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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Lagrange

Cinquième leçon

22 germinal / 11 avril

Texte intégral

1Tant que l’algèbre et la géométrie ont été séparés, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés ; mais, lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marché ensemble d’un pas rapide vers la perfection. C’est à Descartes qu’on doit l’application de l’algèbre à la géométrie, application qui est devenue la clef des plus grandes découvertes dans toutes les branches des mathématiques. La méthode que je vous ai exposée dernièrement, pour trouver et démontrer plusieurs propriétés générales des équations par la considération des courbes qui les représentent, est proprement une espèce d’application de la géométrie à l’algèbre, et, comme cette méthode a des usages très étendus et peut servir à résoudre facilement des problèmes dont la solution directe serait très difficile ou même impossible, je crois devoir vous en entretenir encore dans cette séance, d’autant plus qu’on ne la trouve guère dans les éléments ordinaires d’algèbre.

2Vous avez vu comment une équation d’un degré quelconque peut se résoudre par le moyen de la courbe dont les abscisses représentent l’inconnue de l’équation et dont les ordonnées sont égales à la valeur du premier membre de l’équation, pour chaque valeur qu’on donne à l’inconnue. Il est clair que cette méthode peut s’appliquer en général à toutes les équations, quelle que soit leur forme, et qu’elle ne demande pas que l’équation soit développée et ordonnée par rapport aux différentes puissances de l’inconnue. Il suffit donc que tous les termes de l’équation soient dans un seul membre, en sorte que l’autre membre soit égal à zéro ; alors, en prenant de même l’inconnue pour l’abscisse x, et la fonction de l’inconnue, c’est-à-dire la quantité composée de cette inconnue et des connues laquelle forme l’un des membres de l’équation, pour l’ordonnée ; la courbe décrite d’après ces ordonnées x et y, donnera par ses intersections avec l’axe, les valeurs de x qui seront les racines cherchées de l’équation donnée. Et comme le plus souvent on n’a pas besoin de connaître toutes les valeurs possibles de l’inconnue, mais seulement celles qui peuvent résoudre le problème dans le cas dont il s’agit ; il suffira de décrire la portion de courbe qui pourra répondre à ces valeurs, ce qui épargnera beaucoup de calculs inutiles. On pourra même de cette manière juger d’abord par la figure de la courbe si le problème a des solutions possibles conformément aux circonstances qui peuvent les limiter.

  • 1 On remarquera que cet exemple est de type identique à celui que Laplace a développé dans sa quatri (...)

3Supposons, par exemple, que l’on demande de trouver sur la ligne qui joint deux lumières dont l’intensité est donnée le point qui recevra une quantité de lumière donnée, en partant de ce principe de physique que l’effet d’une lumière décroît dans le même rapport que le carré de la distance augmente1.

4Nommons a la distance entre les deux lumières, et x la distance du point cherché à l’une des lumières dont l’intensité ou la quantité de lumière à la distance MN = 1 soit M, celle de l’autre lumière étant N ; on aura et M/x2 et N/(a x)2 pour exprimer les effets de ces deux lumières sur le point en question ; de sorte que, désignant l’effet total donné par A, on aura l’équation

5On considérera donc la courbe dont l’équation sera M/x2+N/(ax)2A = y ; et l’on verra d’abord qu’en donnant à x une valeur très petite, positive ou négative, le terme A/x2 deviendra très grand positif, parce qu’une fraction augmente d’autant plus que son dénominateur diminue, de sorte qu’il sera infini au point où x = 0 ; ensuite croissant, le terme M/x2 ira en diminuant ; mais l’autre terme N/(a-x)2, qui était N/a2 lorsque x = 0, augmentera continuellement, jusqu’à devenir très grand ou infini lorsque x aura une valeur très voisine de a ou égale à a.

6Si donc la somme des deux termes peut devenir moindre que la quantité donnée A, en donnant à x des valeurs depuis 0 jusqu’à a, la valeur de y qui était d’abord très grande positive, deviendra négative et redeviendra très grande positive. Par conséquent, la courbe coupera l’axe deux fois entre les deux lumières, et le problème aura deux solutions. Ces deux solutions se réduiront à une seule si la plus petite valeur de M/x2+N/(ax)2 était exactement égale à A, et elles deviendront imaginaires si cette valeur était plus grande que A, parce qu’alors la valeur de y serait toujours positive depuis x = 0 jusqu’à x = a ; d’où l’on voit que, si c’est une condition du problème que le point demandé tombe entre les deux lumières, il est possible que le problème n’ait aucune solution ; mais, si le point peut tomber sur le prolongement de la ligne qui joint les deux lumières, nous allons voir que le problème est toujours résoluble de deux M manières. En effet, en supposant x négatif, il est visible que le terme M/x2 restera toujours positif, et, de très grand qu’il est près du point où x = 0, il ira toujours en diminuant, lorsque x croîtra jusqu’à devenir très petit ou nul lorsque x sera très grand ou infini ; l’autre terme N/(ax)2 sera d’abord = N/a2 et ira aussi en diminuant jusqu’à devenir nul lorsque x sera devenu infini négatif. Il en sera de même en supposant x positif, et plus grand que ; car, lorsque x = a, le terme N/(ax)2 sera infini, ensuite il ira en diminuant jusqu’à devenir nul lorsque x sera infini, et l’autre terme M/x2sera d’abord = M/a2 et ira aussi en diminuant jusqu’à zéro à mesure que x croîtra. Donc, quelle que soit la valeur de la quantité A, il est visible que les valeurs de y passeront nécessairement du positif au négatif, tant pour les x négatives que pour les x plus grandes que a. Ainsi il y aura une valeur négative de x et une valeur positive plus grande que a, qui résoudront le problème dans tous les cas. On les trouvera par la méthode générale en rapprochant successivement les valeurs de x, qui donneront des valeurs de y de signe contraire. A l’égard des valeurs de x moindres que a, nous avons vu que la réalité de ces valeurs dépend de la plus petite valeur de la quantité M/x2+N/(ax)2. On verra dans le calcul différentiel comment on détermine les plus petites et les plus grandes valeurs d’une quantité variable ; nous nous contenterons de remarquer ici que la quantité dont il s’agit sera la plus petite ou un minimum, lorsque x/(ax) = 3√M/N, de sorte qu’on aura x = a3M/(3M +3N), et de là on trouvera, pour la plus petite valeur de la quantité dont s’agit, (3M+3N)3/a2 ; par conséquent, il y aura deux valeurs réelles de x si cette quantité est moindre que A ; mais ces valeurs seront imaginaires si elle est plus grande. Le cas de l’égalité donnera deux valeurs de x égales entre elles. Je me suis un peu étendu sur l’analyse de ce problème qui n’est au reste que de pure curiosité, parce qu’elle peut servir pour tous les cas semblables.

7L’équation du problème précédent étant délivrée des fractions sera de cette forme

8Ax2(ax)2M(ax)2Nx2 = 0,

9laquelle étant développée et ordonnée montera au quatrième degré et aura par conséquent quatre racines ; ainsi, par l’analyse que nous venons de donner, on pourra connaître tout de suite la nature de ces racines. Comme il peut résulter de là une méthode applicable à toutes les équations du quatrième degré, nous allons en dire un mot en passant. Soit donc l’équation générale

10x4 + px2 + qx + r = 0 ;

11on a déjà vu que, si son dernier terme est négatif, elle aura nécessairement deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative ; mais, si ce terme est positif, on n’en peut rien conclure en général sur la nature de ses racines. Qu’on donne à cette équation la forme

12(x2a2)2 + b(x + a)2 + c(xa)2 = 0

13laquelle étant développée devient

14x4 + (b + c – 2a2)x2 + 2a(bc)x + a4 + a2(b + c) = 0

15d’où l’on tire, en comparant les termes,

16b + c – 2a2 = p, 2a(bc) = q, a4 +a2, (b + c) = r ;

17et de là

18b + c = p + 2a2, bc = q/2a, 3a4 = pa2 = r ;

19de sorte qu’en résolvant cette dernière équation on aura

20Or nous supposons ici r positif, donc a2 sera réel positif et par conséquent a réel donc aussi b et c seront réels.

21Ayant donc déterminé de cette manière les trois quantités a, b, c, on aura la transformée

22(x2a2)2 + b(x + a)2 + c(xa)2 = 0

23Si on fait le second membre de cette équation = y et qu’on considère la courbe dont x seront les abscisses et y les ordonnées, il est d’abord visible que, lorsque b et c seront des quantités positives, cette courbe sera toute au-dessus de l’axe, par conséquent l’équation n’aura aucune racine réelle. Supposons en second lieu que b soit une quantité négative et c une quantité positive, alors x = a donnera y = 4 ba2, quantité négative, ensuite x très grand positif et négatif donneront y très grand positif ; d’où il est aisé de conclure que l’équation aura deux racines réelles, l’une plus grande que a, et l’autre moindre que – a. On trouvera de même que, si b est positif et c négatif, l’équation aura deux racines réelles, l’une plus grande et l’autre moindre que a. Enfin si b et c sont tous les deux négatifs, alors y sera négatif en faisant x = a et x = – ; ensuite il sera positif très grand pour x très grand positif ou négatif. D’où l’on conclura encore qu’il y aura deux racines réelles, l’une plus grande que a, l’autre moindre que – a. On pourrait pousser ces considérations plus loin, mais nous ne nous y arrêterons pas davantage quant à présent.

24On a vu par l’exemple précédent que la considération de la courbe ne demande pas que l’équation soit délivrée des expressions fractionnaires ; on doit dire la même chose relativement aux expressions radicales, il y a même un avantage à y conserver ces expressions telles que l’analyse du problème les donne ; c’est qu’on peut n’avoir égard qu’aux signes des radicaux qui conviendront aux circonstances particulières de chaque problème, au lieu qu’en faisant disparaître les fractions et les radicaux pour avoir l’équation ordonnée suivant les différentes puissances entières de l’inconnue, on introduit souvent des racines étrangères à la question proposée ; il est vrai que ces racines appartiennent toujours à la même question considérée dans toute son étendue, mais cette richesse de l’analyse algébrique, quoique très précieuse en elle-même et sous un point de vue général, devient incommode et onéreuse dans les cas particuliers où l’on ne peut par les méthodes directes, trouver la solution dont on a besoin, indépendamment de toutes les autres solutions possibles. Lorsque l’équation qui résulte immédiatement des considérations du problème renferme des radicaux dont le signe est essentiellement ambigu, la courbe de cette équation (en y faisant le membre qui doit être zéro égal à l’ordonnée y) aura nécessairement autant de branches qu’il pourra y avoir de combinaisons différentes de ces signes et pour la solution complète, il faudrait considérer chacune de ces branches ; mais cette généralité peut être restreinte par les conditions particulières du problème qui déterminent la branche où la solution doit se trouver ; alors on a l’avantage de ne point faire de calculs inutiles, et cet avantage n’est pas un des moindres qu’offre la méthode de résoudre les équations par la considération des courbes.

25Mais cette méthode peut être encore généralisée et rendue indépendante de l’équation même du problème. Il suffit, pour pouvoir l’employer, de considérer les conditions du problème en elles-mêmes, de donner à l’inconnue différentes valeurs arbitraires, et de déterminer d’après ces conditions, soit par le calcul ou par une construction, les erreurs qui en résultent. Ces erreurs étant regardées comme ordonnées y d’une courbe dont les abscisses x seraient les valeurs correspondantes de l’inconnue, il en résultera une courbe continue qu’on appellera la courbe des erreurs, et qui par ses intersections avec l’axe, donnera également toutes les solutions du problème. Ainsi si l’on trouve deux erreurs successives, l’une en excès et l’autre en défaut, c’est-à-dire l’une positive et l’autre négative ; on en concluera sur le champ qu’entre ces deux valeurs correspondantes de l’inconnue, il y en aura une pour laquelle l’erreur sera nulle, et dont on pourra approcher aussi près qu’on voudra par des substitutions successives, ou même aussi par la description mécanique de la courbe.

26Cette manière de résoudre les questions par les courbes des erreurs est une des plus utiles qu’on ait imaginées ; elle est d’un usage continuel en astronomie, où les solutions directes seraient trop difficiles et souvent impossibles ; elle peut servir à résoudre des problèmes importants de géométrie et de mécanique, et même de physique ; c’est à proprement parler la règle de fausse position prise dans le sens le plus général et rendue applicable à toutes les questions où il y a une inconnue à déterminer. Elle peut s’appliquer aussi à celles qui dépendent de deux ou plusieurs inconnues, en donnant successivement à ces inconnues différentes valeurs arbitraires et en calculant les erreurs qui en résultent, pour les lier par différentes courbes ou les réduire en tables. De sorte que par cette méthode on peut parvenir immédiatement à la solution cherchée sans aucune élimination préliminaire des inconnues.

27Nous allons en faire voir l’usage par quelques exemples. On demande un cercle dans lequel on puisse inscrire un polygone dont tous les côtés soient donnés. Ce problème mis en équation monterait à un degré d’autant plus haut que le nombre des côtés donnés serait plus grand. Pour le résoudre par la méthode dont nous venons de parler, on décrira d’abord un cercle à volonté, comme ABCD (fïg. 3), et l’on portera dans ce cercle les côtés donnés AB, BC, CD, DE, EF du polygone que je suppose ici pour plus de simplicité un pentagone. Si l’extrémité F du dernier côté tombait en A, le problème serait résolu ; mais, comme il est très difficile que cela arrive du premier coup, on portera sur une ligne droite PR (fig. 4), le rayon PA du cercle, et l’on élèvera au point A la perpendiculaire AF égale à la corde AF de l’axe AF, dans lequel consiste l’erreur de la supposition qu’on a faite sur la longueur du rayon PA. Comme cette erreur est un excès, il faudra décrire un cercle d’un rayon plus grand et faire la même opération, et ainsi de suite, en essayant des cercles de différentes grandeurs. Ainsi, le cercle dont le rayon est PA' donnera l’erreur F' A', laquelle, tombant de l’autre côté du point A', devra être censée négative ; par conséquent, dans la figure 4, à l’abscisse PA', il faudra appliquer l’ordonnée A'F' au-dessous de l’axe. De cette manière on aura plusieurs points F, F', qui seront dans une courbe dont l’intersection R avec l’axe PA', donnera le vrai rayon PR du cercle qui satisfera à la question, et l’on trouvera cette intersection en resserrant successivement les points de la courbe qui se trouveront de côté et d’autre de l’axe, comme F et F',...

28D’un point dont la position est inconnue, on a observé trois objets dont les distances respectives sont connues et on a déterminé les trois angles formés par les rayons visuels menés de l’œil de l’observateur à ces trois objets. On demande la position du lieu de l’observateur par rapport aux mêmes objets.

29Si on lie les trois objets par des lignes droites, il est visible que ces trois droites avec les trois rayons visuels formeront une pyramide triangulaire dont la base sera donnée, ainsi que les trois angles qui forment l’angle solide du sommet auquel l’observateur est supposé placé, et la question sera réduite à déterminer les dimensions de cette pyramide.

30Comme la position d’un point dans l’espace est entièrement déterminée par ses trois distances à trois points donnés, il est clair que le problème sera résolu. Si on détermine les trois distances du point où est l’observateur à chacun des trois objets. Or, en prenant ces distances pour inconnues, on aurait trois équations du second degré qui par l’élimination donneraient une équation finale du huitième degré ; mais en prenant pour inconnues une des distances et les rapports des deux autres à celle-ci, l’équation finale ne sera que du quatrième degré. On pourrait donc résoudre ce problème rigoureusement par les méthodes connues ; mais la solution directe étant compliquée et peu commode pour la pratique, voici celle qu’on pourra trouver par la courbe des erreurs.

31Soient faits (fig. 5) les trois angles successifs APB, BPC, CPD ayant le même sommet P, égaux respectivement aux angles observés entre le premier objet et le second, entre le second et le troisième, et entre le troisième et le premier ; et soit d’abord prise la droite PA à volonté pour représenter la distance de l’observateur au premier objet ; comme la distance de cet objet au second est supposée connue, si elle est égale à la ligne AB, on la portera en AB et l’on aura ainsi la distance BP du second objet à l’observateur. De même, on portera en BC la distance BC du second objet au troisième et l’on aura la distance PC de cet objet à l’observateur. Maintenant, si l’on porte en CD la distance du troisième objet au premier, on aura de nouveau PD pour la distance du premier objet à l’observateur ; par conséquent il faudra, pour que la première distance supposée soit exacte, que les deux lignes PA, PD soient égales. Prenant donc sur la ligne PA, prolongée s’il est nécessaire, la partie PE = PD, si le point E ne tombe point en A, la différence EA sera l’erreur de la première supposition PA. Ayant tiré (fig. 6) la droite PR, on y prendra depuis le point fixe P l’abscisse PA et on y appliquera à angle droit l’ordonnée EA ; on aura le point E de la courbe ERS des erreurs. En prenant d’autres distances à la place de PA et en faisant la même construction, on trouvera d’autres erreurs qu’on appliquera de même sur la ligne PR et qui donneront d’autres points de la même courbe.

32On pourra donc décrire ainsi cette courbe par plusieurs points, et le point R où elle coupera l’axe PR donnera la distance PR dont l’erreur sera nulle et qui sera par conséquent la véritable distance de l’observateur au premier objet ; cette distance étant connue on aura les deux autres par la même construction.

33Il est bon de remarquer que la construction dont il s’agit donne par chaque point A de la ligne PA, deux points B et B’ dans la ligne PB ; car, puisque la distance AB est donnée, pour trouver le point B il n’y a qu’à décrire du point A comme centre, et avec le rayon AB, un arc de cercle qui coupera la droite PB en deux points B et B’, lesquels satisferont tous les deux aux conditions du problème. De la même manière chacun de ces points en donnera deux sur la droite PC et chacun de ceux-ci en donnera aussi deux sur la droite PD. D’où il suit que chaque point A pris sur la première droite PA en donnera généralement huit sur la droite PD, qu’il faudra donc considérer séparément et successivement pour avoir toutes les solutions possibles. J’ai dit généralement, car il est possible 1) que les deux points B, B’ se réunissent en un seul, ce qui aura lieu lorsque le cercle décrit du centre A avec le rayon AB touchera la droite PB ; 2) que ce cercle ne coupe point la droite PB, auquel cas le reste de la construction devient impossible et il faudra dire la même chose des points C, D. Ainsi en menant la ligne GF parallèle à BP et éloignée de celle-ci d’une distance égale à la ligne donnée AB, le point F où elle coupera la ligne PE prolongée s’il est nécessaire, sera la limite au-delà de laquelle il ne faudra point prendre les points A pour avoir des solutions possibles. On aura de même des limites pour les points B et C, lesquelles serviront à restreindre les suppositions primitives qu’on pourrait faire sous la distance PA.

34Les huit points D qui dépendent en général de chaque point A répondent aux huit solutions dont le problème est susceptible, et lorsqu’on n’a aucune donnée particulière par laquelle on puisse déterminer laquelle de ces solutions convient au cas proposé, il est indispensable de les chercher toutes en employant pour chacune des huit combinaisons, une courbe particulière des erreurs. Mais, si on sait, par exemple, que la distance de l’observateur au second objet est plus grande ou plus petite que sa distance au premier, il ne faudra prendre alors dans la ligne PB que le point B dans le premier cas, ou le point B dans le second, ce qui diminuera les huit combinaisons de moitié. Si l’on avait la même donnée sur le troisième objet, relativement au second, et sur le premier, relativement au troisième, alors les points C et D seraient déterminés et l’on n’aurait qu’une solution unique.

35Ces deux exemples peuvent suffire pour montrer l’usage de la méthode des courbes dans la résolution des problèmes. Mais cette méthode que nous n’avons présentée que d’une manière pour ainsi dire, mécanique, peut aussi être soumise à l’analyse.

  • 2 Voir l’annexe 10 : Sur l’interpolation.

36En effet, tout se réduit à décrire ou faire passer une courbe par plusieurs points, soit que ces points soient donnés par le calcul ou par une construction, ou même par des observations ou des expériences isolées et indépendantes les unes des autres. Ce problème est, à la vérité, indéterminé, car on peut à la rigueur faire passer, par des points donnés, une infinité de courbes différentes, régulières ou irrégulières, c’est-à-dire, soumises à des équations, ou tracées arbitrairement à la main, mais il ne s’agit pas de trouver des solutions quelconques, mais les plus simples et les plus aisées à employer2.

37Ainsi, s’il n’y avait que deux points donnés, la solution la plus simple serait une ligne droite, qu’on mènerait par ces points. S’il y a trois points, on pourrait faire passer par ces points, un arc de cercle qui est, après la droite, la ligne la plus facile à décrire.

38Mais si le cercle est la courbe la plus simple par sa description, elle ne l’est pas par son équation entre les abscisses et les ordonnées rectangles. Sous ce dernier point de vue, on peut regarder, comme les plus simples les courbes dont l’ordonnée est exprimée par une fonction entière et rationnelle de l’abscisse, telle que y = a + bx + cx2 + dx3 +..., y étant l’ordonnée et x l’abscisse. Ces sortes de courbes s’appellent en général parabolique parce qu’on peut les regarder comme une généralisation de la parabole qui a lieu lorsque l’équation n’a que les trois premiers termes. Nous en avons déjà montré l’usage dans la résolution des équations ; mais leur considération est toujours utile dans la gradation approchée des courbes ; car on peut toujours faire passer une courbe de ce genre par tant de points qu’on voudra d’une courbe proposée, puisqu’il n’y a qu’à prendre autant de coefficients indéterminés a, b, c,... qu’il y a de points proposés et déterminer ces coefficients de manière que les abscisses et les ordonnées, pour ces points, soient données. Or, il est clair que, quelle que puisse être la courbe proposée, la courbe parabolique ainsi tracée en diffèrera toujours, d’autant moins que le nombre des points donnés sera plus grand et leur distance moindre.

39Newton est le premier qui se soit proposé ce problème ; voici la solution qu’il en donne :

40Soient P, Q, R, S, les valeurs des ordonnées y qui répondent aux valeurs p, q, r, s, des abscisses x ; on aura les équations suivantes :

41le nombre de ces équations devant être égal à celui des coefficients indéterminés a, b, c,... Soustrayant ces équations l’une de l’autre, les restes seront divisibles par pq, rq, et l’on aura, après la division ;

42Soit QP/qp = Q1, RQ/rq = R1, SR/sr = S1, on trouvera de la même manière, par la soustraction et la division,

43Soit de même R1 – Q1/r – q = R2, S1 – R1/sq = S2, on trouvera S2 – R2/sr = d +..., et ainsi de suite.

  • 3 C’est ce que nous appelons aujourd’hui le « polynôme d’interpolation de Lagrange » (Annexe 10 : Su (...)

44On trouve, de cette manière, les valeurs des coefficients a, b, c, à commencer par les dernières, et les substituant dans l’équation générale y = a + bx + ex2 + dx3 +..., il viendra, après les réductions, cette formule3, qu’il est aisé de continuer aussi loin qu’on voudra,

45y = P + Q1(xp) + R2(xp)xq + S3(xp)(xq)(xr) +….

46Mais on peut réduire cette solution à une plus grande simplicité par la considération suivante.

47Puisque y doit devenir P, Q, R, lorsque x devient p, q, r,... Il est aisé de voir que l’expression de y sera de cette forme

48y + AP + BQ + CR + DS +…,

49où les quantités A, B, C, doivent être exprimées en x, de manière qu’en faisant x = p on ait A = 1, B = 0, C = 0, que de même en suivant x = q, on ait A = 0, B – 1, C = 0, D = 0,... ; qu’en faisant x = r, on ait pareillement A = 0, B = 0, C = 1, D = 0,... ; d’où il est facile de conclure que les valeurs de A, B, C, doivent être de cette forme

50En prenant autant de facteurs dans les numérateurs et dans les dénominateurs qu’il y aura de points donnés de la courbe, moins un.

51Cette dernière expression de y, quoique sous une forme différente, revient cependant au même, comme on peut s’en assurer par le calcul en développant les valeurs des quantités Q1, R2, S3..., et en ordonnant les termes suivant les quantités P, Q, R,... ; mais elle est préférable par la simplicité de l’analyse sur laquelle elle est fondée et par sa forme même qui est beaucoup plus commode pour le calcul.

52On pourra donc, par cette formule qu’il ne serait pas difficile de réduire à une construction géométrique, trouver la valeur de l’ordonnée y par une abscisse quelconque x d’après les ordonnées connues P, Q, R,... pour les abscisses données p, q, r,... Ainsi, ayant plusieurs termes d’une série quelconque, on pourra trouver tel terme intermédiaire qu’on voudra, ce qui est fort utile pour remplir les lacunes qui pourraient se trouver dans des suites d’observations ou d’expériences, ou dans des tables calculées par des formules ou des constructions données.

53Si maintenant on applique cette théorie aux deux exemples proposés ci-dessus et aux exemples semblables dans lesquels on a les erreurs qui répondent à différentes suppositions, on pourrait trouver directement l’erreur y qui répondrait à une supposition quelconque intermédiaire x, en prenant les quantités P, Q, R,... pour les erreurs trouvées et p, q, r,... pour les suppositions d’où elles résultent. Mais dans ces exemples la question étant de trouver, non pas l’erreur qui répond à une supposition donnée, mais la supposition dont l’erreur serait nulle ; il est clair que cette question est l’inverse de la précédente et qu’elle peut se résoudre aussi par la même formule en prenant réciproquement les quantités p, q, r,... pour les erreurs, et les quantités P, Q, R,... pour les suppositions correspondantes. Alors x sera l’erreur de la supposition y ; par conséquent, en faisant x = 0, la valeur de y sera celle de la supposition, donc l’erreur sera nulle.

54Soient donc P, Q, R,... les valeurs de l’inconnue dans les différentes suppositions, et p, q, r,... les erreurs qui résultent de ces suppositions, en donnant à ces quantités les signes convenables ; alors on aura pour la valeur de l’inconnue, dont l’erreur sera nulle, l’expression AP + BQ + CR +..., dans laquelle les valeurs de A, B, C,... seront

55en prenant autant de facteurs qu’il y aura de suppositions, moins un.

Notes

1 On remarquera que cet exemple est de type identique à celui que Laplace a développé dans sa quatrième séance : « Deux lumières, dont l’une est quatre fois plus intense que l’autre, étant séparées par un intervalle de trois pieds, déterminer sur la droite qui les joint, le point qu’elles éclairent également. » Laplace devait donc résoudre l’équation 1/x2 = 4/(3 – x2).
Lagrange complique un peu le problème, et il va très longuement le résoudre.

2 Voir l’annexe 10 : Sur l’interpolation.

3 C’est ce que nous appelons aujourd’hui le « polynôme d’interpolation de Lagrange » (Annexe 10 : Sur l’interpolation).

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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