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Willensfreiheit und deterministisches Chaos

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Elmar Sauter

Anhang A1 Deterministisches Chaos

Texte intégral

A1.1. Allgemeine Übersicht

1Das aus dem Griechischen stammende Wort Chaos bedeutete in der antiken Vorstellung den mit ungeformtem und unbegrenztem Urstoff gefüllten Raum als Vorstufe des endlichen und wohlgeordneten Kosmos. Im allgemeinen Sprachgebrauch versteht man heute darunter ein Durcheinander, totale Verwirrung, Auflösung jeder Ordnung.

  • 1 Lakshmanan-Rajasekar, S. 101, übersetzt von EGS

2Mit dem modernen Begriff deterministisches Chaos werden dagegen Phänomene charakterisiert, die auf den ersten Blick auch an Auflösung jeglicher Ordnung, an Zufälligkeit denken lassen. Es gibt keine allgemein anerkannte Definition für das deterministische Chaos. So definieren z. B. Lakshmanan und Rajasekar1: „[Deterministisches] Chaos ist das Phänomen, dass eine beschränkte, nichtperiodische Evolution in einem vollständig deterministischen nichtlinearen dynamischen System mit hoch empfindlicher Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen auftritt“. Im Experiment muss man sorgfältig prüfen, ob zur Beschreibung von wie zufällig aussehenden Messergebnissen besser eine statistische Theorie oder die Theorie des deterministischen Chaos benutzt wird.

3Bei einem genaueren Studium der Phänomene kann man durchaus Strukturierung, Regelmäßigkeiten erkennen. Wie üblich wird versucht, diese Phänomene mit einem mathematischen Modell zu beschreiben. In der Physik beschäftigt man sich in der Dynamik (im Gegensatz zur Statik) mit den zeitlichen Veränderungen von Phänomenen, d. h. mit dem Übergang von einem Anfangszustand in einen Endzustand. Diese Zustandsänderungen können kontinuierlich oder diskret erfolgen. Der Terminus deterministisch soll anzeigen, dass hier Gleichungen zu benützen sind, die es erlauben, bei genauer Kenntnis eines Anfangszustandes zum Zeitpunkt t = 0 den Zustand des Systems zu jeder beliebigen anderen möglichen Zeit eindeutig (wenigstens im Prinzip) zu berechnen und damit vorauszusagen. Oder umgekehrt: Der gegenwärtige Zustand ist bei einem deterministischen System eine eindeutige Funktion der früheren Zustände. Zwei Beispiele für deterministische Gleichungen mit einer kontinuierlichen Zeitabhängigkeit

  • 2 Ein Punkt über einer Variablen bedeutet die 1. Ableitung nach der Zeit, zwei Punkte die 2. Ableitun

sind die Duffingsche Gleichung2

= −2γαxβx3 + f sin ωt (1)

und die van der Polsche Gleichung

= γ (1 – βx2) − αx+ f sin ωt (2)

während die logistische Gleichung

xn+1 = rxn(1 − xn) (3)

4ein Beispiel für eine diskrete Zeitabhängigkeit darstellt. Die Terme mit γ stellen eine Dämpfung dar, die Terme mit f sin ωt auf der rechten Seite periodisch wirkende Kräfte, die Terme mit x3, ẋx2 und xn2 Nichtlinearitäten (ohne diese Terme hätte man lineare Gleichungen). Schließlich bedeutet xn = x(tn) den Wert der Variablen x zur diskreten Zeit tn. Die Lösungen von (1), (2) und (3) zeigen eine hochgradig empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.

5Was heißt nun aber schon genaue Kenntnis des Anfangszustandes? Man müsste z. B. den Ort und die Geschwindigkeit eines Massenpunktes auf unendlich viele Dezimalstellen angeben, damit der Zustand völlig exakt festgelegt ist. Das ist aber unmöglich. Jede physikalische Messung hat schon eine unvermeidliche Ungenauigkeit, d. h. Messungen bei t = 0 liefern niemals völlig exakte Ausgangs- oder Anfangswerte. Man muss also mit Anfangsbedingungen rechnen, von denen man nicht genau weiß, ob sie tatsächlich exakt sind, ob sie also den in der Natur vorliegenden Zustand exakt beschreiben. Außerdem: wie will man wissen, ob man schon alle relevanten Parameter berücksichtigt hat?

6Viele nichtlinearen Systeme zeigen nun ein Verhalten, bei dem kleine Änderungen der Anfangswerte (z. B. Änderung erst in einer hohen Dezimalstelle) eine mit der Zeit immer größer werdende Veränderung der Lösung ergeben. Das bedeutet, dass man dann bei solchen nichtlinearen Systemen, wenn die Anfangswerte nicht ganz genau bekannt sind, für größere Zeiten gar nicht mehr sagen kann, wie die „richtige“ Lösung aussieht. Ein eindrucksvolles Beispiel für das Auftauchen von Unbestimmtheit nach wenigen Iterationen liefert die Gleichung

xn+1 = (10 xn) mod10 mit n = + 0,1,2,…(4)

7(Diese Abbildung ist zwar stückweise linear, wegen des modulo-Operators treten aber immer Sprünge auf bei allen ganzen Zahlen, daher ist die Gleichung insgesamt nicht - linear. „modulo“ ist eine Restwertdivision: 10xn/10 = ganze Zahl + Rest, und Rest = xn+1).

Abb. A1.1: Gleichung (4). Auf der Abszissenachse wählt man z. B. x0 = 1,1, dann ist 10x0 = 11. Der modulo-Operator teilt durch 10 und nimmt den Rest: 11/10 = 1 + Rest 1, also x1 = 1. Dann ist 10x1 = 10. Erneute Anwendung des modulo-Operators liefert 10/10 = 1 + Rest 0, also x2 = 0, und von hier kommt das System nicht mehr weg

8Angenommen, ein Messergebnis sei auf 3 Dezimalstellen genau bekannt, z. B x0 = 3,954????..., wobei die Fragezeichen die unbekannten Dezimalstellen andeuten sollen. Dann ergibt sich mit (4)

x1 = (39,54????) mod10 = 9,54???

x2 = (95, 4?????) mod10 = 5, 4?????

x3 = (54,???????) mod10 = 4,?????

x4 = (4?,???????) mod10 =?,??????

d. h. nach der 4. Iteration ist das Ergebnis schon völlig unbekannt.

9Lösungen mit unterschiedlichen Anfangswerten können als Funktion der Zeit immer weiter auseinander laufen, sogar exponentiell in der Zeit. Man hat eine empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Dies ist ein wichtiges Phänomen beim deterministischen Chaos: trotz der deterministischen Gleichungen ist eine genaue Vorhersage nicht mehr möglich. Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für das Auftreten des deterministischen Chaos ist gerade eine Nichtlinearität in den Gleichungen, die den dynamischen Prozess beschreiben. Determinismus (in diesem so verstandenen mathematischen Sinne) bedeutet also keineswegs Vorhersagbarkeit! Im Falle des deterministischen Chaos gilt nur noch der schwache Determinismus: Genau gleiche Anfangszustände ergeben zwar noch gleiche Endzustände, aber ähnliche Anfangszustände liefern dann u. U. weit auseinanderliegende Endzustände. Zwar sind bei Chaos immer noch Kurzzeitprognosen möglich, nicht aber Langzeitprognosen, da ja kleinste Abweichungen in den Anfangsbedingungen exponentiell vergrößert werden können. Beispiel: Wetterprognosen.

10Bei linearen Systemen (wenn also z. B. in den Gleichungen (1) - (3) die Terme mit x3, ẋx2 und xn2 fehlen) gilt dagegen, dass sich bei kleinen Unterschieden in n den Anfangsbedingungen auch nur kleine Unterschiede in den Endzuständen ergeben. Man bezeichnet dieses Verhalten als starken Determinismus. Wegen dieser Unempfindlichkeit gegen kleine Änderungen der Anfangswerte kommt es hier also gar nicht darauf an, die Anfangswerte ganz genau vorzugeben. Lineare Gleichungen führen nicht zum Chaos. Sie haben zwar den Vorteil der leichteren Lösbarkeit, aber sie sind im Allgemeinen nur Näherungen von nichtlinearen Gleichungen; man kann direkt sagen: Wir leben in einer nichtlinearen Welt, genau so wie man sagen kann: Wir leben in einer relativistischen Welt oder auch in einer Quantenwelt.

  • 3 DGl ist die Abkürzung für Differentialgleichung

11Die Gleichungen (1) – (3) beschreiben Systeme mit nur einem einzigen Freiheitsgrad. Die Gleichungen (1) und (2) sind DGlen3 zweiter Ordnung von der Form

ẍ = F(x(t), ẋ(t), t)

12die zurückgeführt werden können auf ein System zweier gekoppelter DGlen 1. Ordnung, indem man als neue Variable x1 = x, x2 = = 1 einführt. Damit gehen die Gleichungen (1) und (2), wenn auf der rechten Seite zunächst noch jeweils f = 0 gesetzt wird, über in

1 = x2

2 = −2γx2 –αx1βx13 (5)

bzw. In

1 = x2

2 = γx2 (1 − βx12) − αx1 (6)

13Im Falle f = 0 handelt es sich um autonome DGlen, die keine explizite Zeitabhängigkeit aufweisen: 1 = F(x(t), (t)). Die Bewegung kann dann in einem zweidimensionalen Phasenraum (x1, x2) = (x, ) dargestellt werden. Der Phasenpunkt (x1(t), x2(t)) beschreibt in diesem Phasenraum als Funktion der Zeit eine Kurve, die so genannte Trajektorie (oder Orbit). Handelt es sich aber um eine nicht-autonome DGl mit einer expliziten Zeitabhängigkeit, d. h. f ≠ 0, so führt man einfach eine weitere Variable x3 = ωt ein. Die zweiten Gleichungen werden dann auf der rechten Seite jeweils ergänzt durch einen Term + f sin x3, und es gibt zusätzlich für x3 eine dritte DGl

3 = ω

  • 4 Die Lorenzgleichungen sind ein Beispiel, bei dem man von vornherein schon 3 DGlen 1. Ordnung hat

14Auf diese Weise werden nicht-autonome DGlen auf autonome DGlen zurückgeführt. Der Phasenraum wird jetzt dreidimensional4: (x1, x2, x3). Diese zwei, bzw. drei DGlen. 1. Ordnung lassen sich noch zusammenfassen zu einer Vektor-DGl

Ẋ = F(X)(7)

15mit den Vektoren X = (x1, x2,..) und F = (x2, F,..). Man kann nun auch noch verallgemeinern auf N DGlen 2. Ordnung (N Freiheitsgrade mit den Koordinaten (x1, x2,…, N)).

16Diese lassen sich ebenfalls als System von 2N DGlen 1. Ordnung darstellen analog zu Gleichung (7); wobei jetzt X = (x1, x2,.., xN, 1, 2,…, N) den Zustand des Systems kennzeichnet, und F ist eine einwertige 2N -dimensionale Vektorfunktion (Kraftvektor). Der Phasenraum hat jetzt die Dimension 2N. Durch Beseitigung einer etwa vorliegenden expliziten Zeitabhängigkeit (bei nichtautonomen DGlen) werden aus der geraden Anzahl 2N von DGlen 1. Ordnung 2N + 1 DGlen. Die Vektorfunktion F hängt im Allgemeinen noch von m Parametern ri, i = 1,…, m ab, die von Experiment zu Experiment verändert werden können:

Ẍ = F(X(t),r1,….,rm (8)

17Die logistische Gleichung (3) (oder Abbildung, logistic map) von der Form

Xn+1= g(xn)

18ist dagegen eine Differenzengleichung 1. Ordnung. Kennt man die Werte bei t1 und den Zuwachs Δ, so kann man die Werte bei t2 = t1 + Δ ausrechnen usw. Mit Hilfe einer so genannten Poincaré-Schnittfläche lassen sich im Falle von kontinuierlicher Zeitabhängigkeit die Verhältnisse in M -dimensionalen Phasenräumen auf eine (M −1)-dimensionale Hyperfläche reduzieren (Poincaré-Abbildung). Die aufeinander folgenden Durchstoßpunkte der Lösungskurven durch die Hyperfläche werden durchlaufend nummeriert. Dies ergibt eine diskrete Zeitabhängigkeit. Ein Differenzengleichungssystem 2. Ordnung hat die Form

xn+1 = g1 (xn, yn)

yn+1 = g2 (xn, yn)

19Entsprechend gilt bei einem System n. Ordnung analog zu Gleichung (7)

Xn+1 = G(Xn) bzw. Xn+1 = G(Xn, r1,…, rm) (9)

20mit den n − dimensionalen Vektoren X und G und mit den Parametern ri.

A1.2. Invariante Mengen

21Für die Beurteilung des Langzeitverhaltens von Lösungen nichtlinearer DGlen sind gewisse invariante Mengen wichtig, die sich unter der Wirkung des dynamischen Systems nicht verändern. Schon bei einem eindimensionalen Phasenraum gibt es Fixpunkte.

22Definition: Der spezielle Punkt X= X* stellt genau dann einen Fixpunkt dar, wenn gilt

(X*)n+1 = (X*)n bzw. Ẋ*= F(X*) = 0 (10)

23Die Abbildung (3) hat 2 Fixpunkte im zugehörigen eindimensionalen Phasenraum:

24x1* = 0 und x2* = 1− 1/r. Aus physikalischen Gründen verlangt man r > 0 und x* ≥0. Daraus folgt, dass der Fixpunkt x2* nur für r ≥ 1 auftritt. Das System (5) hat im zweidimensionalen Phasenraum für α / β ≥ 0 nur einen einzigen (reellen) Fixpunkt: X1* = (x1*,x2*) = (x*,*) = (0,0), aber für α / β < 0 zusätzlich noch zwei weitere: X2* = (+√− α / β, 0) und X3* = (−√−α / β, 0). (Diese Fixpunkte heißen auch „singuläre Punkte“, da hier 1 / 2 = dx1 / dx2 usw. nicht definiert ist). Durch jeden Punkt im Phasenraum kann wegen der Eindeutigkeit der Lösungen deterministischer Gleichungen nur eine einzige Trajektorie gehen, nur im Fixpunkt können mehrere Trajektorien zusammenlaufen, allerdings nur asymptotisch (t →∞), da im Fixpunkt die Geschwindigkeit gegen Null geht ( → 0). Der Fixpunkt stellt eine invariante Menge mit der Dimension d = 0 dar.

25Im Zweidimensionalen treten noch zusätzlich die so genannten Zyklen oder periodischen Orbits auf mit periodischen, geschlossenen Trajektorien X(t) = X(t+ T). Der Zyklus ist eine Punktmenge mit der Dimension d = 1. In Phasenräumen mit noch höherer Dimension gibt es dann z.B. noch die Tori. Ein Torus, der ja die Form eines Ringtennis oder eines Autoreifens hat, ist das kartesische Produkt zweier Kreise. Werden diese mit zwei zueinander inkommensurablen Frequenzen durchlaufen, so wandert die Trajektorie auf dem ganzen Torus entlang, schließt sich aber nie. Sie bedeckt den ganzen Torus dicht und kommt dadurch früher durchlaufenen Trajektorienstücken beliebig nahe. Man bezeichnet die Bewegung deshalb auch als quasiperiodisch. Stehen dagegen die beiden Frequenzen in einem rationalen Verhältnis, dann schließt sich die Trajektorie und die Bewegung ist periodisch.

26Als nächstes interessiert die Stabilität der invarianten Mengen. Bei einem eindimensionalen Phasenraum kommen für die stabilen Punkte nur Fixpunkte in Frage, und zwar als Attraktoren, Repulsoren und Sattelpunkte.

27Definition: Ein Fixpunkt X* heißt instabil, wenn sich benachbarte Trajektorien asymptotisch (für t →∞) dem Punkt X* annähern. X* ist dann ein (Punkt)- Attraktor

28Definition: Ein Fixpunk X* heißt instabil, wenn sich benachbarte Trajektorien asymptotisch (für t →∞) vom Punkt X* entfernen. X* ist dann ein Repulsor (Repellor).

29Bei einem Sattelpunkt nähern sich einige Trajektorien dem singulären Punkt asymptotisch, die anderen entfernen sich von ihm. Daher ist ein Sattelpunkt immer instabil. Ein Beispiel für einen Punktattraktor liefert die Schwingung eines freien Pendels, welche bei Dämpfung gegen die Ruhelage strebt.

30Bei einem zweidimensionalen Phasenraum kommen noch die so genannten Grenzzyklen dazu Definition: Ein Grenzzyklus ist eine periodische, geschlossene Trajektorie (Zyklus), in deren Umgebung keine weitere periodische Trajektorie liegt. Der Grenzzyklus ist stabil, wenn ihm jede Trajektorie aus seiner Umgebung für t →∞ beliebig nahe kommt. Es handelt sich dann um einen Attraktor mit der Periode T. Grenzzyklen in physikalischen Systemen benötigen eine Energiequelle, welche die durch Dämpfung hervorgerufenen Energieverluste gerade ausgleicht. Ein Grenzzyklus tritt z.B. auf bei einer älteren Armbanduhr, bei der noch eine Spiralfeder die zusätzliche Energie liefert.

31Bei noch höherer Dimensionszahl gibt es weitere Attraktoren. Sind so bei einem Torus die nahe benachbarten Trajektorien alle attraktiv, so erhält man einen quasiperiodischen Attraktor. Die quasiperiodische Bewegung eines n - dimensionalen Systems findet auf einem n-dimensionalen Torus statt.

32Die Punktattraktoren, die Grenzzyklen und die quasiperiodischen Attraktoren beschreiben Bewegungen, die asymptotisch, für t→∞, wieder stationär bzw. periodisch bzw. quasiperiodisch sind. Diese Attraktoren sind unempfindlich gegen kleine Änderungen der Anfangsbedingungen, da sämtliche Trajektorien (aus einer gewissen Umgebung, dem Einzugsgebiet) schließlich im Attraktor landen. Es handelt sich also hier um kein Chaos. Die Poincaré-Abbildung der Trajektorien besteht aus einer endlichen Punktmenge oder aus einer geschlossenen Kurve. Für die so genannten seltsamen Attraktoren gilt das nicht. Ihre Poincaré-Abbildung zeigt eine völlig unzusammenhängende und nicht abzählbare Menge von Punkten. Sie zeigen eine fraktale Struktur mit Selbstähnlichkeit. Die Dimension dieser Punktmenge ist nicht-ganzzahlig.

  • 5 Worg,, S. 164, Abb. 7

Abb. A1.2: Attraktoren bei erzwungenen Schwingungen eines Pendels. θ ist der Auslenkwinkel aus der Ruhelage. (a) Fixpunkt bei Dämpfung, (b) Grenzzyklus, (c) Seltsamer Attraktor5

  • 6 Trotzdem kann es bei konservativen Systemen auch chaotische Gebiete geben, die allerdings nicht att (...)

33Attraktoren kommen nur in nicht-konservativen, also in dissipativen Systemen vor, bei denen sich im Laufe der Zeit die Größe eines Phasenraumvolumens ändert6. Bei dieser Schrumpfung des Phasenraumvolumens streben die Trajektorien im Allgemeinen asymptotisch gegen eine Menge niedrigerer Dimension.

34Die Beschränktheit ist wichtig, da das exponentielle Auseinanderlaufen der Trajektorien, die „Streckung“, ein regelmäßiger Prozess ist und noch kein Chaos erzeugt. Die Irregularität entsteht erst durch die Begrenzung, die eine Rückfaltung der Trajektorien erzwingt. Vgl. die Sprünge in Abbildung A1.1. Also entsteht Chaos erst durch Streckung und Faltung.

  • 7 Schuster 1994, S. 182

(a) (b)
Abb. A1.37: (a) Dissipatives System: Die Trajektorien laufen alle gegen den stabilen Fixpunkt (Attraktor) und das Phasenraumvolumen schrumpft; (b) Konservatives System: Das Zentrum ist stabil, aber kein Attraktor; und das Phasenraumvolumen ist konstant

35Um das exponentielle Auseinanderlaufen der Lösungen zu beschreiben, werden zwei Trajektorien betrachtet, die sich anfangs durch eine infinitesimale Störung unterscheiden: x(0) und x(0) + δx(0) Im Laufe der Zeit entwickelt sich hieraus x(t) und x(t) + δx(t). Wenn sich für typische Werte von δx(0) der Abstand zwischen den beiden Trajektorien im Laufe der Zeit exponentiell vergrößert: │δx(t) exp (λt) mit λ > 0, dann wird die Dynamik des Attraktors (bei Beachtung der Begrenzung, der Faltung) als chaotisch bezeichnet. Die Größe λ, der Lyapunov-Exponent, ist definiert durch

36Lässt man für kompliziertere Probleme die Dimension des Phasenraumes anwachsen, so nimmt auch die Anzahl der Lyapunov-Exponenten zu.

  • 8 Alligood et al. S. 336-337, Eubank, Farmer S. 94, Moon S. 100

37Nach dem Satz von Poincaré-Bendixson8 tritt Chaos (wenn man zur Beschreibung DGlen benützt) nur auf, wenn eine Nichtlinearität vorliegt und der Phasenraum mindestens die Dimension 3 hat. Bei diskreten Systemen (also bei Differenzengleichungen) genügen aber schon Phasenräume der Dimension 1.

A1.3. Routen zum Chaos

38Es interessiert noch die Änderung der Systemdynamik, wenn man einen oder mehrere der Parameter ri in Gleichung (8), bzw. (9) stetig verändert und dabei einige kritische Werte des Parameters überschreitet. Als eine der vielen verschiedenen möglichen Routen zum Chaos betrachten wir den Fall der Bifurkation durch Periodenverdopplung (Feigenbaum-Szenario) bei der (eindimensionalen) logistischen Gleichung (3) im Intervall 0≤ x* ≤1 mit dem Parameter r im Intervall 0≤ r ≤ 4. Hierbei treten auch Lösungen mit höherer Periode auf, also mit verkleinerter Frequenz: Subharmonische. Während bei Fixpunkten (= 1-Zyklus) galt xn+1 = xn, gilt z.B. für Lösungen mit der Periode 2 (2- Zyklus): xn+2 = xn und für einen N -Zyklus xn+N = xn. Speziell beim 2-Zyklus x2* = g(x1*) und x3* = g(x2*) = x1* (!). oder auch x1* = g(g(x1*)) = g2 (x1*). Man kann dies auch als Fixpunkt der Periode 2 auffassen. Damit lässt sich nun der Weg ins Chaos in Abhängigkeit von r folgendermaßen beschreiben

Abb. A1.4: Mögliche Lösungen bei der logistischen Gleichung. Der Nullpunkt ist unterdrückt, nur der eingeschwungene Zustand wird gezeigt (ab einem hohen n-Wert). (a) Fixpunkt: Es tritt nur noch ein einziger x-Wert auf; (b) Periode-2-Lösung: Es werden abwechselnd 2 verschiedene x-Werte angenommen; (c) Periode-4-Lösung: Es werden der Reihe nach immer 4 verschiedene x-Werte angenommen; (d) Chaotische Bewegung: Man erkennt keine Regelmäßigkeit mehr

(1) Im Bereich 0 ≤ r < r1 des Parameters r existiert nur der konstante stabile Fixpunkt (1-Zyklus) bei x1* = 0. Ab dem ersten kritischen Wert r1 = 1 wird dieser Fixpunkt instabil.

(2) Im Bereich r1 < r < r2 ist der zweite, veränderliche Fixpunkt x2* stabil. Er verliert beim kritischen Wert r2 = 3 seine Stabilität und generiert dort einen periodischen 2-Zyklus.

(3) Dieser stabile, attraktive 2-Zyklus existiert im Bereich r2 < r < r3. Er wird instabil am kritischen Wert r3 =1+ √6 ≈ 3, 449 , wo dann ein 4 = 22-Zyklus entsteht.

(4) Dieser stabile 22-Zyklus existiert im Bereich r3 < r < r4 und geht beim kritischen Wert r4 = 3,544112 über in einen 8=23-Zyklus.

(5) Dieser Prozess geht weiter, wobei die „Bifurkationen“ immer schneller aufeinander folgen. Die rn konvergieren schließlich gegen den kritischen Grenzwert r= 3,57. Die Abstände aufeinander folgender kritischer Werte werden immer kleiner, ihr Relativverhältnis strebt gegen die Feigenbaum-Konstante δ = 4,66992.....

(6) Während für r < r alle Lösungen periodisch sind und unabhängig von den Anfangsbedingungen, setzt für r > r Chaos ein mit einer empfindlichen Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Allerdings gibt es im Intervall r< r < 4 auch wieder Bereiche mit periodischen Trajektorien, mit Periodenverdopplung und mit Intermittenz, worauf wir hier aber nicht eingehen werden.

  • 9 z. B. Eubank, Farmer, S. 88

Abb. A1.59: Bifurkationsdiagramm für die logistische Gleichung (3)

39Man kann diese Übergänge in einem Bifurkationsdiagramm graphisch darstellen (Fig. A1.5). Hierbei wird die Lage der stabilen Atraktoren aufgezeichnet als Funktion des Parameters r.

40Man kann auch bei kontinuierlicher Zeitabhängigkeit Wege zum Chaos einschlagen:

41Damit aber Chaos überhaupt auftreten kann, muss der Phasenraum hier mindestens dreidimensional sein, z.B. wie bei der Duffingschen Gleichung (1). Wir zeigen in der Abbildung A1.6 die Trajektorien im Phasenraum nur für den Fall, dass die Stärke ʄ der treibenden Kraft von 0 an wächst.

  • 10 Lakshmanan-Rajasekar Abb. 5.3 (S. 127), Abb. 5.4 (S. 128), Abb. 5.6 (S. 130)

Abb. A1.610: Phasenportraits x2 = x2(x1) für den Duffing-Oszillator Gl. (1) für verschiedene Werte der Kraftamplitudeʄ. Für die andern Parameter wurde gewählt: γ = 0, 25; α = − 1; β = 1; ω = 1. Man hätte die Anfangsbedingung auch so wählen können, dass der rechts liegende Fixpunkt Ausgangspunkt der Trajektorien gewesen wäre

Notes

1 Lakshmanan-Rajasekar, S. 101, übersetzt von EGS

2 Ein Punkt über einer Variablen bedeutet die 1. Ableitung nach der Zeit, zwei Punkte die 2. Ableitung

3 DGl ist die Abkürzung für Differentialgleichung

4 Die Lorenzgleichungen sind ein Beispiel, bei dem man von vornherein schon 3 DGlen 1. Ordnung hat

5 Worg,, S. 164, Abb. 7

6 Trotzdem kann es bei konservativen Systemen auch chaotische Gebiete geben, die allerdings nicht attraktiv sind.

7 Schuster 1994, S. 182

8 Alligood et al. S. 336-337, Eubank, Farmer S. 94, Moon S. 100

9 z. B. Eubank, Farmer, S. 88

10 Lakshmanan-Rajasekar Abb. 5.3 (S. 127), Abb. 5.4 (S. 128), Abb. 5.6 (S. 130)

Table des illustrations

Légende Abb. A1.1: Gleichung (4). Auf der Abszissenachse wählt man z. B. x0 = 1,1, dann ist 10x0 = 11. Der modulo-Operator teilt durch 10 und nimmt den Rest: 11/10 = 1 + Rest 1, also x1 = 1. Dann ist 10x1 = 10. Erneute Anwendung des modulo-Operators liefert 10/10 = 1 + Rest 0, also x2 = 0, und von hier kommt das System nicht mehr weg
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Légende Abb. A1.2: Attraktoren bei erzwungenen Schwingungen eines Pendels. θ ist der Auslenkwinkel aus der Ruhelage. (a) Fixpunkt bei Dämpfung, (b) Grenzzyklus, (c) Seltsamer Attraktor5
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Légende (a) (b)Abb. A1.37: (a) Dissipatives System: Die Trajektorien laufen alle gegen den stabilen Fixpunkt (Attraktor) und das Phasenraumvolumen schrumpft; (b) Konservatives System: Das Zentrum ist stabil, aber kein Attraktor; und das Phasenraumvolumen ist konstant
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Légende Abb. A1.4: Mögliche Lösungen bei der logistischen Gleichung. Der Nullpunkt ist unterdrückt, nur der eingeschwungene Zustand wird gezeigt (ab einem hohen n-Wert). (a) Fixpunkt: Es tritt nur noch ein einziger x-Wert auf; (b) Periode-2-Lösung: Es werden abwechselnd 2 verschiedene x-Werte angenommen; (c) Periode-4-Lösung: Es werden der Reihe nach immer 4 verschiedene x-Werte angenommen; (d) Chaotische Bewegung: Man erkennt keine Regelmäßigkeit mehr
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Légende Abb. A1.59: Bifurkationsdiagramm für die logistische Gleichung (3)
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Légende Abb. A1.610: Phasenportraits x2 = x2(x1) für den Duffing-Oszillator Gl. (1) für verschiedene Werte der Kraftamplitude ʄ. Für die andern Parameter wurde gewählt: γ = 0, 25; α = − 1; β = 1; ω = 1. Man hätte die Anfangsbedingung auch so wählen können, dass der rechts liegende Fixpunkt Ausgangspunkt der Trajektorien gewesen wäre
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