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Segni e metafore dell’Infinito nell’epoca classicistico-romantica

 | 
Chiara Sandrin

Infinito e contraddizione nella logica hegeliana

Ludovica Conti

Texte intégral

Contradictio est regula veri,
non contradictio falsi.
(F. Hegel, Dissertatio Philosophicae
de Orbitis Planetarum
)

Introduzione

  • 1 Per una ricostruzione del retroterra scientifico dell’opera hegeliana, cfr. F. Rebuffo, Hegel e il (...)

1La produzione hegeliana, fin dagli scritti giovanili, testimonia un esplicito interesse dell’autore nei confronti del dibattito scientifico contemporaneo1. Un’attenzione particolare è rivolta al pensiero matematico ed è possibile sostenere che, proprio dallo sforzo filosofico di ripensare le recenti acquisizioni di questa scienza, provengano alcune delle tesi filosofiche delle opere mature. In questa sede ci concentreremo sul ruolo svolto dalle coeve ricerche sul metodo infinitesimale e sui processi infiniti nella formazione di due concetti centrali del pensiero hegeliano, ossia la “vera infinità” e il “cattivo infinito”.

2Bisogna sottolineare che, nell’economia del pensiero hegeliano, i problemi matematici non forniscono solo un ricco patrimonio di esempi e di conferme delle posizioni filosofiche, ma sono all’origine del peculiare ripensamento di alcuni nuclei concettuali, come la relazione tra infinito potenziale e infinito attuale.

3La tesi che si intende sostenere concerne dunque non solo il contributo genetico offerto dalla scienza alla maturazione della consapevolezza filosofica ma soprattutto la funzione teorica che le domande scientifiche – e in particolare matematiche – svolgono nel quadro della riflessione dialettica: contenuto della matematica sono infatti determinazioni di carattere propriamente speculativo, che tuttavia vengono inadeguatamente formulate da tale disciplina a causa di una debolezza metodologica. Il profondo discrimine tra presentazione matematica e ripensamento filosofico dell’infinito dipende dalle differenti forme di contraddizione coinvolte ed è dunque a questa differenza logica che vanno ricondotte.

  • 2 Bisognerebbe infatti ricordare almeno – prima di Fede e Sapere – il Frammento Sistematico (1800) i (...)
  • 3 Id., Fede e Sapere, in Id., Primi scritti critici, Milano, Mursia, 1990, pp. 123-261.
  • 4 Id., Wissenschaft der Logik, in Id., Gesammelte Werke, Hamburg, Meiner, 1968 - vol. 11 [trad. it. (...)

4Non potendo documentare questa tesi esaminando tutti i passi della produzione hegeliana dedicati al tema2, si considereranno come ideali punti di riferimento – emblematici rispettivamente della cosiddetta “prima” produzione critica e del pensiero maturo – i testi di Fede e Sapere 3 (1802) e le diverse edizione (1812-1816, 1831) della Scienza della Logica 4.

1. Dall’infinito astratto al cattivo infinito

5In Fede e Sapere la vera infinità viene contrapposta a due forme di infinito speculativamente insoddisfacente, rappresentate rispettivamente dalla nozione fichtiana di infinito e dal fraintendimento che – secondo Hegel – attraversa la lettura dell’infinito spinoziano da parte di Jacobi. La nozione di “cattivo infinito”, centrale nella Scienza della Logica, viene dunque prefigurata, in Fede e Sapere, dalla nozione fichtiana di infinito astratto e da quella spinoziana di infinito empirico, entrambe espressioni dell’infinito potenziale, esemplificate, in matematica, dai processi infiniti.

  • 5 Id., Fede e Sapere cIt., p. 180: «l’assoluto concetto è l’infinitezza, esso è in sé assoluta affer (...)
  • 6 A. Moretto, Hegel e la “matematica dell’infinito”, «Quaderni di Verifiche», (1984), pp. 108-118.
  • 7 F. Hegel, Fede e Sapere cit., p. 181: «L’infinito però nella sua realtà […] è l’infinito della rif (...)

6L’infinito astratto si contrappone formalmente al finito quale sua negazione, esprimendo il rapporto tra finito e infinito da un punto di vista soggettivo-trascendentale, quale attività intellettiva di differenziazione5. Tale infinito negativo o astratto è a sua volta condizione dell’infinito empirico – secondo volto del “non vero”6 infinito in cui i termini contrapposti di finito e infinito vengono riflessivamente considerati come l’esito, trasformato positivamente dall’immaginazione, dell’attività formale e soggettiva della negazione7.

  • 8 Sulle differenze tra concezione hegeliana delle serie infinite e quella disponibile nell’analisi m (...)
  • 9 Nell’edizione del 1831 Hegel può considerare un testo di Dirksen (cfr. R. H. Dirksen, A. L. Cauchy (...)

7Tale nozione è esemplificata dal progresso infinito delle serie infinite8, delle scritture decimali illimitate e delle approssimazioni infinite: tale processo non è formalmente scorretto, ma fallisce la rappresentazione della vera infinità perché si esaurisce nella ripetizione indefinita, ossia senza termine ultimo, di un medesimo elemento finito. Nella matematica post-hegeliana la somma di serie infinite verrà ricondotta, in modo concettualmente più agevole, alla nozione di limite. Di tale strumento matematico non era tuttavia disponibile una definizione rigorosa9 e dunque l’espressione, ad esempio, di somme infinite, doveva essere affidata alla rappresentazione simbolica di un’identità imperfetta tra un numero e una serie la cui somma programmaticamente non raggiungesse tale quantità, tradendo di fatto l’uguaglianza.

  • 10 F. Hegel, Fede e Sapere cit., p. 180, p. 179: «il particolare è liberato dalla sussunzione sotto i (...)

8Le espressioni di questo genere, nella forma in cui vengono discusse fino agli anni venti e trenta dell’ottocento, non riescono dunque a esprimere la vera infinità perché rappresentano le parti isolatamente, individuate e astratte dall’intero che contribuiscono a costituire10. A prescindere dall’esattezza di questa valutazione, non è difficile – neanche per il lettore moderno – scorgere, nella scansione inesauribile delle serie e dei processi infiniti, l’idea matematica dell’infinito potenziale.

  • 11 Id., Wissenschaft der Logik cit., p. 277: «Così la serie 0,285714… oppure 1 + a +a2 +a3…è l’infini (...)
  • 12 Id., Wissenschaft der Logik,cit., p. 144: «Il progresso all’infinito è dunque la contraddizione ch (...)

9Un punto di esplicito contatto tra Fede e Sapere e la Scienza della logica è fornito dalla discussione dei medesimi esempi matematici di “cattivo infinito”, come la scrittura decimale e lo sviluppo di frazioni11. Con ancora più nettezza rispetto a Fede e Sapere, il lato formale e vuoto dell’infinito astratto e i risultati staticamente contraddittori dell’infinito empirico convergono, nella Scienza della logica, a definire il vano – e solo in tal senso “cattivo” – tentativo intellettivo di comprensione dell’infinito. Appare più chiaro, in quest’opera, che i casi matematici di contrapposizione indefinita tra finito e falso infinito non siano estrinseche esemplificazioni ma espressioni genuine di un metodo essenziale alla scienza matematica: l’estensione potenziale dell’infinito altro non è che la conseguenza di una contraddizione irrisolta e bloccata nella scissione delle sue determinazioni contrapposte12.

  • 13 Si considerano, in particolare, la sezione su “L’infinità” del Capitolo secondo (L’essere determin (...)
  • 14 Cfr. Aristotele, Physica, III (Γ) 207b 11-14: «il numero è infinito in potenza ma non in atto; epp (...)
  • 15 F. Hegel, Wissenschaft der Logik cit., p. 251: «il pensiero soccombe, si finisce colla caduta e co (...)

10Con evidente continuità tra le sezioni dedicate alla Qualità e le sezioni dedicate alla Quantità13, Hegel riconduce il progresso infinito che anima tanto le serie infinite – quanto le scritture decimali illimitate o le approssimazioni indefinite – alla frammentazione astratta e pertanto inesauribile delle determinazioni intellettive dell’infinito quantitativo; le considerazioni qualitative su finitezza, cattiva infinità e progresso infinito vengono infatti riprese e pienamente sviluppate nell’ambito della quantità, trattando la categoria del quanto, di cui fanno parte le grandezze matematiche. Ciò che contraddistingue la dimensione quantitativa da quella qualitativa della determinatezza è la caratteristica che Hegel chiama “indifferenza” del limite. Tale indifferenza emerge come cifra distintiva del quanto e, indirettamente, dell’attività matematica: la determinazione relativa che scandisce la dialettica del quanto deriva proprio dalla sua neutralità rispetto al mutamento e al limite, generando quell’infinito avvicendarsi di finito e (cattivo) infinito che caratterizza l’infinito potenziale. In aperta polemica con la trattazione kantiana del sublime, Hegel ribadisce tuttavia il grave fraintendimento con cui la nozione aristotelica di infinito potenziale si è imposta nella tradizione matematica14, coprendo, con la natura razionale dei contenuti scientifici, la profonda irrazionalità di questo procedere d’intelletto15.

  • 16 Cfr. F. Rebuffo, Hegel e il pensiero matematico cit.

11Parti importanti delle considerazioni hegeliane sul cattivo infinito – da Fede e Sapere fino alla Scienza della Logica – sono rappresentate sia dalla critica al cosiddetto metodo dei limiti – utilizzato ad esempio da Newton, D’Alembert, L’Huilier, Lacroix, Cauchy – sia dalla critica all’integrale leibniziano16.

  • 17 F. Hegel (a cura di F. Hogemann – W. Jaeschke), Wissenschaft der Logik. Zweiter Band. Die Subjecti (...)
  • 18 Ibid.

12Senza entrare nel dettaglio delle critiche hegeliane a questi metodi, è possibile individuare dei temi ricorrenti e individuare un’obiezione metodica di fondo. Una prima critica concerne l’inadeguata espressione sensibile dei concetti di cui la matematica ha intuizione. Hegel contesta l’inefficacia del simbolismo matematico, costretto a trattare l’infinito con i segni utilizzati inizialmente per il finito17, ad esempio l’espressione grafica della differenza infinita di coordinate mediante segmenti paralleli o la rappresentazione di una curva come una spezzata poligonale ordinaria (invece che con infiniti lati infinitesimi)18.

  • 19 Ivi, p. 285: l’approssimazione «dà a questo calcolo l’apparenza d’imprecisione e addirittura d’ine (...)

13Ancora più grave dell’utilizzo metaforico delle rappresentazioni finite per esprimere l’infinito concettuale è l’impiego del simbolismo finito per esprimere l’infinito nel procedimento di calcolo. Nella prospettiva hegeliana, il segno priva infatti il concetto della sua intrinseca dialetticità. Nella sua componente grafica, qualsiasi esempio matematico perde il proprio senso concettuale e a questo difetto Hegel attribuisce il fraintendimento della nozione di infinito: l’infinitamente piccolo, tradito dal simbolo, viene confuso con la nozione approssimativa e finita di relativamente piccolo19.

14Hegel dunque, pur riconoscendo l’esigenza di universalità che muove l’analisi, rileva che proprio l’aspirazione alla generalità e all’astrattezza le impedisca di cogliere il lato concreto della determinazione concettuale, condannandola ad un inadeguato formalismo.

  • 20 Ivi, p. 235: «Il concetto non può come tale essere colto essenzialmente che con lo spirito […].È i (...)

15Le critiche di tipo metodologico mosse all’analisi sono in realtà un’utile lente per analizzare i problemi ravvisati da Hegel nella logica formale20. Il metodo analitico della matematica ha infatti come obiettivo ultimo – secondo Hegel – una riconduzione del concetto al calcolo logico. Lo stesso calcolo infinitesimale, sia quale calcolo di grandezze infinitesime sia quale calcolo di funzioni, conferma questa irreversibile direzione algoritmica. Le critiche hegeliane alla trattazione matematica dell’infinito dipendono dunque dalla constatazione che l’unico modo che questa scienza ha di perseguire rigorosamente i propri obiettivi la costringe a una considerazione – intellettualistica e dunque inadeguata – delle determinazioni concettuali.

16Nonostante questo rilievo – condizione della più generale condanna di una filosofia more geometrico – Hegel riconosce alla matematica, soprattutto nell’edizione del 1831 della Scienza della Logica, il merito di intuire, dall’interno dell’ambito finito che le è proprio, alcuni contenuti speculativi, come appunto quello di infinito.

17Si evince dunque, già dall’analisi del “cattivo” infinito, la collocazione e la funzione dialettica delle critiche hegeliane all’infinito matematico: rilevando l’inadeguatezza espressiva delle esemplificazioni matematiche alla dimensione concettuale dei contenuti e interpretando questo difetto come conseguenza dell’origine intellettualistica dei procedimenti di tale scienza, è indirettamente segnata la differenza metodologica richiesta alla riflessione filosofica.

2. Infinitum actu o vera infinità

18A dispetto della presentazione isolata della vera infinità, inevitabilmente disgiunta e successiva rispetto a quella dell’infinito astratto ed empirico, la cifra caratteristica di questa determinazione hegeliana dell’infinito è – fin da Fede e Sapere – la sua dialetticità, ossia la sua capacità di trattenere in sé i momenti dell’astrazione, della contraddizione estrinseca e della sua potenziale manifestazione empirica, risolvendoli in una totalità compiuta e presente. Nonostante l’inadeguata rappresentazione fornita dal cattivo infinito, Hegel sottolinea a più riprese l’essenziale funzione di tale momento nella comprensione della vera infinità. La vera infinità non esclude dunque il processo infinito delle serie matematiche ma lo comprende e lo realizza in atto, contraendo la temporalità discreta della successione delle parti nella simultaneità della loro relazione.

  • 21 Ivi, p. 261: «Così l’infinito è determinato solo come prima negazione, e così esso appare nell’inf (...)

19Se il progresso infinito contiene sia l’aspetto finito del quanto sia l’aspetto infinito della sua negazione, il vero infinito è l’unità di entrambi questi momenti, raggiunta mediante una seconda negazione21: limitando – e dunque negando – il progresso infinito, se ne determina univocamente l’indeterminatezza potenziale, realizzando – nella sua interezza attuale – la determinazione concettuale dei suoi momenti.

  • 22 Un altro tema su cui emerge l’eredità platonica (in particolare dal Parmenide) sono le considerazi (...)

20È utile ricordare, come modello filosofico implicito della concezione hegeliana, la proposta del Filebo platonico di individuare, come primi tre generi dell’essere, l’infinito, il limite e il genere misto. Più volte ricordata da Hegel, la proposta platonica è particolarmente rilevante nella dialettica del quanto (esposta nella sezione sulla Quantità) e incide dunque direttamente nella trattazione hegeliana delle esemplificazioni matematiche22.

21Nonostante le critiche alle inadeguate rappresentazioni del cattivo infinito, è ancora nella matematica che Hegel rinviene importanti intuizioni del vero infinito. Un autore che esplicitamente influenza questa lettura hegeliana della matematica è Spinoza. Senza insistere sulla complessa eredità di questo autore nella formazione del pensiero hegeliano, è bene almeno ricordare che proprio Spinoza aveva esplicitamente individuato nella matematica le due distinte manifestazioni, potenziale e attuale, dell’infinito.

  • 23 B. Spinoza, Epistola XII, vol II, in Id., Opera, Heidelberg, 1924, vol. 4, pp. 56-62.
  • 24 All’infinito potenziale Spinoza non riserva neppure il nome di infinito.
  • 25 B. Spinoza, Epistola XII cit., p. 57.
  • 26 Ivi, pp. 82-83 (59-60): «se si tracciano delle semirette aventi origine nel centro del cerchio più (...)
  • 27 Nella citazione, Hegel traduce lo spinoziano «omnes inaequalitates spatii […] omnesque variationes (...)
  • 28 Sulla lettura hegeliana di Jacobi, cfr. V. Verra, F.H. Jacobi. Dall’illuminismo all’idealismo, Tor (...)

22Nell’Epistola XII 23 citata e commentata a più riprese da Hegel, Spinoza individuava una prima dimensione potenziale di “non finito” 24 matematico, quale iterazione illimitata e continuamente rinnovata dell’immaginazione, all’origine del tempo, della misura e del numero25. Questa continua e indefinita riproposizione del finito è facilmente identificabile con l’infinito potenziale accolto dal pensiero – o meglio, per Spinoza, dall’immaginazione – dei matematici: proprio questa modalità iterativa di tensione all’infinito, motivava la condanna scientifica dell’infinito, costitutivamente irragiungibile nel tempo e nella misura. Sempre nell’ambito matematico, Spinoza trovava tuttavia concettualizzata un’ulteriore dimensione, corrispondente all’infinito attuale. Il fortunato esempio, presentato nell’Epistola XII e più volte richiamato da Hegel, consiste nelle disuguaglianze delle distanze tra i centri di due cerchi non concentrici e contenuti l’uno nell’altro26. Senza insistere sul fraintendimento che probabilmente guida la citazione27, è importante notare come Hegel riconosca nell’infinitum actu di Spinoza, un’efficace prefigurazione della vera infinità. Prendendo le distanze dall’equivoca “finitezza infinita” della lettura di Jacobi28, Hegel riconosce in questo esempio il farsi reale del processo potenzialemente infinito e l’uscita dalla sfera (spinoziana) dell’immaginazione verso la comprensione attuale di un infinito compiuto che riassuma in sé i momenti astratti rappresentati dalle singole determinazioni.

  • 29 F. Hegel, Lezioni sulla storia della filosofia, Roma, Laterza, 2013, vol. III, p. 115.
  • 30 Id., Wissenschaft der Logik cit., p. 277: «l’incommensurabilità che sta nell’esempio di Spinoza, r (...)

23Nell’esempio dei cerchi concentrici – come in quello degli infiniti punti di un segmento29 – la matematica diventa porta d’accesso a un concetto che, secondo le coordinate hegeliane, le rimane metodologicamente estranea: l’infinità attuale delle differenze tra i segmenti compresi nello spazio tra i due cerchi, così come quella dei punti, alludono a una determinazione della grandezza che oltrepassa il quanto (discreto) e anticipa la nozione – che diverrà centrale nella matematica dell’ottocento – di relazione30. Considerando l’esempio spinoziano, la presentazione hegeliana sembra dunque sempre più chiaramente oscillare tra la valorizzazione del contenuto intuito dalla matematica e la sfida metodologica di individuare un metodo alternativo e specificamente filosofico – dunque dialettico – per raggiungerlo adeguatamente.

  • 31 Tale consapevolezza, diffusa nelle diverse edizioni della Scienza della Logica, era in realtà già (...)

24La relazione matematica è indagata nella sezione sulla Quantità all’inizio della teoria della misura e, in particolare, nelle prime due Note sull’infinito matematico. Nella teoria della misura, le relazioni quantitative vengono applicate per determinare le leggi della natura – dunque in rapporto alle funzioni continue. In generale, Hegel considera le relazioni e le funzioni come l’espressione matematica del legame tra variabili. Tale nozione, implicita nelle considerazioni sulla geometria greca e sull’indagine cartesiana dei luoghi geometrici, aveva trovato pieno sviluppo nella geometria analitica e nell’analisi moderna. L’interesse hegeliano deriva dal riconoscimento della natura qualitativa delle relazioni tra grandezze31: come già individuato da Leibniz, tramite i concetti relazionali, la matematica si affranca progressivamente dalla definizione di “scienza della quantità”, ponendo le condizioni per un confronto più stringente con le domande filosofiche.

  • 32 Id., Wissenschaft der Logik cit., p. 225: nel calcolo infinitesimale «la matematica […] non può el (...)

25Un approfondimento del tema spinoziano della relazione tra segmento e disuguaglianze spaziali è affidato alla discussione del calcolo differenziale che, consentendo di passare da una funzione alla sua derivata (quindi al suo coefficiente differenziale) conserva il carattere relazionale proprio dell’intuizione matematica sull’infinito attuale. L’attenzione di Hegel per il calcolo differenziale è esplicitamente giustificata dalla sua natura contraddittoria32. Proprio la presenza della contraddizione, se per un verso consente risultati matematici diversamente insperati, d’altro canto conferma l’intuizione speculativa all’origine delle scienze. Senza ripercorrere dunque i commenti puntuali della prima nota sull’infinito matematico ai diversi metodi di calcolo, è importante collocare le valutazioni matematiche sullo sfondo di un debito che, secondo Hegel, la riflessione filosofica ha contratto nei confronti di questo ramo della scienza: con il rigore che lo contraddistingue, il calcolo ha intuito il concetto di grandezza infinita e i suoi metodi sono tanto più meritevoli quanto più disperdono la dimensione quantitativa della contraddizione, evidenziandone l’aspetto qualitativo di relazione/funzione.

  • 33 Nonostante l’accurata conoscenza del lavoro matematico di questo autore, l’attenzione di Hegel è c (...)

26Un utile complemento di queste tracce di vera infinità adombrate nel continuo è contenuto nella terza nota sull’infinito matematico, nelle pagine dedicate all’analisi del pensiero di Cavalieri33. La seconda e la terza nota sull’infinito matematico si concentrano infatti su metodi – come quello di esaustione o, nel caso di Cavalieri, degli indivisibili – precedenti e matematicamente più deboli del calcolo infintesimale di Leibniz e Newton. Hegel tuttavia insiste sul pregio speculativo di quei procedimenti e delle stesse conclusioni antinomiche cui spesso conducevano.

  • 34 Cfr. C. Bayle, Dictionaire historique et critique, cinquieme edition, revue, corrigée, et augmenté (...)

27Uno degli aspetti della proposta di Cavalieri su cui si concentra l’attenzione hegeliana è il carattere attuale degli “aggregati” infiniti. Sebbene sia anacronistico cercare in Cavalieri,o in autori coevi, idee insiemistiche, è lecito rinvenire nella trattazione degli indivisibili aspetti che confluiranno nella sistemazione cantoriana e, per quanto riguarda il pensiero hegeliano, una conferma della nozione filosofica di infinito attuale. Un primo modo di intendere matematicamente l’infinitum actu – presentato ad esempio da Bayle34 e rifiutato da Hegel – consisteva nella collezione o riunione di elementi dati tutti simultaneamente nella loro specifica individualità. Una seconda nozione – riconosciuta da Hegel in Cavalieri – prevedeva invece solo la potenziale disponibilità degli elementi infiniti, di cui fosse tuttavia afferrabile la totalità unitaria. In questa più complessa nozione di attualità, i singoli elementi infiniti non sono dati immediatamente nella loro specifica individualità ma, tramite la loro partecipazione all’intero, diventano individuabili, mediante astrazione, come momenti isolati.

28Cavalieri si era confrontato problematicamente con i propri risultati sull’infinità attuale degli indivisibili, constatandone la divergenza dai dettami scolastici che prevedevano un’univoca nozione di infinito e rilevavano l’assenza di un numero sufficientemente infinito per “contare” un eventuale aggregato attualmente infinito. La priorità dell’intero sulla parte, difesa da Hegel sulla base dell’apparato teorico dialettico, trova dunque, nel lavoro matematico sull’infinito di autori come Cavalieri, indirette conferme.

29Si può concludere questa rapida rassegna hegeliana di suggestioni matematiche sul vero infinito, sottolineando che, per un verso, Hegel ammette – con Spinoza – che sia possibile rinvenire in matematica diverse esemplificazioni dell’infinitum actu; d’altro canto tuttavia, riconosce che negli esempi matematici si rappresenti un ente, unico, semplice e intero, cui ricondurre i momenti considerati. La vera soluzione speculativa deve invece trascendere l’esemplificazione matematica, riconoscendo l’unità e la continuità dei momenti, non in un ente, ma nella legge – o meglio relazione – di contraddizione.

3. Infinito e contraddizione

30Una chiave per rileggere la dialettica tra la vera infinità e le varie forme di cattivo infinito (infinito astratto ed empirico) è offerta dai ripetuti accenni hegeliani alle diverse accezioni della contraddizione. È infatti legittimo rinvenire, nelle differenti presentazioni della nozione di infinito, l’operato di almeno due principi logici legati alla nozione equivoca di contraddizione – rispettivamente alla base del metodo matematico e speculativo.

  • 35 Id., Wissenschaft der Logik. Zweiter Band cit., pp. 463-489: la negazione presente nel principio d (...)

31Si deve premettere che la posizione hegeliana include un tacito ripensamento della nozione tradizionale di contraddizione, fondato su una diversa concezione della negazione. La negazione contraddittoria della tradizione logico-metafisica occidentale era una negazione indeterminata, vuota, espressione della pura alterità rispetto al positivo35. Hegel, al contrario, rifiuta l’indeterminatezza in nome di una negazione determinata, che direttamente interviene nella riformulazione della contraddizione. L’accezione hegeliana della negazione contraddittoria è infatti quella di opposizione: l’alterità del negativo dispone di un contenuto intrinsecamente positivo che determina completamente ciò che sta negando.

  • 36 Id., Fede e Sapere cit., p. 181: «l’assoluto concetto è infinitezza, esso è in sé assoluta afferma (...)
  • 37 A.G. Baumgarten, Metaphysica, a cura di G. Günter, Stuttgart, Frommann-Holzboog, 2011, § 7: «Nihil (...)

32Trascurando i dettagli della controversa eredità concettuale e terminologica che permea tutta la logica hegeliana, è tuttavia legittimo riconoscere, nella contraddizione assoluta e irrisolta, ascritta da Hegel al procedere astratto del cattivo infinito36, proprio la contestata figura logica della contraddizione tradizionale37. L’obiezione teorica all’infinito potenziale, contro l’inesauribile riproposizione del finito e ai suoi nefasti effetti sulla comprensione speculativa, riflette fedelmente la polemica hegeliana alla logica statica dell’identità o non-contraddizione. Il difetto metodologico che impedisce al calcolo matematico di comprendere il contenuto relazionale, che pure intuisce, del concetto di (vero) infinito è dunque riconducibile a quel significato privativo di negazione che vige nella logica tradizionale e che, incapace di aderire al reale, ne determina lo statuto irrimediabilmente formale; l’ontologia, inevitabilmente astratta, corrispondente a questa contraddizione vuota non sarebbe infatti adeguata a offrire il contenuto relazionale della realtà, dunque tradirebbe la vera infinità.

  • 38 F. Hegel, Wissenschaft der Logik cit., p. 36: «quel che si contraddice non si risolve nello zero, (...)

33Al contrario la nozione hegeliana di contraddizione speculativa è il cuore del vero infinito, intuito dalla matematica ma dissolto nelle aporie dell’intelletto. La contraddizione speculativa non soltanto evita la conclusione nulla38 ma attualizza la dialettica dei momenti, consentendo una rappresentazione adeguata dell’intero: la contraddizione delle proposizioni trova risoluzione – in una logica dinamica che rispecchi il reale – non nella loro reciproca esclusione ma nell’unità delle loro determinazioni.

  • 39 Nonostante la tentazione di ravvisare nella logica hegeliana dell’opposizione – e in particolare n (...)

34È importante ribadire non solo la differenza degli esiti delle due contraddizione ma il diverso piano in cui intervengono: le antinomie dell’intelletto, insuperabili nella prospettiva potenziale e finita del calcolo formale, si risolvono nell’unità speculativa del concetto, approdo fenomenologico di un movimento dialettico e unica vera dimensione di una logica speculativa del reale39. Le antinomie kantiane non sono evitate nel contenuto – che rimane, al contrario, alimento di una logica della contraddizione – ma superate nella forma, riconosciute come momenti di una totalità concettuale.

35La vera infinità, quale soluzione sintetica delle determinazioni parziali dell’infinito astratto ed empirico, esprime dunque efficacemente, nella sua attualità, la figura logica della contraddizione speculativa.

  • 40 F. Hegel, Wissenschaft der Logik cit., p. 204: «la vera soluzione delle antinomie» consiste nel ri (...)

36Si potrebbe forse perfino evitare di distinguere due forme di contraddizioni, quasi fossero due differenti manifestazioni d’intelletto e ragione. Il superamento che investe gli opposti non li annulla infatti come tali, ma ne risolve la reciproca esclusione in una totalità che li comprende. Come descritto nel passaggio dal cattivo al vero infinito, il processo seriale non è abbandonato ma riconsiderato, mettendo in luce la vera unità che precede la distinzione dei momenti e allontana lo spettro formale e intellettualistico delle antinomie40.

2. Conclusioni

  • 41 Per una rassegna sulle possibili interpretazioni di questo tema, cfr. A. Sarlemijn, Hegelsche Dial (...)

37Questa relazione tra il tema dell’infinito e lo strumento logico della contraddizione eccede gli stessi contenuti ascritti da Hegel rispettivamente al cattivo e al vero infinito e le connesse considerazioni metodologiche sul lavoro matematico e speculativo. Una conferma sistematica della relazione tra il tema dell’infinito e la proposta di una logica della contraddizione è rintracciabile infatti nella funzione metacategoriale – tipicamente ascritta alla contraddizione41 – che anche il concetto di infinito, sebbene diffusamente trattato all’interno del testo, riveste nella struttura della logica hegeliana.

  • 42 Sull‘infinito come “metacategoria”, cfr. M. Baum, Zur Methode der Logik und Metaphisik beim Jaener (...)
  • 43 F. Hegel, Wissenschaft der Logik. Zweiter Band cit., p. 455.

38Fin dalle prime riflessioni, l’infinito sembra trascendere la collocazione tradizionale delle categorie, assumendo una funzione dialettica di articolazione transcategoriale42. Non potendo analizzare la complessa rielaborazione hegeliana della tradizione filosofica relativa alle categorie, è possibile almeno ricordare che queste, quali determinazioni di pensiero, erano intese da Hegel – in quanto predicati universalmente applicabili43 – come forme di un intelletto finito. L’infinità sembra dunque sottrarsi, per definizione, alla funzione predicativa richiesta alle categorie.

  • 44 La deduzione categoriale prevedeva infatti solo qualità, quantità e quanto, seguito dalla categori (...)

39Una prova in favore di questo ruolo transcategoriale dell’infinito è inoltre fornita dalla diffusione della sua trattazione. Nel caso della Scienza della Logica, come già accennato, l’infinità viene anzitutto presentata nel secondo capitolo della sezione sulla Qualità, sull’essere determinato; viene nuovamente tematizzata, all’interno della sezione sulla Quantità, sia indirettamente, discutendo l’antinomia kantiana dell’infinita divisibilità del tempo, dello spazio e della materia, sia autonomamente, sotto forma di infinità quantitativa, con particolare attenzione all’infinito matematico, quale infinità del quanto. In questa controversa sistemazione, la Scienza della Logica sembra confermare il ruolo che l’infinito aveva già svolto nella Logica di Jena e, in particolare nella sezione sul Rapporto semplice. Già in quell’occasione, l’infinità sembrava infatti sfuggire non solo alla caratterizzazione finita di categoria, ma anche a quella di classe categoriale: ad una prima partizione della sezione in Qualità, Quantità, Quanto e Infinità, seguiva infatti una deduzione categoriale tripartita che rinunciava all’infinità come momento della deduzione44.

40Esclusa la sua natura categoriale, l’infinità sembra dunque implicitamente declinare la propria dimensione transcategoriale in senso critico rispetto alle classificazioni tradizionali, esprimendo, in generale, la dialettica tra classi categoriali e, nello specifico delle sezioni sul Rapporto semplice della Logica di Jena e sull’infinità quantitativa della Scienza della Logica, la dialettica tra le categorie matematiche.

  • 45 Per una rassegna di diverse posizioni su questo tema, cfr. S. Landucci, La contraddizione cit., pp (...)

41La relazione inestricabile tra infinito e contraddizione è dunque nuovamente sia strutturale sia contenutistica. Non solo infatti l’infinito riflette la stessa problematica classificazione notoriamente riconosciuta alla contraddizione nel sistema logico hegeliano45 ma rivendica tale funzione metacategoriale – rispetto alle categorie intellettuali, ad esempio, della matematica – proprio in virtù della strutturale inclusione della contraddizione: la vera infinità riappare, all’interno del sistema hegeliano, come espressione adeguata di quella contraddizione speculativa che ne è il motore.

Notes

1 Per una ricostruzione del retroterra scientifico dell’opera hegeliana, cfr. F. Rebuffo, Hegel e il pensiero matematico della sua epoca, Firenze, La Nuova Italia, 1989; V. Verra, Hegel critico della filosofia moderna: matematica e filosofia, «De Homine», xxxviii-xl (1971), pp. 105 – 130; M. Rehm, Hegels spekulative Deutung der Infinitesimalrechnung, Köln, Gounder u. Hansen, 1963.

2 Bisognerebbe infatti ricordare almeno – prima di Fede e Sapere – il Frammento Sistematico (1800) in cui compaiono le prime riflessioni hegeliane su la “molteplicità infinita”, le Geometrischen Studien (1800) in cui viene tematizzato e la Dissertatio philosophica de orbitis planetarum (1801) per le prime analisi del concetto di grandezza infinitesimale. Testo rilevante per la gestazione della Scienza della logica è inoltre la Logica di Jena (1804-1805). Cfr. F. Hegel, Logica e metafisica di Jena, a cura di F. Chiereghin, «Quaderni di Verifiche», (1982); A. Moretto, Il rapporto semplice, in F. Hegel, Logica e metafisica cit., pp. 38-59.1982.

3 Id., Fede e Sapere, in Id., Primi scritti critici, Milano, Mursia, 1990, pp. 123-261.

4 Id., Wissenschaft der Logik, in Id., Gesammelte Werke, Hamburg, Meiner, 1968 - vol. 11 [trad. it. Scienza della logica, Bari, Laterza, 1981 vol. I e II]. D’ora in poi ci si riferirà all’edizione del 1812 (I volume) - 1816 (II volume) per le parti del testo che rimangono invariate nel corso delle diverse edizioni; ci si riferirà invece all’edizione del 1831 (pubblicata nel 1832) per le parti del testo aggiunte in quest’ultima stesura. Si può ricordare che al 1831 è ascrivibile solo la revisione del testo del 1812, relativamente alla prima parte su “La logica oggettiva”, mentre rimangono invariati “La dottrina dell’essenza” e “La dottrina del concetto”.

5 Id., Fede e Sapere cIt., p. 180: «l’assoluto concetto è l’infinitezza, esso è in sé assoluta affermazione, ma, rivolto contro l’opposto e il finito è, come loro identità, negazione assoluta, e questa negazione è il porre degli opposti […]. Questa infinitezza astratta della sostanza assoluta è ciò che Fichte ha reso accessibile alla nostra cultura moderne, più soggettiva, sotto forma di io […] cioè fare eterno o produrre della differenza, che il pensare riflesso conosce sempre soltanto come prodotto. […] posto come astrazione è identità pura assolutamente formale, puro concetto, ragione kantiana, io fichtiano».

6 A. Moretto, Hegel e la “matematica dell’infinito”, «Quaderni di Verifiche», (1984), pp. 108-118.

7 F. Hegel, Fede e Sapere cit., p. 181: «L’infinito però nella sua realtà […] è l’infinito della riflessione o dell’immaginazione quando un finito deve essere posto come assoluto, cioè contemporaneamente come un altro».

8 Sulle differenze tra concezione hegeliana delle serie infinite e quella disponibile nell’analisi moderna, cfr. M. Rehm, Hegels cit.

9 Nell’edizione del 1831 Hegel può considerare un testo di Dirksen (cfr. R. H. Dirksen, A. L. Cauchy’s Lehrbuch der algebraischen Analysis. Aus dem Französischen übersetzt von C.L.B. Huzler, Königsberg 1828, «Jahrbücher für wissenschaftliche Kritik», II (1829), colonne 1217-1271) contenente una recensione del Résumé di Cauchy (cfr. A. L. Cauchy, Résumé des Lecons donées à l’École Royale Polytechinique sur le calcul infinitésimal, in Oeuvres complètes, Paris, Gauthier-Villars, 1899, series II, Tome IV), in cui sono fornite importanti definizioni tra cui appunto quella di limite.

10 F. Hegel, Fede e Sapere cit., p. 180, p. 179: «il particolare è liberato dalla sussunzione sotto il concetto e diviso in parti, e queste parti sono assolutamente determinate ed assolutamente disuguali fra di loro».

11 Id., Wissenschaft der Logik cit., p. 277: «Così la serie 0,285714… oppure 1 + a +a2 +a3…è l’infinito soltanto dell’immaginazione ossia dell’opinare; perocché non ha alcuna realtà, gli manca assolutamente qualcosa».

12 Id., Wissenschaft der Logik,cit., p. 144: «Il progresso all’infinito è dunque la contraddizione che non è sciolta, ma si continua sempre ad enunciare solo come presente»; pp. 247-248: «Il progresso all’infinito è in generale l’espressione della contraddizione. Il progresso all’infinito è ora solo l’espressione di questa contraddizione, non già la sua soluzione […]. Com’è posto in sulle prime, esso è il compito dell’infinito, non il suo raggiungimento».

13 Si considerano, in particolare, la sezione su “L’infinità” del Capitolo secondo (L’essere determinato) della Sezione Prima dedicata alla Qualità e la sezione su “L’infinità quantitativa” del Capitolo secondo (Il quanto) della Sezione Seconda dedicata alla Quantità.

14 Cfr. Aristotele, Physica, III (Γ) 207b 11-14: «il numero è infinito in potenza ma non in atto; epperò sempre il numero assunto supera qualsiasi pluralità determinata. Tuttavia questo numero non è separabile l’infinità non permane, ma si genera, come anche si generano il tempo e il numero del tempo».

15 F. Hegel, Wissenschaft der Logik cit., p. 251: «il pensiero soccombe, si finisce colla caduta e con la vertigine. Ciò che fa soccombere il pensiero […] non è altro che la noia della ripetizione, la quale lascia che un limite scompaia e poi si ripresenti e di nuovo scompaia, e che quindi perpetuamente l’uno sorga e perisca per l’altro, e l’uno nell’altro […] dando soltanto il sentimento dell’impotenza di questo infinito o di questo dover essere, che vuol sottomettere il finito, e non può».

16 Cfr. F. Rebuffo, Hegel e il pensiero matematico cit.

17 F. Hegel (a cura di F. Hogemann – W. Jaeschke), Wissenschaft der Logik. Zweiter Band. Die Subjective Logik, Düsseldorf, Meiner, 1981, [trad. it. Scienza della logica, vol. II, Bari, Laterza., p. 699]: la matematica superiore «si avanza fino all’infinito e si permette delle contraddizioni, non può adoperare per l’espressione di codeste determinazioni i segni da lei adoprati altrove».

18 Ibid.

19 Ivi, p. 285: l’approssimazione «dà a questo calcolo l’apparenza d’imprecisione e addirittura d’inesattezza nell’andamento dell’operazione».

20 Ivi, p. 235: «Il concetto non può come tale essere colto essenzialmente che con lo spirito […].È inutile di volerlo fissare con figure spaziali e segni algebrici per l’uso dell’occhio esteriore e di una trattazione inconcettuale e meccanica, cioè di un calcolo».

21 Ivi, p. 261: «Così l’infinito è determinato solo come prima negazione, e così esso appare nell’infinito progresso. Venne però mostrato che in questo vi è di più, che vi è cioè la negazione della negazione ossia quello che l’infinito è in verità».

22 Un altro tema su cui emerge l’eredità platonica (in particolare dal Parmenide) sono le considerazioni hegeliane sulla contraddizione insita nel movimento e nel divenire e sulla loro riproposizione nel dibattito matematico sugli evanescenti o infinitesimi. Sul rapporto tra Hegel e i dialoghi platonici, cfr. A. Moretto, Questioni di filosofia della matematica nella “Scienza della logica” di Hegel, Trento, Pubblicazioni di Verifiche, 1988, pp. 23-35.

23 B. Spinoza, Epistola XII, vol II, in Id., Opera, Heidelberg, 1924, vol. 4, pp. 56-62.

24 All’infinito potenziale Spinoza non riserva neppure il nome di infinito.

25 B. Spinoza, Epistola XII cit., p. 57.

26 Ivi, pp. 82-83 (59-60): «se si tracciano delle semirette aventi origine nel centro del cerchio più piccolo (o del più grande) e si considerano i segmenti intercettati tra le due circonferenze, questi segmenti avranno lunghezza l che sarà: m < l < M, dove m e M sono le lunghezze dei segmenti che hanno per sostegno la retta passante per i centri»; cfr. F. Hegel, Fede e Sapere cit., p. 179; Id., Wissenschaft der Logik cit., pp. 275-277.

27 Nella citazione, Hegel traduce lo spinoziano «omnes inaequalitates spatii […] omnesque variationes, quas materia, in eo mota pati debeat» con «die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind»: Spinoza coglieva dunque la realtà differenziale prodotta dagli infiniti segmenti diseguali, Hegel ha in mente gli infiniti segmenti che possono essere tracciati tra i centri dei due cerchi non concentrici. Sulla diversa nozione di continuità adombrata da queste letture del medesimo esempio geometrico e sul significato teorico della divergenza hegeliana dal modello spinoziano, cfr. V. Morfino, Il fraintendimento del modo. Spinoza nella “Scienza della Logica” (1812-1816) di Hegel, «Quaderni materialisti», IX (2012); M. Gainza, Il limite e la parte. I confini dell’interiorità in Spinoza, in E. Balibar– V. Morfino, Il Transindividuale: soggetti, mutazioni, relazioni, Milano, Mimesis, 2014.

28 Sulla lettura hegeliana di Jacobi, cfr. V. Verra, F.H. Jacobi. Dall’illuminismo all’idealismo, Torino, Edizioni di Filosofia, 1963, pp. 69-155, 288-294.

29 F. Hegel, Lezioni sulla storia della filosofia, Roma, Laterza, 2013, vol. III, p. 115.

30 Id., Wissenschaft der Logik cit., p. 277: «l’incommensurabilità che sta nell’esempio di Spinoza, racchiude in generale in sé le funzioni delle linee curve e conduce più precisamente a quell’infinito, che la matematica ha introdotto in tali funzioni, e in generale nelle funzioni delle grandezze variabili, e che è il vero infinito matematico, l’infinito quantitativo, al quale pensava anche Spinoza».

31 Tale consapevolezza, diffusa nelle diverse edizioni della Scienza della Logica, era in realtà già presente nella Logica di Jena. Cfr. Id., Primi scritti critici cit., p. 25: i numeri «sono di per sé puri quanti, ma nella loro relazione reciproca sono posti in modo qualitativo».

32 Id., Wissenschaft der Logik cit., p. 225: nel calcolo infinitesimale «la matematica […] non può eludere il concetto; poiché, come matematica dell’infinito, essa non si limita alla determinazione finita dei suoi oggetti […] ma pone una determinazione nell’identità con la sua opposta».

33 Nonostante l’accurata conoscenza del lavoro matematico di questo autore, l’attenzione di Hegel è catturata non tanto dai particolari meriti tecnici o dall’impostazione sistematica dell’opera, quanto dal rigore del metodo. Cavalieri infatti non introduceva le grandezze infinitesime accanto a quelle ordinarie né riduceva il continuo alla somma infinita (di infinitesimi) ma lavorava in termini differenziali, determinando rapporti tra indivisibili.

34 Cfr. C. Bayle, Dictionaire historique et critique, cinquieme edition, revue, corrigée, et augmentée, Leide-Utrecht, La Haye, 1697, p. 536; F. Hegel, Wissenschaft der Logik cit., p. 212.

35 Id., Wissenschaft der Logik. Zweiter Band cit., pp. 463-489: la negazione presente nel principio del terzo escluso nell’accezione tradizionale «significa meramente la mancanza, o meglio l’indeterminatezza […] il principio è così futile che non val la pena di enunciarlo».

36 Id., Fede e Sapere cit., p. 181: «l’assoluto concetto è infinitezza, esso è in sé assoluta affermazione ma, rivolto contro l’opposto e il finito è, come loro identità, negazione assoluta, e questa negazione, in quanto esistente e realmente posta, è il porre degli opposti: + A -A = 0»

37 A.G. Baumgarten, Metaphysica, a cura di G. Günter, Stuttgart, Frommann-Holzboog, 2011, § 7: «Nihil negativum, irrapresentabile […] est A et non -A; seu (…) 0 = A + non-A. Hac propositio dicitur principium contradictionis»

38 F. Hegel, Wissenschaft der Logik cit., p. 36: «quel che si contraddice non si risolve nello zero, nel nulla astratto».

39 Nonostante la tentazione di ravvisare nella logica hegeliana dell’opposizione – e in particolare nel terzo momento sintetico della contraddizione – un autorevole precursore delle logiche paracoerenti, non si può dimenticare la motivazione teorica ontologica che muove il superamento hegeliano della contraddizione tradizionale e la sua risoluzione nell’unità attuale degli opposti; nonostante le innegabili corrispondenze con gli sviluppi formali della paracoerenza, l’unico modo per comprendere la contraddizione speculativa, quale logica del reale, sembra rimanere quella – indicata dallo stesso Hegel – di attraversare la contraddizione estrinseca dell’opposizione astratta fino a riconoscerla momento di una totalità dialettica razionale. Cfr. M. Bordignon, Ai limiti della verità, Pisa, Edizioni ETS, 2015.

40 F. Hegel, Wissenschaft der Logik cit., p. 204: «la vera soluzione delle antinomie» consiste nel riconoscere che le determinazioni opposte «hanno la loro verità soltanto nel loro essere superate, nell’unità del loro concetto».

41 Per una rassegna sulle possibili interpretazioni di questo tema, cfr. A. Sarlemijn, Hegelsche Dialektik, Berlin, de Gruyter, 1971; M. Fleischmann, La logica di Hegel, Torino, Einaudi, 1975; S. Landucci, La contraddizione in Hegel, Firenze, La Nuova Italia, 1978; F. Chiereghin, Dialettica dell’assoluto e ontologia della soggettività in Hegel, «Zeitschrift für Philosophische Forschung», xxxv (1981), pp. 645-648. Per una reinterpretazione del tema della contraddizione alla luce delle logiche non classiche, cfr. M. Bordignon, Ai limiti della verità cit.

42 Sull‘infinito come “metacategoria”, cfr. M. Baum, Zur Methode der Logik und Metaphisik beim Jaener Hegel, «Hegel-Studien Beiheft», xx (1980), pp. 119-138.

43 F. Hegel, Wissenschaft der Logik. Zweiter Band cit., p. 455.

44 La deduzione categoriale prevedeva infatti solo qualità, quantità e quanto, seguito dalla categoria di relazione.

45 Per una rassegna di diverse posizioni su questo tema, cfr. S. Landucci, La contraddizione cit., pp. 79-90.

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Università degli Studi di Torino

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