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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Lagrange

Troisième leçon

1er germinal / 21 mars

Texte intégral

  • 1 Le premier paragraphe de cette leçon a été supprimé dans l’édition des Leçons qui figure dans les (...)

1Citoyens, comme le temps destiné au cours entier de mathématiques est assez court ; et comme d’ailleurs on a établi depuis peu sur les mathématiques des conférences particulières, on a désiré que celles qui devaient se tenir ici sur la même science fussent remplacées par des leçons où l’on donnerait les développements qui ne pourraient pas entrer dans le cours principal, et dans lesquelles on exposerait surtout la marche analytique des inventeurs, et les artifices qu’ils ont employés pour vaincre les difficultés qui pouvaient les arrêter. Je continuerai donc à vous entretenir, comme je l’ai fait dans les dernières séances, et je parlerai aujourd’hui sur l’algèbre1.

2L’algèbre est une science presqu’entièrement due aux modernes. Je dis presqu’entièrement, car il nous reste un ouvrage grec, celui de Diophante, qui vivait dans le IIIe siècle de l’ère chrétienne ; cet ouvrage est le seul que nous devions aux Anciens dans ce genre. Quand je parle d’Anciens, je n’entends que les Grecs ; car les Romains ne nous ont rien laissé sur les sciences ; il paraît même qu’ils n’avaient rien fait pour elles.

3Diophante peut être regardé comme l’inventeur de l’algèbre ; en effet, par un mot de sa préface, ou plutôt de son épitre d’envoi (car les anciens géomètres envoyaient leurs ouvrages à quelques-uns de leurs amis, comme on le voit aussi par les préfaces des ouvrages d’Apollonius et d’Archimède), par un mot, dis-je, de sa préface, on voit qu’il a été le premier à s’occuper de cette partie de l’arithmétique qui a été nommée depuis algèbre.

  • 2 Lagrange a préparé un commentaire de Diophante (cf. Introduction aux leçons de Lagrange et [Rashed (...)

4Son ouvrage contient les premiers éléments de cette science ; il y emploie, pour exprimer la quantité inconnue, une lettre grecque qui répondait à l’st, et que dans la traduction on a remplacé par N ; pour les quantités connues il n’emploie que des nombres. Car, pendant longtemps, l’algèbre n’a été destinée qu’à résoudre des questions numériques, mais on voit qu’il traite également les quantités connues et les inconnues pour former l’équation d’après les conditions du problème. Voilà ce qui constitue proprement l’essence de l’algèbre : c’est d’employer des quantités inconnues, de les calculer comme les connues et d’en former une ou plusieurs équations d’après lesquelles on puisse déterminer la valeur de ces inconnues. Quoique l’ouvrage de Diophante2 ne contienne presque que des questions indéterminées, dont on cherche une solution en nombres rationnels, questions qu’on a nommées, d’après lui, questions de Diophante, on y trouve néanmoins la solution de quelques problèmes déterminés du premier degré, même à plusieurs inconnues. Mais l’auteur emploie toujours des artifices particuliers pour réduire la question à une seule inconnue, ce qui n’est pas difficile. Il y donne aussi la solution des équations du second degré, mais il a l’art de les arranger de manière à ne pas tomber dans une équation composée, c’est-à-dire, qui contienne le carré de l’inconnue avec sa première puissance.

5Il se propose, par exemple, cette question qui contient la théorie générale des équations du second degré : Trouver deux nombres dont la somme et le produit soient donnés. Si on fait la somme a et le produit b, d’après la théorie des équations qu’on vous a exposées, on a sur-le-champ l’équation x2ax + b = 0.

6Voici comment Diophante s’y prend : la somme des deux nombres étant donnée, il en cherche la différence et il prend cette différence pour l’inconnue. Il exprime ainsi les deux nombres : l’un par la moitié de la somme plus la moitié de la différence ; l’autre par la moitié de la somme moins la moitié de la différence, et il n’a plus qu’à satisfaire à l’autre condition, c’est-à-dire, à égaler leur produit au nombre donné. Nommant a la somme donnée, x la différence inconnue, l’un des nombres sera (a + x)/2, et l’autre sera (ax)/2 en les multipliant ensemble, on a (a2x2)/4, de manière que le terme x disparaît, et qu’en égalant cette quantité au produit donné b, on a l’équation simple (a2x2)/4 = b, d’où l’on tire x2 = a2 – 4 b, et de là x = √a2 – 4b. Diophante résout encore quelques autres questions du même genre : en employant à propos la somme ou la différence pour inconnue, il parvient toujours à une équation dans laquelle il n’a qu’à extraire une racine carrée pour avoir la solution de son problème.

7Mais dans les livres qui nous sont restés (car tout l’ouvrage de Diophante ne nous est pas parvenu), il ne va pas au-delà des équations du second degré, et nous ignorons si lui ou quelqu’un de ses successeurs (car il ne nous est parvenu aucun ouvrage sur cette matière), a été au-delà des équations du second degré.

  • 3 Voir l’annexe 5 : Sur la règle des signes.

8Je ferai encore une remarque à l’occasion de l’ouvrage de Diophante c’est qu’il établit en définition3 ce principe que + par – fait –, et – par – fait +. Mais je pense que c’est une faute des copistes, car il aurait dû plutôt l’établir comme un axiome, ainsi qu’Euclide l’a fait à l’égard de quelques principes de géométrie. Quoi qu’il en soit, on voit que Diophante regarde la règle des signes comme un principe évident par lui-même, et qui n’a pas besoin de démonstration. Cet ouvrage de Diophante est très précieux parce que qu’il contient les premiers germes d’une science qui par les progrès immenses qu’elle a faits depuis est devenue une de celles qui font le plus d’honneur à l’esprit humain. Il n’a été connu en Europe que vers la fin du xvie siècle ; on en a eu d’abord une traduction assez mauvaise faite par Xilander, vers le milieu du xvie siècle sur un manuscrit trouvé dans la Bibliothèque Vaticane, où il avait été probablement apporté de Grèce, lorsque les Turcs s’emparèrent de Constantinople.

9Bachet de Meziriac qui a été un des premiers membres de l’Académie française, et qui était d’ailleurs assez bon géomètre pour son temps, en donna une nouvelle traduction accompagnée de commentaires très longs qui à présent sont devenus inutiles. Mais cette édition a été ensuite réimprimée avec des observations et des notes de Fermat, un des plus célèbres géomètres de France qui a vécu vers le milieu du dernier siècle et dont on aura l’occasion de parler dans la suite, à cause des découvertes importantes qu’on lui doit dans l’analyse. Cette édition, qui est de 1670, est la dernière qui ait été faite. Il serait à souhaiter qu’on fit passer dans la langue française par de bonnes traductions non seulement l’ouvrage de Diophante, mais encore le petit nombre d’ouvrages mathématiques que les Grecs nous ont laissés.

10Mais avant que l’ouvrage de Diophante fût connu en Europe, l’algèbre y avait déjà pénétré. En effet, il a paru vers la fin du xve siècle, à Venise, un ouvrage d’un cordelier italien, nommé Luc Pacciolo, sur l’arithmétique et la géométrie où l’on trouve les premières règles de l’algèbre. C’est un des livres qui ont été imprimés dans les premiers temps de l’invention de l’imprimerie : le nom d’algèbre qu’on y donne à cette nouvelle science, indique assez qu’elle venait des Arabes. Il est vrai qu’on dispute encore sur la signification de ce mot arabe ; mais nous ne nous arrêterons pas à ces sortes de discussions qui nous sont étrangères ; il nous suffit que ce mot soit devenu le nom d’une science généralement connue, et qu’il n’y a pas d’ambiguïté à craindre, puisque jusqu’à présent, il n’a été employé à désigner aucune autre chose.

  • 4 On note que Lagrange est particulièrement bref en ce qui concerne l’apport des Arabes au développe (...)

11Nous ignorons, au reste, si les Arabes avaient inventé l’algèbre d’eux-mêmes4, ou s’ils l’avaient empruntée des Grecs : il y a apparence qu’ils avaient l’ouvrage de Diophante ; car, après que le temps de barbarie et d’ignorance qui suivirent leurs premières conquêtes, furent passés, ils commencèrent à s’adonner aux sciences et à traduire en arabe tous les ouvrages grecs qui pouvaient y avoir rapport. Il est donc naturel de penser qu’ils avaient traduit aussi celui de Diophante, et c’est ce qui les aura engagés à pousser plus loin cette nouvelle science.

12Quoi qu’il en soit, les Européens l’ayant reçue des Arabes, l’ont eue cent ans avant que l’ouvrage de Diophante leur fût connu, mais elle n’allait pas au-delà des équations du premier et du second degré. Dans l’ouvrage de Pacciolo, dont nous avons parlé plus haut, on ne trouve pas la résolution générale des équations du second degré telle que nous l’avons ; mais on y trouve seulement des règles exprimées en mauvais vers latins pour résoudre chaque cas particulier suivant les différentes combinaisons des signes des termes de l’équation ; et ces règles même ne se rapportent qu’au cas où il y a des racines réelles et positives, car on regardait encore les racines négatives comme insignifiantes et inutiles : c’est proprement la géométrie qui a fait connaître l’usage des quantités négatives, et c’est là un des plus grands avantages qui soit résulté de l’application de l’algèbre à la géométrie, et qu’on doit à Descartes.

13On chercha ensuite la résolution des équations du troisième degré, et elle fut découverte par un géomètre de Bologne nommé Scipion Ferreo, mais seulement pour un cas particulier. Deux autres géomètres italiens, Tartalea et Cardan, la complétèrent ensuite et la rendirent générale pour toutes les équations de troisième degré, car, à cette époque, l’Italie, qui avait été le berceau de l’algèbre en Europe, en était encore presque seule en possession. Ce ne fut que vers le milieu du seizième siècle, que des traités d’algèbre parurent en France, en Allemagne et ailleurs. Ceux de Lepelletier et de Buteon, imprimés, l’un en 1554, l’autre en 1559, sont les premiers que la France ait eus sur cette science.

14Tartalea exposa sa solution en mauvais vers italiens, dans un ouvrage sur différentes questions et inventions, imprimé en 1546, ouvrage qui a aussi le mérite d’être un des premiers où l’on ait traité de la fortification moderne par bastions.

  • 5 Voici la construction géométrique due à Viète, de la racine cubique (cas irréductible), telle que (...)

15Cardan publia, dans le même temps, son traité De Arte magna, c’est-à-dire, de l’algèbre, où il ne laisse presque rien à désirer sur la résolution des équations du troisième degré. Cardan est encore le premier qui ait aperçu la multiplicité des racines des équations, et leur distinction en positives et négatives ; mais il est surtout connu pour avoir le premier remarqué le cas qu’on appelle irréductible, et dans lequel l’expression des racines réelles est sous une forme imaginaire. Cardan se convainquit, par quelques cas particuliers où l’équation a des diviseurs rationnels, que cette expression n’empêchait pas que les racines n’eussent une valeur réelle ; mais il restait à prouver que, non seulement les racines sont réelles dans le cas irréductible, mais qu’elles ne peuvent même être toutes trois réelles que dans ce cas ; c’est ce qu’a fait après lui Viète, et surtout Albert Girard, par la considération de la trisection de l’angle5.

16Nous reviendrons sur le cas irréductible des équations du troisième degré, non seulement parce qu’il présente une nouvelle forme d’expressions algébriques, qui est devenue d’un usage très étendu dans l’analyse, mais surtout parce qu’il donne encore lieu tous les jours à des recherches utiles pour réduire la forme imaginaire à une réelle, et qu’il offre ainsi en algèbre, un problème qu’on peut mettre sur la même ligne que les fameux problèmes de la duplication du cube, ou de la quadrature du cercle en géométrie.

17Les mathématiciens de ce temps-là étaient dans l’usage de se proposer des problèmes à résoudre ; c’étaient des défis publics qu’ils se faisaient, et qui servaient à exciter et à entretenir dans les esprits la fermentation nécessaire pour l’étude des sciences. Ces sortes de défis ont continué jusqu’au commencement de ce siècle entre les premiers géomètres de toute l’Europe ; et ils n’ont proprement cessé qu’à cause des académies, qui remplissent le même but d’une manière encore plus avantageuse au progrès des sciences, soit par la réunion des connaissances des différents membres qui les composent, soit par les relations qu’elles entretiennent entre elles, soit surtout par la publication de leurs mémoires qui sert à répandre, parmi tous ceux qui s’intéressent aux sciences, les découvertes et les observations nouvelles.

18Les défis dont nous venons de parler, suppléaient, en quelque sorte, au défaut des académies qui n’existaient pas encore, et on doit à ces défis plusieurs découvertes importantes d’analyse. Celle de la résolution des équations du quatrième degré, est de ce nombre.

19On proposa ce problème :

20Trouver trois nombres continuellement proportionnels, dont la somme soit 10, et le produit des deux premiers soit 6. Nommant pour plus de généralité a la somme des trois nombres, b le produit des deux premiers, et x, y ces deux nombres, on aura d’abord xy = ; ensuite le troisième nombre sera exprimé, à cause de la proportion continue, par y2/x, de sorte que l’autre condition donnera x + y + y2/x = a. De la première équation on tire x = b/y ; cette valeur substituée dans la seconde, donnera b/y + y + y3/x = a ; savoir, en faisant disparaître les fractions, et ordonnant les termes, y4 + by2aby + b2 = 0 : équation du quatrième degré, sans le second terme.

  • 6 On sait que le grand pas en avant réalisé par Bombelli est l’introduction de cette « fiction » piu (...)

21Louis Ferrari de Bologne, au rapport de Bombelli, dont nous parlerons bientôt, parvint à la résoudre par une méthode ingénieuse qui consiste à partager l’équation en deux parties, qui permettent l’extraction de la racine carrée de part et d’autre6 ; pour cela, il faut ajouter aux deux nombres des quantités dont la détermination dépend d’une équation du troisième degré : de sorte que la résolution des équations du quatrième degré dépend de celle du troisième, et est sujette aux mêmes inconvénients du cas irréductible.

22L’Algèbre de Bombelli, imprimée à Bologne en 1579, en langue italienne, ne contient pas seulement la découverte de Ferrari, mais encore différentes remarques importantes sur les équations du second et du troisième degré, et surtout sur le calcul des radicaux, au moyen duquel l’auteur parvient, dans quelque cas, à tirer les racines cubes imaginaires des deux binômes de la formule du troisième degré dans le cas irréductible, ce qui donne un résultat tout réel et fournit la preuve la plus directe de la réalité de ces sortes d’expressions.

23Voilà l’histoire succincte des premiers progrès de l’algèbre en Italie ; on parvint bientôt à résoudre les équations du troisième et du quatrième degré, mais les efforts continus des géomètres, pendant près de deux siècles, n’ont pu entamer le cinquième degré.

  • 7 Soulignons l’expression « métaphysique même de la résolution des équations » (cf. fin de l’introdu (...)
  • 8 Lagrange commence par rappeler la méthode de résolution de l’équation du 3e degré de Cardan. Il si (...)

24Ils nous ont valu néanmoins tous les beaux théorèmes que vous avez vus sur la formation des équations, sur la nature et les signes des racines, sur la transformation d’une équation en d’autres dont les racines soient composées, comme l’on voudra, des racines de la proposée ; enfin, sur la métaphysique même de la résolution des équations7 d’où résulte la méthode la plus directe de parvenir à cette résolution lorsqu’elle est possible ; c’est celle qui vous a été exposée dans les dernières leçons, et qui ne laisserait rien à désirer si elle pouvait donner également la résolution des degrés supérieurs8. Viète et Descartes en France, Harriot en Angleterre, Hudde en Hollande, ont été les premiers, après les Italiens dont nous venons de parler, à perfectionner la théorie des équations. Et depuis, il n’y a presque point eu de géomètre qui ne s’en soit occupé, de sorte que cette théorie, dans son état actuel, est le résultat de tant de recherches différentes qu’il est très difficile d’assigner l’auteur de chacune des découvertes qui la composent.

25J’ai promis de revenir sur le cas irréductible. Pour cela il est nécessaire de rappeler la méthode qui paraît avoir servi à la première résolution des équations du troisième degré, et qui est encore employée dans la plupart des éléments d’algèbre. Considérons l’équation générale du troisième degré, privée du second terme qu’on peut toujours faire disparaître, savoir : x3 + px + q = 0. Qu’on suppose x = y + z, et z étant deux nouvelles inconnues, dont une, par conséquent, sera à volonté, et pourra être déterminée de la manière qu’on jugera la plus convenable, on aura, en substituant cette valeur, la transformée y3 + 3y2z + 3yz2 + z3 + p(y + z) + q = 0. Or, les deux termes 3y2z + 3yz2 se réduisent à cette forme 3yz(y + z), de sorte qu’on peut écrire la transformée ainsi y3 + z3 + (3yz + p)(y + z) + q = 0. Si maintenant on suppose égale à zéro la quantité qui multiplie y + z, ce qui est permis à cause des deux indéterminées, on aura d’un côté l’équation 3yz + p = 0, et de l’autre l’équation restante y3 + z3 + q = 0, par lesquelles on pourra déterminer y et z. Le moyen qui se présente le plus naturellement pour cela est de tirer de la première la valeur de z = – p/3y, de la substituer dans la seconde, et de faire évanouir par la multiplication les fractions, ce qui donne cette équation en y du sixième degré qu’on appelle la réduite,

26y6 + qy3p3/27 = 0,

27laquelle, ne contenant que deux puissances de l’inconnue, dont l’une est le carré de l’autre, est résoluble à la manière de celle du second degré, et donne sur-le-champ

28d’où, en extrayant la racine cubique on a

29et de là

30x = y + z = yp/3y

31On rend cette expression de y plus simple, en remarquant que le produit de y par le radical

32est, en multipliant ensemble les quantités sous le signe 3√– p3/27 = – p/3 d’où il suit que le terme p/3y devient

33et que par conséquent on a

34expression où l’on voit que le radical carré, qui est sous le signe cubique, se trouve également en plus et en moins, de sorte qu’il ne peut y avoir de ce côté-là aucune ambiguïté. C’est l’expression connue sous le nom de formule de Cardan, et à laquelle toutes les méthodes qu’on a pu imaginer jusqu’ici pour les équations du troisième degré ont toujours conduit. Comme les radicaux cubes ne présentent naturellement qu’une seule valeur, on a été longtemps dans l’idée que cette formule ne pouvait donner qu’une des racines de l’équation, et pour trouver les deux autres, on revenait à l’équation primitive qu’on divisait par xa, en supposant a la racine trouvée, et le quotient étant une équation du second degré, on la résolvait à la manière ordinaire. En effet, cette division est non seulement toujours possible, mais même très facile, car, dans le cas proposé, l’équation étant x3 + px + q = 0, si a est une des racines, on aura a3 + pa + q = 0 ; cette équation soustraite de la précédente, donnera x3a3 + p(xa) = 0, quantité divisible par xa, et qui donnera pour quotient : x2 + ax + a2 + p = 0 ; de sorte que la nouvelle équation à résoudre, pour avoir les deux autres racines, sera x2 + ax + a2 + p = 0, d’où il est aisé de tirer

  • 9 Aux yeux de Lagrange la marche précédente de Cardan, en faisant jouer à l’une des trois racines un (...)

35Je vois par l’Algèbre de Clairault, imprimée en 1746, et par l’article Cas irréductible de d’Alembert, dans la première Encyclopédie, que cette idée subsistait encore à cette époque là ; mais c’est faire tort à l’algèbre que de l’accuser de ne pas donner des résultats aussi généraux que la question en est susceptible9. Il ne s’agit que de savoir bien lire ce genre d’écriture et d’y voir tout ce qu’elle peut renfermer. En effet, dans le cas dont il s’agit, on ne faisait pas attention que toute racine cubique doit avoir une triple valeur, comme toute racine carrée en aura une double, par la raison qu’extraire, par exemple, la racine cubique de a n’est autre chose que résoudre l’équation du troisième degré x3a = 0. Cette équation, en faisant x = ya se ramène à cette forme plus simple y3 – 1 = 0, qui a d’abord la racine γ = 1 ; ensuite, en la divisant par y – 1, on a y2 + y + 1 = 0, d’où l’on tire les deux autres racines

36ces trois racines sont donc les trois racines cubiques de l’unité, comme vous l’avez déjà vu, et donnent les trois racines cubiques de toute autre quantité comme a, en les multipliant par la racine cubique ordinaire de cette quantité. Il en est de même des racines quatrièmes, cinquièmes, etc.

37Nommons, pour abréger, m et n les deux racines (–1 + √– 3)/2 et (–1 – √– 3)/2 qu’on voit bien être imaginaires quoique leur cube soit réel et égal à 1, comme on peut s’en convaincre par le calcul ; on aura donc pour les trois racines cubiques de a, 3a, m3a, n 3a.

38Or, lorsque nous sommes parvenus ci-dessus dans la résolution de l’équation du troisième degré, à la réduite y3 = A, en faisant pour abréger

39nous en avons déduit tout de suite y = 3A ; mais parce que nous venons de démontrer, il est clair qu’on aura non seulement y = 3A mais encore y = m 3A et y = n 3A. Donc la racine x de l’équation du troisième degré que nous avons trouvée égale à y - aura aussi ces trois valeurs :

40qui seront par conséquent les trois racines de l’équation proposée. Mais en faisant

41il est clair que AB = – p3/27 ; donc 3A x 3B = – p/3 mettant donc 3B à la place de – (p/33A) et remarquant de plus que mn = 1, et par conséquent 1/m = n, 1/n = m, les trois racines dont il s’agit seront exprimées ainsi

  • 10 Lagrange propose une autre variante de la méthode précédente qui fait apparaître explicitement la (...)

42On voit par là que la méthode ordinaire, bien entendue, donne directement les trois racines et n’en donne que trois ; j’ai cru ce petit détail nécessaire parce que si d’un côté on a longtemps accusé cette méthode de ne donner qu’une seule racine10, de l’autre, lorsqu’on eut aperçu qu’elle pouvait en donner trois, on crut qu’elle en devait donner six, en employant faussement toutes les combinaisons possibles des trois racines cubiques de l’unité 1, m, n, avec les deux radicaux cubiques 3A et 3B.

43On aurait pu parvenir directement aux résultats que nous venons de trouver, en remarquant que les deux équations y3 + z3 + q = 0 et 3yz + p = 0 donnent : y3 + z3 = – q et y3z3 = p3/27 ; d’où l’on voit sur le champ que y3 et z3 sont les racines d’une équation du second degré, dont le second terme sera q, et le troisième – p3/27. Cette équation, qu’on appelle la réduite, sera donc u2 + qup3/27 = 0. Et, nommant A et B ses deux racines, on aura tout de suite y = 3A z = 3B, où l’on observera qu’en effet A et B aurant les mêmes valeurs que nous avons assignées plus haut à ces mêmes lettres. Or, parce que nous avons démontré ci-dessus, on aura également y = m 3A ou =n 3B et il en sera de même de la valeur de z ; mais l’équation zy = p/3, dont nous n’avons employé que le cube, limite ces valeurs, et il est aisé de voir qu’elle exige que les trois valeurs correspondantes de z soient 3B n 3B et m 3B d’où résultent, pour la valeur de x, qui est égale à y + z, les mêmes trois valeurs que nous avons trouvées.

44Pour la forme de ces valeurs, il est visible d’abord qu’il ne peut y en avoir qu’une de réelle, tant que A et B seront des quantités réelles, puisque m et n sont des quantités imaginaires. Elles ne pourront donc être toutes les trois réelles que dans le cas où les racines A et B de la réduite seront imaginaires, c’est-à-dire, lorsque la quantité q2/4 + p3/27 qui se trouve sous le signe radical sera négative, ce qui n’a lieu que lorsque p est négatif et plus grand que 3 3q2/4 c’est le cas qu’on appelle irréductible.

45Puisque dans ce cas q2/4 + p3/27 est une quantité négative, supposons-la égale à – g2, g étant une quantité quelconque réelle, et faisons, pour plus de simplicité – q/2 = f, les deux racines A et B de la réduite prendront cette forme :

46A = f + g√– 1, B = f – g√– 1.

47Or, je dis que, si 3A + 3B, qui est une des racines de l’équation du troisième degré, est réelle, les deux autres racines exprimées par m 3A +n 3B et n 3A +m 3B seront réelles aussi. En effet, supposons 3A = t, 3B = u, on aura d’abord t + u = h, h étant par l’hypothèse une quantité réelle ; or t u = 3ΑB et AB = f2 + g2, donc t u = 3f2 +g2 ; l’équation précédente, étant élevée au carré, donne t2 + 2 tu + u2 = h2 ; retranchons 4tu, on aura

48(t – u)2 = h2 – 4 3f2 + g2.

49J’observe que cette quantité doit être nécessairement négative, car, si elle était positive et égale à k2, on aurait (tu)2 = k2, donc tu = k ; donc, puisque t + u = h, on aurait t = (h + k)/2 et u = (hk)/2 quantités réelles. Donc t3 et u3 seraient aussi des quantités réelles, ce qui est contre l’hypothèse, puisque ces quantités sont égales à A et B, toutes deux imaginaires.

50Donc la quantité h2 – 4 3f2 + g2 sera essentiellement négative. Supposons-la égale à – k2, donc (tu)2 = – k2 et tirant la racine carrée tu = k√–1, donc

11

51Si donc 3A + 3B = h on aura

52or on a trouvé plus haut

53donc multipliant ces quantités ensemble ; on aura

hhfgfg ff2g2ff2g2

54quantité réelle et positive ; on aura donc aussi, en extrayant la racine carrée, une valeur réelle pour la quantité proposée, et ainsi de suite. Mais, si on voulait appliquer cette méthode aux radicaux cubiques, on retomberait dans une équation du troisième degré, dans le cas irréductible.

55Soit en effet

56en élevant d’abord au cube on aura

57savoir

58ou bien

59formule générale du cas irréductible ; puisque

60Si g = 0, on aura x = 2 3√f il faudrait donc prouver que, g ayant une valeur quelconque, x aura aussi une valeur correspondante réelle. Or l’équation précédente donne

61et élevant au cube

62d’où

63équation qu’on peut mettre sous cette forme

64ou bien sous celle-ci

  • 12 Lagrange exprime ici un point de vue énoncé par Leibniz : les nombres imaginaires sont à ranger du (...)

65Cette dernière forme fait voir que g est nul, lorsque x3 = 8 f ; qu’ensuite g augmente toujours sans interruption, lorsque x augmentera, car le facteur (x3 + f)2 augmentera toujours, et l’autre facteur 1 – 8f/x3 augmentera aussi, parce que le dénominateur x3 augmentant, la partie négative 8f/x3 qui est d’abord égale à 1 deviendra toujours moindre que 1. Ainsi, en faisant augmenter par degrés insensibles la valeur de x3, depuis 8 f jusqu’à l’infini, la valeur de g2 augmentera aussi par degrés insensibles et correspondants, depuis zéro jusqu’à l’infini. Donc, réciproquement, à chaque valeur de g2, depuis zéro jusqu’à l’infini, il répondra une valeur de x2 comprise entre 8f et l’infini. Et, comme cela a lieu, quelle que soit la valeur de f, on en peut conclure légitimement que, quelles que soient les valeurs de f et g, la valeur correspondante x3, et par conséquent aussi de x, sera toujours réelle. Mais comment assigner cette valeur ? Il ne paraît pas qu’elle puisse être représentée autrement que par l’expression imaginaire, ou par l’expression en série, qui en est le développement. Aussi doit-on regarder ces sortes d’expressions imaginaires qui répondent à des quantités réelles comme formant une nouvelle classe d’expressions algébriques qui, quoiqu’elles n’aient pas, comme les autres expressions, l’avantage de pouvoir être évaluées en nombres dans l’état où elles sont, ont néanmoins celui qui est le seul nécessaire aux opérations algébriques, de pouvoir être employées dans ces opérations, comme si elles ne contenaient point d’imaginaires12. Elles ont de plus l’avantage de pouvoir servir aux constructions géométriques, comme on le verra dans la théorie des sections angulaires ; de sorte qu’elles peuvent toujours être représentées exactement par des lignes. Et, quant à leur valeur numérique, on pourra toujours la trouver à très peu près et aussi exactement qu’on voudra par la résolution approchée de l’équation d’où elles dépendent ou bien par les tables trigonométriques connues. En effet, on démontre en géométrie que, si dans un cercle dont le rayon est c on prend un arc dont la corde soit c, et qu’on nomme x la corde de l’arc qui sera le tiers de celui-là, on a pour la détermination de x l’équation du troisième degré : x3 – 3 r2x + r2c = 0, équation qui tombe dans le cas irréductible, puisque c est toujours nécessairement moindre que 2 r, et qui, à cause des deux arbitraires r et c, peut représenter toutes les équations de ce genre ; car, en la comparant avec l’équation générale x1 + px + q = 0, on aura

66r = √– p/3, et c = – 3q/p.

67De sorte qu’on aura tout de suite, par la trisection de l’arc qui répond à la corde c dans un cercle de rayon r, la valeur d’une racine x qui sera la corde de la troisième partie de cet arc ; or, par la nature du cercle, une même corde c répond non seulement à l’arc s, mais encore (en nommant la circonférence entière u) aux arcs u – s, 2u + s, 3u – s, etc., les arcs u + s, 2us, 3 u + s, etc., ont aussi la même corde, mais prise négativement, parce que les cordes, au bout d’une circonférence, deviennent zéro, et ensuite négatives, et ne redeviennent positives qu’au bout de deux circonférences, etc., comme vous pouvez le voir aisément. Donc les valeurs de x seront non seulement la corde de l’arc s/3, mais encore celles des arcs (us)/3, (2u =+ s)/3, et ce seront là les trois racines de l’équation donnée. Si on voulait employer encore les arcs suivants qui ont la même corde c, on ne ferait que retrouver les mêmes racines ; car l’arc 3us donnerait la corde de (3us)/3 savoir de us/3, qu’on a déjà vu être la même que celle de s/3, et ainsi des autres.

68Comme dans le cas irréductible le coefficient p est nécessairement négatif, la valeur de la corde donnée c sera positive ou négative, suivant que q sera positif ou négatif. Dans le premier cas, on prendra pour 5 l’arc sous-tendu par la corde positive c = – 3q/; le second cas se réduit au premier, en faisant x négatif, ce qui fait changer de signe au dernier terme ; de sorte qu’en prenant de même pour s l’arc sous-tendu par la corde positive 3q/p on n’aura qu’à changer le signe des trois racines. Quoique tout ce que nous venons de dire puisse suffire pour ne laisser aucun doute sur la nature des racines des équations du troisième degré, nous allons y ajouter encore quelques réflexions sur la méthode même par laquelle on trouve ces racines. Celle qu’on a exposée plus haut, et qu’on appelle communément la « méthode de Cardan », quoiqu’il me semble que c’est de Hudde que nous la tenons, a souvent été accusée, et elle peut encore l’être tous les jours, de ne donner, dans le cas irréductible, les racines sous une forme imaginaire que parce qu’on y fait une supposition qui est contradictoire avec l’état même de l’équation. En effet, l’esprit de cette méthode consiste à supposer l’inconnue égale à deux indéterminées y + z, pour pouvoir ensuite séparer l’équation résultante

69y3 + z3 + (3 yz + p)(y + z) + q = 0

70en ces deux-ci

713yz + p = 0 et y3 + z3 + q = 0.

72Or, en mettant la première sous cette forme y3z3 = – p3/27, il est visible que la question se réduit à trouver deux nombres y3 et z3, dont la somme soit – q et le produit – p3/27, qui est impossible, à moins que le carré de la demi-somme ne surpasse le produit, puisque la différence de ces deux quantités égale au carré de la demi-différence des nombres cherchés.

73On conclut de là qu’il n’est pas étonnant qu’en faisant une supposition impossible à réaliser en nombres, on tombe dans des expressions imaginaires, et l’on est induit à croire qu’en s’y prenant autrement on pourrait éviter ces expressions, et n’en avoir que de toutes réelles.

  • 13 Lagrange opère ici un renversement de méthode et va présenter, par une méthode directe et a priori(...)

74Comme on pourrait faire à peu près le même reproche aux autres méthodes qui ont été trouvées depuis, et qui sont toutes plus ou moins fondées sur la méthode des indéterminées, c’est-à-dire sur l’introduction de quelques quantités arbitraires qu’on détermine de manière à satisfaire à des conditions supposées, nous allons considérer la question en elle-même, et indépendamment d’aucune supposition13. Reprenons pour cela l’équation x3 + px + q = 0, et supposons que ces trois racines soient a, b, c.

75Par la théorie des équations, le premier nombre sera formé du produit des trois quantités xa, xb, xc, qui est

76x3 – (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) xabc,

77de sorte que la comparaison des termes donner

78a + bc = 0, ab + ac + bc = p, abc = – q.

79Comme l’équation est d’un degré impair, on est assuré, ainsi que vous l’avez déjà vu, et que vous le verrez encore dans la leçon qui suivra celle-ci, qu’elle a nécessairement une racine réelle. Soit c cette racine ; la première des trois équations qu’on vient de trouver donnera c = – ab, d’où l’on voit d’abord que a + b sera nécessairement aussi une quantité réelle ; cette valeur de c substituée dans la seconde et la troisième donnera

80aba2ababb2 = p, - ab(a + b) = – q,

81avoir

82a2 + ab + b2 = – p, ab(a + b) = q ;

83d’où il faudrait tirer a et b ; la dernière donne ab = q/a + b, d’où je conclus que ab sera nécessairement aussi une quantité réelle. Considérons maintenant la quantité q2/4 + p3/27, ou bien en faisant disparaître les fractions, la quantité 27 q2 + 4p3 du signe de laquelle dépend le cas irréductible ; en y substituant pour p et q leurs valeurs ci-dessus en a et b, on trouvera après les réductions que cette quantité devient égale au carré de

842a3 – 2b3 + 3a2b – 3ab2

85pris négativement ; de sorte que, en changeant les signes et extrayant la racine carrée, on aura

862a3 – 2b3 + 3a2 b – 3ab2 = √(–21q2 – 4p3) ;

87d’où il est d’abord aisé de conclure que les deux racines a et b ne sauraient être réelles, à moins que la quantité 27q2 + 4p3 ne soit négative. Mais je vais démontrer que, dans ce cas, qui est, comme l’on voit, le cas irréductible, les deux racines a et b seront nécessairement réelles, car la quantité

882 a3 – 2 b3 + 3 a2b – 3 ab2

89se réduit à cette forme

90(ab)(2a2 + 2b2 + 5ab),

91comme il est aisé de s’en assurer par la multiplication actuelle. Or, nous avons déjà vu que les deux quantités a + b et ab sont nécessairement réelles, d’où

922a2 + 2b2 + 5ab = 2(a + b)2 + ab

93era aussi nécessairement une quantité réelle ; donc l’autre facteur ab sera réel aussi, lorsque le radical √(– 27 q2 + 4 p3) est réel ; donc a + b et ab étant des quantités réelles, il s’ensuit que a et b seront l’un et l’autre réelle. Nous avions déjà démontré plus haut ces théorèmes d’après la forme même des racines ; mais la démonstration présente est à quelques égards plus générale et plus directe, étant tirée des principes de la chose. On n’a rien supposé et la condition du cas irréductible n’a point introduit d’imaginaires, mais il faut trouver les valeurs de a et b au moyen des équations ci-dessus. Pour cela, j’observe que le premier membre de l’équation

94a3 – b3 + 3/2(a2bab2) = 1/2√(– 27 q2 – 4 p)3

95peut devenir un cube parfait, en y ajoutant le premier membre de l’équation ab(a + b) = q multiplié par 3 √–3/2 et la racine de ce cube sera

96de sorte qu’extrayant la racine cubique de part et d’autre, on aura la quantité

97exprimée en quantités connues ; et, comme le radical √– 3 peut aussi être pris

98en –, on aura aussi la quantité

99exprimée en quantités connues, d’où l’on tirera les valeurs de a et b. Mais ces valeurs contiendront la quantité imaginaire qui a été introduite par la multiplication et se réduiront à la même forme que les deux racines

  • 14 On notera ici la forme au conditionnel de la conclusion (cf. fin de l’introduction aux leçons de L (...)

100que nous avons trouvées plus haut ; ensuite la troisième racine c = – ab deviendra 3√A + 3√B. Dans cette méthode, on voit que la quantité imaginaire n’est employée que pour faire réussir l’extraction de la racine cubique, sans laquelle on ne pourrait déterminer séparément les valeurs a et ; et, comme il paraît impossible d’y parvenir autrement, on peut regarder comme une vérité démontrée que l’expression générale des racines de l’équation du troisième degré dans le cas irréductible, ne saurait être indépendante des imaginaires14.

101Passons aux équations du quatrième degré. Nous avons déjà dit que l’artifice qui avait servi d’abord à résoudre ces équations consistait à les préparer, de manière qu’on pût extraire la racine carrée des deux membres, ce qui les abaissait au second degré. Voici comment : soit x4 + px2 + qx + r = 0 l’équation générale du quatrième degré, privée de son second terme, ce qui est toujours possible, comme vous le savez, en augmentant ou diminuant les racines d’une quantité convenable. Qu’on la mette sous cette forme x4 = – px2qxr, et qu’on y ajoute de part et d’autre les termes 2 x2 y + y, qui contiennent une nouvelle indéterminée y, et qui n’empêchent pas que le premier membre ne soit encore un carré, on aura

102(x2 + y)2 = (2yp) x2qx + y2r.

103Faisons maintenant en sorte que le second membre soit aussi un carré ; il faudra pour cela que l’on ait

1044(2yp)(y2r) = q2

105et alors la racine du carré sera

106Ainsi, pourvu que la quantité y satisfasse à l’équation précédente, qui devient par le développement

107et qui n’est, comme l’on voit, que du troisième degré, la proposée se réduira par l’extraction de la racine carrée à celle-ci

108où l’on peut prendre le radical √2y – p en plus et en moins, de sorte qu’on aura proprement deux équations du second degré dans lesquelles la proposée se trouvera décomposée et dont les racines donneront les quatre racines de la proposée, ce qui fournit le premier exemple de la décomposition des équations en d’autres degrés inférieurs.

109La méthode de Descartes, qu’on suit communément dans les éléments de l’algèbre, est fondée sur le même principe, et consiste à supposer immédiatement que la proposée soit produite par la multiplication de deux équations du second degré, telles que

110x2ux + s = 0 et x2 + ux + t = 0,

111u, s, t étant des coefficients indéterminés. En les multipliant l’une par l’autre, on a

112x4 + (s + tu2) x2 + (st) ux + st = 0,

113dont la comparaison avec la proposée donne

114s + tu2 = p, (st) u = q et st = r ;

115les deux premières équations donnent

1162s = p + u2 + q/2, 2t = p + u2q/u, ces valeurs étant substituées dans la dernière st = r, on aura une équation en u du sixième degré, mais qui, ne contenant que les puissances paires de u, sera résoluble comme celles du troisième. Au reste, si dans cette équation on substitue 2yp à n2, on aura la même réduite en y que nous avons trouvée ci-dessus par l’ancienne méthode.

117Ayant ainsi la valeur u2, on aura celles de s et t, et la proposée se trouvera décomposée en deux équations du second degré qui donneront les quatre racines cherchées. Cette méthode, ainsi que la précédente, donne lieu à un doute qui vient de ce que la réduite en u2 ou en y, étant du troisième degré, doit avoir trois racines, de sorte qu’on pourrait être incertain laquelle de ces trois racines il faudrait employer. Cette difficulté se trouve bien résolue dans l’Algèbre de Clairaut où l’on fait voir d’une manière directe que l’on a toujours les mêmes quatre racines ou valeurs de x, quelle que soit la racine de la réduite qu’on emploie. Mais cette généralité inutile nuit à la simplicité qu’on peut désirer dans l’expression des racines de l’équation proposée, et l’on doit préférer les formules que l’on vous a données dans le cours principal et où les trois racines de la réduite entrent également. Voici encore une manière de parvenir à ces mêmes formules, moins directe que celle qui vous a déjà été exposée, mais qui, d’un autre côté, a l’avantage d’être analogue à celle de Cardan pour les équations du troisième degré.

118Je reprends l’équation

119x4 + px2 + qx + r = 0,

120et j’y suppose

121x = y + z + t ; j’aurai d’abord

122x2 = y2 + z2+ t2 + 2(yz + yt + zt),

123ensuite carrant de nouveau, j’ai

124x4 = (y2 + z2 + t2)2 + 4(y2 + z2 + t2)(yz + yt + zt) + 4(yz + yt + zt)2 ;

125or

126(yz + yt + zt)1y2z2 + y2t2 + z2t2 + 2y2zt + 2yz2t + 2yzt2 =

127= y2z2 + y2t2 + z2t2 + 2yzt (y + z + t).

128Je substitue ces valeurs de x, x2, x4 dans la proposée, et je mets ensemble les termes qui se trouvent multipliés par y + z + t, ainsi que yz + yt + zt ; j’ai la transformée

129(y2 + z2 + t2)2 + p(y2 + z2 + t2) + [4(y2 + z2 + t2) + 2p](yz + yt + zt) +

130 + 4(y2z2 + y2t2 + z2t2) + (8yzt + q)(y + z + t) + r = 0.

131Maintenant, comme pour les équations du troisième degré, nous avons fait évanouir les termes qui contenaient y + z, nous ferons de même disparaître ici les termes qui contiennent y + z + t et yz + yt + yzt ce qui nous donnera les deux équations de condition

1328 yzt + q = 0 et 4 (y2 + z2 + t2) + 2p = 0 ;

133il restera alors l’équation

134(y2 +z2 + t2)2 + p(y2 + z2 + t2) + 4(y2z2 + y2t2 + z2t2) + r = 0,

135et ces trois équations détermineront les trois quantités y, z, t. La seconde donne d’abord y2 + z2 + t2 = – p/2, et, cette valeur étant substituée dans la troisième, on aura

136y2z2 + y2t2 + z2t2 = p2/16 – r/4.

137De plus, la première étant élevée au carré, donne y2z2t2 = q2/64.

138Donc, par la théorie générale de la formation des équations, les trois quantités y2, z2, t2 seront les racines d’une équation du troisième degré de la forme

  • 15 C’est en effet dans l’article n° 777 de son Algèbre (tome 1) qu’Euler obtient ces formules que Lag (...)

139de sorte que, si on nomme a, b, c les trois racines de cette équation, que nous nommerons la réduite, on aura y = a, z = b, t = √c, et la valeur de x sera exprimée par15a + √b + √c. Comme les trois radicaux peuvent être pris chacun avec le signe plus ou moins, on aurait, en faisant toutes les combinaisons possibles, huit valeurs différentes de x. Mais il faut observer que, dans l’analyse précédente, nous avons employé l’équation y2z2t2 = q2/64, tandis que l’équation donnée immédiatement est yzt = – q/8 ; ainsi il faudra que le produit des trois quantités y, z, t, c’est-à-dire, des trois radicaux √a, √b, √c, soit de signe contraire à celui de la quantité q. D’où il suit :

1401) que, q étant une quantité négative, il devra y avoir dans l’expression de x ou trois radicaux positifs, ou un positif et deux négatifs. On n’aura donc que ces quatre combinaisons

141a + √b + √c, √a – √b – √c, – √a + √b – √c, – √a – √b + √c, qui seront par conséquent les quatre racines de la proposée du quatrième degré ;

1422) si q est une quantité positive, alors il devra y avoir dans l’expression de x ou trois radicaux négatifs, ou un négatif et deux positifs, ce qui donnera ces quatre autres combinaisons

143-a - b - c, - a + b + c, a - b + e, a + b - c

144qui seront les quatre racines de la proposée.

145Maintenant, si les trois racines a, b, c de la réduite du troisième degré sont toutes réelles et positives, il est visible que les quatre racines précédentes seront toutes réelles aussi ; mais, si parmi les trois racines réelles a, b, c il y en a de négatives, les quatre racines de la proposée seront évidemment imaginaires. Ainsi, outre la condition de la réalité des trois racines de la réduite, il faudra encore, pour le premier cas, suivant la règle de Descartes que vous connaissez, que les coefficients des termes de cette réduite soient alternativement positifs et négatifs, et que, par conséquent, on ait p négatif et p2/16 – r/4 positif, savoir : p2 > 4 r. Si une de ces conditions manque, la proposée du quatrième degré ne pourra pas avoir ses quatre racines réelles. Si la réduite n’a au contraire qu’une seule racine réelle, on observera d’abord qu’à cause du dernier terme négatif de cette réduite la racine réelle sera nécessairement positive ; ensuite il est aisé de voir par les expressions générales que nous avons données des racines de l’équation du troisième degré privée de son second terme, forme à laquelle il est aisé de ramener la réduite en m, en augmentant simplement toutes les racines de la quantité p/6 ; il est aisé, dis-je, de voir que les deux racines imaginaires de cette réduite seront de la forme f + g1 et f – g √–1. Donc, prenant a pour la racine réelle, et b, c pour les deux imaginaires, √a sera une quantité réelle, et √b + √c sera réelle aussi, par ce que nous avons démontré plus haut, et au contraire √b – √c sera une quantité imaginaire. D’où l’on peut conclure que, des quatre racines trouées pour l’équation proposée du quatrième degré, les deux premières seront réelles et les deux autres imaginaires.

146Au reste, si dans la réduite en u on fait u = sp/6 pour en faire disparaître le second terme et le ramener à la forme que nous avons examinée, on aura cette transformée en s

147de sorte que la condition de la réalité des trois racines de la réduite sera

Notes

1 Le premier paragraphe de cette leçon a été supprimé dans l’édition des Leçons qui figure dans les Œuvres de Lagrange. Est-ce parce que Lagrange utilise le mot « citoyens » ? En tout cas ce paragraphe confirme la place de complément de l’enseignement de Lagrange par rapport à celui de Laplace. Lagrange peut ainsi se permettre d’approfondir longuement des points méthodologiques délicats, ou d’effectuer des digressions dans les domaines qui le concernent particulièrement, sans avoir le souci de couvrir exhaustivement un sujet. En particulier, il peut décrire les évolutions historiques beaucoup plus nettement que ne le fait Laplace.

2 Lagrange a préparé un commentaire de Diophante (cf. Introduction aux leçons de Lagrange et [Rashed, 1988]).

3 Voir l’annexe 5 : Sur la règle des signes.

4 On note que Lagrange est particulièrement bref en ce qui concerne l’apport des Arabes au développement de l’algèbre, tout en soulignant que l’influence de Diophante, dont on sait aujourd’hui qu’il fut effectivement traduit en arabe, a pu les conduire à aller assez loin : « Ils n’allaient pas au-delà du second degré », dit-il cependant. Dans son Histoire des Mathématiques, Montucla est plus complet sur divers points, plus prudent aussi (« Peut-être connaissaient-ils les équations cubiques », écrit-il), mais il n’hésite pas néanmoins à déclarer que les Arabes portèrent en général un « esprit servile » dans les sciences.

5 Voici la construction géométrique due à Viète, de la racine cubique (cas irréductible), telle que la rapporte Montucla. Viète considère l’équation cubique x3 = px + q, qu’il peut encore écrire sous la forme x3 = 3b2x + ab2. Il construit BC = b, et le triangle isocèle ABC tel que AB = AC = a. A partir du prolongement de CB, il construit la demi-droite Be telle que l’angle DBe soit le tiers de l’angle CBA. Soit E l’intersection de cette demi-droite et du cercle de centre B et de rayon a. Il construit D tel que le triangle EDB soit isocèle. On vérifie que DB = x est solution de l’équation donnée.

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La clé du calcul est évidemment la relation trigonométrique :

cos 3 θ = 3 cos θ – 4 cos3 θ.

C’est elle qui fonde l’identité entre le problème de la trisection des angles et celui de la résolution de l’équation cubique dans le cas irréductible. On peut noter qu’elle n’est jamais donnée par Lagrange au cours de la leçon. Montucla indique que Viète a jeté les fondements d’une autre construction des racines de ces équations, qu’Anderson et Albert Girard (dans l’Invention nouvelle en Algèbre de 1629) ont saisie et explicitée. Voici la construction d’Albert Girard, adoptée d’ailleurs par Descartes : Soit AB = a, le diamètre d’un cercle et la corde AF = b. On considère l’arc BG qui vaut le tiers de l’arc BF. Alors AG = x est racine de l’équation cubique

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qui tombe dans le cas irréductible. Elle se construit évidemment par la trisection de l’angle et peut servir de modèle à l’équation x3pxq = 0. Albert Girard considère :

AK = 1/3AF ; AL = 1/3ALF ; BG = 1/3BF

et vérifie que les cordes AK, AL, AG sont trois valeurs telles que :

  • AG est la racine positive si l’équation s’écrit x3pxq = 0.
  • AK et AL sont les deux racines positives si l’équation s’écrit x3px + q = 0.

6 On sait que le grand pas en avant réalisé par Bombelli est l’introduction de cette « fiction » piu di meno qui préfigure le nombre imaginaire. Il est arrivé ainsi à extraire des racines cubiques d’expressions où ces « fictions » sont présentes, dans des cas particuliers de cubes parfaits. Lagrange donne lui-même un tel exemple un peu plus loin :

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En traitant d’une tout autre façon le cas irréductible du troisième degré, Laplace discutera dans sa 5e leçon de telles expressions pour montrer qu’elles doivent être a priori réelles (p. 77).

7 Soulignons l’expression « métaphysique même de la résolution des équations » (cf. fin de l’introduction aux leçons de Lagrange).

8 Lagrange commence par rappeler la méthode de résolution de l’équation du 3e degré de Cardan. Il signale aussi les explications de Laplace sur cette même équation, données à sa 5e leçon (11 ventôse).

9 Aux yeux de Lagrange la marche précédente de Cardan, en faisant jouer à l’une des trois racines un rôle particulier, présente un défaut de méthode. Lagrange propose alors l’introduction des racines cubiques de l’unité, pour que la marche soit plus générale et plus uniforme et que les trois racines soient traitées exactement sur le même plan. Cette méthode est celle qui figure dans son mémoire [Lagrange, 1772b]. Nous sommes toujours dans la mise en œuvre de la méthode indirecte a posteriori. Le cas irréductible est effectivement traité par d’Alembert à cette entrée dans l’Encyclopédie, son traitement est repris d’ailleurs dans l’Encyclopédie méthodique (vol. 1, p. 308-311). « La racine quoique réelle, se présente sous une forme qui renferme des quantités imaginaires, et l’on n’a pas pu jusqu’à présent réduire cette expression à une forme réelle, en chassant les imaginaires qu’elle contient. » D’Alembert appelait de ses vœux une méthode « qui fit trouver à la fois les trois racines », ne se rendant pas compte que tout était déjà obtenu. Laplace expliquait comme Lagrange l’obtention simultanée des trois racines.

10 Lagrange propose une autre variante de la méthode précédente qui fait apparaître explicitement la réduite du second degré.

11 C’est dans sa 5e leçon, prononcée le 11 ventôse, que Laplace a présenté la résolution de l’équation du 3e degré et fait mention du développement des radicaux en séries de Newton pour vérifier que l’expression

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est bien réelle, f et g étant réels.

12 Lagrange exprime ici un point de vue énoncé par Leibniz : les nombres imaginaires sont à ranger du côté de 1’« Analyse » (pour l’écriture, la formalisation) ; ils répondent aux lois algébriques ordinaires ; mais ils ne sont pas utiles au calcul numérique, c’est-à-dire à la mathématique calculante proprement dite ([Costabel, 1985], voir aussi l’annexe 6 : Le théorème fondamental de l’algèbre, et l’annexe 8 : Les nombres complexes dans l’analyse algébrique).

13 Lagrange opère ici un renversement de méthode et va présenter, par une méthode directe et a priori, une démonstration du fait que, si les trois racines sont réelles, on est bien dans le cas irréductible.

14 On notera ici la forme au conditionnel de la conclusion (cf. fin de l’introduction aux leçons de Lagrange).

15 C’est en effet dans l’article n° 777 de son Algèbre (tome 1) qu’Euler obtient ces formules que Lagrange reprend ici. Mais en 1799, dans la Correspondance de l’École polytechnique (tome 2, 3e cahier, p. 217). Bret, professeur de mathématiques à Grenoble, a trouvé un exemple où la règle donnée pour savoir lequel des deux systèmes d’équations on doit choisir, était en défaut. C’est le cas lorsque, parmi les trois radicaux, il y en a d’imaginaires. Dans la réédition de ses leçons à l’École normale, Lagrange ajoute la note suivante : « Pour éviter toute difficulté et toute ambiguité, il n’y a qu’à substituer à l’un de ces radicaux sa valeur tirée de l’équation √abc = – q/8. Ainsi la formule √a + √b = – q/8√a√b donnera les quatre racines de la proposée, en prenant pour a et b deux quelconques des trois racines de la réduite, en prenant successivement les deux radicaux en plus et en moins. » Lagrange ajoute qu’il faut appliquer cette remarque à l’article n° 777 d’Euler, et à l’article 37 de la note XIII du Traité de la résolution des équations numériques.

Table des illustrations

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© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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