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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Douzième leçon1

21 floréal / 10 mai (?)

Texto completo

Théorie de la perspective

  • 1 Leçon publiée par Brisson en 1820.
  • 2 La fin du paragraphe a évidemment été rajoutée par Brisson pour tenir compte de l’interversion opé (...)

1[136.] L’art de la perspective consiste à représenter, sur un tableau dont la forme et la position sont connues, des objets également donnés de forme et de position tels qu’ils paraîtraient à un œil dont la position serait aussi déterminée. Pour rendre cette définition encore plus sensible, supposons que le tableau soit d’abord une glace transparente. Si de tous les points des objets proposés, on conçoit des rayons dirigés vers l’œil, que ces rayons, en traversant le tableau transparent, y laissent leurs traces empreintes de la couleur et de la teinte propres aux points dont ils partent, l’ensemble de ces traces formera sur le verre la représentation complète des objets ; c’est cette représentation qu’on se propose d’obtenir dans l’art de la perspective. On voit qu’ici, comme dans la théorie des ombres, on doit admettre deux parties distinctes : l’une est purement géométrique et son objet est de déterminer d’une manière précise sur le tableau la position de chaque point représenté ; l’autre a pour objet la recherche de la teinte d’ombre et de lumière qu’on doit donner à chaque partie du tableau et c’est par des considérations physiques qu’on peut en général la traiter. Cette dernière partie, qu’on désigne sous le nom de perspective aérienne, rentre entièrement dans le cercle des recherches que nous essaierons d’exposer plus tard pour compléter la théorie des ombres ; nous ne nous occuperons donc ici que de la première partie, appelée perspective linéaire2.

2D’après les définitions que nous venons de donner, il est facile de concevoir que la perspective linéaire se réduit à construire la section qu’une surface déterminée fait dans une pyramide dont le sommet et la base sont donnés. L’œil est le sommet ; la base peut être regardée comme répandue sur la surface des objets qu’on se propose de mettre en perspective, et la surface sécante est le tableau.

3Les méthodes de la géométrie descriptive donnent aisément la solution de ce problème pris dans toute sa généralité, c’est-à-dire en supposant même que le tableau soit une surface courbe quelconque ; cependant, comme nous avons surtout en vue ce qui est d’une utilité habituelle dans les arts, nous ne nous étendrons avec quelque détail que sur ce qui concerne les perspectives à tracer sur des surfaces planes et nous nous contenterons de présenter ensuite quelques observations concernant les perspectives à construire sur des surfaces courbes.

4Nous supposerons que le tableau soit un plan vertical ou perpendiculaire à celui des plans de projection que l’on considère comme horizontal : on pourrait sans difficulté le supposer incliné d’une manière quelconque par rapport à ces plans ; mais l’hypothèse à laquelle nous nous arrêtons est plus naturelle et simplifie les constructions.

5Ainsi, la position de l’œil, celle d’un objet connu de forme, et enfin celle d’un plan vertical, étant données par rapport aux plans de projection, il s’agit de trouver les rencontres de ce plan avec les droites menées de l’œil à chacun des points de l’objet proposé et de les rapporter sur un tableau représentant ce même plan vertical supposé rabattu.

  • 3 Il s’agit de la construction par la méthode de la double projection, application directe de la géo (...)

6Diverses constructions peuvent donner les points de rencontre avec plus ou moins d’avantage et de facilité selon les positions respectives de l’objet, de l’œil et du tableau ; nous allons exposer, en premier lieu, celle qui est la plus simple et ordinairement la plus commode3.

7Plaçons d’abord le plan vertical de projection dans une position telle que celui du tableau lui soit perpendiculaire et qu’en conséquence ce dernier s’y trouve projeté par une ligne verticale qui sera sa trace. Soient O' et O" (Pl. XXVIII, fig. 54) les projections de l’œil, T'T' et T"T" celles du tableau ou les traces du plan vertical auquel il appartient ; supposons qu’on ait au-delà les projections des objets à mettre en perspective, déjà faites ou que l’on doit commencer par faire sur les plans de projection qu’on a adoptés ; par exemple, celles d’une pyramide à base quadrangulaire dont les sommets ou angles solides A, B, C, D, E, soient donnés en projection horizontale aux points A', B', C, D', E', et en projection verticale aux points A", B", C", D", E".

8Si, de l’œil, on mène une ligne à un premier point de l’objet proposé, on aura pour les projections de cette ligne les droites OA' et O'A". Les points a’ et a" où ces droites coupent les projections T'T' et T"T" du tableau sont évidemment les projections du point de rencontre du rayon visuel avec le tableau ; il ne s’agit plus que de trouver la position de ce point sur le tableau lui-même, que nous concevrons enlevé de sa position T'T'T"T" et placé en MN. Un moyen simple d’y parvenir est de déterminer sur ce tableau deux lignes que l’on prendra pour des axes auxquels tous les autres points doivent se rapporter ; la position de ces axes étant fixée sur les plans de projection, on cherchera la distance à laquelle se trouve, de chacun d’eux, le point de rencontre du rayon visuel avec le tableau, et, à l’aide de ces distances, la situation du point sur le tableau sera facile à marquer. Ces deux axes pouvant être pris arbitrairement, nous supposerons que, par l’œil, on mène deux plans, l’un horizontal et l’autre vertical, perpendiculaires tous deux au tableau ; leurs traces sur ceux de projection seront O'Y et O"X ; ils couperont le plan du tableau suivant deux lignes, l’une horizontale, représentée en projection verticale par le point x, et l’autre verticale, représentée en projection horizontale par le point y ; ces deux lignes seront les axes que nous adopterons, et sur le tableau, nous les représenterons, savoir : par XX l’axe horizontal et par YY l’axe vertical.

9Cela posé, nous avons dit que a' est la projection horizontale du point où le rayon visuel mené au point A rencontre le tableau ; ya' sera donc la distance à laquelle ce point doit se trouver de la verticale passant par le point y, ou de l’axe YY sur le tableau MN. Si donc sur ce tableau, on mène à droite ou à gauche de l’axe YY, selon qu’en projection horizontale a' est à droite ou à gauche de y, une parallèle à une distance égale à ya', cette parallèle aa' renfermera le point cherché. De même a" étant la projection verticale du même point, xa" mesure la distance à laquelle ce point se trouve de l’axe horizontal, mené dans le tableau par le point : qu’on tire donc sur le tableau une parallèle a"a à l’axe XX, en ayant l’attention de la placer au-dessus ou au-dessous, selon que, dans la projection verticale, le point a" sera au-dessus ou au-dessous du point ; les deux lignes a'a, a"a, parallèles aux axes, donneront par leur rencontre le point cherché ou la perspective du point A ; on peut faire la même opération pour tous les points de la pyramide ABCDE dont on obtiendra ainsi la perspective complète.

10Quelques observations abrégeront beaucoup de travail. On remarquera d’abord que la perspective d’une ligne droite est une ligne droite lorsque le tableau est une surface plane. En effet, les rayons visuels menés de l’œil aux divers points de la droite proposée sont dans le plan mené par cette droite et par l’œil ; par conséquent, leurs points de rencontre avec le tableau doivent être sur la droite d’intersection du tableau par le plan auquel ils appartiennent. Ainsi, il suffit de construire les perspectives de deux points de la ligne proposée et de les joindre par une droite pour avoir la perspective de la ligne elle-même. Dans l’exemple que nous avons pris, on pourra donc se contenter de construire les perspectives des cinq sommets A, B, C, D, E, de la pyramide ; et en les joignant par des droites, on aura les perspectives des arêtes.

11En second lieu, si le corps dont on veut faire la perspective est opaque et impénétrable aux rayons visuels, la partie antérieure dérobera la vue de l’autre partie ; il est donc inutile de construire la perspective des points qui appartiennent à cette dernière. Ainsi, dans l’exemple proposé, le point E de la pyramide ne pouvant être aperçu de l’œil placé au point O, il est inutile de chercher sur le tableau MN le point qui lui correspond.

12La partie visible d’un objet est séparée de celle que l’œil ne peut apercevoir par une ligne que l’on appelle contour apparent. La perspective du contour apparent est le trait qui, sur le tableau, enveloppe l’image de l’objet qu’on se propose de représenter ; il est donc important, en général, de bien déterminer le contour apparent d’un objet et d’en faire avec soin la perspective.

13Lorsque les objets à représenter sont terminés par des surfaces planes et des arêtes rectilignes, il est en général facile de distinguer les faces visibles pour une position déterminée de l’œil, de celles qui ne le sont pas, et par conséquent, de reconnaître celles des arêtes dont l’assemblage forme la ligne du contour apparent. Mais lorsque ces objets sont terminés par des surfaces courbes, le contour apparent n’est plus formé de lignes droites : c’est alors une courbe qu’il faut déterminer sur la surface du corps à l’aide de son caractère particulier qui est de séparer la partie du corps qui est visible de celle qui ne l’est pas, par rapport à un œil dont la position est donnée. On voit que cette recherche est tout à fait semblable à celle de la ligne qui sépare, sur un corps opaque, la partie éclairée de la partie obscure lorsque le corps lumineux est un point unique, placé à une distance finie : il s’agit également de trouver la courbe de tangence d’un cône dont le sommet est donné et qui enveloppe un corps terminé par une surface connue. Nous croyons inutile de nous arrêter à cette recherche et nous renverrons aux solutions que nous avons données des questions parfaitement analogues dans la théorie des ombres.

  • 4 Il s’agit du théorème sur l’unicité du point de fuite associé à une direction de droites pour une (...)

14[137.] Nous devons faire connaître ici un résultat de perspective très important par ses fréquentes applications, et dont l’observation est essentielle pour la correction du dessin ; il consiste en ce que toutes les fois que l’on doit mettre en perspective plusieurs lignes droites parallèles entre elles (mais non pas au tableau), sur quelque tableau que se soit, les perspectives de ces droites concourent en un seul point4. Si ce tableau est plan, ces perspectives sont elles-mêmes des lignes droites qui passent toutes par le même point, proposition facile à démontrer.

15En effet, une droite étant donnée pour la mettre en perspective, on conçoit que l’ensemble de tous les rayons visuels menés de l’œil à cette ligne forme un plan passant par la ligne et par l’œil et dont l’intersection par le tableau trace la perspective demandée ; alors, si par l’œil on suppose une droite parallèle à la ligne donnée, elle se trouve en entier dans le premier plan. Maintenant, qu’on ait une seconde ligne parallèle à la première à mettre également en perspective, et que l’on considère aussi le plan passant par cette ligne et par l’œil comme traçant par son intersection avec le tableau la perspective qu’il s’agit d’obtenir, puis qu’on mène par l’œil une droite parallèle à la seconde ligne donnée, elle sera entièrement dans le second plan. Mais, les deux lignes données étant parallèles, les droites qu’on mène par l’œil, parallèlement à la première et à la seconde, se confondent en une seule qui est en même temps dans le premier plan et dans le second : elle est donc leur ligne d’intersection. Le point où elle rencontre le tableau est par conséquent celui où se croisent les lignes suivant lesquelles ces plans coupent le tableau, ou, ce qui revient au même, celui où concourent les perspectives. Il suit de là que, pour mettre en perspective tant de droites parallèles qu’on voudra, il n’y a qu’à mener par l’œil une ligne qui leur soit parallèle : le point où cette dernière rencontrera le tableau, sera le point de concours auquel tendront les perspectives de toutes ces droites.

16Les projections de la droite menée par l’œil sont parallèles à celles de la ligne à mettre en perspective et sont par conséquent faciles à construire ; on a les traces du tableau sur les plans de projection ; il est donc aisé de trouver le point de rencontre de la droite et du tableau.

17Le résultat que nous venons d’exposer peut abréger beaucoup les opérations lorsque le tableau est une surface plane et qu’il s’agit de tracer les perspectives de différentes lignes parallèles. Dans ce cas, ces perspectives sont elles-mêmes des lignes droites et, leur point de concours étant déterminé ainsi que nous l’avons indiqué, il suffira, pour les tracer, de connaître sur le tableau, relativement à chacune d’elles, la perspective d’un second point.

18Mais ce n’est pas seulement comme moyen d’abréviation que ce que nous venons de dire doit être considéré, c’est encore le procédé le plus sûr pour éviter des incorrections dont notre œil est facilement blessé. Nous sommes en général moins sensibles aux grandeurs réelles des objets qu’au parallélisme des lignes que nous jugeons devoir être parallèles. Que deux lignes soient un peu plus éloignées ou un peu plus rapprochées l’une de l’autre qu’elles ne doivent l’être, il faudra un œil exercé et quelque attention pour saisir ce défaut ; mais, si elles doivent être parallèles et qu’elles ne le soient pas, nous nous en apercevrons sur-le-champ et nous en serons vivement choqués. Si donc, lorsqu’on met en perspective plusieurs lignes parallèles, les perspectives qui doivent concourir au même point n’y concourent pas en effet, cette erreur blesse extrêmement l’observateur et les parallèles ne lui paraissent plus telles ; ainsi, on peut toujours regarder comme essentiel de déterminer sur le tableau le point de concours des lignes qui représentent les perspectives des droites parallèles, afin d’être sûr que les perspectives passent par ce point.

19Dans l’exposition du procédé de construction que nous avons donné ci-dessus, nous avons supposé que le plan vertical de projection était perpendiculaire au plan du tableau ; nous avons trouvé dans cette disposition l’avantage d’avoir le tableau projeté en entier sur une seule ligne. Si le tableau était oblique au plan vertical de projection, pour trouver la hauteur de chaque point de la perspective au-dessus de l’axe horizontal auquel on le rapporte, il faudrait, du point où la projection horizontale du rayon visuel rencontre la trace horizontale du tableau, abaisser une perpendiculaire sur l’intersection des deux plans de projection et la prolonger jusqu’à la rencontre de la projection verticale du rayon visuel. Ce travail, quoique assez long, peut, dans quelques circonstances, être moins pénible que la construction préliminaire d’une projection verticale sur un plan perpendiculaire au tableau.

20Supposons qu’on ait à mettre en perspective une suite de pilastres semblables et dont la direction soit oblique au plan du tableau ; il serait fort long d’en faire la projection sur un plan vertical perpendiculaire au tableau, mais en la faisant sur un plan perpendiculaire à la direction des pilastres, elle se réduit à la projection d’un seul d’entre eux. On voit que, dans ce cas, il devient préférable d’adopter cette dernière disposition, malgré l’inconvénient d’avoir une ligne de plus à tracer pour construire la perspective de chaque point.

  • 5 Ce paragraphe et les suivants, jusqu’à la fin du n° 158, sont l’œuvre de Brisson [Brisson, 1820, p (...)

21[138.] En général, le problème que présente la perspective linéaire, en le considérant dans ses éléments, se réduit à construire le point de rencontre du tableau par le rayon visuel mené de l’œil à un point déterminé, et il est utile de connaître plusieurs moyens de le résoudre afin de faire usage, en chaque circonstance, de ceux qui exigent le moins de travail. La plupart des méthodes données dans les ouvrages qui traitent de la perspective, et particulièrement celle que nous avons déjà développée, rentrent dans le mode général de solution que nous allons indiquer5.

22Si, par le point à mettre en perspective et par l’œil, on conçoit deux plans différents, le rayon visuel se confondra avec leur intersection. Et, comme ils couperont nécessairement le tableau, si l’on construit les lignes ou les traces suivant lesquelles ils le rencontrent, le point où ces traces se croiseront appartiendra à l’intersection des deux plans entre eux et sera par conséquent le lieu de rencontre du rayon visuel et du tableau. C’est au dessinateur à choisir, parmi le nombre infini de plans qui peuvent passer par l’œil et par le point à mettre en perspective, les deux plans dont il lui est le plus facile de déterminer les traces sur le tableau. En les prenant perpendiculaires chacun à l’un des plans de projection, on retombe sur la méthode de construction que nous avons déjà donnée. Il peut être souvent avantageux de supposer l’un des plans perpendiculaire au tableau même ; dans ce cas, il est aisé de voir que sa trace passera par les pieds des perpendiculaires abaissées de l’œil et du point proposé sur le tableau. Plus généralement, si l’on conçoit, par le point et par l’œil, deux lignes parallèles entre elles, l’intersection du tableau et du plan qui les contient passera par les points où le tableau est lui-même rencontré par ces parallèles.

23Ces diverses observations suffisent pour mettre les personnes qui sont au courant des méthodes de la géométrie descriptive en état d’abréger dans un grand nombre de cas et de simplifier beaucoup les opérations qu’exige la pratique de la perspective linéaire.

24Supposons maintenant que le tableau ne soit plus un plan, mais une surface courbe donnée ; les considérations que nous venons d’exposer doivent en général conduire, pour chaque cas, à la plus avantageuse des constructions possibles. En effet, parmi tous les plans passant par l’œil et par le point dont on demande la perspective, et qui contiennent en conséquence le rayon visuel, on peut toujours choisir celui qui, d’après la nature connue de la surface proposée pour tableau, donne, par son intersection avec ce tableau, la courbe la plus aisée à construire, soit sur le plan même que l’on considère, soit dans l’une de ses projections. Il sera ensuite facile de trouver l’intersection de cette courbe avec le rayon visuel, ce qui déterminera le point où le rayon rencontre le tableau.

25Si, par exemple, le tableau était une surface sphérique, il faudrait que le plan mené par l’œil et par le point à mettre en perspective passât également par le centre de la sphère ; alors l’intersection serait toujours un grand cercle, dont on trouverait facilement, sur le plan même, la rencontre par le rayon visuel.

26Si le tableau était une surface conique, on ferait passer constamment le plan contenant le rayon visuel par le sommet du cône ; l’intersection de ce plan avec le tableau serait une ligne droite dont on trouverait sans peine les projections et leur point de rencontre avec celles du rayon visuel.

27Les panoramas sont des perspectives tracées sur des surfaces cylindriques verticales à base circulaire, le point de vue étant pris sur l’axe même de ces surfaces. Pour mettre un point quelconque en perspective sur la surface d’un cylindre vertical, on concevra, par l’œil et par le point proposé, un plan vertical qui coupera cette surface suivant une de ses arêtes, déterminée par la rencontre de la trace horizontale du plan avec la circonférence du cercle servant de base au cylindre. Que l’on fasse la projection verticale de cette arête, sa rencontre avec la projection verticale du rayon visuel déterminera la hauteur à laquelle le rayon visuel rencontre la surface du cylindre, au-dessus de la base de ce dernier ; et il sera facile, d’après ces données, de construire la perspective du point proposé, soit sur la surface même du cylindre, soit sur le tableau supposé développé.

28[139.] Ce qui précède donnant les moyens de résoudre toutes les questions que peut présenter la perspective, nous n’ajouterons plus que quelques observations.

  • 6 Le problème de la construction d’une perspective de perspective et de la restitution d’une perspec (...)

29Lorqu’on a un tableau offrant la perspective d’un objet prise d’un point déterminé, on peut en déduire le tracé d’une perspective du même objet prise du même point de vue et sur un tableau différent. En effet, l’œil et le premier tableau étant déterminés de position, la direction des rayons visuels menés de l’œil à chacun des points de l’objet représenté se trouve fixée, et l’on peut en déduire par conséquent leur rencontre avec la surface d’un autre tableau dont la position est donnée6.

30Mais ce qu’on vient de dire ne saurait plus avoir lieu si l’on prenait un autre point de vue, rien dans ce cas ne déterminant la direction des rayons visuels et une simple perspective ne suffisant pas pour définir l’objet représenté. Une perspective est une sorte de projection qui ne diffère de la projection orthogonale dont on fait habituellement usage qu’en ce que la première s’opère par des lignes qui concourent au point de vue d’où la perspective est prise, tandis que, pour la seconde, ces lignes sont perpendiculaires au plan de projection ; or, on sait qu’un objet n’est complètement défini qu’à l’aide de deux projections : il ne le serait également qu’à l’aide de deux perspectives, par rapport à chacune desquelles on connaîtrait la position du point de vue.

  • 7 Tel est l’objet de la perspective aérienne traitée dans la 11e leçon. Il apparaît que ce paragraph (...)

31Nous terminerons ici nos recherches sur la partie géométrique de la théorie des ombres et de la perspective. Les méthodes que nous avons exposées embrassent, relativement à la représentation des objets, à peu près tout ce qui, dans l’usage, est susceptible d’un tracé rigoureux. Ainsi, divers objets étant proposés et déterminés par leurs projections, si on les suppose éclairés d’une manière connue, on construira les contours des parties éclairées et des parties obscures sur la surface de chacun d’eux, et ceux des ombres qu’ils portent les uns sur les autres, puis on tracera sur un tableau d’une forme donnée la perspective de ces mêmes objets, ainsi que des contours de leurs ombres, prise d’un point connu ; il ne restera plus, pour compléter leur représentation, qu’à donner aux diverses parties de leur image les teintes avec lesquelles, dans la réalité, elles s’offrent à nos regards7.

Notas

1 Leçon publiée par Brisson en 1820.

2 La fin du paragraphe a évidemment été rajoutée par Brisson pour tenir compte de l’interversion opérée entre la leçon de perspective aérienne et celle de perspective linéaire.

3 Il s’agit de la construction par la méthode de la double projection, application directe de la géométrie descriptive. Cette méthode était bien connue des artistes de la Renaissance, par exemple de Piero della Francesca [Piero della Francesca, 1899 et 1942] et de Durer [Dürer, 1525].

4 Il s’agit du théorème sur l’unicité du point de fuite associé à une direction de droites pour une position donnée de l’œil, théorème bien connu depuis le début du xviie siècle.

5 Ce paragraphe et les suivants, jusqu’à la fin du n° 158, sont l’œuvre de Brisson [Brisson, 1820, p. VII].

6 Le problème de la construction d’une perspective de perspective et de la restitution d’une perspective n’est abordé que de façon allusive. En 1774, J. H. Lambert avait développé cette question d’une manière plus détaillée [Lambert, 1774] ; voir également [Laurent et Peiffer, 1987, p. 246-254].

7 Tel est l’objet de la perspective aérienne traitée dans la 11e leçon. Il apparaît que ce paragraphe a été introduit ou retouché par Brisson pour tenir compte de son interversion de l’ordre des deux leçons sur la perspective.

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