Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

 | 
Jean Dhombres

Leçons de Lagrange

Quatrième leçon

6 germinal / 26 mars

Texte intégral

1Vous avez vu comment on peut résoudre les équations du second, du troisième et du quatrième degré ; le cinquième degré présente une espèce de barrière que les efforts des analystes n’ont pu encore forcer ; et la résolution générale des équations est une des choses qui restent encore à désirer en algèbre. Je dis en algèbre, car si dès le troisième degré, l’expression analytique des racines est insuffisante pour faire connaître leur valeur numérique dans tous les cas, à plus forte raison le serait-elle dans les degrés supérieurs ; et on serait toujours forcé d’avoir recours à d’autres moyens pour déterminer en nombres les valeurs des racines d’une équation donnée, ce qui est en dernier résultat l’objet de la solution de tous les problèmes que les besoins ou la curiosité offrent à résoudre.

2Je me propose ici de vous exposer les principaux moyens que l’on a imaginés pour remplir cet objet important. Considérons une équation quelconque du degré m, représentée par la formule

3xm + pxm – 1 + qxm – 2 + rxm – 3 +... + u = 0,

4dans laquelle x soit l’inconnue, p, q, r,... des coefficients connus positifs ou négatifs, et u le dernier terme sans x et connu aussi ; nous supposerons que les valeurs de ces coefficients soient données en nombres ou en lignes, ce qui revient au même, car, en prenant une ligne donnée pour unité ou mesure commune de toutes les autres, on pourra les évaluer toutes en nombres ; il est clair que cette supposition a toujours lieu lorsque l’équation est le résultat d’un problème réel et déterminé. Le but qu’on se propose, est de trouver la valeur ou les valeurs de x, s’il y en a plusieurs qui satisfont à cette équation, c’est-à-dire qui rendent la somme de tous ses termes nulle ; alors toutes les autres valeurs qu’on pourrait donner à x rendront cette même somme égale à une quantité positive ou négative, et, comme il n’entre dans l’équation que des puissances entières de x, il est clair que toute valeur réelle de x donnera aussi pour la quantité dont il s’agit, une valeur réelle. Plus cette valeur approchera d’être nulle, plus la valeur de x qui l’aura produite, approchera d’être une racine de l’équation, et si l’on trouve deux valeurs de x dont l’une rende la somme de tous les termes égale à une quantité positive, et l’autre à une quantité négative, on pourra être assuré d’avance qu’entre ces deux valeurs il y en aura au moins nécessairement une qui la rendra égale à zéro, et qui sera par conséquent une racine de l’équation.

  • 1 On voit que Lagrange considère ici le théorème des valeurs intermédiaires comme un résultat intuit (...)

5En effet, désignons en général par P la somme de tous les termes de l’équation qui ont le signe plus, et par Q la somme de tous les termes qui ont le signe moins, en sorte que l’équation soit représentée par PQ = 0 ; supposons, pour plus de facilité, que les deux valeurs de x soient positives, A la plus petite, B la plus grande, et que la substitution de A à la place de x donne un résultat négatif, et la substitution de B un résultat positif, c’est-à-dire que la valeur de PQ devienne négative lorsqu’on y fait x = A, et positive lorsque1 x = B.

6Donc lorsque x = A, P sera moindre que Q, et lorsque x = B, P sera plus grand que Q. Or, par la forme des quantités P et Q, qui ne contiennent que des termes positifs et des puissances entières et positives de x, il est clair que ces quantités augmentent continuellement à mesure que x augmente, et qu’en faisant augmenter x par tous les degrés insensibles, depuis A jusqu’à B, elles augmenteront aussi par degrés insensibles, mais de manière que P augmentera plus que Q, puisque de plus petite qu’elle était, elle devient la plus grande. Donc il y aura nécessairement un terme entre les deux valeurs A et BP égalera Q comme deux mobiles qu’on suppose parcourir une même droite, et qui, partant à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points, mais de manière que celui qui était d’abord en arrière se trouve ensuite plus avancé que l’autre ; ils doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. Cette valeur de x, qui rendra P égal à Q, sera donc une des racines de l’équation et tombera nécessairement entre les deux valeurs A et B.

7On pourra faire un raisonnement semblable sur les autres cas, et l’on parviendra toujours au même résultat.

8On démontre aussi la proposition dont il s’agit par la considération seule de l’équation, en la regardant comme formée du produit des facteurs xa, xb, xc, etc., a, b, c, etc., étant les racines, car il est évident que ce produit ne peut changer de signe par la substitution de deux valeurs différentes de x qu’autant qu’il y aura au moins un des facteurs qui changera de signe, et même il est aisé de voir que si plus d’un facteur changeait de signe, il faudrait que le nombre en fût impair, ainsi si A et B sont les deux valeurs de x qui rendent le facteur xb, par exemple, de signe différent, il faudra que si A est plus grand que b, B soit plus petit, ou réciproquement ; donc la racine b tombera nécessairement entre les deux quantités A et B.

9A l’égard des racines imaginaires, s’il y en a dans l’équation, comme il est démontré qu’elles sont toujours deux à deux de la forme f + g √–1, fg √–1, si a et b sont imaginaires, le produit des facteurs x - a et x – b sera

10(xfg √–1)(xf + g √–1) = (x – f)2 + g2,

  • 2 A propos du cercle vicieux sur les démonstrations du théorème des valeurs intermédiaires et du thé (...)

11quantité toujours positive, quelque valeur qu’on donne à x. D’où il suit que les changements de signe ne peuvent venir que des racines réelles. Mais comme le théorème sur la forme des racines imaginaires ne se démontre rigoureusement qu’au moyen de cet autre théorème, que toute équation d’un degré impair a nécessairement une racine réelle, théorème dont la démonstration générale dépend elle-même de la proposition qu’il s’agit de démontrer, il s’ensuit que cette démonstration peut être regardée comme une espèce de cercle vicieux2 et qu’il était nécessaire d’y en substituer une autre à l’abri de toute atteinte.

12Mais il y a une manière plus générale et plus simple de considérer les équations, laquelle a l’avantage de faire voir à l’œil même les propriétés principales des équations. Elle est fondée par une espèce d’application de la géométrie à l’algèbre qui mérite d’autant plus de vous être exposée qu’elle a des usages très étendus dans toutes les parties des mathématiques.

13Reprenons l’équation générale proposée ci-dessus, et représentons par des lignes droites toutes les valeurs successives qu’on pourrait donner à l’inconnue x, ainsi que les valeurs correspondantes que recevra le premier membre de l’équation. Pour cela, au lieu de supposer le second membre de l’équation égal à zéro, nous le supposerons égal à une quantité indéterminée y ; nous porterons les valeurs de x sur une droite indéfinie AB, en partant d’un point fixe O, où x sera zéro et nous prendrons les valeurs positives de x sur la partie OB, dirigée de la gauche à la droite ; par conséquent, les valeurs négatives de x devront être prises sur la partie opposée OA, dirigée de la droite à la gauche. Soit donc OP une valeur quelconque de x, pour représenter la valeur correspondante de y, nous mènerons par le point P une perpendiculaire à la droite OP, et si la valeur de y est positive, nous la porterons sur cette perpendiculaire en PQ au-dessus de la droite OB ; il faudrait la prendre au-dessous de OB, en partant également du point P, si elle était négative. On fera la même opération pour toutes les valeurs de x, tant positives que négatives, c’est-à-dire qu’on prendra les valeurs correspondantes de y sur les perpendiculaires menées à tous les points de la droite dont la distance au point O sera égale à x. Les extrémités de toutes ces perpendiculaires formeront une ligne droite ou courbe, qui sera comme le tableau de l’équation

14xm + pxm – 1 + qxm – 2 + + u = y.

15On nomme AB l’axe de la courbe, O l’origine des abscisses, OP = x une abscisse, et PQ = y l’ordonnée correspondante, et l’équation en x et y l’équation de la courbe. Cette courbe étant ainsi décrite, comme on le voit dans la figure 1, il est clair que ses intersections avec l’axe AB donneront les racines de l’équation proposée (B)

16xm + pxm – 1 + qxm – 2 + + u = 0.

17Car comme cette équation n’a lieu que lorsque y devient zéro dans l’équation de la courbe, les valeurs de x qui satisfont à l’équation dont il s’agit et qui en sont les racines ne pourront être que les abscisses qui répondent au point où les ordonnées sont nulles, c’est-à-dire où la courbe coupe l’axe AB. Ainsi, en supposant que la courbe de l’équation en x et y soit celle de la figure 1, les racines de l’équation proposée seront OM, ON, OR, etc., et – OI, OG, etc. Je donne le signe – à ces dernières parce que les intersections I, G, tombent de l’autre côté du point O. La considération de la courbe dont il s’agit donne lieu à des remarques générales sur les équations :

  1. Comme l’équation de la courbe ne contient que des puissances entières et positives de l’inconnue x, il est clair qu’à chaque valeur de x répondra une valeur déterminée de y et que cette valeur sera unique et finie tant que x sera fini ; mais comme rien ne limite les valeurs de x, elles pourront être supposées infiniment grandes, tant positives que négatives, et il leur répondra aussi des valeurs de y infiniment grandes, d’où il s’ensuit que la courbe aura un cours continu et simple, et qu’elle pourra s’étendre à l’infini de côté et d’autre de l’origine O.
  2. Il s’ensuit aussi de là que la courbe ne pourra passer d’un côté de l’axe à l’autre sans le couper, et qu’elle ne pourra revenir du même côté qu’après l’avoir coupé deux fois. Par conséquent, entre deux points de la courbe placés du même côté de l’axe il y aura nécessairement un nombre pair d’intersections, comme entre les points H et Q on voit deux intersections, en I et M, et entre les points H et S, on en voit quatre en I, M, N, R, et ainsi de suite. Au contraire, entre deux points placés l’un d’un côté et l’autre de l’autre côté de l’axe, la courbe aura un nombre impair d’intersections, comme entre les points L et Q il y a une intersection en M, entre les points H, K il y a trois intersections en L, M, N, et ainsi du reste.

18Par la même raison, il ne pourra y avoir d’intersection sans qu’en deçà et au-delà du point d’intersection il n’y ait des points de la courbe placés des deux côtés, comme les points L, Q, par rapport à l’intersection M. Mais deux intersections, comme N et R, pourraient se rapprocher au point de se réunir en ; alors la branche QKS prendrait la forme de la ligne ponctuée QTS, et toucherait l’axe en T, de manière qu’elle serait toute au-dessus de l’axe ; c’est le cas où les deux racines ON, OR deviendraient égales. Si trois intersections se réunissaient, ce qui a lieu dans le cas de trois racines égales, alors la courbe couperait de nouveau l’axe, comme dans le cas d’une seule intersection, et ainsi de suite.

19Donc, si l’on a trouvé deux valeurs de y de même signe, on sera assuré qu’entre les deux valeurs de x qui y répondent, il ne pourra tomber qu’un nombre pair de racines de l’équation proposée, c’est-à-dire qu’il n’y en aura aucune, ou qu’il y en aura deux ou quatre, etc. Au contraire, si l’on a trouvé deux valeurs de y de signes différents, on sera assuré qu’entre les valeurs correspondantes de x il tombera nécessairement un nombre impair de racines de la proposée ; c’est-à-dire, une, ou trois, ou cinq, etc. De sorte que dans ce dernier cas on en conclura sur-le-champ qu’il y aura au moins une racine de la proposée entre les deux valeurs de x.

20Réciproquement, toute valeur de x qui sera une racine de l’équation se trouvera entre des valeurs plus grandes et plus petites qui, étant prises pour x, rendront les valeurs correspondantes d’y de signe contraire.

21Mais cela n’aurait point lieu si la valeur de x était une racine double, c’est-à-dire si l’équation contenait deux racines de cette même valeur. Au contraire, si la même valeur était une racine triple, il y aurait de même des valeurs plus grandes et plus petites qui rendraient les valeurs d’y de signes différents, et ainsi de suite.

22Maintenant si on considère l’équation de la courbe, il est d’abord visible qu’en y faisant x = 0, on aura y = u ; de sorte que le signe de l’ordonnée y sera le même que celui de la quantité u, dernier terme de l’équation proposée. Ensuite il est aisé de voir qu’on y peut donner à x une valeur positive ou négative assez grande pour que le premier terme xm de l’équation surpasse la somme de tous les autres qui auront un signe contraire à xm ; de sorte que la valeur correspondante d’y aura alors le même signe que le premier terme xm. Or, si m est impair, xm sera positif ou négatif, suivant que x sera positif ou négatif, et, si m est pair, xm sera toujours positif, soit que x soit positif ou négatif.

23D’où on peut conclure :

24En premier lieu, que toute équation d’un degré impair dont le dernier terme est négatif a un nombre impair de racines entre x = 0 et x très grand positif, et un nombre pair de racines entre x = 0 et x très grand négatif, et par conséquent au moins une racine réelle positive ; qu’au contraire si le dernier terme de l’équation est positif, il y aura un nombre impair de racines entre x = 0 et x très grand négatif, et un nombre pair de racines entre x = 0 et x très grand positif, et par conséquent au moins une racine réelle négative.

25En second lieu, que toute équation d’un degré pair, dont le dernier terme est négatif a un nombre impair de racines entre x = 0 et x très grand positif, ainsi qu’entre x = 0 et x très grand négatif, et par conséquent au moins une racine réelle positive et une racine réelle négative ; qu’au contraire si le dernier terme est positif, il y aura un nombre pair de racines entre x = 0 et x très grand positif, et pareillement un nombre pair de racines entre x = 0 et x très grand négatif ; de sorte que dans ce cas l’équation peut n’avoir aucune racine réelle ni positive ni négative.

26Nous avons dit que l’on pouvait toujours donner à x une valeur assez grande pour que le premier terme xm de l’équation surpassât la somme de tous ceux de signe contraire. Quoique cette proposition n’ait pas besoin de démonstration à cause que la puissance xm étant plus haute que toutes les autres puissances de x qui entrent dans l’équation, elle doit croître beaucoup plus rapidement que celles-ci, à mesure que x augmente ; pour n’y laisser néanmoins aucun doute, nous allons le prouver d’une manière fort simple, qui aura même l’avantage de donner une limite au-delà de laquelle on sera assuré qu’aucune racine de l’équation ne pourra se trouver. Pour cela, supposons d’abord x positif et que k soit le plus grand des coefficients des termes négatifs ; si l’on fait x = k + 1, on aura

27xm = (k + 1)m = k(k + 1)m – 1 + (k + 1)m – 1 ;

28or

29(k + 1)m = k(k + l)m – 2 + (k + l)m – 2 ;

30et de même

31(k + l)m – 2 = k(k + 1)m – 3 + (k + l)m – 3,

32et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura

33(k + 1)m = k(k + 1)m – 1 + k(k + 1)m – 2 + k(k + 1)m – 3 + + k + 1.

34Or cette quantité est évidemment plus grande que la somme de tous les termes négatifs de l’équation pris positivement et en y faisant x = k + 1 ; donc la supposition de x = k + 1 rendra nécessairement le premier terme xm plus grand que la somme de tous les termes négatifs ; par conséquent la valeur de y sera du même signe que x.

35Le même raisonnement et le même résultat auront lieu pour le cas de x négatif, en changeant seulement x en – x dans l’équation proposée pour changer les racines positives en négatives, et réciproquement.

36On prouvera de la même manière que, si on donne à x une valeur quelconque plus grande que k + 1, la valeur de y sera toujours du même signe. D’où et de ce qui a été démontré ci-dessus, on conclura d’abord qu’il ne pourra y avoir aucune racine égale ou plus grande que k + 1.

37Donc, en général, si k est le plus grand coefficient des termes négatifs d’une équation, et qu’en changeant l’inconnue x en – x, h soit le plus grand coefficient des termes négatifs de la nouvelle équation, en supposant toujours le premier positif, toutes les racines réelles de l’équation seront nécessairement comprises entre les limites k + 1 et– h – 1.

38Au reste, lorsque dans l’équation il y a plusieurs termes positifs avant le premier terme négatif, on pourra prendre pour k une quantité moindre que le plus grand coefficient négatif. En effet, il est aisé de voir que la formule ci-dessus peut se mettre aussi sous la forme

39(k + 1)m = k(k + 1) (k + 1)m – 2 + k(k + 1)(k + 1)m – 3 + + (k + 1)2,

40et pareillement sous celle-ci

41(k + 1)m = k(k + 1)2(k + 1)m – 3+ k(k + 1)2(k + l)m – 4 + + (k + 1)3,

42et ainsi de suite.

43D’où il est aisé de conclure que si mn est l’exposant du premier terme négatif de l’équation proposée du degré m, et que soit le plus grand coefficient des termes négatifs, il suffira de déterminer k de manière que l’on ait k(k + 1 )n – 1 =  ; et, comme on peut prendre pour k une valeur plus grande quelconque, il suffira que l’on ait kn = , c’est-à-dire k = nl.

44Il en sera de même de la quantité h, pour la limite des racines négatives.

45Maintenant, si l’on change l’inconnue x en 1/z, on sait que les plus grandes racines de l’équation en x deviennent les plus petites dans la transformée en z et réciproquement ; on pourra donc, par cette transformation, après avoir ordonné les termes suivant les puissances de z de manière que le premier terme de l’équation soit zm, trouver de même les limites K + 1 et – H – 1 des racines positives et négatives de l’équation en z.

46Ainsi, K + 1 étant plus grand que la plus grande valeur de z ou de 1/x, par la nature des fractions, 1/(K + 1) sera réciproquement plus petit que la plus petite valeur de x. Et de même 1(H + 1) sera plus petit que la plus petite valeur négative de x.

47D’où l’on conclura enfin que toutes les racines réelles positives seront nécessairement comprises entre les limites 1/(K + 1) et k + 1 et que les racines réelles négatives tomberont entre les limites –1/(K + 1) et – h – 1.

48On a des méthodes pour trouver des limites plus resserrées, mais, comme elles exigent quelque tâtonnement, la précédente est préférable, dans la plupart des cas, comme plus simple et plus commode.

49Par exemple, si, dans l’équation proposée, on substitue + z à la place de x, et qu’après avoir ordonné les termes suivant les puissances de z, on donne à une valeur telle que les coefficients de tous les termes deviennent positifs, il est visible qu’il n’y aura alors aucune valeur positive de z qui puisse satisfaire à cette équation. Elle n’aura donc plus que des racines négatives, par conséquent sera une quantité plus grande que la plus grande valeur de x. Or, il est aisé de voir que ces coefficients seront exprimés ainsi :

50et ainsi de suite, et il n’y aura qu’à chercher en tâtonnant la plus petite valeur de ℓ, qui les rendra tous positifs.

51Mais il ne suffit pas le plus souvent d’avoir les limites des racines d’une équation ; on a besoin de connaître les valeurs même des racines, du moins d’une manière aussi approchée que les circonstances du problème peuvent le demander, car chaque problème conduit en dernière analyse à une équation qui en renferme la solution ; et si on n’a pas des moyens de résoudre cette équation, tout le calcul qu’on a fait est en pure perte. On peut donc regarder ce point comme le plus important de toute l’analyse, et par cette raison, j’ai cru devoir en faire l’objet principal de cette leçon. Il suit des principes établis plus haut sur la nature de la courbe dont les ordonnées y représentent toutes les valeurs du premier membre d’une équation, que si on avait un moyen de la décrire, on aurait tout de suite, par ses intersections avec l’axe, toutes les racines de l’équation proposée. Mais, il n’est pas nécessaire d’avoir pour cela la courbe entière, il suffit de connaître les parties qui sont de part et d’autre de chaque intersection. Or, on peut trouver autant de points de chaque courbe que l’on veut, aussi proches entre eux qu’on voudra en substituant successivement pour x différents nombres assez voisins l’un de l’autre, et en prenant pour y les résultats de ces substitutions dans le premier membre de l’équation. Si, dans la suite de ces résultats, il s’en trouve deux de signe contraire, on sera assuré, par les principes posés ci-dessus, qu’il y aura au moins une racine réelle entre les deux valeurs de x qui les ont données. Alors on pourra, par de nouvelles substitutions, resserrer ces deux limites et approcher aussi près qu’on voudra de la racine cherchée.

52En effet, si on nomme A la plus petite et B la plus grande des deux valeurs de x qui ont donné des résultats de signe contraire et qu’on demande la valeur de la racine exacte au nombre « près, n étant une fraction aussi petite qu’on voudra, on substituera successivement à la place de x les nombres en progression arithmétique A + n, A + 2 n, A + 3 n, etc., ou Bn, B2 n, B – 3 n, etc., jusqu’à ce qu’on arrive à un résultat de signe contraire à celui de la substitution de A ou de B. Alors les deux valeurs successives de x qui auront donné des résultats de signe contraire seront nécessairement l’une plus grande et l’autre plus petite que la racine cherchée, et, comme ces valeurs ne diffèrent par l’hypothèse que du nombre n, il s’ensuit que chacune d’elles approchera de la racine plus que de la quantité n, de sorte que l’erreur sera moindre que n.

53Mais comment déterminer les premières valeurs à substituer pour x de sorte que d’un côté on ne fasse pas trop de tâtonnements inutiles, et que de l’autre on soit assuré de découvrir par ce moyen toutes les racines réelles de l’équation. En considérant la courbe de l’équation, il est aisé de voir que tout se réduit à prendre les valeurs telles qu’il y en ait au moins une qui tombe entre deux intersections voisines, ce qui arrivera nécessairement si la différence entre deux valeurs consécutives est moindre que la plus petite distance entre deux intersections voisines.

  • 3 Il s’agit toujours du cours de Laplace. A la date de cette leçon de Lagrange (6 germinal), Laplace (...)

54Ainsi, supposant que D soit une quantité plus petite que la plus petite distance entre deux intersections qui se suivent immédiatement, on formera la progression arithmétique 0, D, 2 D, 3 D, 4 D, etc., et on ne prendra de cette progression que les termes qui tomberont entre les limites 1/(K + 1) et k + 1 déterminés par la méthode donnée ci-dessus ; on aura les valeurs qui étant substituées pour x feront connaître toutes les racines positives de l’équation, et donneront en même temps les premières limites de chaque racine. On formera de même pour les racines négatives la progression 0, – D, 2 D, – 3 D, – 4 D, etc. dont on ne prendra que les termes contenus entre les limites – 1/(H + 1) et – h – 1. Voilà la difficulté résolue, mais il s’agit de trouver la quantité D, par la condition qu’elle soit plus petite que le plus petit intervalle entre deux intersections voisines de la courbe avec l’axe. Comme les abscisses qui répondent aux intersections sont les racines mêmes de l’équation proposée, il est clair que la question se réduit à trouver une quantité plus petite que la plus petite différence entre les deux racines, abstraction faite de leur signe. Il n’y aurait donc qu’à chercher par les méthodes dont on a parlé dans les leçons du cours principal3 l’équation dont les racines seraient les différences entre les racines de la proposée. On chercherait par les moyens exposés plus haut une quantité plus petite que la plus petite racine de cette dernière équation, et on prendrait cette quantité pour la valeur de D.

  • 4 Voir l’annexe 9 : Sur la résolution numérique des équations.

55Cette méthode ne laisse, comme l’on voit, rien à désirer pour la solution rigoureuse du problème, mais elle a l’inconvénient d’exiger un calcul fort long, surtout si l’équation proposée est d’un degré un peu élevé. En effet, on a vu que si m est le degré de l’équation primitive, celui de l’équation des différences sera m (m – 1) parce que chacune des racines pouvant être soustraite de toutes les autres qui sont au nombre de m –1, il en résulte m (m – 1) différences4 ; mais, comme chaque différence peut être positive ou négative, il s’ensuit que l’équation des différences doit avoir les mêmes racines en plus et en moins, que par conséquent elle doit manquer de tous les termes où l’inconnue serait élevée à une puissance impaire. De sorte qu’en prenant le carré des différences pour inconnue, cette inconnue n’y montera qu’au degré m(m – 1)/2. Il faudrait donc, pour une équation du degré m, trouver d’abord une transformée du degré m(m – 1)/2 ce qui peut être d’une longueur extrême et rebutante, si m est un nombre un peu grand. Par exemple, pour une équation du dixième degré, la transformée serait du quarante-cinquième. Comme cet inconvénient peut rendre dans beaucoup de cas la méthode presque impraticable, il est important de chercher un moyen d’y remédier. Pour cela, reprenons l’équation proposée du degré m

56xm + pxm – 1 + qxm – 2 +... + u = 0,

57dont les racines soient a, b, c,... ; on aura donc

58am + pam – 1 + qam – 2 +... + u = 0,

59et de même

60bm + pbm – 1 + qbm – 2 +... + u = 0 ;

61soit ba = i, donc b = a + i ; substituons cette valeur de b dans la seconde équation ; et si, après avoir développé, par la formule connue, les différentes puissances de a + i, on ordonne l’équation résultante suivant les puissances de i, en commençant par les moins hautes, on aura une transformée de cette forme : P + Qi + Ri2 +... + im = 0, dans laquelle on aura

62et ainsi de suite, la loi des termes étant visible.

63Or, par la première équation en a, on a P = 0 ; donc, effaçant le terme P de l’équation en t, et divisant tous les autres par i, elle ne montera plus qu’au degré m – 1, et sera par conséquent

64Q + Ri + Si2 +... + im – 1 = 0.

65Cette équation aura donc pour racines les m – 1 différences entre la racine a et les autres racines b, c, etc. De même, si on substitue b à la place de a dans les expressions des coefficients Q, R, on aura l’équation dont les racines seront les différences entre la racine b et les autres racines a, c, et ainsi de suite.

66Donc, si l’on peut trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de toutes ces équations, elle aura la condition demandée et pourra être prise pour la quantité D dont on cherche la valeur.

67Si l’on éliminait a de l’équation en i au moyen de l’équation P = 0, on aurait une équation en i qui renfermerait toutes celles dont nous venons de parler, et dont il n’y aurait qu’à chercher la plus petite racine. Mais cette équation simple en i ne serait autre chose que l’équation des différences dont on voudrait se passer.

68Faisons, dans l’équation ci-dessus en i, i = 1/z, on aura cette transformée en z

69et le plus grand coefficient négatif de cette équation donnera, par ce qui a été démontré plus haut, une valeur plus grande que sa plus grande racine de sorte qu’en nommant L le plus grand coefficient, L + 1 sera une quantité plus grande que la plus grande valeur de z ; par conséquent, 1/(L + 1) sera une quantité plus petite que la plus petite valeur positive de ; et on trouvera de même une quantité plus petite que la plus petite valeur négative de i. Ainsi on pourra prendre pour D la plus petite de ces deux quantités, ou une quantité quelconque plus petite que l’une et l’autre.

70Pour avoir un résultat plus simple et indépendant des signes, on peut réduire la question à trouver une quantité L plus grande que chacun des coefficients de l’équation en z, abstraction faite des signes ; et il est clair que si on trouve une quantité N plus petite que la plus petite valeur de Q, et une quantité M plus grande que la plus grande valeur de chacune des quantités R, S, etc., abstraction faite des signes, on pourra prendre L = M/N.

71Commençons par chercher la valeur de M. Il n’est pas difficile de prouver par les principes établis ci-dessus, que si k + 1 est comme plus haut, la limite des racines positives, et – h – 1 la limite des racines négatives de l’équation proposée, et qu’on substitue successivement dans les expressions de R, S, etc., à la place de a, k + 1 et – h – 1, en ne tenant compte que des termes qui auront le même signe que le premier, on aura des quantités plus grandes que les plus grandes valeurs positives et négatives de R, S, etc., répondant aux racines a, b, c, etc., de l’équation proposée. De sorte qu’on pourra prendre pour M la plus grande de ces différentes quantités, abstraction faite des signes.

72Il ne restera donc plus qu’à trouver une valeur plus petite que la plus petite de Q. Or il ne paraît pas qu’on puisse y parvenir autrement que par le moyen de l’équation dont les différentes valeurs de Q seraient les racines, équation qui ne peut être que le résultat de l’élimination de a entre ces deux-ci

73Il est aisé de démontrer par la théorie connue de l’élimination que l’équation résultante en Q ne sera que du degré m, c’est-à-dire du même degré que la proposée, et on peut démontrer aussi par la forme des racines de cette équation qu’elle manquera de son pénultième terme. Si donc on cherche par la méthode donnée plus haut une quantité plus petite (abstraction faite du signe) que la plus petite racine de cette équation, cette quantité pourra être prise pour N. Ainsi le problème est résolu moyennant une équation d’un même degré que la proposée. Voici à quoi la solution se réduit (Je conserverai pour plus de simplicité la lettre x à la place de a).

74Étant proposée l’équation du degré

75xm + pxm – 1 + qxm – 2 + rxm – 3 + = 0,

76soit k le plus grand coefficient des termes négatifs et mn l’exposant de x dans le premier terme négatif ; soit de même h le plus grand coefficient des termes de signe contraire au premier en changeant x en – x, et mn' l’exposant de x dans le premier terme de signe contraire au premier, on fera

77et l’on aura d’abord f et – g pour les limites des racines positives et négatives. On substituera successivement ces limites à la place de x dans les formules suivantes, en n’ayant égard qu’aux termes qui se trouveront du même signe que le premier,

78et ainsi de suite, le nombre de ces formules sera m – 2 ; et l’on nommera M la plus grande des quantités qu’on aura de cette manière, en faisant abstraction des signes. On fera ensuite l’équation

79mxm1 + (m – 1) pxm – 2 + (m – 2) qxm – 3 + (m – 3) rxm – 4 + = y,

xy m VyT VyTVNnV. D NMNDDDD DDg. x

80Si le dernier terme V de l’équation en y, résultante de l’élimination de x, est nul, alors N sera nul, et par conséquent D sera égal à zéro ; mais, dans ce cas, il est clair que l’équation en y aura une racine égale à zéro et même deux par le manque du pénultième terme. Par conséquent, l’équation

81mxm 1 + (m – 1)pxm – 2 + (m – 2)qxm – 3 + = 0

82aura lieu en même temps que la proposée. Ces deux équations auront donc un diviseur commun qu’on pourra trouver par la méthode connue, et ce diviseur égalé à zéro, donnera une ou plusieurs racines de la proposée qui seront en même temps des racines doubles ou multiples, comme il est facile de le prouver par la théorie précédente, car alors le dernier terme Q de l’équation en i sera nul, par conséquent on aura i = 0 et a = b. L’équation en y, par l’évanouissement de son dernier terme, s’abaissera au degré m – 2, parce qu’elle se trouvera divisible par y2. Si après cette division son dernier terme était encore nul, ce serait une marque qu’elle aurait plus de deux racines égales, et ainsi de suite. On la diviserait donc autant de fois par y qu’il serait possible, et on prendrait ensuite son dernier terme pour V et le plus grand coefficient des termes de signes contraires à V pour T, pour avoir la valeur de D qui servira à faire connaître toutes les autres racines de la proposée. Si la proposée est du troisième degré, comme x3 + qx + r = 0, on trouvera pour l’équation en y, y3 + 3qy2 – 4q3 – 27r2 = 0.

83Si la proposée était x4 + qx2 + rx + s = 0, on trouverait celle-ci en y

84y4 + 8ry3 + (4q3 – 16qs + 18 r2)y2 + 256 s3 – 128s2 q2

85+ 16 sq4 + 144 r2sq – 4 r2q327 r4 = 0, et ainsi de suite.

86Au reste comme la recherche de l’équation en y peut être pénible par les méthodes ordinaires d’élimination, voici des formules générales dont la démonstration dépend des propriétés connues des équations.

87On formera d’abord, d’après les coefficients p, q, r, de la proposée, les quantités x1, x2 x3, de cette manière

88On substituera dans l’expression de y, dans celles de y2 de y3, etc., jusqu’à ym après le développement des termes en x, les quantités x1 pour x, x2 pour x2, x3 pour x3, et on désignera par yx, y2, y3,... les valeurs de y, y2, y3,..., résultantes de ces substitutions.

89Alors on n’aura plus qu’à former les quantités A, B, C,..., par les formules

90et l’on aura cette équation en
y ymAym – 1 + Bym 2 – Cym – 3 +... = 0.

91La valeur, ou plutôt la limite de D, qu’on trouvera par la méthode que nous venons d’exposer, pourra être souvent beaucoup plus petite qu’il ne serait nécessaire pour faire découvrir toutes les racines, mais il n’y aura à cela d’autre inconvénient que d’augmenter le nombre des substitutions successives à faire pour x dans la proposée. D’ailleurs, lorsqu’on a trouvé autant de résultats qu’il y a d’unités dans l’exposant du degré de l’équation, on peut les continuer aussi loin qu’on veut par la simple addition des différences premières, secondes, etc., parce que les différences de l’ordre qui répond à ce degré seront toujours constantes. On peut consulter, sur ce sujet, un mémoire de l’Académie de Berlin pour l’année 1767, dont le titre est Sur la résolution des équations numériques.

  • 5 Cette construction géométrique simple, fondée sur le théorème de Thalès et la considération de tri (...)

92On a vu plus haut comment on peut décrire la courbe de l’équation proposée par plusieurs points, en donnant successivement aux abscisses x différentes valeurs, et prenant pour les ordonnées y les valeurs résultantes du premier membre de l’équation ; mais on peut trouver aussi ces valeurs d’y par une construction fort simple qui mérite de vous être exposée5. Représentons l’équation proposée par a + bx + cx2 + dx3 ... = 0, en prenant les termes dans l’ordre inverse, l’équation à la courbe sera y = a + bx + cx2 + dx3 + ... Ayant mené la ligne droite OX, qu’on prendra pour l’axe des abscisses dont O sera l’origine, on prendra sur cette ligne la partie OI égale à l’unité des quantités a, b, c, qu’on peut supposer exprimées par des nombres ; et l’on élèvera aux points O, I, les perpendiculaires OD, IM. On prendra ensuite sur la ligne OD les parties OA = a, AB = b, BC = c, CD = d, et ainsi de suite. Soit maintenant OP = x et soit menée au point P la perpendiculaire PT. Supposons par exemple que d soit le dernier des coefficients a, b, c,... ; en sorte que la proposée ne soit que du troisième degré et qu’il s’agisse d’avoir la valeur de y = a + bx + cx2 + dx3. Le point D étant ainsi le dernier de ceux qui ont été déterminés sur la perpendiculaire OD, et le point C l’avant-dernier, on mènera par D la parallèle DM à l’axe OI et, par le point M où cette ligne coupe la perpendiculaire IM, on mènera au point C la droite CM. Ensuite par le point S, où cette droite coupe la perpendiculaire PT, on mènera HSL parallèle à OI et, par le point L où cette parallèle coupe la perpendiculaire IM, on mènera au point B la droite LRB. De même, par le point R où cette droite coupe la perpendiculaire PT, on mènera la parallèle GRK à OI et, par le point K où cette parallèle coupe la perpendiculaire IM, on mènera à la première division A de la perpendiculaire DO la droite AK. Le point Q où cette droite coupera la perpendiculaire PT donnera la partie PQ = y.

93En effet soit menée par Q la parallèle FQ à l’axe OP. Les deux triangles semblables CDM et CHS donneront DM (1) : DC (d) = HS(x) : CH( = dx), ajoutant CB(c), on aura BH = c + dx. De même les deux triangles semblables BHL et BGR donneront HL(1) : HB(c + dx) = GR (x) = BG = cx + dx2, ajoutant AB(b), on aura AGb + cx + dx2. Enfin les triangles semblables AGK et AFQ donneront GK (1) : GA(b + cx + dx2) = FQ (x) : FA = bx + cx2 + dx3 ; ajoutant OA (a), on aura : OF = PQ = a + bx + cx2 + dx3 = y.

94La même construction, et la même démonstration auront lieu quel que soit le nombre des termes de l’équation proposée.

95Il faudra seulement avoir soin, si quelques-uns des coefficients a, b, c, étaient négatifs, de les prendre dans le sens opposé. Par exemple, si a était négatif, il faudrait prendre la partie OA au-dessous de l’axe OI. Ensuite on partirait de même du point A pour y ajouter la partie AB égale à b ; si b est positif, on prendra AB dans le sens OD ; mais, si b était négatif, il faudrait prendre AB dans le sens opposé, et ainsi des autres.

96A l’égard de x, on prendra OP dans le sens de OI supposé égal à l’unité positive, lorsque x sera positif ; mais on prendrait OP dans le sens opposé, si x était négatif.

97Il ne serait pas difficile au reste de former, d’après cette construction, un instrument qui s’appliquerait à toutes les valeurs des coefficients a, b, c, et qui, au moyen de quelques règles mobiles avec des charnières, donnerait pour chaque point P de la droite OP le point correspondant Q, et qui servirait à décrire la courbe même par un mouvement continu. Cet instrument pourrait ainsi servir à résoudre toutes les équations ; du moins servirait-il à trouver les premières valeurs approchées des racines par lesquelles on en trouvera ensuite de plus exactes

Notes

1 On voit que Lagrange considère ici le théorème des valeurs intermédiaires comme un résultat intuitif assez évident, qu’il légitime par des raisonnements soit de mobiles qui se croisent, soit de courbes qui étant au-dessus puis au-dessous de l’axe des abscisses doivent forcément le couper. Ces raisonnements sont ceux-là mêmes qui provoquèrent la critique de Bolzano dans son mémoire de 1817 (cf. l’annexe 7 : Sur le théorème des valeurs intermédiaires et l’analyse algébrique).

2 A propos du cercle vicieux sur les démonstrations du théorème des valeurs intermédiaires et du théorème fondamental de l’algèbre, voir les annexes 6 et 7.

3 Il s’agit toujours du cours de Laplace. A la date de cette leçon de Lagrange (6 germinal), Laplace a déjà prononcé six leçons et traité du calcul approché des racines. Lagrange intervient encore en complément et il va donner les résultats qu’il a obtenus dans le mémoire « Sur la résolution des équations numériques » [1769b].

4 Voir l’annexe 9 : Sur la résolution numérique des équations.

5 Cette construction géométrique simple, fondée sur le théorème de Thalès et la considération de triangles semblables, permet à Lagrange de construire, par le seul usage de la règle, toute longueur de la forme :
a + bx + cx2 + dx3 + …
quand on se donne les longueurs x, a, b, c, d, etc. Descartes, dans La Géométrie [1637], avait imaginé un système de règles mobiles, véritable machine à fabriquer des moyennes proportionnelles, pour pouvoir engendrer par un mouvement continu les courbes algébriques de degrés croissants. De manière analogue, Lagrange suggère de former à partir de sa construction, un « instrument » d’engendrement continu des courbes polynômiales. Laplace, lui, déteste cette construction à l’ancienne et le dit (p. 100).

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540