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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Cinquième leçon

11 ventôse / 1er mars

Texte intégral

1[32.] Dans les différentes questions que nous avons résolues sur les plans tangents aux surfaces courbes, nous avons toujours supposé que le point par lequel il fallait mener le plan tangent était pris sur la surface et qu’il était lui-même le point de contact : cette condition seule suffisait pour déterminer la position du plan. Mais il n’en est pas de même lorsque le point par lequel le plan doit passer est pris hors de la surface.

2Pour que la position d’un plan soit déterminée, il faut qu’il satisfasse à trois conditions différentes, équivalentes chacune à celle de passer par un point donné ; or, en général, la propriété d’être tangent à une surface courbe donnée, lorsque le point de contact n’est pas indiqué, n’équivaut qu’à une seule de ces conditions. Si donc c’est par des conditions de cette nature que l’on se propose de déterminer la position d’un plan, il en faut trois, en général. En effet, supposons que nous ayons trois surfaces courbes données, et qu’un plan soit tangent à l’une d’entre elles, en un point quelconque ; nous pouvons concevoir que ce plan se meuve autour de la surface sans cesser de la toucher : il pourra le faire dans toutes sortes de sens ; seulement le point de contact se mouvra sur la surface à mesure que le plan tangent changera de position, et la direction du mouvement du point de contact sera dans le même sens que celle du mouvement du plan. Concevons que ce mouvement se fasse dans un certain sens jusqu’à ce que le plan rencontre la seconde surface et la touche en un certain point ; alors le plan sera en même temps tangent aux deux premières surfaces et sa position ne sera pas encore arrêtée. Nous pouvons, en effet, concevoir que le plan tourne autour des deux surfaces sans cesser de les toucher l’une et l’autre. Il ne sera plus libre, comme aupravant, de se mouvoir dans toutes sortes de sens et il ne pourra plus le faire que dans un seul. A mesure que le plan changera de position, les deux points de contact se mouvront chacun sur la surface à laquelle il appartient ; de manière que si l’on conçoit une droite menée par ces deux points, leurs mouvements seront dans le même sens par rapport à cette droite quand le plan touchera les deux surfaces du même côté ; et ils seront dans des sens contraires quand le plan touchera les deux surfaces, l’une d’un côté, l’autre de l’autre. Enfin, concevons que ce mouvement, qui est le seul qui puisse avoir encore lieu, continue jusqu’à ce que le plan touche la troisième surface en un certain point : alors la position du plan sera arrêtée et il ne pourra plus se mouvoir sans cesser d’être tangent à l’une des trois surfaces.

3On voit donc que pour déterminer la position d’un plan au moyen de contacts indéterminés avec des surfaces courbes données, il en faut en général trois. Ainsi, si l’on se proposait de mener un plan tangent à une surface courbe donnée, cette condition n’équivaudrait qu’à une seule des trois auxquelles le plan peut satisfaire : on pourrait donc encore en prendre deux autres à volonté, et, par exemple, faire passer le plan par deux points donnés, ou, ce qui revient au même, par une droite donnée, S’il fallait que le plan fût tangent en même temps à deux surfaces, il y aurait deux conditions employées ; il n’y en aurait plus qu’une disponible, et l’on ne pourrait assujettir de plus le plan qu’à passer par un point donné. Enfin, si le plan devait toucher en même temps trois surfaces données, on ne pourrait plus disposer d’aucune condition, et sa position serait déterminée.

4Ce que nous venons de dire regarde les surfaces courbes en général ; il faut néanmoins en excepter ce qui a rapport à toutes les surfaces cylindriques, à toutes les surfaces coniques et à toutes les surfaces développables ; car, pour ce genre de surfaces, le contact avec un plan n’est pas réduit à un point unique ; il s’étend tout le long d’une droite indéfinie qui se confond avec la génératrice dans une de ses positions. La propriété qu’aurait un plan de toucher une seule de ces surfaces équivaudrait à deux conditions, puisqu’elle l’assujettirait à passer par une droite ; et il ne resterait plus qu’une seule condition disponible, comme, par exemple, de passer par un point donné, On ne pourrait donc pas proposer de mener un plan qui fût en même temps tangent à deux de ces surfaces, et à plus forte raison à trois, à moins qu’il n’y eût quelques circonstances particulières qui rendissent ces conditions compatibles.

  • 1 Voir l’annexe 16 : Les problèmes de défilement.

5[33.] Il n’est peut-être pas inutile, avant que d’aller plus loin, de donner quelques exemples de la nécessité où l’on peut être de mener des plans tangents à des surfaces courbes par des points pris au dehors d’elles. Nous prendrons le premier de ces exemples dans la construction des fortifications1.

6Lorsqu’on expose les principes généraux de la fortification, on suppose d’abord que, dans tous les sens, le terrain qui environne la place forte à la portée du canon soit horizontal et ne présente aucune éminence qui puisse donner quelque avantage à l’assiégeant ; puis, dans cette hypothèse, on détermine le tracé du corps de place, des demi-lunes, des chemins couverts et des ouvrages avancés ; et l’on indique les commandements que les différentes parties de la fortification doivent avoir les unes sur les autres, afin qu’elles contribuent toutes, de la manière la plus efficace, à leur défense réciproque. Ensuite, pour faire l’application de ces principes au cas où le terrain qui environne la place présenterait quelque hauteur dont l’assiégeant pourrait profiter, et de laquelle il faudrait que la fortification fût défilée, il ne reste plus qu’une considération nouvelle. S’il n’y a qu’une seule hauteur, on choisit dans la place deux points par lesquels on conçoit un plan tangent à la hauteur de laquelle on veut se défiler : ce plan tangent se nomme plan de défilement ; et l’on donne à toutes les parties de la fortification le même relief au-dessus du plan de défilement qu’elles auraient eu au-dessus du plan horizontal si le terrain eût été de niveau : par là elles ont les unes sur les autres, et toutes ensembles sur la hauteur voisine, le même commandement que sur un terrain horizontal ; et la fortification a les mêmes avantages que dans le premier cas. Quant au choix des deux points par lesquels doit passer le plan de défilement, il doit satisfaire aux deux conditions suivantes : 1) que l’angle formé par le plan avec l’horizon soit le plus petit possible, afin que les terre-pleins ayant moins de pente, le service de la défense rencontre moins de difficultés ; 2) que le relief de la fortification au-dessus du terrain naturel soit aussi le plus petit possible, afin que sa construction entraîne moins de travail et moins de dépense.

7Si, dans les environs de la place, il y a deux hauteurs desquelles la fortification doive être en même temps défilée, le plan de défilement doit être en même temps tangent aux surfaces de ces deux éminences ; il ne reste plus, pour fixer sa position, qu’une seule condition disponible et l’on en dispose, c’est-à-dire, on choisit dans la place le point par lequel ce plan doit passer, de manière que l’on satisfasse le mieux possible aux conditions énoncées dans le premier cas.

8[34.] Le second exemple que nous rapporterons sera encore pris dans la peinture.

  • 2 Cette question est reprise dans la 11e leçon, consacrée à la perspective aérienne (n° 141).

9Les surfaces des corps, surtout lorsqu’elles sont polies, présentent des points brillants2, d’un éclat comparable à celui du corps lumineux qui les éclaire. La vivacité de ces points est d’autant plus grande et leur étendue est d’autant plus petite que les surfaces sont plus polies. Lorsque les surfaces sont mates, les points brillants ont beaucoup moins d’éclat et ils occupent une partie plus grande de la surface.

10Pour chaque surface, la position du point brillant est déterminée par la condition suivante : que le rayon de lumière incident et le rayon réfléchi dirigé à l’œil du spectateur soient dans un même plan perpendiculaire au plan tangent en ce point et fassent avec ce plan des angles égaux, parce que le point brillant de la surface fait fonction de miroir, et renvoie à l’œil une partie de l’image de l’objet lumineux. La détermination de ce point exige une extrême précision ; et quand bien même le dessin serait de la plus grande correction, quand bien même les contours apparents seraient tracés avec une exactitude mathématique, la moindre erreur commise dans la position du point brillant en apporterait de très grandes dans l’apparence des formes. Nous n’en apporterons qu’une seule preuve, mais bien frappante.

11La surface du globe de l’œil est polie ; elle est de plus enduite d’une légère couche d’humidité qui en rend le poli plus parfait ; aussi lorsqu’on observe un œil ouvert, on voit sur sa surface un point brillant d’un grand éclat, d’une très petite étendue, et dont la position dépend de celle de l’objet éclairant et de l’observateur. Si la surface de l’œil était parfaitement sphérique, l’œil pourrait tourner autour de son axe vertical, sans que la position du point brillant éprouvât le moindre changement : mais cette surface est allongée dans le sens de l’axe de la vision ; et lorsqu’elle tourne autour de l’axe vertical, la position du point brillant change. Un long exercice nous ayant rendus très sensibles à ce changement, il entre pour beaucoup dans le jugement que nous portons sur la direction du globe de l’œil. C’est principalement par la différence des positions des points brillants sur les globes des deux yeux d’une personne que nous jugeons si elle louche ou si elle ne louche pas ; que nous reconnaissons qu’elle nous regarde, et, lorsqu’elle ne nous regarde pas, de quel côté elle porte la vue.

12En rapportant cet exemple, nous ne prétendons pas que, dans un tableau, il faille déterminer géométriquement la position du point brillant sur le globe de l’œil ; nous avons seulement l’intention de faire voir comment de légères erreurs dans la position de ce point en apportent de considérables dans la forme apparente de l’objet, quoique d’ailleurs le tracé de son contour apparent reste le même.

13[35.] Passons actuellement à la détermination des plans tangents aux surfaces courbes menées par des points pris au dehors d’elles.

14La surface de la sphère est une des plus simples que l’on puisse considérer ; elle a des générations communes avec un grand nombre de surfaces différentes : on pourrait, par exemple, la ranger parmi les surfaces de révolution et ne rien dire de particulier pour elle. Mais sa régularité donne lieu à des résultats remarquables, dont quelques-uns sont piquants par leur nouveauté, et dont nous allons nous occuper d’abord, moins pour eux-mêmes que pour acquérir, dans l’observation des trois dimensions, une habitude dont nous aurons besoin pour des objets plus généraux et plus utiles.

15[36.] Première question. Par une droite donnée, mener un plan tangent à la surface d’une sphère donnée.

16Solution. Première manière. Soient A et a (Pl. VI, fig. 16) les deux projections du centre de la sphère, BCD la projection du grand cercle horizontal, EF et ef les deux projections indéfinies de la droite donnée. Soit conçu, par le centre de la sphère, un plan perpendiculaire à la droite, et soient construites, par la méthode que nous avons donnée (fig. 6), les projections G et g du point de rencontre de la droite avec le plan.

17Cela posé, il est évident que, par la droite donnée, on peut mener à la sphère deux plans tangents dont le premier la touchera d’un côté, le second la touchera de l’autre et entre lesquels elle sera placée ; ce qui déterminera deux points de contact différents dont il s’agit d’abord de construire les projections.

18Pour cela, si, du centre de la sphère, on conçoit une perpendiculaire abaissée sur chacun des deux plans tangents, chacune d’elles aboutira au point de contact de la surface de la sphère avec le plan correspondant ; et elles seront toutes deux dans le plan perpendiculaire à la droite donnée : donc les deux points de contact seront dans la section de la sphère par le plan perpendiculaire ; section qui sera la circonférence d’un des grands cercles de la sphère, et à laquelle seront tangentes les deux sections faites dans les plans tangents par le même plan.

19Si, dans le plan perpendiculaire et par le centre de la sphère, on conçoit une horizontale dont on aura la projection verticale en menant l’horizontale ah et dont on aura l’autre projection en abaissant sur EF la perpendiculaire AH, et si l’on conçoit que le plan perpendiculaire tourne autour de cette horizontale comme charnière jusqu’à ce qu’il devienne lui-même horizontal, il est évident que sa section avec la surface de la sphère viendra se confondre avec la circonférence BCD, que les deux points de contact seront alors sur cette circonférence et que, si l’on construisait le point J, où la rencontre du plan perpendiculaire avec la droite donnée vient s’appliquer par ce mouvement, les tangentes JC, JD, menées au cercle BCD, détermineraient ces deux points de contact dans la position où on les considère alors. Or, il est facile de construire le point J, ou, ce qui revient au même, de trouver sa distance au point : car la projection horizontale de cette distance est GH, et la différence des hauteurs verticales de ses extrémités est gg' ; donc, si l’on porte GH sur l’horizontale ah de g' en h, l’hypoténuse hg sera la grandeur de cette distance ; donc, portant gh sur EF de H en J, et menant les deux tangentes JC, JD, les deux points de contact C, D seront déterminés dans la position qu’ils ont prise lorsque le plan perpendiculaire a été abattu sur le plan horizontal.

20Actuellement, pour trouver leurs projections dans la position qu’ils doivent avoir naturellement, il faut concevoir que le plan perpendiculaire retourne à sa position primitive, en tournant encore autour de l’horizontale AH comme charnière, et qu’il entraîne avec lui le point J, les deux tangentes JC, JD, prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent AH en des points K, K’, et la corde CD qui coupera aussi la même droite AH en un point N. Il est évident que, dans ce mouvement, les points K, K’ et N, qui sont sur la charnière, seront fixes et que les deux points de contact C, D décriront des arcs de cercle qui seront dans des plans perpendiculaires à la charnière et dont on aura les projections horizontales en abaissant des points C, D sur AH les perpendiculaires indéfinies CP, DQ. Donc les projections horizontales des deux points de contact se trouveront sur les deux droites CP, DQ. Mais, dans le mouvement rétrograde du plan perpendiculaire, les deux tangentes JCK', JKD ne cessent pas de passer par les points de contact respectifs : et, lorsque ce plan est parvenu dans sa position primitive, le point J se trouve de nouveau projeté en G et les deux tangentes sont projetées suivant les droites GK', GK. Donc ces deux dernières droites doivent aussi contenir chacune la projection horizontale d’un des points de contact ; donc enfin, les intersections de ces deux droites, avec les droites respectives CP, DQ, détermineront les projections horizontales R et S des deux points de contact qui se trouveront avec le point N sur une même ligne droite.

21Pour trouver les projections verticales des mêmes points, on mènera d’abord sur LM les perpendiculaires indéfinies Rr, Ss ; puis, si l’on projette les points K, K', en k, k', et si, par le point g, on mène les droites gk, gk', on aura les projections verticales des deux mêmes tangentes. Ces droites contiendront donc les projections des points de contact respectifs ; donc les points r, s, de leurs intersections avec les verticales Rr, Ss, seront les projections demandées.

22Les projections horizontales et verticales des deux points de contact étant trouvées, pour construire sur le plan horizontal les traces de deux plans tangents, on concevra, par chacun des points de contact, une parallèle à la droite donnée. Ces droites seront dans les plans tangents respectifs et l’on aura leurs projections horizontale et verticale en menant RU, SV parallèles à EF, et ru, sv parallèles à ef. On construira, sur le plan horizontal, la trace T de la droite donnée, et les traces U, V des deux dernières droites ; et les droites TU, TV seront les traces des deux plans tangents.

23Au lieu de concevoir, par les points de contact, de nouvelles lignes droites, on pourrait trouver les traces des deux tangentes GR, GS, qui rempliraient le même but. Quant aux traces des deux mêmes plans avec le plan vertical, on les trouvera par la méthode que nous avons déjà souvent employée.

24Cette solution pourrait être rendue beaucoup plus élégante en faisant passer les deux plans de projection par le centre même de la sphère. Par là, les deux projections de la sphère se confondraient dans le même cercle et les prolongements des lignes droites seraient moins longs. Nous n’avons séparé les deux projections que pour mettre plus de clarté dans l’exposition. Il est facile actuellement de donner à la construction toute la concision dont elle est susceptible.

25[37.] Seconde manière. Soient A et a (fig. 17) les deux projections du centre de la sphère, AB ou ab son rayon, BCD la projection de son grand cercle horizontal, et EF, ef, les projections de la droite donnée. Si l’on conçoit le plan du grand cercle horizontal prolongé jusqu’à ce qu’il coupe la droite donnée en un certain point, on aura la projection verticale de ce plan en menant par le point a l’horizontale indéfinie bag ; le point g, où cette horizontale coupera ef, sera la projection verticale du point de rencontre du plan avec la droite donnée, et l’on aura la projection horizontale G de ce point, en projetant g sur EF.

26Cela posé, si, en prenant ce même point pour sommet, on conçoit une surface conique qui enveloppe la sphère et dont toutes les droites génératrices la touchent chacune en un point, on aura les projections des deux droites génératrices horizontales de cette surface conique en menant par le point G les deux droites GC, GD, tangentes au cercle BCD et qui le toucheront en deux points C, D, qu’il sera facile de déterminer. La surface conique touchera celle de la sphère dans la circonférence d’un cercle, dont la droite CD sera le diamètre, dont le plan sera perpendiculaire à l’axe du cône, et par conséquent vertical, et dont la projection horizontale sera la droite CD.

27Si, par la droite donnée, on conçoit deux plans tangents à la surface conique, chacun d’eux la touchera suivant une de ces droites génératrices, qui sera en même temps sur la surface conique et sur le plan ; et parce que cette droite génératrice touche aussi la surface de la sphère en un de ses points qui se trouve sur la circonférence du cercle projeté en CD, il s’ensuit que ce point est en même temps sur la surface conique, sur le plan qui la touche, sur la surface de la sphère et sur la circonférence du cercle projeté en CD, et qu’il est un point de contact commun à tous ces objets. Donc, 1) les deux plans tangents à la surface conique sont aussi tangents à la surface de la sphère, et sont ceux dont il faut déterminer la position ; 2) leurs points de contact avec la sphère, étant dans la circonférence du cercle projeté en CD, seront eux-mêmes projetés quelque part sur cette droite ; 3) la droite qui passe par les deux points de contact, étant comprise dans le plan du même cercle, sera projetée elle-même indéfiniment sur CD.

28Actuellement, faisons pour le plan d’un grand cercle parallèle à celui de la projection verticale, la même opération que nous venons de faire pour le plan du grand cercle horizontal. La projection horizontale de ce plan sera la droite BAH, indéfiniment parallèle à LM ; le point où il rencontre la droite donnée sera projeté horizontalement à l’intersection H des deux droites EF, BAH ; et l’on aura sa projection verticale en projetant le point H sur ef en h. Si l’on conçoit une nouvelle surface conique dont le sommet soit en ce point de rencontre et qui enveloppe la sphère comme la première, on aura les projections verticales des deux droites génératrices extrêmes de cette surface, en menant par le point h, au cercle bKI, les tangentes hK, hI, qui le toucheront en des points K, I, que l’on déterminera. Cette seconde surface conique touchera celle de la sphère dans la circonférence d’un nouveau cercle dont KI sera le diamètre, et dont le plan, qui sera perpendiculaire à celui de la projection verticale, sera par conséquent projeté indéfiniment sur KI. La circonférence de ce cercle passera aussi par les deux points de contact de la sphère avec les plans tangents demandés ; donc les projections verticales de ces deux points de contact seront quelque part sur KI ; donc aussi la droite qui joint ces deux points sera projetée sur la même droite KI.

29Ainsi la droite menée par les deux points de contact est projetée horizontalement sur CD, et verticalement sur KI ; elle rencontre le plan du grand cercle horizontal en un point dont la projection verticale est à l’intersection n de KI avec bag, et dont on aura la projection horizontale N en projetant le point n sur CD.

30Cela fait, concevons que le plan du cercle vertical, projeté en CD, tourne autour de son diamètre horizontal comme charnière, pour devenir lui-même horizontal, et qu’il entraîne avec lui, dans son mouvement, les deux points de contact par lesquels passe sa circonférence, et la droite qui joint ces deux points. On construira ce cercle dans cette nouvelle position, en décrivant sur CD, comme diamètre, le cercle CPDQ ; et si l’on construisait la position que prend la droite des deux points de contact, elle couperait la circonférence CPDQ en deux points, qui les détermineraient sur cette circonférence considérée dans sa position horizontale.

31Or, le point N de la droite des deux contacts, étant sur la charnière CD, ne change pas de position dans le mouvement. Cette droite doit donc encore passer par ce point lorsqu’elle est devenue horizontale. De plus, le point où elle rencontre le plan du grand cercle parallèle à la projection verticale, point dont la projection horizontale est à la rencontre O des deux droites CD, BAH et dont on aura la projection verticale t en projetant le point O sur KI, ce point, dis-je, dans son mouvement autour de la charnière CD, décrit un quart de cercle vertical perpendiculaire à CD, et dont le rayon est la verticale ot ; donc, si l’on mène par le point O, une perpendiculaire à CD, et si, sur cette perpendiculaire, on porte ot de O en T, le point T sera un de ceux de la droite des contacts, lorsqu’elle est devenue horizontale. Donc, si, par les points N et T, on mène une droite, ses deux points de rencontre P, Q avec la circonférence CPDQ seront les deux points de contact considérés dans le plan vertical abattu.

32Pour avoir les projections horizontales des deux mêmes points dans leurs positions naturelles, il faut concevoir que le cercle CPDQ retourne dans sa position primitive en tournant sur la même charnière CD. Dans ce mouvement, les deux points P, Q décriront des quarts de cercle dans des plans verticaux perpendiculaires à CD, et dont les projections horizontales seront les perpendiculaires PR et QS, abaissées sur CD. Donc, les projections horizontales des deux points de contact seront respectivement sur les droites PR et QS : or, nous avons vu qu’elles devaient être aussi sur CD ; donc elles seront aux deux points de rencontre R et S.

33On aura les projections verticales r, s des deux mêmes points, en projetant les points R et S sur KI, ou, ce qui revient au même, en portant sur les verticales Rr, Ss à partir de l’horizontale bag, r'r égale à PR, et s's égale à QS.

34Les projections horizontales et verticales des deux points de contact étant construites, on déterminera les traces des deux plans tangents, comme dans la première solution.

35Cette seconde solution peut aussi être rendue beaucoup plus concise en faisant passer les plans de projection par le centre de la sphère, ce qui réduit les deux projections à une même figure.

36[38.] Ces dernières considérations vont nous conduire à la découverte de quelques propriétés remarquables du cercle, de la sphère, des sections coniques et des surfaces courbes du second degré.

37Nous venons de voir que les deux surfaces coniques circonscrites à la sphère la touchaient chacune dans la circonférence d’un cercle et que ces circonférences passaient toutes deux par les deux points de contact de la sphère avec les plans tangents. Cette propriété n’est point particulière aux deux surfaces coniques que nous avons considérées ; elle convient à toutes celles qui auraient leur sommet dans la droite donnée et qui seraient de même circonscrites à la sphère. Donc, si l’on conçoit une première surface conique qui, ayant son sommet sur la droite donnée, soit circonscrite à la sphère et si l’on suppose que cette surface se meuve de manière que son sommet parcoure la droite, sans qu’elle cesse d’être circonscrite et tangente à la sphère dans chacune de ses positions, elle touchera la sphère dans la circonférence d’un cercle ; toutes ces circonférences passeront par deux mêmes points, qui seront les contacts de la sphère avec les deux plans tangents ; et les plans de ces cercles se couperont tous suivant une même ligne droite qui sera celle des deux contacts. Enfin, si l’on conçoit le plan mené par la droite donnée et par le centre de la sphère, ce plan, qui passera par les axes de toutes les surfaces coniques, sera perpendiculaire aux plans de tous les cercles de contact et, par conséquent, à la droite qui est leur commune intersection, et il coupera tous ces plans dans des lignes droites qui passeront par un même point.

38Réciproquement, étant données une sphère et une ligne droite, si l’on conçoit par la droite tant de plans qu’on voudra, qui couperont la sphère chacun suivant un cercle, et si, pour chacun de ces cercles, on conçoit la surface conique droite dont il serait la base et qui serait circonscrite à la sphère, les sommets de toutes ces surfaces coniques seront dans une autre même ligne droite.

39[39.] En considérant seulement ce qui se passe dans le plan mené par la droite donnée et par le centre de la sphère, on est conduit aux deux propositions suivantes qui sont des corollaires immédiats de ce qui précède.

40« Étant donnés dans un plan (Pl. VII, fig. 18 et 19) un cercle dont le centre soit en A, et une droite quelconque BC, si, après avoir mené par un point quelconque D de la droite deux tangentes au cercle et la droite EF qui passe par les deux points de contact, on conçoit que le point D se meuve le long de la droite et entraîne avec lui les deux tangentes, sans qu’elles cessent de toucher le cercle, les deux points de contact changeront de position, de même que la droite EF qui les joint ; mais cette droite passera toujours par un même point N qui se trouve sur la perpendiculaire AG, abaissée du centre du cercle sur la droite. »

41« Réciproquement, si, par un point N pris dans le plan d’un cercle, on mène tant de droites EF qu’on voudra, qui couperont chacune la circonférence du cercle en deux points, et si, par ces deux points, on mène au cercle deux tangentes ED, FD, qui se couperont quelque part en un point D, la suite de tous les points d’intersection trouvés de la même manière sera sur une même ligne droite BC perpendiculaire à AN. »

42Ce n’est pas parce que tous les points de la circonférence sont également éloignés du centre, que le cercle jouit de la propriété que nous venons d’énoncer, c’est parce qu’il est une courbe du second degré ; et toutes les sections coniques sont dans le même cas.

43En effet, soient AEBF (fig. 20) une section conique quelconque et CD une droite quelconque donnée dans son plan : concevons que la courbe tourne autour d’un de ses axes AB pour engendrer une surface de révolution et concevons les deux plans tangents à cette surface menés par la droite CD ; les deux plans auront chacun leur point de contact particulier. Cela posé, si, en prenant pour sommet un point quelconque H de la droite CD, on conçoit la surface conique circonscrite et tangente à la surface de révolution, elle touchera cette dernière surface dans une courbe qui passera nécessairement par les deux points de contact avec les plans tangents. Cette courbe sera plane ; son plan, qui sera perpendiculaire à celui de la section conique donnée, sera projeté sur ce dernier suivant une droite EF et cette droite passera par les points de contact des tangentes à la section conique menées par le point H. Actuellement, si l’on suppose que le sommet H de la surface conique se meuve sur la droite CD sans que cette surface cesse d’être circonscrite et tangente à la surface de révolution, dans chacune de ses positions sa courbe de contact aura les mêmes propriétés : de passer par les deux points de contact avec les plans tangents, d’être plane et d’avoir son plan perpendiculaire à la section conique. Donc, les plans de toutes les courbes de contact passeront par la droite qui joint les deux points de contact, et qui est elle-même perpendiculaire au plan de la section conique ; donc enfin les projections de tous les plans seront des lignes droites qui passeront toutes par la projection N de la droite qui joint les deux points de contact.

44[40.] Enfin, cette proposition n’est elle-même qu’un cas particulier d’une autre plus générale qui a lieu dans les trois dimensions, et que nous nous contenterons d’énoncer ici.

45« Étant données dans l’espace une surface courbe quelconque du second degré et une surface conique circonscrite qui la touche et dont le sommet soit en un point quelconque, si la surface conique se meut sans cesser d’être circonscrite à la première surface et de la toucher, de manière cependant que son sommet parcoure une droite quelconque, le plan de la courbe de contact des deux surfaces passera toujours par une même ligne droite (qui sera déterminée par les contacts de la surface du second degré avec les deux plans tangents qui passent par la droite des sommets). Et si la surface conique se meut de manière que son sommet soit toujours dans un même plan, le plan de la courbe de contact passera toujours par un même point. »

46[41] Deuxième question. Par un point donné, mener un plan tangent à la fois aux surfaces de deux sphères données.

47Solution. Soient A, a (Pl. VIII, fig. 21) les deux projections du centre de la première sphère, B, b celles du centre de la seconde et C, c celles du point donné. Après avoir mené les droites indéfinies AB, ab, projections de celle qui passerait par les deux centres, et après avoir construit les projections GEF, gef, HIK, hik, des grands cercles des deux sphères parallèles aux plans de projection, on concevra une surface conique circonscrite à la fois aux deux sphères et qui les touche toutes deux. Cette surface aura son sommet dans la droite qui passe par les deux centres. On mènera aux deux cercles GEF, HIK, les deux tangentes communes EH, FK, qui se couperont en un point D de la droite AB ; et ce point sera la projection horizontale du sommet du cône : on aura la projection verticale du même point en projetant le point D en d sur le prolongement de ab. Enfin, on mènera les projections CD, cd de la droite menée par le sommet du cône et par le point donné. Cela posé, si par cette dernière droite on conçoit deux plans tangents à la surface conique, ils la toucheront chacun en une de ses droites génératrices, et par conséquent, ils seront tous deux tangents en même temps aux deux sphères. La question est donc réduite à mener, par la droite qui passe par le sommet du cône et par le point donné, deux plans tangents à la surface d’une des sphères, ce qui s’exécutera comme dans la question précédente, et les deux plans seront en même temps tangents à la seconde sphère.

48Il faut observer que l’on peut concevoir deux surfaces coniques circonscrites aux deux mêmes sphères. La première les enveloppe toutes deux en dehors et a son sommet au-delà d’une des sphères par rapport à l’autre : les plans tangents à cette surface conique touchent chacun les deux sphères du même côté. La seconde surface conique enveloppe les sphères, l’une en dedans, l’autre en dehors, et a son sommet entre les deux centres. On trouve la projection horizontale D' de ce sommet en menant aux cercles EFG et HIK les deux tangentes intérieures qui se coupent en un point de la droite AB ; et l’on a sa projection verticale en projetant le point D' en d' sur ab. Les deux plans tangents menés à cette surface conique touchent aussi chacun les deux sphères ; mais ils touchent la première d’un côté, et la seconde de l’autre. Ainsi quatre plans différents peuvent satisfaire à la question : pour deux d’entre eux, les deux sphères sont du même côté du plan ; pour les deux autres, elles sont de côtés différents.

49[42.] Troisième question. Mener un plan tangent en même temps à trois sphères données de grandeur et de position.

50Solution. Concevons le plan tangent en même temps aux trois sphères, et imaginons d’abord une surface conique circonscrite aux deux premières sphères et qui les touche toutes deux ; le plan tangent touchera cette surface conique le long d’une de ses droites génératrices et passera par le sommet du cône. Si l’on imagine une seconde surface conique circonscrite à la première sphère et à la troisième, le même plan tangent la touchera de même le long d’une de ses droites génératrices, et passera, par conséquent, par son sommet. Enfin, si l’on conçoit une troisième surface conique qui embrasse et touche la seconde sphère et la troisième, le plan tangent la touchera encore le long d’une de ses droites génératrices et passera par son sommet. Ainsi les sommets des trois surfaces coniques seront dans le plan tangent ; mais ils seront aussi dans le plan qui passe par les centres des sphères et qui contient les trois axes : donc ils seront en même temps dans deux plans différents ; donc ils seront en ligne droite. Il suit de là que si l’on construit, comme nous l’avons indiqué dans la question précédente, les projections horizontales et verticales de ces sommets, dont deux suffisent, on pourra faire passer par ces projections celles d’une droite qui se trouve sur le plan tangent. La question se réduit donc à mener par une droite donnée un plan tangent à celle des trois sphères qu’on voudra, ce qui s’exécutera par les méthodes précédentes, et ce plan sera tangent aux deux autres.

51[43.] Il faut observer que, puisqu’on peut toujours concevoir pour deux sphères quelconques deux surfaces coniques qui les enveloppent et les touchent toutes deux, la première ayant son sommet au-delà d’un des centres par rapport à l’autre, la seconde ayant son sommet entre les deux centres, il est évident que, dans la question précédente, il y aura six surfaces coniques, dont trois seront circonscrites en dehors aux trois sphères prises deux à deux, et dont trois auront leurs sommets entre les sphères. Les sommets de ces six cônes seront distribués trois par trois sur quatre droites, par chacune desquelles on pourra mener deux plans tangents en même temps aux trois sphères. Ainsi huit plans différents satisfont à cette troisième question : deux d’entre eux touchent les trois sphères du même côté par rapport à eux ; les six autres sont tellement placés qu’ils touchent deux des sphères d’un côté, et la troisième de l’autre.

52[44.] Ces considérations nous conduisent à la proposition suivante : « Trois cercles quelconques étant donnés de grandeur et de position sur un plan (fig. 22), si, en les considérant deux à deux, on leur mène les tangentes extérieures prolongées jusqu’à ce qu’elles se coupent, les trois points d’intersection D, E, F qu’on obtiendra de cette manière seront en ligne droite. »

53Car si l’on conçoit les trois sphères dont ces cercles sont les grands cercles et un plan qui les touche toutes les trois extérieurement, ce plan touchera aussi les trois surfaces coniques circonscrites aux sphères considérées deux à deux et passera par leurs trois sommets D, E, F. Mais ces trois sommets sont aussi sur le plan des trois centres : donc ils sont sur deux plans différents, et par conséquent en ligne droite. « Si aux mêmes cercles, considérés deux à deux, on mène les tangentes intérieures qui se croiseront, les trois nouveaux points d’intersection G, H, I seront deux à deux en ligne droite avec un des trois premiers, en sorte que les six points D, E, F, G, H, I seront les intersections des quatre droites. »

54Enfin, cette proposition n’est qu’un cas particulier de la suivante, qui a lieu dans les trois dimensions.

55« Quatre sphères quelconques étant données de grandeur et de position dans l’espace, si l’on conçoit les six surfaces coniques qui sont circonscrites extérieurement à ces sphères considérées deux à deux, les sommets des six cônes seront dans un même plan et aux intersections de quatre droites ; et si l’on conçoit les six autres surfaces coniques circonscrites intérieurement, c’est-à-dire qui ont leurs sommets entre les centres de deux sphères, les sommets de ces six nouveaux cônes seront trois par trois dans un même plan avec trois des premiers.

56[45.] Quatrième question. Par un point pris arbitrairement, mener un plan tangent à une surface cylindrique donnée.

57Solution. Soit EIFK (Pl. IX, fig. 23) la trace de la surface cylindrique sur le plan horizontal, trace que nous supposons donnée. Soient AB, ab les deux projections données de la droite à laquelle la génératrice doit toujours être parallèle et C, c celles du point donné. Si par ce point on conçoit une parallèle à la droite génératrice, cette droite sera dans le plan tangent demandé, et les points dans lesquels elle coupera les plans de projection seront sur les traces du plan tangent. Donc, si par ce point C on mène CD parallèle à AB, et par le point c, cd parallèle à ab, on aura les deux projections de cette droite ; et si, après avoir prolongé cd jusqu’à ce qu’elle rencontre LM en un point d, on projette le point d en D sur CD, le point D sera la rencontre de cette droite avec le plan horizontal, et par conséquent un point de la trace du plan tangent. Or, la trace horizontale du plan tangent doit être tangente à la courbe EIFK ; donc si par le point D on mène à cette courbe toutes les tangentes possibles, DE, DF... etc., on aura les traces horizontales de tous les plans tangents qui peuvent passer par le point donné. Si par les points de contact E, F... etc., on mène à AB les parallèles indéfinies EG, FH, etc., on aura les projections horizontales des droites génératrices dans lesquelles les différents plans tangents touchent la surface cylindrique ; enfin, on aura les projections verticales eg, fh... etc., de ces génératrices ou de ces droites de contact, en projetant les points E, F, etc., sur le plan vertical en e, f, etc., et en menant par ces derniers points des parallèles indéfinies à ab. Quant aux traces des plans tangents sur le plan vertical, on les trouvera par le procédé de la figure 12.

58[46.] Cinquième question. Par un point pris arbitrairement, mener un plan tangent à une surface conique donnée.

59Comme la solution de cette question diffère très peu de celle de la précédente, nous nous contenterons d’en indiquer la construction dans la figure 24, où la courbe EGFH est la trace donnée de la surface conique, où A et a sont les projections données du sommet, et où C et c sont celles du point donné par lequel le plan tangent doit passer.

60[47.] Sixième question. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface de révolution donnée.

61Solution. Nous supposerons que l’axe de la surface de révolution soit perpendiculaire à l’un des deux plans de projection, ce qui n’altérera pas la généralité de la solution, parce qu’on est toujours le maître de disposer de la position de ces plans, de manière que cette condition soit remplie.

62Soient donc A (Pl. X, fig. 25) la projection horizontale donnée de l’axe de la surface, aa' sa projection verticale, apia’ la courbe génératrice de la surface, et BC, bc les deux projections données de la droite par laquelle le plan tangent doit passer. Du point A soit abaissée sur BC la perpendiculaire AD, qui sera la projection horizontale de la plus courte distance entre l’axe et la droite donnée, et soit projeté le point D en d sur bc.

  • 3 Il s’agit d’un hyperboloïde de révolution à une nappe.

63Cela posé, concevons d’abord que le plan tangent soit mené ; puis supposons que la droite donnée tourne autour de l’axe de révolution sans changer de distance à cet axe, sans changer d’inclinaison sur le plan horizontal, et qu’elle entraîne avec elle le plan tangent de manière qu’il touche toujours la surface : il est évident qu’en vertu de ce mouvement, le point de contact de la surface et du plan changera de position, mais, parce que le plan tangent garde toujours la même inclinaison, ce point de contact ne changera pas de hauteur sur la surface et il se mouvra dans la circonférence d’un cercle horizontal, dont le centre sera dans l’axe. De plus, la droite donnée engendrera par son mouvement une seconde surface de révolution autour du même axe à laquelle le plan tangent sera lui-même tangent dans toutes ses positions3.

64En effet, concevons un plan par l’axe et par le point de contact du plan tangent avec la première surface : ce plan coupera la droite génératrice en un point qui sera celui du contact du même plan tangent avec la seconde ; car indépendamment de la droite génératrice par laquelle il passe en ce point, il passe encore par la tangente du cercle horizontal au même point, puisqu’il passe par la tangente du cercle horizontal au point de contact avec la première surface, et que, par la propriété des surfaces de révolution, ces deux tangentes sont parallèles.

  • 4 C’est un arc d’hyperbole.

65Comme c’est au moyen de la seconde surface de révolution que nous devons résoudre la question, il est nécessaire de construire la courbe suivant laquelle elle est coupée par un plan mené par l’axe4 ; et nous supposerons que ce plan soit parallèle au plan vertical de projection, et par conséquent projeté sur le plan horizontal dans une droite AG parallèle à LM.

66Soit pris sur la droite donnée un point quelconque dont les projections soient E et e et cherchons le point dans lequel il rencontre le plan de la section dans son mouvement. D’abord ce point décrira autour de l’axe de révolution un arc de cercle horizontal, dont on aura la projection horizontale en décrivant du point A comme centre, et de l’intervalle AE, l’arc EF, jusqu’à ce qu’il rencontre la droite AG quelque part en un point F ; et on aura la projection verticale de cet arc en menant par le point e l’horizontale indéfinie ef. Le point F sera donc la projection horizontale de la rencontre du point décrivant avec le plan de la section ; donc, si l’on projette le point F en f sur ef, le point f sera la projection verticale de cette rencontre, et par conséquent un point de la section. Si l’on fait les mêmes opérations pour tant d’autres points qu’on voudra, pris sur la droite donnée, on aura autant de points g, f, r, n, par lesquels on fera passer la courbe demandée.

67Cela fait, supposons que la droite donnée et le plan tangent, par leur rotation simultanée autour de l’axe, soient parvenus dans une position telle que le plan tangent soit perpendiculaire au plan vertical de projection. Dans cette position, sa projection sur ce plan sera une ligne droite et cette droite sera tangente en même temps aux deux courbes apia', grnf. Si donc on mène à ces deux courbes toutes les tangentes communes, telles que gi, np, on aura les projections de tous les plans tangents qui satisfont à la question, et considérés dans la position qu’ils ont prise lorsque par la rotation ils sont devenus successivement perpendiculaires au plan vertical. Les points de contact i, p de ces tangentes, avec la génératrice de la première surface, détermineront les hauteurs de ceux de cette surface avec tous les plans tangents : par conséquent, si par ces points on mène les horizontales indéfinies it, ps, elles contiendront les projections verticales des points de contact de la surface avec les plans ; et si, du point A comme centre et avec des rayons égaux respectivement à it et à ps, on décrit des arcs de cercle IK, PQ, ces arcs contiendront les projections horizontales des mêmes points. Il ne reste donc plus, pour achever de les déterminer, qu’à trouver sur quels méridiens de la surface de révolution ils doivent se trouver : c’est ce à quoi doivent servir les points de contact g, n.

68Pour cela, après avoir projeté les points g, n sur AG, en G et N, si du point A comme centre, et avec des intervalles successivement égaux à AG et AN, on décrit les arcs de cercle GH, NO, jusqu’à ce qu’ils coupent la droite BC en des points H et O, ces arcs expriment la quantité de rotation que, pour chaque plan tangent, la droite qui passe par ses contacts avec les deux surfaces, a été obligée de faire pour se transporter dans le plan vertical parallèle à celui de projection. Donc on aura les projections horizontales de ces mêmes droites, considérées dans leurs positions naturelles, en menant par le point A les droites AH, AO ; donc enfin les points K, Q, où les dernières droites couperont les arcs correspondants IK, PQ, seront les projections horizontales des points de contact de la première surface avec les plans tangents menés par la droite donnée.

69Quant aux projections verticales des mêmes points, on les aura en projetant les points K, Q en k, q sur les horizontales respectives it, ps.

70Les projections horizontales et verticales des points de contact étant déterminées, on construira les traces de tous les plans tangents par les mêmes méthodes que nous avons déjà employées.

71Cette méthode peut facilement se généraliser et s’appliquer aux surfaces engendrées par des courbes quelconques, constantes de formes et variables de positions dans l’espace.

Notes

1 Voir l’annexe 16 : Les problèmes de défilement.

2 Cette question est reprise dans la 11e leçon, consacrée à la perspective aérienne (n° 141).

3 Il s’agit d’un hyperboloïde de révolution à une nappe.

4 C’est un arc d’hyperbole.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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