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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Neuvième leçon

21 germinal / 10 avril

Texte intégral

  • 1 Éditions ultérieures : « Après avoir exposé la théorie des courbes à double courbure, nous allons (...)

1[113.] L’objet dont nous allons nous occuper1 est de nature à être traité avec beaucoup plus de facilité par le secours de l’analyse que par la simple contemplation des propriétés de l’étendue ; mais les résultats auxquels il conduit peuvent être utiles à des artistes que nous ne devons pas supposer familiarisés avec les opérations analytiques ; nous allons donc essayer de les présenter en n’employant que des considérations géométriques. Cette méthode introduira la clarté qui lui est particulière, mais aussi elle apportera de la lenteur dans la marche.

2Les surfaces, par rapport à leurs courbures, peuvent être divisées en trois grandes classes. La première comprend celles qui, dans tous leurs points, n’ont aucune courbure ; les surfaces de ce genre se réduisent au plan, qui d’ailleurs peut être placé d’une manière quelconque dans l’espace. La seconde classe renferme toutes celles qui, dans chacun de leurs points, n’ont qu’une seule courbure ; ce sont, en général, les surfaces développables dont deux éléments consécutifs peuvent être regardés comme faisant partie d’une surface conique, même en regardant la grandeur de ces éléments comme indéfinie dans le sens de la génératrice de la surface conique. Enfin, toutes les autres surfaces courbes composent la troisième classe ; dans chacun de leurs points, elles ont deux courbures distinctes et qui peuvent varier l’une indépendamment de l’autre. Commençons par considérer les surfaces courbes les plus simples, et d’abord les surfaces cylindriques.

3[114.] Soit ABFE (Pl. XXIV, fig. 47) une surface cylindrique indéfinie à base quelconque sur laquelle on considère un point L pris arbitrairement. Par ce point concevons la droite génératrice CLG, et une section JLK faite par un plan perpendiculaire à la génératrice ; cette section sera parallèle et semblable à la base de la surface. Enfin, par le point L concevons à la surface la normale LP ; cette normale sera perpendiculaire à la génératrice CG, et par conséquent dans le plan de la section JLK ; de plus, elle sera perpendiculaire à la tangente de la section au point L ; ou, ce qui comprend à la fois les deux conditions, elle sera perpendiculaire au plan tangent à la surface en L. Cela posé, si l’on prend sur la surface deux autres points infiniment voisins du point L, l’un M sur la génératrice CG, l’autre N sur la section perpendiculaire, et si par chacun de ces points on mène une nouvelle normale à la surface, ces deux normales MQ, NP seront chacune dans un même plan avec la première normale LP ; mais ces plans seront différents, pour les deux dernières normales. En effet, le plan tangent à la surface en L étant aussi tangent en M, les deux droites LP et MQ sont perpendiculaires au même plan ; elles sont donc parallèles entre elles et par conséquent dans un même plan. Ces droites parallèles peuvent être regardées comme concourant à l’infini. Quant aux normales LP, NP, elles sont évidemment comprises dans le plan de la section perpendiculaire ; elles concourent donc en un certain point P de ce plan : ainsi les deux plans qui contiennent les trois normales deux à deux sont, non seulement différents, mais perpendiculaires à l’autre.

4[115.] Actuellement quelque autre point O que l’on prenne sur la surface, infiniment voisin du premier point L, si par ce point on conçoit à la surface une normale OQ, cette normale ne sera pas dans un même plan avec la première normale LP et par conséquent ne pourra la rencontrer : car si par le point O l’on conçoit une nouvelle section iOk perpendiculaire à la surface et qui coupe quelque part en un point M la droite génératrice qui passe par le point L, la normale OQ sera dans le plan de cette section. Les deux normales LP et OQ seront donc dans deux plans parallèles, et ne pourront être elles-mêmes dans un même plan, à moins qu’elles ne soient parallèles entre elles. Or, elles ne sont point parallèles ; en effet, si l’on conçoit la normale au point M, nous avons vu que cette normale MQ sera parallèle à LP ; mais elle ne sera pas parallèle à OQ ; donc les normales LP et OQ ne sont point parallèles entre elles ; donc elles ne sont pas dans un même plan ; donc elles ne peuvent jamais se rencontrer.

5[116.] On voit donc que si, après avoir mené, par un point quelconque d’une surface cylindrique, une normale à la surface, on veut passer à un point infiniment voisin pour lequel la nouvelle normale soit dans un même plan avec la précédente et puisse la rencontrer même à l’infini, si cela est nécessaire, on ne peut le faire que dans deux sens différents : 1) en suivant la direction de la droite génératrice de la surface, et alors la nouvelle normale rencontre la première à l’infini ; 2) en suivant la section perpendiculaire à la surface, et alors la nouvelle normale rencontre la première en un point dont la distance dépend de la courbure de la base dans le point correspondant ; enfin, que ces deux directions sont entre elles à angle droit sur la surface.

6Les deux points de rencontre des trois normales sont donc les seuls centres de courbure possibles de l’élément que l’on considère sur la surface ; les deux plans différents qui passent par la première normale et par chacune des deux autres indiquent le sens de chacune de ces courbures ; les distances du point de la surface aux deux points de rencontre des normales sont les rayons des deux courbures ; et l’on voit que, dans les surfaces cylindriques, un de ces rayons étant toujours infini, tandis que la grandeur de l’autre dépend de la nature de la base de la surface, pour chacun des points il n’y a qu’une courbure finie ; l’autre est toujours infiniment petite ou nulle.

  • 2 Lire : « D’une certaine surface conique », puisque, dans une surface développable, deux génératric (...)

7Ce que nous venons de dire peut s’appliquer facilement à toutes les surfaces développables dont deux éléments consécutifs, même indéfinis dans le sens de la direction de la droite génératrice, peuvent toujours être considérés comme faisant partie d’une certaine surface cylindrique2. Passons maintenant au cas général des surfaces courbes quelconques.

8[117.] Soit ABCD (fig. 48) une surface courbe quelconque sur laquelle on considère un point L pris à volonté et par ce point soit conçue une droite FLf tangente à la surface : la position de cette droite ne sera pas déterminée ; elle pourra être menée d’une manière quelconque dans le plan tangent à la surface au point L. Puis concevons que la droite Ff se meuve de manière qu’elle soit toujours parallèle à elle-même, et qu’elle soit toujours tangente à la surface courbe ; elle engendrera par son mouvement une certaine surface cylindrique EegG dont la base dépendra de la forme de la surface courbe et qui touchera cette surface dans une courbe LCKAL, engendrée elle-même par le mouvement du point de contact de la droite génératrice avec la surface proposée. Cette courbe de contact LCKAL est en général à double courbure.

9[118.] Dans le cas très particulier de la surface courbe du second degré, c’est-à-dire de la surface qui, étant coupée par un plan quelconque, produit toujours une section conique, la ligne de contact avec une surface cylindrique qui l’enveloppe est toujours une courbe plane, quelle que soit d’ailleurs la direction de la génératrice de la surface cylindrique.

10[119.] Dans le cas un peu plus général où la surface courbe est engendrée par le mouvement d’une ligne courbe plane, fixe dans son plan, mais mobile avec lui, lorsqu’il roule sur deux surfaces courbes données, pour chaque point de la surface il existe une direction à donner à la droite génératrice pour que la surface cylindrique engendrée par le mouvement de cette droite touche la surface courbe dans une courbe plane ; et cette direction doit être telle que la droite soit toujours perpendiculaire au plan mobile, lorsqu’il passe par le point que l’on considère. Les surfaces de révolution en sont un cas particulier. En effet, si par un point quelconque d’une surface de révolution on conçoit une droite tangente à la surface et perpendiculaire au plan du méridien qui passe par ce point, et si l’on suppose que cette droite se meuve de manière qu’elle soit toujours tangente à la surface et perpendiculaire au plan du même méridien, le point de contact de la ligne avec la surface parcourra la circonférence du méridien et la droite engendrera une surface cylindrique qui touchera la surface de révolution dans la circonférence même du méridien, et par conséquent dans une courbe plane.

11[120.] Pour tout autre cas, une surface cylindrique circonscrite à une surface quelconque touche cette surface dans une courbe LCKAL qui est à double courbure.

12La droite FLf ayant d’abord été menée d’une manière arbitraire dans le plan tangent à la surface au point L, si par ce point on conçoit la tangente LU à la courbe de contact LCKAL, cette tangente fera, avec la ligne droite génératrice FLf, un angle FLU qui dépendra et de la nature de la surface courbe et de la direction arbitraire donnée à la droite FLf. Concevons, ce qui est toujours possible dans chaque cas particulier, que la direction de la droite FLf change sans que cette droite cesse d’être tangente à la surface au point L, et que, d’après cette nouvelle direction, elle se meuve parallèlement à elle-même en touchant toujours la surface, elle engendrera par son mouvement une autre surface cylindrique circonscrite à la surface qui la touchera dans une autre ligne de contact à double courbure ; cette nouvelle courbe de contact passera encore par le point L et sa tangente en ce point fera, avec la nouvelle direction de la droite génératrice, un angle différent du premier angle FLU. Concevons enfin qu’on ait ainsi fait varier la direction de la droite génératrice jusqu’à ce que la surface cylindrique engendrée par cette droite touche la surface dans une courbe de contact dont la tangente en L soit perpendiculaire à la droite génératrice.

13Cela posé, soit (fig. 49) une surface courbe quelconque, sur laquelle on considère d’abord un certain point L ; soit FLJ la droite tangente à la surface en L, dont la direction soit prise de manière que, si on la fait mouvoir parallèlement à elle-même et sans qu’elle cesse de toucher la surface, elle engendre une surface cylindrique EFGHJK qui touche la surface en une courbe dont la tangente en L soit perpendiculaire à FLJ. La ligne de contact de la surface cylindrique avec la surface proposée sera une courbe à double courbure ; mais au point L son élément se confondra avec l’élément LN de la section CNLD faite dans la surface cylindrique par un plan perpendiculaire à la droite génératrice FLJ. Les deux extrémités L, N de cet élément, se trouvant sur la ligne de contact, seront en même temps sur les deux surfaces, et si par ces points L, N on mène deux normales LP, NP à la surface cylindrique, elles seront aussi normales à la courbe. Or ces deux normales sont dans le même plan perpendiculaire à la génératrice de la surface cylindrique et doivent se rencontrer quelque part en un point P qui est le centre de courbure de l’arc LN ; donc, si sur une surface courbe quelconque on prend deux points L, N, qui soient placés sur la ligne de contact de cette surface avec la surface cylindrique dont la droite génératrice soit perpendiculaire à l’élément LN de cette ligne de contact, les normales à la surface courbe menées par ces deux points seront dans un même plan et se rencontreront en un point qui sera le centre de la courbure de la surface, dans le sens du plan qui contient les deux normales.

14[121.] Si sur la droite FLJ on prend un point m infiniment proche du point L, et si par ce point m on conçoit une normale à la surface cylindrique, cette normale sera parallèle à LP et ne sera pas normale à la surface courbe. Mais si l’on conçoit que dans le plan de la courbe ALMB, déterminé par les droites FLJ et LP, la droite FLJ se meuve sans cesser de toucher la surface et prenne la position infiniment voisine fi, de manière qu’elle touche la surface dans un point M, infiniment voisin du point L, et si l’on suppose que cette droite fMi se meuve parallèlement à elle-même en touchant toujours la surface, elle engendrera une nouvelle surface cylindrique efghik, infiniment peu différente de la première, tant pour la forme que pour la position, et la ligne de contact de cette nouvelle surface cylindrique passera par le point M. La normale MQ à cette surface cylindrique, au point M, sera aussi normale à la surface courbe ; elle sera dans un même plan avec la première normale LP, puisqu’elles seront toutes deux dans le plan déterminé par les droites FLJ, fMi, et ce plan sera perpendiculaire à celui qui passe par les normales LP, NP. Les deux normales LP et MQ se rencontreront donc en un certain point R qui sera le centre de courbure de l’arc LM, et par conséquent le centre de la courbure de la surface dans le sens du plan qui passe par les droites FLJ, fMi.

15On voit donc que si, considérant sur une surface courbe quelconque un point quelconque L, on conçoit une normale à la surface en ce point, on peut toujours passer, suivant deux directions différentes, à un autre point M ou N pour lequel la nouvelle normale soit dans un même plan avec la première, et que, ces deux directions étant dans des plans normaux rectangulaires entre eux, elles sont elles-mêmes à angle droit sur la surface courbe.

16[122.] Actuellement ces deux directions sont en général les seules pour lesquelles cet effet puisse avoir lieu ; c’est-à-dire que, si sur la surface courbe on passe dans toute autre direction à un point O infiniment voisin du point L et que si par ce point on mène à la surface la normale OQ, cette normale ne sera pas dans un même plan avec la normale LP et ne pourra par conséquent la rencontrer.

  • 3 Il s’agit d’un ombilic de la surface. Ce terme est donné pour la première fois par Monge dans les (...)
  • 4 Il s’agit d’une ligne des courbures sphériques. Ce terme est donné pour la première fois par Monge (...)
  • 5 Sur ces propriétés des courbures, voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure. On notera ici l’ut (...)

17En effet, concevons que la seconde surface cylindrique ait été inclinée de telle manière que sa ligne de contact avec la surface passe par le point O, l’arc OM de cette ligne de contact se confondra avec l’arc de la section COMD perpendiculaire à la surface cylindrique ; les deux normales en O et en M à la surface seront aussi normales à la surface cylindrique, elles seront dans le plan de la section perpendiculaire ; elles se rencontreront quelque part en un point Q : mais la normale OQ ne rencontrera pas la normale LP, car, pour que ces deux normales se rencontrassent, il faudrait que le point Q de la normale coïncidât avec le point R dans lequel cette normale rencontre LP, ce qui en général n’arrive pas, parce que cela suppose une égalité entre les courbures des deux arcs LM et LN, et ce qui ne peut avoir lieu que pour certains points de quelques surfaces courbes. Par exemple, la courbure de la surface de la sphère étant la même dans tous les sens, suivant quelque direction que l’on passe d’un de ses points à un autre infiniment proche, les normales menées par ces deux points sont toujours dans un même plan, et cette surface est la seule pour laquelle cette propriété convienne à tous les points. Dans les surfaces de révolution pour lesquelles la courbe génératrice coupe l’axe perpendiculairement, la courbure au sommet est encore la même dans tous les sens et deux normales consécutives sont toujours dans un même plan ; mais cette propriété n’a lieu que pour le sommet3. Enfin, il existe des surfaces courbes dans lesquelles cette propriété a lieu pour une suite de points qui forment une certaine courbe sur la surface4 ; mais cela n’arrive que pour les points de cette courbe et, pour tous les autres points de la surface, la nouvelle normale ne peut rencontrer la première, à moins que le point de la surface par lequel elle passe ne soit pris suivant l’une des deux directions que nous avons définies5.

18[123.] Il suit de là qu’en général une surface quelconque n’a dans chacun de ses points que deux courbures ; que chacune de ces courbures a son centre particulier, son rayon particulier, et que les deux arcs sur lesquels se prennent ces deux courbures sont à angles droits sur la surface. Les cas particuliers pour lesquels, comme dans la sphère et dans les sommets de surfaces de révolution, deux normales consécutives quelconques se rencontrent, ne sont pas une exception à cette proposition ; il résulte seulement que, pour ces cas, les deux courbures sont égales entre elles, et que les directions suivant lesquelles on doit les estimer sont indifférentes.

  • 6 Il s’agit généralement d’un hyperboloïde à une nappe ; si les trois droites sont parallèles à un m (...)
  • 7 Cette propriété caractéristique des surfaces minima a été découverte par Meusnier, le disciple de (...)

19[124.] Quoique les deux courbures d’une surface courbe soient assujetties l’une à l’autre par la loi de la génération de la surface, elles éprouvent d’un point de la surface à l’autre des variations qui peuvent être dans le même sens ou dans des sens contraires. Nous ne pouvons pas entrer, à cet égard, dans de très grands détails, qui deviendraient beaucoup moins pénibles par le secours de l’analyse ; nous nous contenterons d’observer que pour certaines surfaces, telles que les sphéroïdes, dans chaque point les deux courbures sont dans le même sens, c’est-à-dire qu’elles tournent leurs convexités du même côté ; que pour quelques autres surfaces, dans certains points, les deux courbures sont dans des sens opposés, c’est-à-dire que l’une présente sa concavité et l’autre sa convexité du même côté (la surface de la gorge d’une poulie est dans ce cas) ; que pour quelques autres surfaces, dans tous les points, les deux courbures sont dans des sens opposés (la surface engendrée par le mouvement d’une ligne droite assujettie à couper toujours trois autres droites données arbitrairement dans l’espace est dans ce cas6) ; enfin que, dans une surface particulière, ces deux courbures opposées sont, pour chaque point, égales entre elles. Cette surface est celle dont l’aire est un minimum7.

  • 8 L’étude suivante des lignes de courbure, des normalies développables et des surfaces focales est d (...)

20[125.] Passons maintenant à quelques conséquences qui suivent des deux courbures d’une surface courbe et qu’il est important de faire connaître aux artistes8.

  • 9 Édition originale : insertion à cet endroit d’une ligne sans rapport avec le texte.
  • 10 Éditions ultérieures : « avec lequel on est déjà familiarisé ».

21Soit (fig. 50) une portion de surface courbe quelconque sur laquelle nous considérions un point L pris arbitrairement et soit conçue la normale à la surface en L. Nous venons de voir que l’on peut passer suivant deux directions différentes du point L à un autre M ou L', pour lequel la nouvelle normale rencontre la première, et que ces deux directions sont à angles droits sur la surface. Soient donc LM et LL' ces deux directions rectangulaires en L. Du point M9 on pourra de même passer dans deux directions différentes à un autre point N ou M’, pour lequel la normale rencontre la normale en ; et soient MN, MM' ces deux directions rectangulaires en M. En opérant de même pour le point N, on trouvera les deux directions NO et NN’ rectangulaires en ; pour le point O, l’on aura les deux directions OP, OO', et ainsi de suite. La série des points L, M, N, O, P, etc., pour lesquels deux normales consécutives sont toujours dans un plan, formera sur la surface courbe une ligne courbe qui indiquera perpétuellement le sens d’une des deux courbures de la surface, et cette courbe sera une ligne de première courbure qui passera par le point L. Si l’on opère pour le point L' comme on l’a fait pour le point L, on pourra d’abord passer, suivant deux directions rectangulaires, à un nouveau point M' ou L" pour lequel la nouvelle normale rencontre la normale en L’, et l’on trouvera de même une nouvelle série de points L', M', N', O', P', etc., qui formeront sur la surface courbe une autre ligne de première courbure qui passera par le point L’. En opérant de même pour la suite des points L", L'", L""..., trouvés comme L', L", on aura de nouvelles lignes de première courbure L"M"N"O"P", L'"M"'N'"O'"P"', etc., qui passeront par les points respectifs L", L'", L"", etc., et qui diviseront la surface en zones. Mais la suite des points L, L', L", L'", etc., pour lesquels deux normales consécutives sont encore dans un plan, formera sur la surface courbe une autre courbe qui indiquera perpétuellement le sens de l’autre courbure de la surface, et cette courbe sera la ligne de seconde courbure ; M, M', M", M'", etc., formera une autre ligne de seconde courbure qui passera par le point M ; la série des points N, N', N", N'", etc., formera une nouvelle ligne de seconde courbure qui passera par le point N, et ainsi de suite, et toutes les lignes de seconde courbure diviseront la surface courbe en d’autres zones. Enfin, toutes les lignes de première courbure couperont à angle droit toutes les lignes de seconde courbure, et ces deux systèmes de lignes courbes diviseront la surface en éléments rectangulaires ; et cet effet aura lieu, non seulement si ces lignes sont infiniment proches, comme nous l’avons supposé, mais même quand celles d’un même système seraient à des distances finies les unes des autres. Avant que d’aller plus loin, nous allons en apporter un exemple avec lequel les élèves sont déjà familiarisés10.

22[126.] Si l’on coupe une surface quelconque de révolution par une suite de plans menés par l’axe, on aura une suite de sections qui seront les lignes d’une des courbures de la surface ; car pour qu’une courbe soit ligne de courbure d’une surface, il faut qu’en chacun de ses points l’élément de surface cylindrique qui toucherait la surface dans l’élément de la courbe ait sa droite génératrice perpendiculaire à la courbe : or cette condition a évidemment lieu ici, non seulement en chaque point de la courbe pour un élément de surface cylindrique particulière, ce qui serait suffisant, mais même par rapport à toute la courbe pour une même surface cylindrique. De plus, si l’on coupe la même surface de révolution par une suite de plans perpendiculaires à l’axe, on aura une seconde suite de sections qui seront toutes circulaires et qui seront les lignes de l’autre courbure ; car, si par un point quelconque d’une de ces sections on conçoit la tangente au méridien de la surface et si l’on suppose que cette tangente se meuve parallèlement à elle-même pour engendrer l’élément d’une surface cylindrique tangent à la surface de révolution, l’élément de la surface cylindrique touchera cette surface dans l’arc de cercle et cet arc sera perpendiculaire à la droite génératrice. Ainsi, sur une surface quelconque de révolution, les lignes de courbure sont, pour une espèce de courbure, les méridiens de la surface et, pour l’autre courbure, les parallèles ; et il est évident que ces deux suites de courbes se coupent toutes à angle droit sur la surface.

23[127.] Fig. 50. Si par tous les points d’une des lignes de courbure LMNOP d’une surface courbe on conçoit des normales à la surface, nous avons vu que la seconde normale rencontrera la première en un certain point, que la troisième rencontrera la seconde en un autre point, et ainsi de suite ; le système de ces normales, dont deux consécutives sont toujours dans un même plan, forme donc une surface développable qui est partout perpendiculaire à la surface proposée et qui la coupe suivant la ligne de courbure. Cette ligne de courbure étant elle-même partout perpendiculaire aux normales qui composent la surface développable est aussi une ligne de courbure de cette dernière surface. L’arête de rebroussement de la surface développable, arête qui est formée par la suite des points de rencontre des normales consécutives et à laquelle toutes les normales sont tangentes, est une des développées de la courbe LMNOP ; elle est le lieu des centres de courbure de tous les points de cette courbe et elle est aussi celui des centres d’une des courbures de la surface pour les points qui sont sur la ligne LMNOP. Si l’on fait la même observation pour toutes les autres lignes de courbure de la même suite, telles que L'M'N'O'P', L"M"N"O"P", etc., toutes les normales de la surface courbe pourront être regardées comme composant une suite de surfaces développables, toutes perpendiculaires à cette surface, et le système des arêtes de rebroussement à toutes les surfaces développables formera une surface courbe qui sera le lieu de tous les centres d’une des courbures de la surface proposée.

  • 11 Éditions ultérieures : « seconde courbure de la première ».

24Ce que nous venons de remarquer pour une des deux courbures de la surface a également lieu pour l’autre. En effet, si par tous les points L, L', L", L'", etc., d’une des lignes de l’autre courbure, on conçoit des normales à la surface, ces droites seront consécutivement deux à deux dans un même plan ; leur système formera une surface développable qui sera partout perpendiculaire à la surface proposée, et qui la rencontrera dans la ligne de courbure LL'L"L"'... qui sera elle-même une ligne de courbure de la surface développable. L’arête de rebroussement de cette dernière surface sera le lieu des centres de courbure de la ligne LL'L"L"'..., et en même temps celui des centres de seconde courbure de la surface proposée, pour tous les points de la ligne LL'L"L"'... Il en sera de même pour toutes les normales menées par les points des autres lignes de courbure MM'M"M"'..., NN'N"N"'... En sorte que toutes les normales de la surface courbe proposée pourront être regardées de nouveau comme composant une seconde suite de surfaces développables, toutes perpendiculaires à cette surface, et le système des arêtes de rebroussement de toutes les nouvelles surfaces développables formera une seconde surface courbe qui sera le lieu des centres de la seconde courbure de la surface11.

25[128.] Dans quelques cas particuliers, les surfaces des centres des deux courbures d’une même surface courbe sont distinctes, c’est-à-dire qu’elles peuvent être engendrées séparément, ou qu’elles ont leurs équations séparées. On en a un exemple dans les surfaces de révolution, pour lesquelles une de ces surfaces se réduit à l’axe même de rotation, et pour lesquelles l’autre est une autre surface de révolution engendrée par la rotation de la développée plane du méridien autour du même axe. Mais le plus souvent, et dans le cas général, ces deux surfaces ne sont point distinctes, elles ne peuvent être engendrées séparément ; elles ont la même équation et elles sont deux nappes différentes d’une même surface courbe.

26[129.] On voit donc que toutes les normales d’une surface courbe peuvent être considérées comme les intersections de deux suites de surfaces développables telles que chacune des surfaces développables rencontre perpendiculairement la surface proposée et la coupe suivant une courbe qui est en même temps ligne de courbure de cette surface et ligne de courbure de la surface développable, et que chacune des surfaces développables de la première suite coupe toutes celles de la seconde suite en ligne droite et à angle droit.

27[130.] Voyons actuellement quelques exemples de l’utilité dont ces généralités peuvent être dans certains arts. Le premier exemple sera pris dans l’architecture.

  • 12 Voir l’annexe 15 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

28Les voûtes construites en pierres de taille sont composées de pièces distinctes auxquelles on donne le nom générique de voussoirs12. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la plus grande attention dans l’exécution : 1) la face qui doit faire parement, et qui, devant être une partie de la surface visible de la voûte, doit être exécutée avec la plus grande précision ; cette face se nomme douelle ; 2) les faces par lesquelles les voussoirs consécutifs s’appliquent les uns contre les autres ; on les nomme généralement joints. Les joints exigent aussi la plus grande exactitude dans leur exécution, car la pression se transmettant d’un voussoir à l’autre perpendiculairement à la surface du joint, il est nécessaire que les deux pierres se touchent par le plus grand nombre possible de points, afin que, pour chaque point de contact, la pression soit la moindre et que pour tous elle approche le plus de l’égalité. Il faut donc que dans chaque voussoir les joints approchent le plus de la véritable surface dont ils doivent faire partie ; et pour que cet objet soit plus facile à remplir, il faut que la surface des joints soit de la nature la plus simple et de l’exécution la plus susceptible de précision. C’est pour cela que l’on fait ordinairement les joints plans, mais les surfaces de toutes les voûtes ne comportent pas cette disposition et dans quelques-unes on blesserait trop les convenances dont nous parlerons dans un moment si l’on ne donnait pas aux joints une surface courbe. Dans ce cas, il faut choisir, parmi toutes les surfaces courbes qui pourraient d’ailleurs satisfaire aux autres conditions, celles dont la génération est la plus simple et dont l’exécution est plus susceptible d’exactitude. Or, de toutes les surfaces courbes, celles qu’il est plus facile d’exécuter sont celles qui sont engendrées par le mouvement d’une ligne droite, et surtout les surfaces développables ; ainsi, lorsqu’il est nécessaire que les joints des voussoirs soient des surfaces courbes, on les compose, autant qu’il est possible, de surfaces développables.

29Une des principales conditions auxquelles la forme des joints des voussoirs doit satisfaire, c’est d’être partout perpendiculaires à la surface de la voûte que ces voussoirs composent : car, si les deux angles qu’un même joint fait avec la surface de la voûte étaient sensiblement inégaux, celui de ces angles qui excéderait l’angle droit serait capable d’une plus grande résistance que l’autre ; et dans l’action que deux voussoirs consécutifs exercent l’un sur l’autre, l’angle plus petit que l’angle droit serait exposé à éclater, ce qui, au moins, déformerait la voûte et pourrait même altérer sa solidité et diminuer la durée de l’édifice. Lors donc que la surface d’un joint doit être courbe, il convient de l’engendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire à la surface de la voûte ; et, si l’on veut de plus que la surface du joint soit développable, il faut que toutes les normales à la surface de la voûte et qui composent, pour ainsi dire, le joint, soient consécutivement deux à deux dans un même plan. Or, nous venons de voir que cette condition ne peut être remplie, à moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte ; donc, si les surfaces des joints des voussoirs d’une voûte doivent être développables, il faut nécessairement que ces surfaces rencontrent celle de la voûte dans ses lignes de courbure.

30D’ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d’une voûte soient exécutés, leur division est toujours apparente sur la surface ; elle y trace des lignes très sensibles, et ces lignes doivent être soumises à des lois générales et satisfaire à des convenances particulières, selon la nature de la surface de la voûte. Parmi les lois générales, les unes sont relatives à la stabilité, les autres à la durée de l’édifice ; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d’un même voussoir soient rectangulaires entre eux, par la même raison qu’ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de division des voussoirs doivent être telles que celles qui divisent la voûte en assises soient toutes perpendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant aux convenances particulières, il y en a de plusieurs sortes et notre objet n’est pas ici d’en faire l’énumération ; mais il y en a une principale, c’est que les lignes de division des voussoirs, qui, comme nous le venons de le voir, sont de deux espèces et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairement, doivent aussi porter le caractère de la surface à laquelle elles appartiennent. Or, il n’existe pas de ligne sur la surface courbe qui puisse remplir en même temps toutes ces conditions, que les deux suites de lignes de courbure, et elles les remplissent complètement. Ainsi la division d’une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte et les joints doivent être des portions de surfaces développables formées par la suite des normales à la surface qui, considérées consécutivement, sont deux à deux dans un même plan ; en sorte que, pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints et celle de la voûte soient toutes rectangulaires.

31Avant la découverte des considérations géométriques sur lesquelles tout ce que nous venons de dire est fondé, les artistes avaient un sentiment confus des lois auxquelles elles conduisent, et, dans tous les cas, ils avaient coutume de s’y conformer. Ainsi, par exemple, lorsque la surface de la voûte était de révolution, soit qu’elle fût en sphéroïde, soit qu’elle fût en berceau tournant, ils divisaient ses voussoirs par des méridiens et par des parallèles, c’est-à-dire par les lignes de courbure de la surface de la voûte.

32Les joints qui correspondaient aux méridiens étaient des plans menés par l’axe de révolution ; ceux qui correspondaient aux parallèles étaient des surfaces coniques de révolution autour du même axe ; et ces deux espèces de joints étaient rectangulaires entre eux et perpendiculaires à la surface de la voûte. Mais, lorsque les surfaces des voûtes n’avaient pas une génération aussi simple et quand leurs lignes de courbure ne se présentaient pas d’une manière aussi marquée, comme dans les voûtes en sphéroïdes allongés et dans un grand nombre d’autres, les artistes ne pouvaient plus satisfaire à toutes les convenances et ils sacrifiaient, dans chaque cas particulier, celles qui leur présentaient les difficultés les plus grandes.

  • 13 Éditions ultérieures : « dans les départements ».

33Il serait donc convenable que, dans chacune des écoles de géométrie descriptive établies dans les districts13, le professeur s’occupât de la détermination et de la construction des lignes de courbure des surfaces employées ordinairement dans les arts, afin que, dans le besoin, les artistes qui ne peuvent pas consacrer beaucoup de temps à de semblables recherches pussent les consulter avec fruit et profiter de leurs résultats.

34[131.] Le second exemple que nous rapporterons sera pris dans l’art de la gravure.

35Dans la gravure, les teintes des différentes parties de la surface des objets représentés sont exprimées par des hachures, que l’on fait d’autant plus fortes ou d’autant plus rapprochées que la teinte doit être plus obscure.

36Lorsque la distance à laquelle la gravure doit être vue est assez grande pour que les traits individuels de la hachure ne soient pas aperçus, le genre de la hachure est à peu près indifférent, et, quel que soit le contour de ses traits, l’artiste peut toujours les forcer et les multiplier de manière à obtenir la teinte qu’il désire et à produire l’effet demandé. Mais, et c’est le cas le plus ordinaire, quand la gravure est destinée à être vue d’assez près pour que les contours des traits de la hachure soient aperçus, la forme de ces contours n’est plus indifférente. Pour chaque objet, et pour chaque partie de la surface d’un objet, il y a des contours de hachures plus propres que tous les autres à donner une idée de la courbure de la surface ; ces contours particuliers sont toujours au nombre de deux, et quelquefois les graveurs les emploient tous deux à la fois, lorsque, pour forcer plus facilement leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contours, dont les artistes n’ont encore qu’un sentiment confus, sont les projections des lignes de courbure de la surface qu’ils veulent exprimer. Comme les surfaces de la plupart des objets ne sont pas susceptibles de définition rigoureuse, leurs lignes de courbure ne sont pas de nature à être déterminées, ni par le calcul, ni par des constructions graphiques. Mais si, dans leur jeune âge, les artistes avaient été exercés à rechercher les lignes de courbure d’un grand nombre de surfaces différentes et susceptibles de définition exacte, ils seraient plus sensibles à la forme de ces lignes et à leur position, même pour les objets moins déterminés ; ils les saisiraient avec plus de précision et leurs ouvrages auraient plus d’expression.

  • 14 Éditions ultérieures : « dans chacune des principales villes de France ».

37Nous n’insisterons pas sur cet objet qui ne présente peut-être que le moindre des avantages que les arts et l’industrie retireraient de l’établissement d’une école de géométrie descriptive dans chacun des districts de la République14.

Notes

1 Éditions ultérieures : « Après avoir exposé la théorie des courbes à double courbure, nous allons nous occuper des surfaces courbes. Cet objet... ».

2 Lire : « D’une certaine surface conique », puisque, dans une surface développable, deux génératrices infiniment voisines sont concourantes. Il faudrait donc d’abord généraliser au cône la démonstration donnée par Monge pour le cylindre, ce qui exigerait quelques précautions. L’erreur du texte, reproduite dans toutes les éditions ultérieures, montre en tout cas la difficulté d’exposer géométriquement des notions essentiellement analytiques.

3 Il s’agit d’un ombilic de la surface. Ce terme est donné pour la première fois par Monge dans les Feuilles d’analyse appliquée à la géométrie [Monge, 1795-1796].

4 Il s’agit d’une ligne des courbures sphériques. Ce terme est donné pour la première fois par Monge [ibid.].

5 Sur ces propriétés des courbures, voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure. On notera ici l’utilisation originale de cylindres auxiliaires pour étudier géométriquement les courbures principales. Grâce au secours de l’analyse, Monge procède de manière beaucoup plus rapide et efficace dans ses leçons à l’École polytechnique.

6 Il s’agit généralement d’un hyperboloïde à une nappe ; si les trois droites sont parallèles à un même plan, c’est un paraboloïde à une nappe et, si deux d’entre elles sont coplanaires, c’est un plan.

7 Cette propriété caractéristique des surfaces minima a été découverte par Meusnier, le disciple de Monge [Meusnier, 1785].

8 L’étude suivante des lignes de courbure, des normalies développables et des surfaces focales est directement inspirée du mémoire de Monge sur les déblais et les remblais [Monge, 1784].

9 Édition originale : insertion à cet endroit d’une ligne sans rapport avec le texte.

10 Éditions ultérieures : « avec lequel on est déjà familiarisé ».

11 Éditions ultérieures : « seconde courbure de la première ».

12 Voir l’annexe 15 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

13 Éditions ultérieures : « dans les départements ».

14 Éditions ultérieures : « dans chacune des principales villes de France ».

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