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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Quatrième leçon

14 ventôse / 19 février

Texte intégral

1[18.] Cinquième question. Deux plans étant donnés de position (Pl. III, fig. 8), au moyen de leurs traces AB et Ab pour l’un, CD et Cd pour l’autre, construire les projections de la droite suivant laquelle ils se coupent.

2Solution. Tous les points de la trace AB se trouvant sur le premier des deux plans donnés, et tous ceux de la trace CD se trouvant sur le second, le point E d’intersection de ces deux traces est évidemment sur les deux plans ; il est, par conséquent, un des points de la droite demandée. On reconnaîtra de même que le point F d’intersection des deux traces sur le plan vertical est encore un autre point de cette droite. L’intersection des deux plans est donc placée de manière qu’elle rencontre le plan horizontal en E et le plan vertical en F.

3Donc, si l’on projette le point F sur le plan horizontal, ce qu’on fera en abaissant sur LM la perpendiculaire Ff, et si l’on mène la droite fE, elle sera la projection horizontale de l’intersection des deux plans. De même, si l’on projette le point E sur le plan vertical en abaissant sur LM la perpendiculaire Ee et si l’on mène la droite eF, elle sera la projection verticale de la même intersection.

4[19.] Sixième question. Deux plans (fig. 9) étant donnés, au moyen des traces AB, Ab du premier, et des traces CD, Cd du second, construire l’angle qu’ils forment entre eux.

5Solution. Après avoir construit, comme dans la question précédente, la projection horizontale Ef de l’intersection des deux plans, si l’on conçoit un troisième plan qui leur soit perpendiculaire et qui soit par conséquent perpendiculaire à leur commune intersection, ce troisième plan coupera les deux plans donnés en deux droites qui comprendront entre elles un angle égal à l’angle demandé.

6De plus, la trace horizontale de ce troisième plan sera perpendiculaire à la projection Ef de l’intersection des deux plans donnés et elle formera avec les deux autres droites un triangle dont l’angle opposé au côté horizontal sera l’angle demandé. Il ne s’agit donc plus que de construire ce triangle.

7Or, il est indifférent par quel point de l’intersection des deux premiers plans passe le troisième ; on peut donc prendre sa trace à volonté sur le plan horizontal, pourvu qu’elle soit perpendiculaire à Ef. Soit donc menée une droite quelconque GH, perpendiculaire à Ef, terminée en G et en H aux traces des deux plans donnés, et qui rencontre Ef en un point I ; cette droite sera la base du triangle qu’il faut construire. Actuellement, concevons que le plan de ce triangle tourne autour de sa base GH comme charnière pour s’appliquer sur le plan horizontal ; dans ce mouvement, son sommet, qui est d’abord placé sur l’intersection des deux plans, ne sort pas du plan vertical mené par cette intersection, parce que ce plan vertical est perpendiculaire à GH ; et, lorsque le plan du triangle est abattu, ce sommet se trouve sur un des points de la droite Ef. Ainsi il ne reste plus à trouver que la hauteur du triangle ou la grandeur de la perpendiculaire abaissée du point I sur l’intersection de deux plans.

8Mais cette perpendiculaire est comprise dans le plan vertical mené par Ef. Si donc on conçoit que ce plan tourne autour de la verticale fF pour s’appliquer sur le plan vertical de projection, et si l’on porte fE de f en e, fl de f en i, la droite eF sera la grandeur de la partie de l’intersection comprise entre les deux plans de projection ; et si du point i l’on abaisse sur cette droite la perpendiculaire ik, elle sera la hauteur du triangle demandé.

9Donc enfin portant ik de I en K, et achevant le triangle GKH, l’angle en K sera égal à l’angle formé par les deux plans.

10[20.] Septième question. Deux droites qui se coupent dans l’espace (fig. 10) étant données par leurs projections horizontales AB, AC, et par leurs projections verticales ab, ac, construire l’angle qu’elles forment entre elles.

11Avant de procéder à la solution, nous remarquerons que, puisque les deux droites données sont supposées se couper, le point A de rencontre de leurs projections horizontales et le point a de rencontre de leurs projections verticales seront les projections du point dans lequel elles se coupent, et seront par conséquent dans la même droite aGA perpendiculaire à LM. Si les deux points A et a n’étaient pas dans une même perpendiculaire à LM, les droites données ne se couperaient pas, et par conséquent ne seraient pas dans un même plan.

12Solution. On concevra les deux droites données prolongées jusqu’à ce qu’elles rencontrent le plan horizontal, chacune en un point, et l’on construira ces deux points de rencontre. Pour cela, on prolongera les droites ab, ac, jusqu’à ce qu’elles coupent LM en deux points d, e, qui seront les projections verticales de ces deux points de rencontre : par les points d, e, on mènera dans le plan horizontal et perpendiculairement à LM, deux droites indéfinies dD, eE, qui, devant passer chacune par un de ces points, détermineront leurs positions par leurs intersections D, E avec les projections horizontales respectives AB, AC, prolongées s’il est nécessaire.

13Cela fait, si l’on mène la droite DE, cette droite et les deux parties des droites données, comprises entre leur point d’intersection et les points D, E, formeront un triangle dont l’angle opposé à DE sera l’angle demandé ; ainsi il ne s’agira plus que de construire ce triangle. Pour cela, après avoir abaissé du point A sur DE la perpendiculaire indéfinie AF, si l’on conçoit que le plan du triangle tourne autour de sa base DE comme charnière jusqu’à ce qu’il soit abattu sur le plan horizontal, le sommet de ce triangle, pendant son mouvement, ne sortira pas du plan vertical mené par AF et viendra s’appliquer quelque part sur le prolongement de FA en un point H, dont il ne restera plus à trouver que la distance à la base DE.

14Or, la projection horizontale de cette distance est la droite AF, et la hauteur verticale d’une de ses extrémités au-dessus de l’autre est égale à aG ; donc, en vertu de la figure 3, pl. I, si sur LM on porte AF de G en f, et si l’on mène l’hypoténuse af, cette hypoténuse sera la distance demandée. Donc enfin, si l’on porte af de F en H, et si par le point H on mène les deux droites HD, HE, le triangle sera construit, et l’angle DHE sera l’angle demandé.

15[21.] Huitième question. Étant données les projections d’une droite et les traces d’un plan, construire l’angle que la droite et le plan forment entre eux.

16Solution. Si par un point pris sur la droite donnée, on conçoit une perpendiculaire au plan donné, l’angle que cette perpendiculaire formera avec la droite donnée sera le complément de l’angle demandé, et il suffira de construire cet angle pour résoudre la question.

17Or, si sur les deux projections de la droite, on prend deux points qui soient dans la même perpendiculaire à l’intersection des deux plans de projection, et si, par ces deux points, on mène des perpendiculaires aux traces respectives du plan donné, on aura les projections horizontale et verticale de la seconde droite. La question sera donc réduite à construire l’angle formé par deux droites qui se coupent, et rentrera dans le cas de la précédente.

18[22.] Lorsqu’on se propose de lever la carte d’un pays, on conçoit ordinairement que les points remarquables soient liés entre eux par des lignes droites qui forment des triangles, et il s’agit ensuite de rapporter ces triangles sur la carte au moyen d’une échelle plus petite et de les placer entre eux dans le même ordre que ceux qu’ils représentent. Les opérations qu’il faut faire sur le terrain consistent principalement dans la mesure des angles de ces triangles ; et, pour que ces angles puissent être rapportés directement sur la carte, ils doivent être chacun dans un plan horizontal, parallèle à celui de la carte. Si le plan de l’angle est oblique à l’horizon, ce n’est plus l’angle lui-même qu’il faut rapporter, c’est sa projection horizontale ; et il est toujours possible de trouver cette projection, lorsqu’après avoir mesuré l’angle lui-même, on a de plus mesuré ceux que ses deux côtés forment avec l’horizon, ce qui donne lieu à l’opération suivante, qui est connue sous le nom de réduction d’un angle à l’horizon.

19Neuvième question. Étant donnés l’angle formé par deux droites, et ceux qu’elles forment l’une et l’autre avec le plan horizontal, construire la projection horizontale du premier de ces angles.

20Solution. Soient A (fig. 11) la projection horizontale du sommet de l’angle demandé, et AB celle d’un de ses côtés, de manière qu’il faille construire l’autre côté AE. On concevra que le plan de projection verticale passe par AB ; et ayant mené par le point A une verticale indéfinie Ad, on prendra sur elle, à volonté, un point d, que l’on regardera comme la projection verticale du sommet de l’angle observé. Cela fait, si par le point d on mène la droite dB, qui fasse avec l’horizontale un angle dBA égal à celui que le premier côté fait avec l’horizon, le point B sera la rencontre de ce côté avec le plan horizontal. De même, si par le point d on mène la droite dC, qui fasse avec l’horizontale un angle dCA égal à celui que le deuxième côté fait avec l’horizon, et si du point A, comme centre avec le rayon AC, on décrit un arc de cercle indéfini CEF, le deuxième côté ne pourra rencontrer le plan horizontal que dans un des points de l’arc CEF. Il ne s’agira donc plus que de trouver la distance de ce point à quelque autre point, comme B.

21Or, cette dernière distance est dans le plan de l’angle observé. Si donc on mène la droite dD, de manière que l’angle DdB soit égal à l’angle observé, et si l’on porte dC de d en D, la droite DB sera égale à cette distance.

22Donc, si du point B, comme centre, et d’un intervalle égal à BD on décrit un arc de cercle, le point E, où il coupera le premier arc CEF, sera le point de rencontre du deuxième côté avec le plan horizontal ; donc la droite AE sera la projection horizontale de ce côté, et l’angle BAE, celle de l’angle observé.

23Les neuf questions qui précèdent suffisent à peine pour donner une idée de la méthode des projections ; elles ne peuvent en montrer toutes les ressources. Mais à mesure que nous nous élèverons à des considérations plus générales, nous aurons soin de faire les opérations qui seront les plus propres à remplir cet objet.

[II.]

Des plans tangents et des normales aux surfaces courbes

24[23.] Comme il n’y a aucune surface courbe qui ne puisse être engendrée de plusieurs manières par le mouvement de lignes courbes, si, par un point quelconque d’une surface, on considère deux génératrices différentes dans la position qu’elles doivent avoir lorsqu’elles passent l’une et l’autre par ce point et si l’on conçoit les tangentes en ce point à chacune des deux génératrices, le plan mené par ces deux tangentes est le plan tangent. Le point de la surface dans lequel les deux génératrices se coupent et qui est en même temps commun aux deux tangentes et au plan tangent est le point de contact de la surface et du plan.

25La droite menée par le point de contact perpendiculairement au plan tangent s’appelle normale à la surface. Elle est perpendiculaire à l’élément de la surface, parce que la direction de cet élément coïncide dans tous les sens avec celle du plan tangent, qui peut en être regardé comme le prolongement.

26[24.] La considération des plans tangents et des normales aux surfaces courbes est très utile à un grand nombre d’arts ; et, pour plusieurs d’entre eux, elle est absolument indispensable. Nous n’apporterons ici qu’un seul exemple de chacun de ces deux cas et nous les prendrons dans l’architecture et dans la peinture.

  • 1 Voir l’annexe 15 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

27Les différentes parties dont sont composées les voûtes en pierres de taille se nomment voussoirs ; et l’on appelle joints les faces par lesquelles deux voussoirs contigus se touchent, soit que ces voussoirs fassent partie d’une même assise, soit qu’ils soient compris dans deux assises consécutives1.

28La position des joints dans les voûtes est assujettie à plusieurs conditions qui doivent être nécessairement remplies. Nous ferons connaître successivement toutes ces conditions dans la suite du cours ; mais, dans ce moment, nous ne nous occuperons que de celle qui a rapport à notre objet.

29Une des conditions auxquelles la position des joints doit satisfaire, c’est qu’ils soient perpendiculaires entre eux et que les uns et les autres rencontrent perpendiculairement la surface de la voûte. Si l’on s’écartait sensiblement de cette loi, non seulement on blesserait les convenances générales, sans lesquelles rien ne peut avoir de la grâce, mais encore on s’exposerait à rendre la voûte moins solide et moins durable : car, si l’un des joints était oblique à la surface de la voûte, des deux voussoirs contigus à ce joint, l’un aurait un angle obtus, l’autre un angle aigu, et dans la réaction que les deux voussoirs exercent l’un sur l’autre, ces deux angles ne seraient pas capables de la même résistance : à cause de la fragilité des matériaux, l’angle aigu serait exposé à éclater, ce qui altérerait la forme de la voûte et compromettrait la durée de l’édifice. Ainsi la décomposition d’une voûte en voussoirs exige donc absolument la considération des plans tangents et des normales à la surface courbe de la voûte.

30[25.] Passons à un autre exemple pris dans un genre qui, au premier coup d’oeil, ne paraît pas susceptible d’une aussi grande sévérité.

31On a coutume de regarder la peinture comme composée de deux parties distinctes. L’une est l’art proprement dit : elle a pour objet d’exciter dans le spectateur une émotion déterminée, de faire naître en lui un sentiment donné, ou de le mettre dans la situation qui le disposera le mieux à recevoir une certaine impression ; elle suppose dans l’artiste une grande habitude de la philosophie ; elle exige de sa part les connaissances les plus exactes sur la nature des choses, sur la manière dont elles agissent sur nous, et sur les signes, même involontaires, par lesquels cette action se manifeste ; elle ne peut être que le résultat d’une éducation très distinguée que l’on ne donne à personne et que nous sommes bien éloignés de donner à nos jeunes artistes ; elle n’est soumise à aucune règle générale ; elle ne suppose que des conseils.

  • 2 Cette étude est en rapport avec la perspective aérienne étudiée dans la 11e leçon.

32L’autre partie de la peinture en est, à proprement parler, le métier : son but est l’exécution exacte des conceptions de la première. Ici rien n’est arbitraire ; tout peut être prévu par un raisonnement rigoureux, parce que tout est le résultat nécessaire d’objets convenus et de circonstances données. Lorsqu’un objet est déterminé de forme et de position, lorsqu’on connaît la nature, le nombre et la position de tous les corps qui peuvent l’éclairer, soit par une lumière directe, soit par des rayons réfléchis, lorsque la position de l’œil du spectateur est fixe, lorsqu’enfin toutes les circonstances qui peuvent influer sur la vision sont bien établies et connues, la teinte de chacun des points de la surface visible de cet objet est absolument déterminée2. Tout ce qui a rapport à la couleur de cette teinte et à son éclat dépend de la position du plan tangent en ce point à l’égard des corps éclairants et de l’œil du spectateur : elle peut être trouvée par le seul raisonnement ; et lorsqu’elle est ainsi déterminée, elle doit être appliquée avec exactitude. Tout affaiblissement, toute exagération changeraient les apparences, altéreraient les formes et produiraient un autre effet que celui qu’attend l’artiste.

33Je sais bien que la rapidité de l’exécution, qui est souvent nécessaire, ne permettrait que bien rarement l’emploi d’une méthode qui priverait l’esprit de tout secours matériel, et l’abandonnerait à l’exercice de ses seules facultés, et qu’il est beaucoup plus facile au peintre de poser les objets, d’observer leurs teintes et les imiter : mais s’il était accoutumé à considérer les positions des plans tangents et les deux courbures des surfaces en chacun de leurs points, courbures qui feront l’objet de leçons ultérieures, il tirerait de ce moyen matériel un parti plus avantageux ; il serait en état de rétablir les effets que l’omission de quelques circonstances a empêchés de naître et de supprimer ceux auxquels donnent lieu des circonstances étrangères.

  • 3 Édition de 1811 et éditions ultérieures : « méplat, clair obscur ».

34Enfin, les expressions vagues, comme celles de méplat3, que les peintres emploient à chaque instant, sont un témoignage constant du besoin qu’ils ont de connaissances plus exactes et de raisonnements plus rigoureux.

35[26.] Indépendamment de son utilité dans les arts, la considération des plans tangents et des normales aux surfaces courbes est un des moyens les plus féconds que la géométrie descriptive emploie pour la résolution de questions qu’il serait très difficile de résoudre par d’autres procédés, et nous en donnerons quelques exemples.

  • 4 Éditions ultérieures : « La méthode générale pour déterminer le plan tangent à une surface courbe (...)

36[27.] D’après ce que nous avons vu précédemment, la méthode générale pour déterminer le plan tangent à une surface courbe consiste4 à concevoir par le point du contact les tangentes à deux courbes génératrices différentes qui passeraient par ce point et à construire le plan qui passerait par ces deux droites. Dans quelques cas particuliers, pour abréger les constructions, on s’écarte un peu de cette méthode prise à la lettre, mais on fait toujours l’équivalent.

37Quant à la construction de la normale, nous ne nous en occuperons pas en particulier, parce qu’elle se réduit à celle d’une droite perpendiculaire au plan tangent, ce que nous savons faire.

  • 5 Édition originale : « Deuxième question ». Erreur corrigée dans les éditions ultérieures.

38[28.] Première question5. Par un point considéré sur une surface cylindrique, et dont la projection horizontale est donnée, mener un plan tangent à cette surface.

39Solution. Soient AB, ab (Pl. IV, fig. 12), les projections horizontale et verticale de la droite donnée, à laquelle la génératrice de la surface cylindrique doive être parallèle ; soit EPD la courbe donnée dans le plan horizontal, sur laquelle la génératrice doive constamment s’appuyer et que l’on peut regarder comme la trace de la surface cylindrique ; enfin soit C la projection horizontale donnée du point considéré sur la surface cylindrique, par lequel doive être mené le plan tangent.

40Cela posé, par le point considéré sur la surface et dont la projection horizontale est en C, concevons la droite génératrice dans la position qu’elle doit avoir lorsqu’elle passe par ce point : cette génératrice étant une ligne droite, elle sera elle-même sa propre tangente ; elle sera donc une des deux droites qui détermineront la position du plan tangent ; de plus, elle sera parallèle à la droite donnée : donc ses deux projections seront respectivement parallèles à AB et ab ; donc si par le point C on mène à AB une parallèle indéfinie EF, on aura la projection horizontale de la génératrice. Pour avoir sa projection verticale, concevons la génératrice prolongée sur la surface cylindrique jusqu’à ce qu’elle rencontre le plan horizontal ; elle ne le pourra faire que dans un point qui sera en même temps sur la projection EF et sur la courbe EPD et qui sera, par conséquent, l’intersection de ces deux lignes : ainsi l’on déterminera ce point en prolongeant EF jusqu’à ce qu’elle coupe quelque part la courbe EPD.

41Ici il se présente deux cas : ou la droite EF ne coupera la trace du cylindre qu’en un seul point, ou elle la coupera en plusieurs points. Nous allons examiner ces deux cas séparément, et supposer d’abord que, quelque prolongée que soit la droite EF, elle ne rencontre la courbe EPD qu’en un seul point D.

42Le point D étant la trace de la génératrice, si on le projette sur le plan vertical au moyen de la perpendiculaire Dd et si par le point d on mène df parallèle à ab, on aura la projection verticale de la génératrice. Ainsi on aura les deux projections d’une des droites par lesquelles doit passer le plan tangent demandé. De plus, la projection verticale du point de contact doit se trouver sur la droite Cc" menée du point donné C perpendiculairement à LM ; elle doit aussi se trouver sur df ; donc elle sera au point c’ d’intersection de ces deux lignes.

43Si la droite EF coupe la trace EPD de la surface cylindrique en plusieurs points D, E, on opérera pour chacun de ces points de la même manière que nous venons de le décrire pour le point D, regardé comme seul ; il en résultera seulement qu’on aura les projections verticales df' ef" d’autant de droites génératrices, et les projections verticales c', c" d’autant de points de contact qu’il y aura de points d’intersection entre la droite EF et la trace EPD.

  • 6 Lire : « Le plan tangent au point dont la projection verticale est c' ». Éditions ultérieures : «  (...)
  • 7 Lire : « le plan tangent au point dont la projection verticale est c" ». Éditions ultérieures : «  (...)

44Dans le cas de la figure 12, la trace de la surface cylindrique est une circonférence de cercle qui a la propriété d’être coupée par une droite en deux points : ainsi la verticale élevée par le point donné C doit rencontrer deux fois la surface, d’abord dans un premier point, dont la projection verticale est c’, et par laquelle passe la génératrice lorsqu’elle s’appuie sur le point D, et ensuite dans un second point, dont la projection verticale est c", et par laquelle passe la génératrice lorsqu’elle s’appuie sur le point E de la trace. Ces deux points, quoiqu’ils aient la même projection horizontale, sont néanmoins très distincts, et à chacun d’eux doit répondre un plan tangent particulier. Actuellement, pour chacun des deux points de contact, il faut trouver la deuxième droite qui doit déterminer la position du plan tangent. Si l’on suivait strictement la méthode générale en regardant la trace comme une seconde génératrice, il faudrait la concevoir passant successivement par chacun des points de contact et construire dans chacun de ces points une tangente ; mais, dans le cas particulier des surfaces cylindriques, on peut employer une considération plus simple. En effet, le plan tangent au point c'6 touche la surface dans toute l’étendue de la droite génératrice qui passe par ce point ; il la touche donc en D qui est un point de cette génératrice ; il doit donc passer par la tangente à la trace au point D. Par un semblable raisonnement on trouvera que le plan tangent en c"7 doit passer par la tangente à la trace en E. Donc, si par les deux points D, E, on mène à la trace les deux tangentes DK, EG, prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent la droite LM en deux points K, G, on aura sur le plan horizontal les traces des deux plans tangents.

45Il ne reste donc plus à trouver que les traces des mêmes plans sur le plan vertical ; et, parce que nous avons déjà pour l’une de ces traces le point K et pour l’autre le point G, il ne reste plus à déterminer qu’un seul point pour chacune d’elles.

46Pour cela et en opérant pour le premier des deux plans tangents, concevons que le point à construire soit celui dans lequel une horizontale menée dans le plan par le point de contact rencontre le plan vertical ; on aura la projection horizontale de cette droite en menant par le point C une parallèle à la trace DK qu’on prolongera jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite LM en un point I ; et l’on aura sa projection verticale en menant par le point c’ une horizontale indéfinie. Le point de rencontre du plan vertical avec l’horizontale se trouvera donc en même temps et sur la verticale li et sur l’horizontale c'i ; il sera au point i de leur intersection ; donc, si par les points i et K on mène une droite, on aura la trace du premier plan tangent sur le plan vertical. En raisonnant de même pour le second plan tangent, on trouvera sa trace sur le plan vertical en menant par le point C une droite CH parallèle à la trace horizontale EG, et on la prolongera jusqu’à ce qu’elle coupe LM en un point H, par lequel on élèvera la verticale Hh ; par le point c" on mènera une horizontale qui coupera la verticale Hh en un point h, par lequel et par le point G si l’on mène une droite Gh, on aura la trace demandée.

47Deuxième question. Par un point considéré sur une surface conique et dont la projection horizontale est donnée, mener un plan tangent à cette surface.

  • 8 Éditions ultérieures : « de conseiller au lecteur... ».

48La solution de cette question ne diffère de celle de la précédente qu’en ce que la droite génératrice, au lieu d’être toujours parallèle à elle-même, passe toujours par le sommet dont les deux projections sont données. Nous pensons qu’il est convenable de ne pas l’énoncer ici et de conseiller aux élèves8 de la chercher eux-mêmes, en leur offrant le secours de la figure 13, si toutefois cela était nécessaire.

49[30.] Troisième question. Par un point considéré sur une surface de révolution autour d’un axe vertical et donné sur la projection horizontale, mener un plan tangent à la surface.

50Solution. Soient A (Pl. V, fig. 14) la projection horizontale donnée de l’axe, aa' sa projection verticale, BCDEF la courbe génératrice donnée, considérée dans un plan mené par l’axe, et G la projection horizontale donnée du point de contact.

51Cela posé, si par le point de contact et par l’axe on conçoit un plan vertical dont la projection sera l’horizontale indéfinie AG, ce plan coupera la surface de révolution dans une courbe qui sera la génératrice passant par le point de contact ; si par le point G on conçoit une verticale, elle rencontrera la génératrice et par conséquent la surface en un ou plusieurs points qui seront autant de points de contact, dont G sera la projection horizontale commune. On trouvera tous ces points de contact considérés dans le plan de la génératrice en portant AG sur LM, de a en e, et en menant par le point e une parallèle à aa' ; tous les points E, C, dans lesquels cette droite coupera la courbe BCDEF, seront les intersections de la courbe génératrice avec la verticale menée par le point G, et indiqueront les hauteurs d’autant de points de contact au-dessus du plan horizontal. Pour avoir les projections verticales de ces points de contact, on mènera par tous les points E, C, des horizontales indéfinies, qui contiendrons ces projections : mais elles doivent aussi se trouver sur la perpendiculaire à LM, menée par le point G ; donc les intersections g', g" de cette droite avec les horizontales seront les projections des différents points de contact.

52Actuellement, si, par chaque point de contact, on conçoit une section faite par un plan horizontal, cette section, qui pourra être regardée comme une seconde génératrice, sera la circonférence d’un cercle dont le centre sera dans l’axe et dont la tangente, qui doit être perpendiculaire à l’extrémité du rayon, sera aussi perpendiculaire au plan vertical mené par AG, et dans lequel se trouve le rayon : donc le plan tangent, qui doit passer par cette tangente, sera aussi perpendiculaire à ce même plan et aura, sur le plan horizontal, sa trace perpendiculaire à AG. Il ne reste donc plus, pour avoir la trace de chacun des plans tangents, que de trouver sa distance au point A : or, si par les points E, C, on mène à la première génératrice les tangentes EI, CH, prolongées jusqu’à ce qu’elles rencontrent LM en des points I, H, les droites aI, aH seront égales à ces distances ; donc, si l’on porte ces droites de A en i et de A en h, et si par les points i et h on mène à AG des perpendiculaires iQ, hP, prolongées jusqu’à la rencontre de la droite LM, on aura, sur le plan horizontal, les traces de tous les plans tangents.

53Pour trouver sur le plan vertical les traces des mêmes plans, il faut concevoir, par chaque point de contact, et dans le plan tangent correspondant, une horizontale prolongée jusqu’au plan vertical de projection ; cette droite, qui n’est autre chose que la tangente au cercle, déterminera sur ce plan un point qui appartiendra à la trace. Or, pour tous les points de contact, ces droites ont la même projection horizontale ; c’est la droite GK, menée par le point G perpendiculairement à AG et terminée à la droite LM. Donc si par le point K on mène à LM une perpendiculaire indéfinie Kk'k", elle contiendra tous les points de rencontre des horizontales avec le plan vertical de projection. Mais ces points de rencontre doivent aussi se trouver sur les horizontales respectives menées par les points E, C ; donc les intersections k', k" de ces horizontales avec la verticale Kk" seront chacune un point de la trace d’un des plans tangents. Ainsi la droite Qk' sera, sur le plan vertical, la trace d’un des plans tangents ; la droite Pk" sera la trace de l’autre ; et ainsi de suite, s’il y en avait un plus grand nombre.

  • 9 Éditions ultérieures : « Dans la suite de cet écrit,... ».
  • 10 Éditions ultérieures : « Maintenant nous allons proposer une question... ».

54Nous nous bornerons, dans ce moment, aux trois exemples précédents, parce qu’ils suffisent pour toutes les surfaces dont nous avons défini la génération. Dans la suite du cours9, nous aurons occasion de considérer les générations de familles de surfaces infiniment plus nombreuses, et, à mesure qu’elles se présenteront, nous appliquerons la même méthode à la détermination de leurs plans tangents et de leurs normales. Nous terminerons cette séance par une question10 dans la solution de laquelle on peut employer d’une manière utile la considération d’un plan tangent.

55[31.] Quatrième question. Deux droites étant données (fig. 15), par leurs projections horizontales AB, CD, et par leurs projections verticales ab, cd, construire les projections PN, pn de leur plus courte distance, c’est-à-dire de la droite qui est en même temps perpendiculaire à l’une et à l’autre, et trouver la grandeur de cette distance.

56Solution. Par la première des deux droites données, concevons un plan parallèle à la seconde, ce qui est toujours possible, puisque si par un point quelconque de la première on mène une droite parallèle à la seconde, et si l’on conçoit que cette troisième droite se meuve parallèlement à elle-même le long de la première, elle engendrera le plan dont il s’agit. Concevons de plus une surface cylindrique à base circulaire, qui ait pour axe la seconde droite donnée et pour rayon la distance cherchée ; cette surface sera touchée par le plan en une droite qui sera parallèle à l’axe et qui coupera la première droite en un point. Si par ce point on mène une perpendiculaire au plan, elle sera la droite demandée, car elle passera de fait par un point de la première droite donnée et elle lui sera perpendiculaire, puisqu’elle sera perpendiculaire à un plan qui passe par cette droite : elle coupera de plus la seconde droite perpendiculairement, puisqu’elle sera un rayon du cylindre dont cette seconde droite est l’axe.

  • 11 L’édition de 1811 et toutes les éditions ultérieures remplacent la construction donnée dans la leç (...)

57Il ne s’agit donc plus que de construire successivement toutes les parties de cette solution11.

  1. Pour construire les traces du plan mené par la première droite parallèlement à la seconde, on cherchera d’abord le point A, dans lequel cette première droite rencontre le plan horizontal, et qui sera un point de la trace horizontale ; pour cela, après avoir prolongé la projection verticale ba jusqu’à ce qu’elle coupe la droite LM en un point a, on mènera aA perpendiculaire à LM, et qui, par son intersection avec la projection horizontale AB, déterminera le point A12. Par le point où la première droite coupe le plan vertical, et dont les projections sont B et b, on concevra une droite parallèle à la seconde droite donnée et l’on construira les projections de cette parallèle en menant indéfiniment BE parallèle à CD, et be parallèle à cd. On construira de même le point E de rencontre de cette parallèle avec le plan horizontal en menant eE perpendiculaire à LM ; et le point E sera un second point de la trace horizontale du plan. Donc, si l’on mène la droite AE, prolongée jusqu’à ce qu’elle coupe en un point F la droite LM, on aura la trace horizontale ; et il est évident que, si par les points F et b on mène une droite Fb, on aura la trace sur le plan vertical.
  2. Pour construire la ligne de contact du plan avec la surface cylindrique, il faut d’un point quelconque de la seconde droite qui est l’axe du cylindre (par exemple, du point C où elle rencontre le plan horizontal) abaisser une normale, c’est-à-dire une perpendiculaire sur le plan tangent, et le pied de cette normale sera un point de la ligne de contact. Pour trouver ce pied d’après la méthode que nous avons déjà décrite (fig. 6), on construira d’abord les projections indéfinies de la normale en menant par le point C la droite HG perpendiculaire à la trace AE, et par le point c la droite cK perpendiculaire à la trace Fb ; puis, après avoir prolongé HG jusqu’à ce qu’elle rencontre AE en un point G, et LM en un point H, on projettera le point G en g, et le point H en h sur la trace Fb ; on mènera la droite gh, qui, par son intersection avec cK, déterminera la projection verticale i du pied de la normale ; et l’on aura sur HG la projection horizontale du même point, en abaissant iI perpendiculairement à LM. Les projections i et I du pied de la normale étant trouvées, si par le point I on mène IN parallèle à CD, et in parallèle à cd, on aura les projections de la droite de contact du plan avec la surface cylindrique. Enfin les points N et n, où ces projections rencontreront celles de la première droite donnée, seront les projections du point de cette droite par lequel passe la perpendiculaire commune demandée.
  3. Connaissant les projections N, n d’un des points de la perpendiculaire commune demandée, pour avoir celle de cette perpendiculaire, il suffira de mener par les points N et n les droites NP et np perpendiculaires aux traces respectives AE, Fb ; et les parties NP et np de ces perpendiculaires, comprises entre les projections des deux droites données, seront les projections de la plus courte distance demandée.
  4. Enfin, si l’on veut connaître la grandeur de cette plus courte distance, on la construira par le procédé de la figure 3.
  • 13 Éditions ultérieures : « en conseillant au lecteur... ».

58La considération d’une surface cylindrique touchée par un plan n’était point nécessaire pour la solution de la question précédente. Après avoir imaginé un plan parallèle aux deux droites données, on aurait pu, par chacune de ces droites, mener à ce plan un plan perpendiculaire ; et l’intersection de ces deux derniers plans aurait été la direction de la plus courte distance demandée. Nous nous contenterons d’énoncer cette seconde manière, en conseillant aux élèves13 d’en chercher la construction pour s’exercer.

Notes

1 Voir l’annexe 15 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

2 Cette étude est en rapport avec la perspective aérienne étudiée dans la 11e leçon.

3 Édition de 1811 et éditions ultérieures : « méplat, clair obscur ».

4 Éditions ultérieures : « La méthode générale pour déterminer le plan tangent à une surface courbe consiste (23) à concevoir... ».

5 Édition originale : « Deuxième question ». Erreur corrigée dans les éditions ultérieures.

6 Lire : « Le plan tangent au point dont la projection verticale est c' ». Éditions ultérieures : « le plan tangent au point C, c' ». Cette dernière notation, devenue courante pour désigner un point dans l’espace, n’est jamais utilisée par Monge dans ses leçons à l’École normale.

7 Lire : « le plan tangent au point dont la projection verticale est c" ». Éditions ultérieures : « le plan tangent en C, c"... ».

8 Éditions ultérieures : « de conseiller au lecteur... ».

9 Éditions ultérieures : « Dans la suite de cet écrit,... ».

10 Éditions ultérieures : « Maintenant nous allons proposer une question... ».

11 L’édition de 1811 et toutes les éditions ultérieures remplacent la construction donnée dans la leçon par une construction légèrement différente [Monge, 1811, p. 37-39]. Voir annexe 14 : Sur la distance entre deux droites, où l’on trouvera tous les commentaires utiles sur cette question.

12 Édition originale : « c » au lieu de « a » dans cette phrase. Erreur corrigée dans l’édition de 1799.

13 Éditions ultérieures : « en conseillant au lecteur... ».

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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