincaré, qui, dans son livre La Valeur de la science (1905), s’exprime ainsi :

Toutes les lois sont donc tirées de l’expérience ; mais pour les énoncer, il faut une langue spéciale ; le langage ordinaire est trop pauvre, il est d’ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis.

  • 13 Henri Poincaré, La Valeur de la science, Paris, Flammarion, 1917 [1905], p. 141.

Voilà donc une première raison pour laquelle le physicien ne peut se passer des mathématiques ; elles lui fournissent la seule langue qu’il puisse parler13.

121Les symétries qui apparaissent en gravitation, comme toutes les symétries, sont donc décrites par la théorie des groupes. Les réflexions dans les murs des billards définissent ainsi un groupe, appelé « groupe de réflexions » ou « groupe de Coxeter », du nom du mathématicien anglais qui en a jeté les bases théoriques. L’apparition de ces groupes est en elle-même déjà un résultat remarquable et encore mal compris, car n’apparaissent pas en gravitation n’importe quels groupes de Coxeter, mais uniquement ce qu’on appelle des « groupes de Coxeter hyperboliques », jouissant de la propriété supplémentaire d’être « cristallographiques ».

122Par cette propriété remarquable, ces groupes eux-mêmes sont associés à des groupes infini-dimensionnels beaucoup plus grands, appelés « groupes de Kac-Moody hyperboliques », et dont la théorie doit beaucoup aux travaux de Jacques Tits. Ce sont ces groupes plus grands qui décrivent une symétrie immense dont nous soupçonnons qu’elle joue un rôle clé dans la formulation recherchée de la théorie plus fondamentale de la gravitation qui permettrait la grande synthèse avec la mécanique quantique. Le groupe qui serait pertinent serait le groupe E(10), décrit par un diagramme de Dynkin identique au diagramme de Coxeter donné ci-dessus. La réalisation dynamique de ce groupe impliquerait de nouveaux degrés de liberté. Ces symétries ne sont pas visibles dans les formulations actuelles (elles nous sont cachées) et leur mise en évidence pourrait recéler la clé d’une formulation plus complète de la gravitation.

123Mais je m’arrêterai ici car, d’une part, le langage deviendrait, pour pouvoir poursuivre, malheureusement – et inévitablement – trop technique, ce qui rendrait mon propos hermétique ; et, d’autre part, nous sommes bel et bien arrivés aux confins de ce que nous comprenons, à l’une des frontières des recherches actuelles, à la fois en physique et en mathématiques.

  

124La tentation est souvent grande et parfois dangereuse de croire que la Nature se plie nécessairement à nos intuitions, quelque élégantes qu’elles nous paraissent. L’exemple du grand Johannes Kepler, qui voulait retrouver à toute force les régularités des solides de Platon dans les propriétés du système solaire, est là pour nous forcer à rester modestes et prudents, à ne pas succomber aveuglément au charme discret de la symétrie. Dans le cas des groupes dont je viens de parler, toutefois, l’évidence de leur importance s’est imposée à nous, alors que nous ne les cherchions pas, en analysant les propriétés de la gravitation dans un régime particulier, à partir d’un cadre bien établi. Et, de manière surprenante et remarquable, d’autres études sur la gravitation, tout à fait indépendantes, sont arrivées aux mêmes conjectures sur l’importance de ces groupes énormes de symétrie, conjectures reposant aussi sur des propriétés solidement établies. Je voudrais ici saluer les travaux pionniers de Bernard Julia, de l’École normale supérieure (ENS), qui a compris il y a bien longtemps le rôle majeur que devraient jouer pour la gravitation les groupes exceptionnels, dont E(10) est un exemple particulièrement fascinant.

125La quantification du champ de gravitation est un défi intellectuel passionnant que les physiciens devront résoudre. Cette recherche « en train de se faire » a déjà conduit à maints développements remarquables et sera sans doute encore la source de nombreuses idées fructueuses. C’est ce défi qui constituera la colonne vertébrale de la chaire Champs, cordes et gravité.

  

126Pour conclure, je voudrais rendre hommage à plusieurs personnes qui ont eu une influence considérable sur toute ma carrière.

127Ma famille – parents, épouse, enfants – m’a toujours soutenu et encouragé, même dans les moments difficiles. Sans ce soutien, je n’aurais pu mener à bien ma carrière professionnelle.

128Mes pensées vont également au regretté professeur Jules Géhéniau de l’Université libre de Bruxelles, qui guida mes premiers pas dans l’étude de l’admirable édifice scientifique qu’est la théorie de la relativité générale d’Einstein et m’en fit percevoir la beauté et l’élégance.

129Le deuxième événement capital de ma carrière fut ma rencontre, en 1978, avec le professeur Claudio Bunster, de l’Institute for Advanced Study à Princeton, qui m’invita aux États-Unis. Initialement prévu pour une durée d’un an, ce séjour d’études s’est transformé en une riche et fructueuse collaboration qui s’est poursuivie sur de nombreuses années.

130J’ai aussi une pensée émue pour mes professeurs de physique et de mathématiques à l’Athénée – appellation belge du lycée. C’est avec une grande tendresse que je me remémore leurs leçons, au cours desquelles ils n’hésitaient jamais à sortir du programme pour illustrer l’intérêt et la portée d’un concept ou d’une idée qui seraient restés sans cela un peu abstraits.

131Nous apprenons également beaucoup de nos étudiants, qui insufflent une fraîcheur, une ouverture d’esprit et un enthousiasme bienvenus dans nos recherches. J’ai eu la chance de travailler avec beaucoup de doctorants brillants, et c’est en saluant ces fructueuses collaborations que je terminerai cette leçon.

Notes

1 Chen Ning Yang, exposé à la Conférence internationale de physique théorique TH-2002, Paris, Palais de l’Unesco, 2002.

2 Le livre de Thibault Damour, Si Einstein m’était conté (Paris, Le Cherche Midi, 2005) présente un bel exposé, très accessible, des grandes idées et principes sous-tendant les travaux d’Einstein.

3 Voir par exemple l’ouvrage de John Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, New York, Scientific American Library/W.H. Freeman, 1990.

4 Ibid.

5 Plusieurs livres peuvent être recommandés sur l’histoire des conseils Solvay : Pierre Marage et Grégoire Wallenborn (dir.), Les Conseils Solvay et les débuts de la physique moderne, Bruxelles, Université libre de Bruxelles, 1995 ; Franklin Lambert et Frits Berends, Une « première mondiale » en physique : le conseil Solvay de 1911, Bruxelles, Archives et bibliothèque de l’Université libre de Bruxelles, 2011 ; Catherine d’Oultremont et Marina Solvay, Fantaisies quantiques. Dans les coulisses des grandes découvertes du xxe siècle, Paris, Éditions Saint-Simon, 2020.

6 Serge Haroche, Physique quantique, Paris, Collège de France/Fayard, coll. « Leçons inaugurales », 2004 ; en ligne : Collège de France, 2013, https://books.openedition.org/cdf/525.

7 « The Nobel Prize in Physics 1963 », NobelPrize.org : https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1963/summary/ (consulté le 4 janvier 2021).

8 « The Nobel Prize in Physics 1969 », NobelPrize.org : https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1969/summary/ (consulté le 4 janvier 2021).

9 « Award ceremony speech », NobelPrize.org : https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1969/ceremony-speech.

10 Un très bel article d’introduction aux enjeux de la théorie des cordes est celui de Constantin Bachas, « Théorie des cordes et gravité quantique », Images de la physique (revue de l’Institut de physique du CNRS), 2010, p. 88-95.

11 Thibault Damour et Marc Henneaux, « E(10), BE(10) and arithmetical chaos in superstring cosmology », Physical Review Letters, vol. 86, 2001, 4749, DOI : https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.86.4749 ; Thibault Damour, Marc Henneaux et Hermann Nicolai, « E(10) and a ‘small tension expansion’ of M theory », Physical Review Letters, vol. 89, 2002, 221601, DOI : https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.89.221601 ; Thibault Damour, Marc Henneaux et Hermann Nicolai, « Cosmological billiards », Classical and Quantum Gravity, vol. 20, 2003, R145, DOI : https://doi.org/10.1088/0264-9381/20/9/201.

12 Les travaux de Belinski, Khalatnikov et Lifshitz (BKL) sont repris dans le livre : Vladimir Belinski et Marc Henneaux, The Cosmological Singularity, Cambridge, Cambridge University Press, 2017.

13 Henri Poincaré, La Valeur de la science, Paris, Flammarion, 1917 [1905], p. 141.

Table des illustrations

Titre Figure 1
Légende Un quadrilatère quelconque.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
Titre Figure 2
Légende Un « cerf-volant », un rectangle et un carré.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 40k
Titre Figure 3
Légende Le cerf-volant possède un axe de symétrie, représenté par la droite verticale.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-3.jpg
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Titre Figure 4
Légende Un quadrilatère quelconque ne possède en général aucun axe de symétrie : le quadrilatère en trait discontinu obtenu par réflexion par rapport à l’axe vertical du quadrilatère en trait continu ne coïncide pas avec celui-ci.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-4.jpg
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Titre Figure 5
Légende Un papillon, invariant par symétrie axiale gauche-droite.
Crédits Crédit : Jean-Charles Chenu, Encyclopédie d'histoire naturelle ou Traité complet de cette science d'après les travaux des naturalistes les plus éminents de tous les pays et de toutes les époques, Paris, Maresq & Cie, p. 190.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-5.jpg
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Titre Figure 6
Légende Le rectangle possède deux axes de symétrie.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-6.jpg
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Titre Figure 7
Légende Le carré possède quatre axes de symétrie.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-7.jpg
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Titre Figure 8
Légende Dans le plan, la somme des angles d’un triangle vaut 180° et deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles (ne se rencontrent jamais).
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-8.jpg
Fichier image/jpeg, 40k
Titre Figure 9
Légende La géométrie de l’espace-temps est déformée par la matière.
Crédits Crédit : European Space Agency (ESA).
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-9.jpg
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Titre Figure 10
Légende Dans le cas de la sphère, les « lignes droites », c’est-à-dire les courbes qui minimisent la distance (« géodésiques ») sont les grands cercles, dont l’équateur et les méridiens donnent des exemples. La somme des angles d’un triangle sphérique est supérieure à 180° (dans le cas de la figure, on a 270°) et deux grands cercles (dans le cas de la figure, deux méridiens) perpendiculaires à un même grand cercle (équateur) se rencontrent (ici aux pôles).
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-10.jpg
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Titre Figure 11
Légende L’accélération relative des géodésiques due à la déformation de la géométrie de l’espace-temps rend compte de la force de gravitation.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-15.jpg
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Titre Figure 12
Légende Coupures du Times de Londres (7 novembre 1919) et du New York Times (10 novembre 1919) annonçant les résultats de l’expédition d’Eddington.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-16.png
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Titre Figure 13
Légende Image du trou noir supermassif au centre de la galaxie M87.
Crédits Crédit : Event Horizon Telescope Collaboration, https://www.eso.org/​public/​images/​eso1907a/​.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-17.jpg
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Titre Figure 14
Légende Participants au cinquième conseil de physique Solvay, « Électrons et photons » (Bruxelles, 1927).
Crédits Crédit : Instituts internationaux de physique et de chimie Solvay, http://www.solvayinstitutes.be/​img/​photo_gallery/​solvay_conseils_physique/​SolvayPhysiq1927.jpg.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-18.jpg
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URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-19.jpg
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Titre Figure 15
Légende Les cordes fondamentales de la théorie des cordes sont des objets minuscules à une dimension spatiale. Celles-ci peuvent être « ouvertes » ou « fermées ».
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-22.jpg
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Titre Figure 16
Légende Le billard hyperbolique associé à la théorie d’Einstein à quatre dimensions d’espace-temps (zone plus claire). Les angles entre les murs du billard sont de 0°, 60° et 90°. La surface du billard est finie, même si deux des murs ne se rejoignent qu’à l’infini.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-23.jpg
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Titre Figure 17
Légende La dynamique des facteurs d’échelle est la même que celle d’une boule de billard se déplaçant dans la région du plan hyperbolique délimitée par les murs. C’est une succession de mouvements libres (représentés symboliquement par des segments de droites euclidiennes) interrompus par des collisions contre les murs, avec réflexion spéculaire (angle d’incidence = angle de réflexion).
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-24.jpg
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Titre Figure 18
Légende Schéma reprenant les angles entre les 10 murs du billard hyperbolique associé à la théorie des cordes.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-25.jpg
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Titre Figure 19
Légende Pavages du plan possédant une infinité de symétries (symétries axiales, translations, rotations).
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-26.jpg
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Titre Figure 20
Légende Quelques exemples de pavage du plan hyperbolique d'après Maurits Cornelius Escher.
URL http://books.openedition.org/cdf/docannexe/image/11648/img-27.jpg
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Auteur

Professeur au Collège de France, titulaire de la chaire Champs, cordes et gravité

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