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Les méthodes d’analyse d’enquêtes

 | 
Philippe Cibois

Chapitre II

L’analyse factorielle des correspondances

Texte intégral

I. – Décomposition des écarts à l’indépendance

1Avant de montrer comment utiliser cette technique, il faut en comprendre quels sont les concepts fondamentaux. À cette fin nous partirons du tableau suivant qui, toujours issu de la même enquête, croise l’intérêt vis-à-vis de la religion de la personne interrogée (la mère de l’enfant) avec sa position politique. Dans la catégorie marquée « ni gauche ni droite », on a regroupé les réponses faisant référence au mouvement écologique ou qui refusent de se positionner sur une échelle gauche/droite.

Tableau 1. – Effectif observé

Intérêt vis-à-vis de la religion

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Total

Droite

 24

 41

  7

  72

Centre

 14

 30

 12

  56

Gauche

 28

 89

 74

191

Ni G ni D

 46

 83

 64

193

Total

112

243

157

512

2Faire l’analyse des correspondances de ce tableau conduit à construire un graphique où chaque point représente un intitulé de ligne ou de colonne. Un point ligne sera proche d’un point colonne quand on pourra repérer une attraction entre cette ligne et cette colonne, attraction repérée par un fort écart à l’indépendance.

3La situation d’indépendance dans un tableau se définit de la façon suivante : en moyenne dans ce tableau, la proportion de fort intérêt est de 112 / 512 = 0,219 soit 21,9 %. Si cette proportion s’appliquait au 72 personnes de droite, l’effectif qu’il y aurait serait de 0,219 × 72 = 15,8 personnes. Cet effectif correspondrait au cas fictif où il y aurait indépendance entre les lignes et les colonnes puisqu’il est calculé simplement par produit des marges divisé par le total.

4Pour l’ensemble du tableau les résultats sont les suivants :

Tableau 2. – Indépendance

Intérêt vis-à-vis de la religion

 

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Total

Droite

15,8

34,2

22,1

  72

Centre

12,3

26,6

17,2

  56

Gauche

41,8

90,7

58,6

191

Ni G ni D

42,2

91,6

59,2

193

Total

112

243

157

512

5Comme il s’agit d’un cas fictif, on l’appelle tableau des effectifs théoriques sous l’hypothèse d’indépendance.

6Les observations sont soit au-dessus de l’indépendance comme pour la première case « Droite et fort intérêt » où l’on a un écart à l’indépendance de 24 – 15,75 = 8,25 personnes en écart positif. Par contre on a un écart négatif entre la gauche et le fort intérêt : 28 – 41,8 = –13,8 où le déficit manifeste une répulsion. Quand on est de gauche, on est moins que la moyenne à avoir un fort intérêt pour la religion.

7Le tableau général est le suivant :

Tableau 3. – Écarts à l’indépendance

Intérêt vis-à-vis de la religion

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Total

Droite

8,3

6,8

– 15,1

  72

Centre

1,8

3,4

– 5,2

  56

Gauche

– 13,8

– 1,7

15,4

191

Ni G ni D

3,8

– 8,6

4,8

193

Total

112

243

157

512

8On voit qu’il y attraction entre la droite (et dans une mesure plus faible le centre) avec l’intérêt fort ou moyen ; une attraction entre la gauche et une absence d’intérêt. Pour ceux qui refusent le positionnement politique traditionnel, ils se retrouvent dans les extrêmes et fuient l’intérêt moyen.

  • 1 René Rémond, Les droites en France, Paris, Aubier, 1982 ; Jean-François Sirinelli (dir.), Les droit (...)

9Ces résultats sont tout à fait classiques en sociologie1 : en France l’opposition gauche/droite se superpose souvent à l’opposition vis-à-vis de la religion (catholique souvent). Quant à la position moyenne, elle reflète souvent un attachement traditionnel en voie de se distendre : ceux qui ne se situent pas dans l’opposition politique classique font leur choix soit pour, soit contre le domaine religieux.

10Chaque écart à l’indépendance est le résultat de l’opération effectif observé – effectif théorique. On peut étendre cette opération au tableau en disant que ce qui est vrai au niveau de chaque case l’est aussi au niveau du tableau dans son ensemble. Le tableau observé est ainsi décomposé en une somme de deux tableaux : théorique + écarts à l’indépendance. En reprenant les intitulés des tableaux on a :

T observé = T théorique + T écarts.

11C’est cette décomposition qui va être poursuivie par l’analyse des correspondances où le tableau des écarts va être d’abord approximé par un tableau le plus proche de lui mais où, comme dans le tableau d’indépendance, chaque case sera connue par ses marges.

  • 2 Voir l’annexe pour les détails complémentaires.

12Voici l’approximation du tableau des écarts avec les coefficients marginaux qui permettent de le construire2 : les valeurs des cases du tableau sont très proches du tableau 3 des écarts. Pour s’en convaincre il suffit de faire la différence terme à terme dans un tableau du reste.

Tableau 4. – Approximation des écarts

Intérêt vis-à-vis de la religion

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Coeff.

Droite

9,0

5,7

– 14,7

– 3,147

Centre

2,8

1,8

– 4,6

– 0,993

Gauche

– 10,4

– 6,7

17,1

3,645

Ni G ni D

– 1,4

– 0,9

2,3

0,495

Coeff.

– 2,854

– 1,826

4,680

13Le tableau suivant est le reste : ce qu’il faut ajouter terme à terme pour retrouver les écarts.

Tableau 5. – Reste

Intérêt vis-à-vis de la religion

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Coeff.

Droite

– 0,7

1,1

– 0,4

– 0,394

Centre

– 1,1

1,6

– 0,5

– 0,586

Gauche

– 3,4

5,0

– 1,6

– 1,826

Ni G ni D

5,2

– 7,7

2,5

2,807

Coeff.

1,851

– 2,742

0,891

14Dans l’approximation où se trouve la plus grande partie des écarts, les nombres vont en valeur absolue jusqu’à 17 (gauche – intérêt nul), tandis que dans le reste, la plus forte valeur est proche de 8 (en négatif : ni gauche ni droite – intérêt moyen).

15Le tableau du reste peut également être obtenu par la multiplication terme à terme de coefficients marginaux.

16Si on regarde comment se sont répartis les écarts, on voit que dans l’approximation, ce sont surtout les oppositions des trois premières lignes (l’échelle politique traditionnelle) qui ont été prises en compte, tandis que, dans le reste, c’est plutôt la ligne d’opposition à la répartition gauche/droite habituelle qui est présente. On voit ainsi que la décomposition en tableaux séparés met en relief pour chacun un aspect des données, pour lequel on emploie le mot de facteur.

17On peut utiliser les couples de coefficients marginaux de chaque « facteur », ceux de l’approximation et ceux du reste, comme abscisse et ordonnée des points dans un graphique. Le résultat est le suivant :

Figure 1. – Facteur approximation en abscisse, reste en ordonnée

18Les règles de lecture pour ce plan factoriel permettent de retrouver l’information des écarts à l’indépendance : on doit regarder l’angle au centre entre point ligne et point colonne. Trois cas de figures sont possibles :
1/ l’angle est inférieur à 90° : par exemple entre gauche et intérêt nul, ou droite et intérêt fort. Cela signifie qu’il y a attraction entre ces modalités et que l’écart à l’indépendance est fort (les deux attractions citées sont les plus fortes avec des écarts de 15,4 et 8,3) ;
2/ le cas opposé se présente quand l’angle est proche de 180° : par exemple entre droite et intérêt nul, gauche et intérêt fort et ni gauche ni droite et intérêt moyen. Cela signifie qu’il y a opposition ou répulsion entre ces modalités et que l’écart à l’indépendance prend des valeurs négatives fortes (les cas cités correspondent aux trois plus bas niveaux d’écart : –15,1, –13,8 et –8,6) ;
3/ le cas intermédiaire se situe quand l’angle est proche de 90° : par exemple entre gauche et intérêt moyen. Cela signifie qu’il y a indépendance entre ces modalités : l’écart à l’indépendance est faible (ici c’est la plus faible valeur absolue des écarts de 1,7 : elle est négative car l’angle est légèrement supérieur à 90°).

19Ces trois cas de figure d’attraction, d’indépendance ou d’opposition représentent toutes les éventualités possibles, et toutes les situations que l’on observe sont intermédiaires entre ces cas types. Quand on a à traiter un grand nombre de modalités, et cela va être le cas pour dépouiller une enquête, on s’intéresse surtout aux attractions, c’est-à-dire aux proximités angulaires entre modalités qui déterminent des zones du graphique auxquelles il est parfois possible de donner un nom qui relève de l’interprétation.

20Plus un point est proche du centre, et moins ses attractions ou oppositions sont fortes. Quand un point est strictement au centre, cela veut dire qu’il en situation d’indépendance avec toutes les autres modalités. Ici le point qui se rapproche le plus de cette situation est le point « centre » dont la ligne d’écarts à l’indépendance est la plus faible de tout le tableau.

21Enfin, si l’on prend en compte les tableaux d’approximation et de reste individuellement (ou ce qui revient au même si on ne regarde que les abscisses des points ou les ordonnées), on peut donner un nom à chaque approximation, appelée aussi facteur. Le tableau d’approximation correspond à l’opposition politique traditionnelle : gauche areligieuse contre droite favorable (1er facteur), tandis que le tableau du reste est spécifique de la position ni gauche ni droite et de son refus à l’intérêt moyen (2e facteur).

22En résumé, l’analyse des correspondances d’un tableau croisé consiste à décomposer les écarts à l’indépendance de ce tableau en plusieurs tableaux connus par leurs coefficients marginaux qui sont appelés traditionnellement les vecteurs propres de chaque tableau.

23Sur le graphique associé à ces vecteurs propres, les intitulés des lignes ou colonnes, par leurs positions angulaires réciproques permettent de retrouver les écarts à l’indépendance des données.

24Le nombre total de tableaux nécessaires est égal au plus petit nombre de lignes et colonnes, ici trois lignes : le premier tableau, numéroté zéro correspond à l’indépendance, le tableau suivant est le premier facteur, le suivant le deuxième. Quand le nombre de facteurs nécessaire est plus grand que deux, les facteurs suivants, plus faibles, sont soit négligés, soit interprétés séparément.

II. – Contributions des modalités, des tableaux

25À la décomposition des écarts à l’indépendance se juxtapose une décomposition des contributions au khi-deux de chaque case. Cette contribution, donnée traditionnellement par la formule :

(observé – théorique)² / théorique, peut être lue aussi comme écart² / théorique ou encore comme le produit de l’écart par le rapport écart / théorique.

26Cette dernière manière de voir nous signale que la contribution du khi-deux est homogène à l’unité de compte (l’individu dans une enquête), et que l’écart observé est pondéré par un rapport qui va dans le sens de l’augmentation quand l’écart (en valeur absolue) est plus grand que le théorique ; et de la diminution dans le cas contraire.

27Dans le cas ici traité, toutes les valeurs absolues des écarts sont inférieures au théorique et donc tous les rapports sont inférieurs à l’unité et réducteurs. Nous allons procéder ci-dessous à la décomposition additive du khi-deux global initial. Les contributions de chaque case sont sommées en ligne, en colonne et sur le total :

Tableau 6. – Khi-deux du tableau initial

Intérêt vis-à-vis de la religion

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Total

Droite

4,3

1,4

10,3

16,0

Centre

0,3

0,4

  1,6

  2,2

Gauche

4,5

0,0

  4,1

  8,6

Ni G ni D

0,3

0,8

  0,4

  1,5

Total

9,5

2,6

16,3

28,4

28Le principe de la décomposition est de calculer la contribution au khi-deux de chaque case dans le tableau d’approximation et de reste. Nous avons donc les deux tableaux de khi-deux suivants :

Tableau 7. – Khi-deux du tableau d’approximation

Intérêt vis-à-vis de la religion

 

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Total

Droite

5,1

1,0

9,8

15,9

Centre

0,7

0,1

  1,3

  2,0

Gauche

2,6

0,5

  5,0

  8,0

Ni G ni D

0,0

0,0

  0,1

  0,1

Total

8,4

1,6

16,1

26,1

Tableau 8. – Khi-deux du tableau du reste

Intérêt vis-à-vis de la religion

Position politique

Fort

Moyen

Nul

Total

Droite

0,0

0,0

0,0

0,1

Centre

0,1

0,1

0,0

0,2

Gauche

0,3

0,3

0,0

0,6

Ni G ni D

0,6

0,6

0,1

1,4

Total

1,0

1,1

0,2

2,3

29On vérifie facilement que si cette fois la décomposition ne se fait pas de manière additive au niveau des cases, elle se fait au niveau des totaux de lignes, de colonnes et du total général. Pour le total général de 28,4 il se répartit en 26,1 pour l’approximation + 2,3 pour le reste. Cette répartition est très inégalitaire et peut se mesurer par un pourcentage, dit traditionnellement « d’explication » qui est de 26,1 / 28,4 = 0,919 soit 91,9 % pour le premier facteur et 8,1 % pour le deuxième, ce qui justifie le vocabulaire employé d’approximation pour le premier facteur (puisque 9 sur 10 de l’information repérée par le khi-deux s’y trouve) et de reste pour le 2e, éventuellement négligeable.

30On se sert des totaux de khi-deux de chaque facteur pour évaluer la contribution de chaque ligne ou colonne dans un facteur. Par exemple, pour le premier on voit que la plus forte contribution des lignes est celle de la droite qui représente 15,9 sur un total de 26,1 soit 60,9 %. Dans les programmes habituels ces contributions sont données en millièmes et non en pour-cent (ici 609 ‰). Quand on a beaucoup de modalités, on voit immédiatement celles qui ont le plus contribué à la fabrication d’un facteur, ce qui permettra de l’interpréter avec sécurité.

31Le khi-deux de chaque tableau, qui lui est propre, est appelé aussi valeur propre du facteur : cette valeur propre est exprimée par un dérivé du khi-deux, le khi-deux divisé par l’effectif total (ou phi-deux). Il est pour le premier facteur de 26,1 / 512 = 0,051.

III. – Procédure de codage en tableau de Burt

  • 3 En hommage au psychologue Cyril Burt (1883-1971).

32Dans le cas précédent, nous avions une question en colonne (l’intérêt vis-à-vis de la religion) et une question en ligne (l’opinion politique), or au précédent chapitre, nous avons repéré une vingtaine de questions. Pour pouvoir traiter plus de deux questions en même temps, on prend comme tableau à traiter, non le tableau croisé ordinaire, mais un tableau spécial, appelé tableau de Burt3, qui consiste à faire un tableau entièrement symétrique pour les lignes et les colonnes et où, par exemple en ligne, se trouvent toutes les modalités de toutes les questions retenues. En croisant avec les mêmes modalités en colonne, on juxtapose les tris croisés précédents et un tableau diagonal où se trouvent les effectifs de chaque modalité. L’exemple précédent mis en tableau de Burt permettra d’en comprendre le principe.

Tableau 9. – Tableau de Burt

Droite

Centre

Gauche

Ni G ni D

Fort

Moyen

Nul

Total

Droite

72

  24

  41

    7

  144

Centre

56

  14

  30

  12

  112

Gauche

191

  28

  89

  74

  382

Ni G ni D

193

  46

  83

  64

  386

Fort

24

14

  28

  46

112

  224

Moyen

41

30

  89

  83

243

  486

Nul

  7

12

  74

  64

157

  314

Total

144

112

382

386

224

486

314

2048

33Le tableau initial (politique en ligne, intérêt en colonne) se trouve en haut à droite. En bas à gauche, c’est le même tableau mais ce qui était en ligne se trouve en colonne et réciproquement. Les deux tableaux diagonaux n’ont d’effectif que sur la diagonale et cet effectif est le total marginal du tableau d’origine.

34Avec une telle disposition, on peut mettre maintenant autant de questions que l’on veut. Ce tableau de Burt peut s’interpréter, pour une modalité donnée, comme l’effectif correspondant à la population ayant en même temps les deux modalités. Par exemple pour la première modalité en ligne et toutes les autres en colonne sont « droite » et « droite », les 72 de droite, sont « droite » et « centre », évidemment personne (blanc correspondant à zéro), puis sont de droite et d’intérêt fort 24, etc. Le total de marge correspond ici, où il y a deux questions, à 2 fois l’effectif de marge (n fois s’il y a n questions). Le total général correspond à 2 × 2 = 4 fois l’effectif de l’enquête, car l’effectif total se trouve dans chacun des 4 tableaux (n² pour n questions).

35On vérifiera que dans un tableau de Burt, l’écart à l’indépendance d’une case correspond strictement à l’écart à l’indépendance du tableau d’origine, ce qui fait que la décomposition factorielle est analogue avec toutefois des différences au niveau de la décomposition du khi-deux car il y a beaucoup de khi-deux artificiels dans le tableau de Burt. En effet, comme le tableau d’origine est dupliqué, son khi-deux l’est aussi et le khi-deux lié aux tableaux diagonaux est complètement artificiel.

36Les résultats sont présentés dans Trideux (d’une manière assez classique) de la façon suivante :

37On voit déjà que le codage en tableau de Burt fait baisser énormément les pourcentages d’explication de chaque facteur (qui étaient de 92 et 8 %). En effet, du fait du khi-deux artificiel, davantage que 2 facteurs sont nécessaires pour rendre compte de l’intégralité des données (5 ici mais seuls les 2 premiers ne sont pas artificiels). Il ne faut donc pas utiliser ces pourcentages pour interpréter l’analyse : l’indicateur pertinent devient maintenant la valeur propre elle-même en utilisant la règle empirique suivante :
– quand la valeur propre est supérieure à 0,1 (ce qui est le cas ici pour les deux facteurs utiles), cela indique une forte liaison entre les questions utilisées ;
– quand la valeur propre est inférieure à 0,1 mais supérieure à 0,01, on est dans le cas standard, habituel ;
– enfin quand la valeur propre est inférieure à 0,01, la liaison entre les questions est faible.

38Qu’on se trouve souvent dans le cas standard vient du fait que les questions que l’on met dans une analyse n’indiquent ni de trop fortes liaisons (parce qu’on les connaitrait déjà) ni de trop faibles (car on ne veut pas croiser des réalités trop hétérogènes).

39Pour la liste des questions (on n’indique que les colonnes mais les lignes seraient strictement identiques), on a pour chaque facteur (F =), les coordonnées factorielles (ou vecteurs propres) et la contribution en millièmes. Les vecteurs propres donnent un graphique très proche du précédent où la croisée des axes est marquée par un angle droit et où la position de chaque point correspond à la première lettre de son intitulé :

Figure 2. – Plan factoriel du tableau de Burt,
facteur 1 horizontal, facteur 2 vertical.

IV. – Modalités supplémentaires

40Dans une enquête, certaines questions sont de nature différente des questions spécifiques de l’enquête : ce sont celles qui sont employées dans toutes les enquêtes comme le sexe, l’âge, le niveau d’étude, la catégorie socioprofessionnelle ou ces variables spécifiques que sont l’opinion politique ou religieuse. Ces variables sont souvent appelées explicatives, terme datant d’une époque où l’on croyait expliquer la superstructure par l’infrastructure. Si l’on ne prétend plus expliquer par ces variables, on pense toujours que ces variables vont au moins éclairer la situation, illustrer par leur présence un aspect important de la réalité ; on leur donne donc aussi le nom de variables illustratives.

  • 4 Quand il y a beaucoup de questions, ce sont bien les modalités illustratives qui sont mises en élém (...)

41Pour les rendre opérantes, on met ces modalités en variables supplémentaires dans l’enquête. Pour comprendre ce qu’est une variable supplémentaire, dans le tableau de Burt précédent où l’on a deux variables de type politique et religieux, si on veut savoir où se positionnent les personnes ayant mis leurs enfants dans une école nouvelle comparées à celles qui ont choisi un collège de bonne réputation, la stratégie de dépouillement consiste à ne pas mettre strictement ensemble ces trois questions mais à respecter la différence de nature du choix d’école en mettant cette question en variable supplémentaire4.

42Mettre une question en supplémentaire ne modifie en rien l’analyse des autres variables : c’est une fois l’analyse faite que l’on effectue des calculs supplémentaires pour mettre dans le graphique chaque modalité au plus près d’une modalité ordinaire (dite active par opposition à supplémentaire) qui serait identique à la modalité supplémentaire.

43En ajoutant la question de l’école en variable supplémentaire, on n’a rien changé aux résultats indiqués plus haut. On a simplement les lignes suivantes ajoutées : la contribution qui est indiquée est hypothétique car c’est celle qu’aurait une modalité active identique.

44Les contributions des deux modalités sont faibles, elles seront proches du centre. Toutefois on voit que les parents d’école nouvelle sont dans la direction du pôle d’intérêt nul et donc en faible conjonction avec lui, tandis que les parents ayant choisi un collège de bonne réputation sont en légère conjonction avec le pôle droite / intérêt moyen.

Figure 3. – Type d’école en supplémentaire

45Cette technique de l’élément supplémentaire est utilisée toutes les fois qu’une modalité est hétérogène par rapport aux modalités actives. C’est le cas des données incertaines, difficiles à interpréter comme les non-réponses à une question, c’est aussi le cas des modalités à très faible effectif qui peuvent perturber une analyse. Plutôt que de perdre complètement l’information, on met la modalité en élément supplémentaire.

V. – Résumé

46Ce qui est visualisé par un graphique factoriel, ce sont les écarts à l’indépendance entre modalités, c’est-à-dire les attractions entre modalités. L’analyse va présenter une première approximation de l’ensemble des écarts par un premier axe ou premier facteur. Les écarts restants vont être approximés par un deuxième facteur et ainsi de suite.

47Pour chaque facteur, les contributions des différentes modalités sont plus ou moins fortes : on se servira des plus fortes pour comprendre ce qui a été pris en compte par un facteur. Quand le nombre de modalités est grand, cette sélection est indispensable pour ne porter sur le graphe que les modalités les plus contributives.

48Les facteurs sont faits avec les variables actives : comme les modalités par proximité de conjonction dessineront des types de répondants, les variables actives seront les questions qui sont spécifiques à l’enquête (opinions ou comportements). Une fois la typologie faite, on illustrera ces types en ajoutant des modalités supplémentaires qui seront les questions standards de toute enquête (sexe, âge, etc.).

49On notera qu’on ne fera pas l’inverse qui consisterait à faire une typologie des variables de statut en actives sur laquelle on projetterait en supplémentaires les modalités de l’enquête. Avec une telle procédure, et si l’enquête était bien représentative de la population globale, on devrait toujours avoir la même typologie de statut social, puisque indépendante de l’enquête. On ne fait pas cela car ce sont des typologies de répondants spécifiques aux enquêtes que l’on veut obtenir. Cependant, comme on le verra plus loin, il pourra être utile de faire une telle analyse pour choisir les questions explicatives à prendre en compte dans une analyse « toutes choses égales par ailleurs ».

Notes

1 René Rémond, Les droites en France, Paris, Aubier, 1982 ; Jean-François Sirinelli (dir.), Les droites françaises, Paris, Gallimard, 1995 ; Guy Michelat et Michel Simon, Classe religion et comportement politique, Paris, Presses de la FNSP et Éditions sociales, 1977 ; Jean-Marie Donegani, La liberté de choisir, Paris, Presses de la FNSP, 1993.

2 Voir l’annexe pour les détails complémentaires.

3 En hommage au psychologue Cyril Burt (1883-1971).

4 Quand il y a beaucoup de questions, ce sont bien les modalités illustratives qui sont mises en éléments supplémentaires.

Table des illustrations

Légende Figure 1. – Facteur approximation en abscisse, reste en ordonnée
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URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1460/img-2.jpg
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URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1460/img-3.jpg
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Légende Figure 2. – Plan factoriel du tableau de Burt, facteur 1 horizontal, facteur 2 vertical.
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Légende Figure 3. – Type d’école en supplémentaire
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