Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

 | 
Jean Dhombres

Leçons de Monge

Deuxième débat

16 pluviôse / 4 février

Texte intégral

1Duchesne. Je désirerais que le professeur voulût bien expliquer la nécessité qu’il y a de présenter des difficultés pour déterminer la position d’un point dans l’espace et d’employer pour cela des sphères, des cylindres et des plans, avant que d’en venir à la définition des projections.

2Monge. Je devais vous faire voir combien est simple la méthode des projections, qui n’a pas dû se présenter d’abord, et à laquelle on n’est parvenu vraisemblablement qu’après un grand nombre de tentatives ; et pour cela, je ne pouvais faire mieux que de vous conduire pour ainsi dire par la main sur toutes les routes qui se présentent plus naturellement, et de vous faire voir que partout la marche est beaucoup plus pénible. D’ailleurs, il était convenable, dès l’introduction, de vous faire faire connaissance avec les objets dont s’occupe continuellement la géométrie descriptive ; il fallait vous donner une idée des raisonnements qu’on a coutume d’y faire, et un exemple de la manière dont on y marche vers la vérité ; il fallait vous montrer la nature du spectacle que l’on y a toujours sous les yeux ; il fallait enfin exciter en vous quelques-unes des émotions que ce spectacle est propre à produire : et si parmi vous il en est un à qui, pendant la première leçon, ou à la lecture de la première séance, le cœur ait battu, c’en est fait, il est géomètre

3Je m’attendais à ce que l’on me demandât la démonstration d’une proposition dont j’ai fait usage dans la première leçon et que je n’ai pas démontrée parce qu’elle exige une attention beaucoup plus grande que celle que l’on peut espérer d’une assemblée très nombreuse.

4Cette proposition est que trois surfaces cylindriques à bases circulaires ont, en général, huit points communs.

5Je n’ai pas ici pour but de la démontrer ; je me propose seulement de faire comprendre comment elle peut avoir lieu.

  • 1 Dans l’édition de 1799, Hachette consacrera une première addition à démontrer que : « trois surfac (...)

6Considérons d’abord seulement deux surfaces cylindriques, et supposons que l’une ayant un diamètre sensiblement plus petit que l’autre, elles se pénètrent de manière que les axes se rencontrent et fassent entre eux un angle beaucoup plus petit que l’angle droit. Il est évident que la surface dont le diamètre est le plus petit traversera l’autre de part à part, en faisant, sur la face antérieure de celle-ci et sur sa face postérieure, deux sections distinctes, semblables et très allongées. Actuellement, supposons que la troisième surface cylindrique ait un diamètre à peu près moyen entre ceux des deux autres ; qu’elle pénètre celle dont le diamètre est plus grand, de manière encore que les deux axes se rencontrent, mais sous un angle peu éloigné de l’angle droit, et qu’elle traverse les sections faites sur cette surface, à peu près vers leurs milieux. Il est clair que les sections qu’elle produira sur les deux faces du grand cylindre, étant plus larges et moins longues que celles qui sont formées par le petit cylindre, chacune des nouvelles sections coupera l’ancienne en quatre points. Ainsi il y aura quatre points communs aux trois surfaces cylindriques, sur la face intérieure de celle qui a le plus grand diamètre ; et il y en aura encore quatre sur la surface postérieure ; donc il y en aura huit. Dans certains cas particuliers, ce nombre peut être plus petit ; il peut être réduit à 6, à 4, à 2, et même à zéro, suivant les positions et les diamètres des surfaces1.

7Duchesne. Je reviens à ma question, et je demande s’il y a nécessité de passer par la difficulté des sphères, des cylindres et des plans, pour déterminer un point dans l’espace, et de faire précéder par ces considérations l’opération simple de la projection, qui détermine un point d’une manière plus commode.

8Monge. J’aurais pu commencer par définir sèchement la méthode des projections, mais la séance aurait été sans intérêt : j’aurais laissé échapper l’occasion de vous faire une belle leçon de géométrie, et j’aurais manqué mon but qui est de vous familiariser avec les propriétés de l’étendue, afin que vous puissiez accoutumer vos élèves à toute la rigueur dont elles sont susceptibles et contribuer un jour, de tout votre pouvoir, à élever de quelques degrés l’instruction générale de nos jeunes artistes, et à perfectionner l’industrie nationale.

9Desloges. L’expression de cylindre à base circulaire que je trouve dans le journal me paraît superflue ; elle a même deux inconvénients : le premier, de faire supposer qu’il existe des cylindres d’un autre genre ; le second, de déterminer une base à un cylindre qui, d’après vos propres raisonnements, est prolongé de part et d’autre indéfiniment.

10Monge. Le premier cylindre que l’on a considéré dans la géométrie est, en effet, celui dont la surface est engendrée par le mouvement d’une ligne droite qui, en s’appuyant perpétuellement sur la circonférence d’un cercle, ne cesse pas d’être perpendiculaire au plan du cercle. Mais dans la suite les artistes qui s’occupèrent de la composition et de l’ordonnance des voûtes ne tardèrent pas à s’apercevoir que la circonférence du cercle n’était pas la seule courbe qui pût diriger la marche de la ligne droite génératrice ; et que cette droite, en s’appuyant sur toute autre courbe tracée dans le même plan, pouvait former un nombre infini de surfaces courbes différentes.

11Toutes ces surfaces ont quelque chose de commun ; c’est leur génération ou leur manière d’être engendrées qui en forme une grande famille ; les individus de cette famille ont chacun un caractère qui le distingue, et qui vient de la nature de la courbe particulière qui a servi à diriger le mouvement de la droite génératrice ; et le nom du premier individu qui ait été connu est devenu le nom générique de la famille entière. Ainsi les surfaces cylindriques sont engendrées par une droite, qui se meut parallèlement à elle-même le long d’une courbe quelconque donnée.

12Tant qu’on n’ajoute aucune particularité au nom générique de surfaces cylindriques, on parle de toutes celles qui composent la famille. Dans ce sens, on peut dire que toutes les surfaces cylindriques sont de nature à être développées et appliquées sur un même plan, sans solution de continuité et sans duplicature, propriété générale qui les rend propres à être employées dans un grand nombre d’arts, parce qu’il est facile de les former au moyen de feuilles métalliques ou autres, planes et flexibles.

13Mais, si l’on veut parler d’une surface cylindrique particulière, il faut ajouter au nom générique une qualification qui la caractérise et la distingue de toutes les autres, et cette qualification doit être tirée de la nature de la courbe qui a dirigé le mouvement de la droite génératrice ou, ce qui est équivalent, de la nature de celle qu’on obtient en coupant la surface par un plan perpendiculaire à la direction de la droite.

14Ainsi, dans l’exemple que vous citez, mon objet n’était pas de parler d’une surface cylindrique quelconque, mais seulement de la surface cylindrique dont tous les points étaient à une certaine distance d’une droite donnée ; il fallait donc particulariser cette surface en indiquant que la section faite perpendiculairement à son axe était un cercle, et c’est ce qu’on a coutume de faire en ajoutant la qualification particulière, à base circulaire.

15Quant au mot base, les anciens géomètres regardaient en effet comme terminées les surfaces cylindriques et les surfaces coniques auxquelles ils avaient coutume de l’appliquer. Mais, à mesure que la géométrie s’est généralisée, on a constamment défini les anciens mots dont on généralisait l’acception ; les géomètres, aujourd’hui, s’entendent parfaitement d’un bout de l’univers à l’autre. Ils comprennent, sous le nom de base d’un cylindre indéfini, la section faite par un plan perpendiculaire à la droite génératrice de sa surface ; leur langue n’est sujette à aucune équivoque, et il n’y aurait aucun avantage à la changer.

  • 2 Ou Pouchain. Voir les leçons de Laplace, débat du 26 pluviôse, p. 66.

16Bouchain2. En répondant au citoyen Duchesne, vous avez supposé que le petit cylindre pénétrât le grand, de manière que les axes se rencontrassent, afin que les deux sections faites sur les faces antérieure et postérieure du grand, fussent semblables. Il me semble que cela n’est pas nécessaire, et que, quand même les axes ne se rencontreraient pas, les deux sections seraient toujours semblables entre elles.

17Monge. Lorsque deux surfaces cylindriques à bases circulaires se pénètrent de manière que leurs axes ne se rencontrent pas et lorsque l’une est d’un diamètre assez petit pour opérer deux sections distinctes dans l’autre, ces deux sections sont semblables, comme vous l’observez très bien ; mais elles ne sont pas symétriques et il est moins facile de se les représenter. Je voulais être entendu de l’assemblée entière ; j’ai dû choisir le cas le plus facile à concevoir : c’est celui où les axes se rencontrent, parce qu’alors les sections étant non seulement semblables, mais encore symétriques, il est plus facile à ceux pour lesquels ces considérations sont nouvelles de s’en former une image.

18Bonnet. Un des préopinants vient de vous exposer que l’expression de cylindre à base circulaire est impropre ; je crois aussi qu’elle ne convient pas : en effet, vous supposez que le point cherché est à un pied de distance d’une droite donnée A. Il est clair que si l’on conçoit une perpendiculaire abaissée du point sur la droite, on pourra la regarder comme le rayon d’un cercle, dont le plan est perpendiculaire à la droite et dont la circonférence a tous ses points distants d’un pied de la droite A. Actuellement, si ce cercle se meut parallèlement à lui-même, de manière que le centre parcoure la droite donnée A, sa circonférence engendrera une surface cylindrique dont tous les points seront à un pied de distance de la droite donnée. Cela posé, ou cette droite est indéfinie, ou elle est terminée par deux points. Dans le premier cas, la surface cylindrique n’a pas de base ; dans le second, elle doit être terminée par les surfaces de deux hémisphères d’un pied de rayon et qui auraient leurs centres aux deux extrémités de la droite. Les bases seraient alors des surfaces hémisphériques et non des cercles.

19Monge. Nous avons déjà vu que les surfaces cylindriques composent une famille infiniment nombreuse, dont tous les individus sont engendrés de la même manière et qui diffèrent tous les uns des autres par la nature de la section faite par un plan perpendiculaire à la droite génératrice : ainsi pour donner l’idée d’une surface cylindrique individuelle, il est absolument nécessaire de faire connaître la nature de la section perpendiculaire ; et c’est cette section que l’on est convenu d’appeler base. Ce mot n’est pas tout à fait aussi impropre qu’il semble vous le paraître ; car, si vous aviez un cylindre matériel et si vous le coupiez effectivement par un plan perpendiculaire à la droite génératrice de sa surface, vous pourriez le faire reposer sur un plan horizontal par cette section qui en serait alors proprement la base, et il y reposerait d’une manière stable.

20A mesure que nous avancerons dans la géométrie, vous verrez que toutes les surfaces courbes peuvent être distribuées en un nombre infini de familles, dont chacune a sa génération propre. Par exemple, les surfaces de révolution composent une autre famille qui a un caractère particulier ; et le caractère qui distingue les individus de cette famille de ceux de tous les autres est extrêmement frappant. Pour peu qu’on ait l’œil exercé, on reconnaît avec la plus grande facilité, parmi une foule de corps de formes très variées, ceux qui ont été exécutés sur le tour, parce que leurs surfaces sont de révolution. Ainsi, dire qu’une surface est de révolution c’est donner l’idée de la manière dont elle a été engendrée, c’est indiquer la grande famille dont elle fait partie, c’est prononcer qu’elle a les propriétés qui conviennent à toute la famille en général ; c’est dire, par exemple, que toutes les sections faites par des plans perpendiculaires à l’axe de révolution sont des circonférences de cercles dont les centres sont dans l’axe ; c’est enfin exprimer qu’elle peut convenir à un objet exécuté sur le tour.

21Mais pour définir une surface de révolution individuelle, il faut de plus indiquer quelle est la courbe particulière qui l’a engendrée par sa révolution autour de l’axe ; ou, ce qui est équivalent, il faut définir la section que l’on obtiendrait en la coupant par un plan mené suivant l’axe, section qui est toujours semblable et égale à elle-même, quelle que soit d’ailleurs la position du plan coupant. Or, on a coutume de regarder le globe de la terre comme un solide de révolution autour de son axe, et on donne le nom de méridiens aux sections faites sur la surface par des plans menés suivant l’axe. On pourrait donc étendre l’acception du mot méridien et lui faire signifier la section faite sur une surface de révolution par un plan mené suivant l’axe. Alors, pour définir une surface particulière de révolution, il faudrait indiquer la position de l’axe et la forme de son méridien ; et il n’y aurait pas d’équivoque, parce que, quand on parlerait de méridien sans qualification, on comprendrait que c’est du méridien de la terre qu’il s’agit ; et quand on parlerait du méridien d’une surface de révolution, on comprendrait la courbe particulière qui caractérise cette surface individuelle et qui la distingue de toutes les autres de la même famille.

22Je ne propose pas d’introduire cette nouveauté, que je suis bien éloigné de regarder comme nécessaire : j’ai seulement pour but de vous faire voir, par un autre exemple, comment le mot base, pour les surfaces cylindriques, a pu acquérir une acception plus générale, sans altérer la rigueur du langage géométrique et sans nuire à la propriété des expressions qui lui convient éminemment.

23Bonnet. Au lieu d’employer la distance du point cherché à une droite indéfinie, n’aurait-on pas pu employer sa distance à une droite terminée ? Dans ce cas, le point n’aurait-il pas dû se trouver sur la surface d’un cylindre, terminé par deux hémisphères de même rayon que lui ?

24Monge. Oui, mais, si j’avais fait un pareil choix de données, j’aurais compliqué, sans aucune utilité pour vous, l’objet de nos méditations ; vous n’auriez rien appris de plus, et ce que vous avez appris vous eût coûté davantage.

25Au reste, il y a longtemps que la géométrie descriptive est en possession de s’occuper de pareils assemblages discontinus de portions de surfaces courbes différentes ; et c’est seulement de nos jours que l’analyse a été perfectionnée, au point de pouvoir y être appliquée avec succès. Dans nos salles particulières de travail, je ferai ce qui dépendra de moi pour rendre la géométrie descriptive utile à ceux qui voudront se perfectionner dans cette partie de l’analyse.

26Godefroy. Lorsque vous avez parlé de la méthode de déterminer la position d’un point dans l’espace, vous avez d’abord supposé trois points donnés A, B, C : puis vous avez dit ; si le point demandé est à un pied de distance du point A, il sera sur la surface d’une sphère d’un pied de rayon, et qui aura le point A pour centre ; s’il doit de plus être à deux pieds de distance du point B, il sera sur la surface d’une autre sphère de deux pieds de rayon, et dont le centre sera en B ; il sera donc en même temps sur les surfaces des deux sphères.

27Il me semble que l’idée la plus simple, et celle que j’ai eue la première, était de dire que le point cherché devait être au point de contact des deux sphères. Je ne sais pas pourquoi le citoyen professeur a supposé que le point serait sur l’intersection des deux surfaces.

28Il en est de même pour les surfaces cylindriques.

29Monge. Pour que la méthode de déterminer la position d’un point d’après ses distances à trois autres soit générale, il faut qu’elle soit indépendante de la grandeur même de ces distances. Il est bien vrai que, si l’on suppose le cas infiniment particulier que la somme ou la différence des distances du point cherché à deux autres soit égale à la distance de ces deux derniers, les deux surfaces de sphères sur lesquelles il devra se trouver se toucheront et détermineront, par leur contact, la position du point demandé. Mais dans tout autre cas, et c’est de beaucoup le plus général, les deux surfaces ne se toucheront pas ; elles se couperont et, en se coupant, elles détermineront la circonférence du cercle sur laquelle le point devra se trouver pour satisfaire en même temps aux deux premières conditions. Il en faudra donc une troisième pour achever de déterminer la position du point.

Notes

1 Dans l’édition de 1799, Hachette consacrera une première addition à démontrer que : « trois surfaces cylindriques à bases circulaires qui se coupent ont en général huit points communs » [Monge, 1799, p. 129], en reprenant le texte précédent de la réponse de Monge.

2 Ou Pouchain. Voir les leçons de Laplace, débat du 26 pluviôse, p. 66.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540