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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Première leçon

1er pluviôse / 20 janvier

Texte intégral

[I.]*

  • * La division en parties et articles numérotés, introduite dans les éditions ultérieures, est signal (...)

1[1.] La géométrie descriptive a deux objets : le premier, de donner les méthodes pour représenter sur une feuille de dessin qui n’a que deux dimensions, savoir, longueur et largeur, tous les corps de la nature qui en ont trois, longueur, largeur et profondeur, pourvu néanmoins que ces corps puissent être définis rigoureusement.

2Le second objet est de donner la manière de reconnaître, d’après une description exacte, les formes des corps et d’en déduire toutes les vérités qui résultent et de leur forme et de leurs positions respectives.

3Nous allons d’abord indiquer les procédés qu’une longue expérience a fait découvrir pour remplir le premier de ces deux objets ; nous donnerons ensuite la manière de remplir le second.

4[2.] Les surfaces de tous les corps de la nature pouvant être considérées comme composées de points, le premier pas que nous allons faire dans cette matière doit être d’indiquer la manière dont on exprime la position d’un point dans l’espace.

5L’espace est sans limites ; toutes ses parties sont parfaitement semblables, elles n’ont rien qui les caractérise et aucune d’elles ne peut servir de terme de comparaison pour indiquer la position d’un point.

6Ainsi, pour définir la position d’un point dans l’espace, il faut nécessairement rapporter cette position à quelques autres objets distincts des parties de l’espace qui les renferme, et qui soient eux-mêmes connus de position, tant de celui qui définit que de celui qui veut entendre la définition ; et pour que le procédé puisse devenir lui-même d’un usage facile et journalier, il faut que ces objets soient aussi simples qu’il est possible, et que leur position soit la plus facile à concevoir.

7[3.] Parmi tous les objets simples, nous allons rechercher quels sont ceux qui présentent plus de facilité pour la détermination de la position d’un point ; et parce que la géométrie n’offre rien de plus simple qu’un point, nous examinerons dans quel genre de considérations on serait entraîné, si, pour déterminer la position d’un point, on le rapportait à un certain nombre d’autres points dont la position serait connue ; enfin, pour mettre plus de clarté dans cette exposition, nous désignerons ces points connus par les lettres successives A, B, C, etc.

  • 1 Éditions ultérieures : « mètre » au lieu de « pied » dans toute la première leçon. L’adoption offi (...)

8Supposons d’abord que la définition de la position du point comporte qu’il soit un pied de distance du point connu A1.

9Tout le monde sait que la propriété de la surface de la sphère est d’avoir tous ses points à égale distance de son centre. Ainsi cette partie de la définition exprime que le point que l’on veut déterminer a la même propriété que tous ceux de la surface d’une sphère dont le centre serait au point A, et dont le rayon serait un pied. Mais les points de la surface de la sphère sont les seuls dans tout l’espace qui aient cette propriété ; car tous les points de l’espace qui sont au-delà de cette surface, par rapport au centre, sont plus éloignés du centre que d’un pied, et tous ceux qui sont entre cette surface et le centre sont, au contraire, moins éloignés du centre que d’un pied. Donc tous les points de la surface de la sphère, non seulement jouissent de la propriété énoncée dans la proposition, mais encore ils sont les seuls qui en jouissent. Donc enfin, cette proposition exprime que le point cherché est un de ceux de la surface d’une sphère dont le centre serait au point A, et dont le rayon serait un pied. Par là, ce point est actuellement distinct d’une infinité d’autres placés dans l’espace ; mais il est encore confondu avec tous ceux de la surface de la sphère ; il faut d’autres conditions pour le reconnaître parmi eux.

10Supposons ensuite que, d’après la définition de la position du point, il doive être à deux pieds de distance du second point connu B : il est évident qu’en raisonnant pour cette seconde condition comme pour la première, le point doit encore être un de ceux de la surface d’une seconde sphère, dont le centre serait au point B, et dont le rayon serait deux pieds. Ce point, devant se trouver en même temps et sur la surface de la première sphère et sur celle de la deuxième, ne peut plus être confondu qu’avec ceux qui sont communs aux deux surfaces et qui sont dans leur commune intersection : or, pour peu qu’on soit familiarisé avec les considérations géométriques, on sait que l’intersection des surfaces des deux sphères est la circonférence d’un cercle dont le centre est sur la droite qui joint ceux des deux sphères, et dont le plan est perpendiculaire à cette droite ; donc, en vertu des deux conditions réunies, le point cherché est actuellement distinct de ceux qui sont sur les surfaces des deux sphères, et il ne peut plus être confondu qu’avec ceux de la circonférence du cercle, qui jouissent tous des deux conditions énoncées, et qui en jouissent seuls. Il faut donc encore une troisième condition pour le distinguer.

11Supposons enfin que le point doive se trouver à trois pieds de distance d’un troisième point C, connu. Cette troisième condition le place parmi tous ceux de la surface d’une troisième sphère, dont le centre serait au point C et dont le rayon serait trois pieds. Et parce que nous avons vu qu’il doit être sur la circonférence d’un cercle connu de position pour satisfaire en même temps aux trois conditions, il faut qu’il soit un des points communs, et à la surface de la troisième sphère, et à la circonférence du cercle. Or, on sait qu’une circonférence de cercle et la surface d’une sphère ne peuvent se couper qu’en deux points ; donc, en vertu des trois conditions, le point se trouve distingué de tous ceux de l’espace et ne peut plus être que l’un des deux points déterminés ; en sorte qu’en indiquant, de plus, de quel côté il est placé par rapport au plan qui passe par les trois centres, ce point est absolument déterminé et ne peut plus être confondu avec aucun autre.

12On voit qu’en employant, pour déterminer la position d’un point dans l’espace, ses distances à d’autres points connus, et dont le nombre est nécessairement trois, l’on est entraîné dans des considérations qui ne sont pas assez simples pour servir de base à des procédés d’un usage habituel.

13[4.] Recherchons actuellement quelles seraient les considérations auxquelles on serait conduit, si, au lieu de rapporter la position d’un point à trois autres points connus, on le rapportait à des droites données de position.

14Nous ferons observer auparavant qu’une ligne droite ne doit jamais être considérée comme terminée et qu’elle peut toujours être indéfiniment prolongée dans l’un et dans l’autre sens.

15Pour simplifier, nous nommerons successivement A, B, C, etc., les droites que nous serons obligés d’employer.

16Si de la définition de la position du point, il résulte qu’il doive se trouver, par exemple, à un pied de distance de la première droite connue A, on énonce que ce point est l’un de ceux de la surface d’un cylindre à base circulaire dont l’axe serait la droite A, dont le rayon serait un pied et qui serait indéfiniment prolongé dans les deux sens de sa longueur ; car tous les points de cette surface jouissent de la propriété énoncée dans la définition et sont les seuls qui en jouissent. Par là, le point est distingué de tous les points de l’espace qui sont en dehors de la surface cylindrique ; il est pareillement distingué de tous ceux qui sont dans l’intérieur du cylindre, et il ne peut être confondu qu’avec ceux de la surface cylindrique, parmi lesquels on ne peut le distinguer qu’au moyen de conditions nouvelles.

  • 2 Cette dénomination, introduite en 1728 par Henri Pitot [Pitot, 1728], avait été reprise dès 1731 p (...)

17Supposons donc que le point cherché doive, en outre, être placé à deux pieds de distance de la seconde ligne droite B : on voit de même que par là on place ce point sur la surface d’un second cylindre à base circulaire dont l’axe serait la ligne droite B et dont le rayon serait deux pieds, mais avec tous les points de laquelle il est confondu, si l’on ne considère que la seconde condition seule. En réunissant ces deux conditions, il doit donc se trouver en même temps et sur la première surface cylindrique et sur la seconde : donc il ne peut être que l’un des points communs à ces deux surfaces, c’est-à-dire l’un de leur commune intersection. Cette ligne, sur laquelle doit se trouver le point, participe de la courbure de la surface du premier cylindre et de la courbure de celle du second, et est, en général, du genre de celles qu’on appelle courbes à double courbure2.

18Pour distinguer le point de tous ceux de cette ligne, il faut une troisième condition.

19Supposons enfin que la définition énonce que le point demandé doive encore être à trois pieds de distance d’une troisième ligne droite C.

20Cette nouvelle condition exprime qu’il est un de ceux de la surface d’un troisième cylindre à base circulaire, dont la troisième ligne droite C serait l’axe, et qui aurait trois pieds de rayon : donc, en réunissant les trois conditions, le point cherché ne peut plus être qu’un de ceux qui sont communs, et à la troisième surface cylindrique, et à la courbe à double courbure, intersection des deux premières. Or, cette courbe peut, en général, être coupée par la troisième surface cylindrique en huit points ; donc les trois conditions réduisent le point cherché à être l’un des huit points déterminés, et parmi lesquels on ne peut le distinguer que par quelques conditions particulières, du genre de celles dont nous avons donné un exemple dans le cas des points.

21On voit que les considérations auxquelles on est conduit pour déterminer la position d’un point dans l’espace, par la connaissance de ses distances à trois lignes droites connues, sont encore bien moins simples que celles auxquelles donnent lieu ses distances à trois points, et qu’ainsi elles peuvent encore moins servir de base à des méthodes qui doivent être d’un service fréquent.

22[5.] Parmi les objets simples que la géométrie considère, il faut remarquer principalement, 1) le point, qui n’a aucune dimension ; 2) la ligne droite, qui n’en a qu’une ; 3) le plan, qui en a deux. Recherchons s’il ne serait pas plus simple de déterminer la position d’un point, par la connaissance de ses distances à des plans connus, qu’il ne l’est d’employer ses distances à des points ou à des lignes droites.

23Supposons donc qu’il y ait dans l’espace des plans non parallèles connus de position et que nous désignerons successivement par les lettres A, B, C, D, etc.

24Si, d’après la définition de la position du point, il doit être, par exemple, à un pied de distance du premier plan A, sans qu’il soit exprimé de quel côté il doit être placé par rapport à ce plan, on énonce qu’il est un de ceux de deux plans parallèles au plan A, placés l’un d’un côté de ce plan, l’autre de l’autre, et tous deux à un pied de distance du premier : car tous les points de ces deux plans parallèles satisfont à la condition exprimée, et sont, de tous ceux de l’espace, les seuls qui y satisfassent.

25Pour distinguer, parmi tous les points de ces deux plans, celui dont on veut définir la position, il faut donc encore avoir recours à d’autres conditions.

26Supposons, en second lieu, que le point cherché doive être à deux pieds de distance du second plan B : par là, on le place sur deux plans parallèles au plan B, tous deux à deux pieds de distance de ce plan, l’un d’un côté, l’autre de l’autre. Pour satisfaire en même temps aux deux conditions, il faut donc qu’il se trouve, et sur l’un des plans parallèles au plan A, et sur l’un des deux plans parallèles au plan B ; et, par conséquent, qu’il soit l’un des points de la commune intersection de ces quatre plans. Or, la commune intersection de quatre plans parallèles deux à deux, et de position connue, est l’assemblage de quatre lignes droites également connues de position ; donc, en considérant en même temps ces deux conditions, le point n’est plus confondu avec tous ceux de l’espace, ni même avec tous ceux de quatre plans, mais seulement avec ceux de quatre lignes droites. Enfin, si le point doit être aussi à trois pieds de distance du troisième plan C, on exprime qu’il doit être l’un de ceux de deux autres plans parallèles au plan C, et placés de part et d’autre, par rapport à lui, à trois pieds de distance. Ainsi, en vertu des trois conditions, il doit être en même temps, et sur l’un des deux derniers plans, et sur l’une des quatre lignes droites, intersections des quatre premiers plans : il ne peut donc être que l’un des points communs et à l’un de ces deux plans et à l’une des lignes droites. Or, chacun des deux plans ayant un point commun avec chacune des quatre lignes droites, il y a huit points dans l’espace qui satisfont à la fois aux trois conditions : donc, par ces trois conditions réunies, le point demandé ne peut plus être que l’un des huit points déterminés, et parmi lesquels on ne peut le distinguer qu’au moyen de quelques conditions particulières.

27Par exemple, si, en indiquant la distance au premier plan A, l’on exprime aussi dans quel sens, par rapport à ce plan, la distance doit être prise, au lieu de deux plans parallèles au plan A, il n’y en a plus qu’un qu’il faille considérer, c’est celui qui est placé, par rapport à lui, du côté vers lequel la distance doit être mesurée. De même, si l’on indique dans quel sens, par rapport au second plan, la distance doit être prise, on exclut la considération d’un des deux plans parallèles au second, et il n’y en a plus qu’un dont tous les points satisfassent à la seconde condition ; et en réunissant ces conditions, le point ne peut plus être sur les quatre droites d’intersection de quatre plans parallèles deux à deux, mais seulement sur l’intersection de deux plans, c’est-à-dire sur une ligne droite connue de position. Enfin, si l’on indique aussi de quel côté le point doit être placé par rapport au troisième plan, de deux plans parallèles au troisième, il n’y en aura plus qu’un dont tous les points satisfassent à la dernière condition ; et pour satisfaire en même temps à ces trois conditions, le point devra se trouver à l’intersection de ce troisième plan avec la droite unique, intersection des deux premiers. Il ne pourra donc plus être confondu avec aucun autre dans l’espace et il sera par conséquent entièrement déterminé.

28On voit donc que, quoique, par rapport au nombre de ses dimensions, le plan soit un objet moins simple que la ligne droite qui n’en a qu’une et que le point qui n’en a pas, il présente cependant plus de facilité que le point et la ligne droite pour la détermination d’un point dans l’espace : c’est ce procédé que l’on emploie ordinairement dans l’application de l’algèbre à la géométrie, où, pour chercher la position d’un point, on a coutume de chercher ses distances à trois plans connus de position.

  • 3 Bien que Monge ne cite le nom d’aucun de ses prédécesseurs, cette phrase montre clairement qu’il n (...)

29Mais dans la géométrie descriptive, qui a été pratiquée depuis beaucoup plus longtemps par un beaucoup plus grand nombre d’hommes et par des hommes dont le temps était précieux, les procédés se sont encore simplifiés3 ; et, au lieu de la considération de trois plans, on est parvenu, au moyen des projections, à n’avoir plus besoin explicitement que de celle de deux.

30[6.] On appelle projection d’un point sur un plan, le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan.

31Cela posé, si l’on a deux plans connus de position dans l’espace, et si l’on donne, sur chacun de ces plans, la projection du point dont on veut définir la position, ce point sera parfaitement déterminé.

32En effet, si, par la projection sur le premier plan, l’on conçoit une perpendiculaire à ce plan, il est évident qu’elle passera par le point défini ; de même si, par sa projection sur le second plan, l’on conçoit une perpendiculaire sur ce plan, elle passera de même par le point défini : donc ce point sera en même temps sur deux lignes droites connues de position dans l’espace ; donc il sera le point unique de leur intersection ; donc enfin, il sera parfaitement déterminé.

  • 4 Éditions ultérieures : « Dans les paragraphes suivants... ».

33Dans la séance suivante4, on indiquera les moyens de rendre ce procédé d’un usage facile, et de nature à être employé sur une seule feuille de dessin.

Notes

* La division en parties et articles numérotés, introduite dans les éditions ultérieures, est signalée entre crochets.

1 Éditions ultérieures : « mètre » au lieu de « pied » dans toute la première leçon. L’adoption officielle du système métrique est décrétée par la Convention le 11 ventôse an III (1er mars 1795), c’est-à-dire deux mois et demi à peine après cette leçon.

2 Cette dénomination, introduite en 1728 par Henri Pitot [Pitot, 1728], avait été reprise dès 1731 par A. C. Clairaut dans le titre de son premier ouvrage [Clairaut, 1731].

3 Bien que Monge ne cite le nom d’aucun de ses prédécesseurs, cette phrase montre clairement qu’il ne revendique pas le mérite d’avoir créé la géométrie descriptive. Voir à ce sujet l’annexe 5 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

4 Éditions ultérieures : « Dans les paragraphes suivants... ».

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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