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Progression et transversalité

 | 
Ghislain Carlier
, 
Myriam De Kesel
, 
Jean-Louis Dufays
, 
et al.

Chapitre 8. Progression et transversalité en mathématiques

Un nouveau cours d’analyse mathématique pour les étudiants en mathématiques et en physique

Jean Van Schaftingen

Texte intégral

1. Contexte

1Le cours d’analyse mathématique 1 est donné au cours du premier quadrimestre aux étudiants de première année des baccalauréats en sciences mathématiques et en sciences physiques de l’Université catholique de Louvain. Il s’agit donc du premier cours d’analyse mathématique qu’ils suivent dans l’enseignement supérieur.

2En 2011-2012, cela représentait un groupe de quatre-vingts étudiants, trente en sciences mathématiques et cinquante en sciences physiques. On observe qu’ils ont presque tous suivi un cours d’au moins six heures de mathématiques du troisième degré de l’enseignement secondaire de transition.

3Avant la réforme de Bologne, les enseignements fondamentaux en analyse étaient répartis en deux cours sur un quadrimestre chacun : l’un, en première année, était consacré aux limites, à la continuité et la différentiabilité de fonctions de plusieurs variables et l’autre, en seconde, concernait le calcul intégral, les suites de fonctions et les formes différentielles. La réforme de programme dite de Bologne a prévu trois cours fondamentaux d’analyse, répartis sur les trois premiers quadrimestres. Le premier de ces cours devait être consacré aux fonctions d’une variable. Augusto Ponce et moi-même avons mis ce cours en place.

2. Revisiter plutôt que revoir l’analyse à une variable

4Le défi pour nous était de ne pas proposer un cours de révision de la matière de secondaire. Si nous sommes conscients que les étudiants ne maitrisent pas nécessairement toutes les compétences qui sont censées être acquises, nous croyons aussi qu’il est illusoire qu’une répétition de cours du secondaire permettra de les acquérir. Nous avons donc décidé de proposer aux étudiants un cours qui permette d’établir des fondations plus profondes, tout en donnant au passage de nombreux prétextes à révision.

5Le choix des points saillants de la matière, qui met en évidence des points qui sont dans les programmes ou en pratique moins abordés dans l’enseignement secondaire, permet déjà de revisiter plutôt que de revoir : le cours commence par l’étude des suites et séries ; l’accent est mis sur la continuité plutôt que sur les limites ; la construction de l’intégrale précède l’étude des dérivées.

  • 1 Ponce, A., Van Schaftingen, J. (2012-2013) Analyse mathématique 1 - Fonctions d’une variable réell (...)

6Un premier objectif du cours est d’apprendre à communiquer en mathématiques. Nous proposons un support de cours1 rédigé selon les conventions d’écriture en mathématique, tant au niveau de l’utilisation des symboles que, surtout, de l’utilisation de la terminologie et de la présentation avec les différents niveaux de rigueur. Nous expliquons ces conventions avec les étudiants et nous les invitons à les pratiquer dans la rédaction de toutes leurs réponses d’examen.

7Un second point important dans le cours est le passage à un niveau plus poussé de rigueur. Il nous semble en effet essentiel que les étudiants puissent raisonner suffisamment rigoureusement pour pouvoir réfuter les paradoxes du calcul différentiel et intégral qui ont conduit aux fondements classiques de l’analyse mathématique. Nous motivons cet objectif pendant la première séance de cours : nous observons notamment qu’un calcul formel de la limite de la fonction sinus à l’infini mène à l’égalité peu raisonnable 0 = 1 et qu’un traitement formel de 9 + 90 + 900 +… fournit le résultat tout aussi déraisonnable 9 + 90 + 900 +… = -1.

8Nous sommes aussi persuadés que la rigueur n’est pas nécessairement liée à l’abstraction et que les exemples et les exercices sont le premier endroit pour apprendre la rigueur.

3. Rédiger intuitivement et rigoureusement

9Nous avons aussi voulu que la rigueur n’augmente pas au détriment de l’intuition.

10Par exemple, un objectif du cours est que les étudiants soient capables de manipuler dans des exemples et des preuves simples les définitions en ε − δ de limite et de continuité. Pour cela, on leur conseille souvent de rédiger une preuve sur leur feuille de brouillon en partant de la définition, puis de renverser leur preuve en rédigeant de sorte que le δ sorte d’un chapeau pour satisfaire aux objectifs de rigueur de l’enseignant. Nous proposons aux étudiants de rédiger en commençant par oublier ε en écrivant d’abord une inégalité reliant, par exemple, la variation de la fonction à la celle de la variable et en utilisant ensuite cette inégalité pour donner une expression de δ à partir de ε. Nous trouvons cette manière de rédiger fort satisfaisante au niveau de la rigueur et de l’intuition, au point que nous structurons maintenant ainsi nos preuves dans nos articles de recherche.

11Une autre occasion d’allier rigueur et intuition se situe dans la construction des fonctions trigonométriques, que nous avons voulue la plus géométrique possible, tout en atteignant un assez bon niveau de rigueur. Enfin, pour prouver le théorème des accroissements finis, nous avons proposé une « propriété des tangentes » (si deux graphes de fonctions dérivables se touchent sans se croiser en un point, leurs dérivées y sont égales). Ainsi, on peut, à l’aide du théorème des bornes atteintes, prouver la proposition en faisant glisser une sécante jusqu’à ce qu’elle devienne tangente.

4. Des mathématiques qui prennent le temps

12Dans le choix des contenus, nous avons voulu proposer aux étudiants des mathématiques qui prennent le temps (slow mathematics à la manière de slow food). La première idée est que chaque théorème a un prix : il faut comprendre l’énoncé, le mémoriser et le prouver. Par conséquent, à chaque utilisation, il faut se demander si on est prêt à payer ce prix. Cela nous conduit par exemple à éviter les théorèmes et définitions à usage unique. Ainsi, une définition doit être vérifiable directement, sans passer systématiquement par des caractérisations.

13Si on a peu de théorèmes, on est donc conduit, pour résoudre certains exercices, à proposer aux étudiants des méthodes plutôt que des formules. Par exemple, au lieu de la règle de l’Hospital, nous proposons des méthodes de l’Hospital, consistant à faire apparaitre un quotient différentiel ou un développement de Taylor dans une expression dont on veut calculer la limite. De même, nous proposons de traiter les produits de suites bornées par des suites convergeant vers 0 systématiquement par l’étau plutôt que par une proposition ad hoc. Cela nous conduit aussi à éviter la course aux armements, où on construit avec et pour les étudiants une volumineuse boite à outils compliqués et puissants et où on propose finalement des exercices encore plus compliqués pour développer leur créativité. Il nous semble plus pertinent de développer cette créativité sur des problèmes plus simples, en évitant la surenchère des outils.

  • 2 Dans le texte de la 174e conférence de l’Université de tous les savoirs donnée le 22 juin 2000. Re (...)

14Enfin, les mathématiques qui prennent leur temps n’essayent pas d’être abstraites. Il est normal pour nous que dans un cours d’initiation à l’analyse, on n’ait pas une définition de limite abstraite qui couvre à la fois les suites, les fonctions et les intégrales. Il nous semble plus pertinent d’inciter les étudiants à comparer et à mettre en relation les preuves et les définitions semblables plutôt que de formaliser et généraliser immédiatement. Jean-Pierre Kahane disait que « la notion de série est trop riche pour se prêter à une définition mathématique »2. Nous sommes persuadés que les notions de limite et d’infini sont plus des idées mathématiques qui ne peuvent pas être enfermées dans une définition mathématique.

5. Identifier clairement les objectifs

15Nous avons aussi voulu éviter le plus possible les consignes implicites concernant les objectifs d’apprentissage. Nous croyons en effet que celles-ci favorisent les étudiants ayant un entourage social permettant de les décoder. Pour cela, nous avons décidé d’expliciter les objectifs sous la forme de « questionnaires de révision » et d’« exercices prioritaires » les décrivant de manière fidèle et détaillée. De plus, nous donnons aux étudiants des « résolutions d’exercices-type » commentées, en leur indiquant les points essentiels dans la rédaction et la résolution d’un exercice. Nous avons pu observer que ces résolutions ont considérablement amélioré la qualité des copies d’examen.

6. Perspectives et conclusions

16Nous avons mis au point et amélioré ce dispositif de cours pendant quatre années. D’une part, le retour que nous avons eu des étudiants est, d’après une évaluation du cours par l’Institut de pédagogie et des multimédias de l’UCL, que le cours que nous proposons est clairement différent du cours du secondaire. D’autre part, les résultats des étudiants lors de l’examen sont meilleurs que la moyenne des autres cours.

17Dans les années à venir, nous aimerions veiller à la transition vers le second cours d’analyse (Analyse mathématique 2) qui semble être devenue aussi délicate que celle du secondaire vers le premier cours d’analyse et aussi à développer les compétences des étudiants dans le choix d’outils mathématiques pour résoudre des problèmes et de leurs limites.

Notes

1 Ponce, A., Van Schaftingen, J. (2012-2013) Analyse mathématique 1 - Fonctions d’une variable réelle, LMAT1121. UCL, Faculté des Sciences, École de mathématique.

2 Dans le texte de la 174e conférence de l’Université de tous les savoirs donnée le 22 juin 2000. Reed, M. C. (1997). Fundamental Ideas of Analysis. Hoboken (NJ) : John Wiley & Sons.

© Presses universitaires de Louvain, 2012

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