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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Lagrange

Débat

11 pluviôse / 30 janvier

Texte intégral

  • 1 Dans l’Avertissement situé en tête des Séances des Écoles Normales, il était explicitement indiqué (...)

1Lagrange. Ce jour est destiné à une conférence sur l’arithmétique ; mais avant de la commencer, je ferai quelques observations sur différents points de cette science. Comme je n’ai rien d’écrit1 sur ce sujet, je vous les offrirai dans le même ordre où elles se présenteront à moi.

2Vous avez dû voir, citoyens, que la facilité, la régularité et l’uniformité des opérations d’arithmétique viennent de l’idée heureuse que l’on a eue de donner aux chiffres une valeur locale, en faisant valoir dix fois d’avantage chaque chiffre, à mesure qu’il est plus avancé à gauche.

3Cette idée, toute simple qu’elle est, a cependant échappé longtemps, non seulement aux hommes en général, mais encore aux savants et aux géomètres. Elle n’est connue en Europe que depuis le dixième siècle ; le moine français Gerber, paraît l’avoir apprise des Arabes, qui dominaient alors en Espagne, et il passe pour le premier qui l’ait répandue, ainsi que les règles de l’arithmétique, qui en dépendent naturellement. C’est pourquoi notre arithmétique est attribuée généralement aux Arabes. Cependant on doit être curieux de savoir comment les Anciens s’y prenaient pour faire les différentes opérations dont ils avaient besoin, car ces opérations ont toujours été nécessaires pour les usages ordinaires, et surtout pour la géométrie.

4On voit par les écrits d’Archimède qu’il a été dans le cas de faire des extractions de racines, dans son livre sur la mesure du cercle où il cherche les côtés du polygone inscrit et circonscrit de 96 côtés. Ce côté ne peut se trouver que par des extractions multipliées de racines carrées. Archimède ne donne que les résultats, de sorte qu’on ne peut rien savoir des opérations qui l’y avaient conduit.

5Quant à la manière de noter les nombres, les Grecs en avaient une assez simple, mais qui n’avait pas l’avantage de la nôtre. Ils employaient des lettres de leur alphabet ; d’abord neuf lettres pour marquer les neuf premiers chiffres, ensuite neuf autres, pour désigner les nombres 10, 20, 30, etc., jusqu’à 90 ; enfin, neuf autres lettres, pour exprimer les nombres 100, 200, etc., jusqu’à 900.

6Vous voyez qu’au moyen de vingt-sept lettres ils pouvaient facilement noter tous les nombres jusqu’à mille en combinant trois lettres ensemble.

  • 2 Lagrange se trompe : l’écriture δε’ signifie en fait 4/5.

7Pour distinguer ces lettres des lettres ordinaires, ils les marquaient par un accent sur la droite. C’est ainsi qu’on les voit dans les ouvrages grecs2.

8Passé mille, ils reprenaient les mêmes lettres, avec un trait par en bas ; ils pouvaient aller de nouveau jusqu’à un million. Et, en multipliant de cette manière les traits, on peut aller aussi loin que l’on veut.

9Il est vrai que leur alphabet n’avait pas 27 lettres ; mais ils y suppléaient par des lettres doubles. Par exemple, ils employaient l’st pour signifier le nombre 6.

10Cette manière de désigner les nombres est assez simple : elle est fondée sur le système décimal ; et il est étonnant que pouvant n’employer que 9 lettres, en tenant compte de la place, ils ne l’aient pas fait. Mais cette manière, quoique simple, ne facilitait en aucune façon les opérations de l’arithmétique ; et on est porté à croire qu’ils ne les faisaient qu’à force de tête. Cependant on a quelques monuments qui indiquent qu’ils les faisaient avec des jetons ou des boules ; ils avaient aussi une table carrée, de bois ou de métal, qu’ils appelaient abaque. Sur cette table étaient tendus des fils de fer ou de laiton avec des boules enfilées ; chacun des fils répondait aux unités, aux dizaines, aux centaines, etc. ; de cette manière, ils pouvaient exprimer ou écrire, pour ainsi dire, les nombres proposés.

11En prenant, par exemple, trois boules dans le fil des unités, et en en prenant quatre dans celui des dizaines, ils avaient le nombre 43. Vous sentez bien qu’il n’est pas difficile de faire, par ce moyen, les opérations ordinaires de l’addition, de la soustraction et même de la multiplication et de la division.

12On a trouvé encore une de ces abaques en cuivre, où il n’y a pas de fils tendus, mais des lignes évidées, avec des boutons rivés en dessous, et qui peuvent glisser ; cela revient toujours au même. Il paraît qu’ils avaient écrit sur cet objet plusieurs traités, mais aucun ne nous est parvenu.

13Les ouvrages anciens qui portent le titre d’arithmétique, ne traitent que des propriétés des nombres et nullement de la manière de calculer. L’arithmétique de Nicomaque, traduite par Boèce, ne traite que de ces propriétés. Celle de Diophante contient principalement des questions indéterminées qu’il s’agit de résoudre en nombres rationnels, et qu’on connaît, d’après lui, sous le nom de questions de Diophante.

14On a aussi dans Euclide les septième, huitième et neuvième livres qui traitent des propriétés des nombres, comme des nombres premiers, des nombres immensurables, du plus grand commun diviseur, etc.

15Il paraît que les deux premiers livres des Collections de Pappus traitaient de l’arithmétique pratique ; mais ils sont perdus, ainsi qu’un traité de Nicomaque, sur le même objet.

16Malgré l’avantage que notre système décimal présente, pour les opérations de l’arithmétique, comme vous avez pu le voir dans l’idée succincte qu’on vous en a donnée, on a cherché encore des moyens de les abréger ; et pour cela, on a d’abord pensé à faire des machines arithmétiques.

17Pascal passe pour le premier auteur d’une machine arithmétique. J’en ai vu, il y a quelques années, un modèle, je ne sais entre les mains de qui.

18Mais cette machine de Pascal est encore très imparfaite : car, à proprement parler, elle ne sert immédiatement qu’à faire les additions et les soustractions.

19On y représente les nombres donnés, par le moyen de différents cadrans mobiles, qui répondent, l’un aux unités, l’autre aux dizaines, aux centaines, etc., et les différents chiffres du nombre cherché paraissent à travers de petites fenêtres percées, au-dessus de ces cadrans.

20Leibniz avait perfectionné cette machine ; mais je n’en ai pas une idée assez nette. D’ailleurs, tout cela est tombé, depuis la belle découverte des logarithmes. Neper, écossais, auteur de cette découverte, s’est appliqué, toute sa vie, à perfectionner la manière de faire les opérations d’arithmétique. Il a commencé par inventer ce qu’on appelle les bâtons de Neper. Ce sont des bandes de carton ou de cuivre, qui portent en tête un des nombres 1, 2, 3, etc., jusqu’à 9, et en descendant, les multiples de ces nombres, comme dans la table de Pythagore ; mais chacun de ces multiples est écrit dans un carré, divisé en deux par une diagonale menée de droite à gauche, de manière que le chiffre des unités est placé sous la diagonale, et celui des dizaines, lorsque le multiple contient deux chiffres, est placé au-dessus. Par cette disposition, lorsqu’on a placé à côté les uns des autres les bâtons qui portent en tête les chiffres du multiplicande, on a tout de suite le produit de ce nombre par un des chiffres du multiplicateur, en ne faisant qu’ajouter ensemble ceux qui se trouvent dans une même case en losange. A proprement parler, on n’a, de cette manière, que le tarif des multiples du multiplicande, ce qui n’est pas assez important pour y employer une machine ; et celle dont nous venons de parler est hors d’usage, et maintenant peu connue.

21D’ailleurs, l’invention des logarithmes a effacé toutes celles qu’on avait pu faire ou tenter, pour faciliter les opérations de l’arithmétique, et on ne s’est plus occupé depuis qu’à lui donner toute la perfection et l’étendue dont elle était susceptible.

  • 3 Les logarithmes furent traités deux jours plus tôt par Laplace, le 9 pluviôse, dans sa 2e leçon, d (...)

22On vous a déjà donné une idée des logarithmes3 ; je n’en parlerai point aujourd’hui.

23J’ai dit qu’en général les Anciens ne s’occupaient que des propriétés des nombres : ces propriétés donnent lieu, en effet, à beaucoup de spéculations. Il y a, sur les nombres, des théorèmes qui sont très difficiles à démontrer, et même plus difficiles que tout ce qu’on connaît en géométrie et en algèbre ; tels sont différents théorèmes concernant les nombres premiers.

24On vous a dit qu’on entend par nombre premier, un nombre qui n’est divisible par aucun autre nombre. Ainsi 3, 5, 11, 13, etc., sont des nombres premiers. Ce qu’il y a de singulier, c’est que quelques efforts que l’on ait faits pour trouver la loi de ces nombres, on n’a jamais pu la découvrir. On les a poussés, à la vérité, jusqu’à un million ; mais pour y parvenir, il a fallu, chaque fois, chercher si tel nombre était divisible par quelqu’autre nombre. Il est vrai que quand il a été question de construire des tables, on a eu des moyens plus faciles. Il existe maintenant des tables de nombres premiers ; elles servent surtout à indiquer les nombres par lesquels on peut diviser ceux qui ne le sont pas.

25Il est souvent utile de savoir comment un nombre peut être produit par la multiplication d’autres nombres plus petits ; c’est-à-dire, de connaître les facteurs d’un nombre proposé. On peut par là réduire tout de suite une fraction donnée à sa plus simple expression, en effaçant, dans le haut et dans le bas de la fraction, les facteurs communs ; c’est à quoi se réduit la règle qu’on appelle conjointe, dans la théorie des changes.

26On a aussi des tables des facteurs des nombres ; mais elles sont peu connues, et ne s’étendent pas encore assez loin pour pouvoir être d’une grande utilité.

27Jusqu’à présent on n’a pu trouver aucun moyen de reconnaître a priori les nombres premiers, ni même d’avoir un nombre premier aussi grand que l’on veut. Il y a cependant quelques théorèmes assez beaux relativement à ces nombres. En voici un qui n’est d’aucune utilité pour la recherche des nombres premiers, mais qui est très remarquable par sa simplicité et sa généralité.

28Si un nombre est premier, comme 5, le produit de tous les nombres inférieurs, 2, 3, 4, plus l’unité, sera divisible par 5. Ce produit est 24 ; ajoutant l’unité on a 25, divisible par 5. Si le nombre proposé est 7, alors on fera le produit de 2 par 3, par 4, par 5, par 6, ce qui donne 720 ; ajoutant l’unité, on a 721, divisible par 7. Prenons encore 11, on aura 2 par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9, par 10, égal à 3 628 800 ; ajoutant l’unité, on a 3 628 801, divisible par 11, le quotient étant 329 891.

  • 4 Voir l’annexe 2 : Sur le théorème de Wilson.

29Ce théorème4 est un des plus beaux qu’on ait encore trouvé ; il est surtout remarquable en ce qu’il a toujours lieu lorsque le nombre proposé est premier et qu’il n’a pas lieu quand le nombre n’est pas premier, ce qui est aisé à vérifier.

30Une des perfections de notre arithmétique est de pouvoir traiter les fractions de la même manière que l’on traite les entiers.

31On vous a déjà donné une idée des décimales, mais il est bon d’insister un peu là-dessus, puisque, dans le nouveau système des poids et mesures, toutes les sous-divisions sont réduites en décimales, ce qui facilitera infiniment toutes les opérations et abolira les opérations d’arithmétique sur les nombres, qu’on appelle complexes et qui faisaient le tourment des jeunes gens qui apprenaient l’arithmétique.

32On a, sur cette matière, de très gros livres, où l’on donne des règles particulières, pour multiplier et diviser les nombres complexes, comme livres, onces, gros, grains, livres, sous et deniers, etc.

33Comme les subdivisions de ces différentes unités ne suivent pas une même loi, on avait établi autant de règles qu’il y a d’espèces différentes d’unités ; par exemple, en prenant la livre pour unité, on disait pour deux sous, il faut prendre le dixième ; pour un sou, la moitié du dixième ; pour quatre sous, le cinquième ; pour cinq sous, le quart, etc.

34Cet échafaudage tombe de lui-même au moyen de l’arithmétique décimale, puisqu’on y opère sur les fractions, comme sur les entiers.

35Tout le secret consiste dans la manière de placer la virgule, ce qui n’est pas difficile ; elle doit marquer la place des entiers et, en la reculant à gauche ou l’avançant à droite d’une ou de plusieurs places, il est clair, par la nature de la progression décuple, que le même nombre se trouve tout à coup multiplié ou divisé par dix, ou par autant de fois dix que la virgule aura fait de pas en avant ou en arrière.

36Les Italiens et les Français employent une virgule, les Anglais et les Allemands un point. J’aime mieux la virgule que le point, mais, comme la virgule est souvent employée à séparer les chiffres de trois en trois, il vaudrait peut-être mieux pour éviter toute confusion employer le point pour désigner la place des unités. Cette place étant une fois bien marquée, les opérations se font sans difficulté. Dans l’addition et la soustraction, il n’y a qu’à écrire les deux nombres, de manière que les virgules se répondent l’une au-dessous de l’autre, et placer ensuite de même celle de la somme ou de la différence. Dans la multiplication, il n’y a qu’à regarder les deux nombres comme entiers, puis séparer de droite à gauche dans le produit, autant de chiffres par la virgule, qu’il y en a de séparés ainsi dans les deux nombres : ou bien on placera la virgule dans le courant de l’opération même, lorsqu’on multipliera les unités par les unités, parce que le produit est exprimé en unités. Dans la division, il doit y avoir au quotient un nombre de décimales qui soit la différence de celles du dividende et du diviseur ; ainsi on séparera de même dans le quotient autant de chiffres de droite à gauche qu’il y en a de plus dans le dividende que dans le diviseur, après la virgule ; ou bien on placera la virgule dans l’opération, lorsqu’on divisera des unités par des unités, ou des dizaines par des dizaines, ou des centaines par des centaines.

37En général comme les décimales du quotient ne viennent que de la différence des décimales du dividende et du diviseur, on peut, sans rien changer au quotient, augmenter ou diminuer également le nombre des décimales dans ces deux nombres, c’est-à-dire avancer ou reculer également leurs virgules. Par ce moyen, on peut toujours réduire le diviseur à ne contenir que des entiers, et alors le quotient aura nécessairement autant de décimales que le dividende.

38Il n’y a dans l’usage des fractions décimales qu’une seule difficulté : c’est que leur valeur n’est le plus souvent qu’approchée. En effet, on ne peut exprimer d’une manière exacte en décimales que les fractions dont le dénominateur est ou 2 ou 5, ou composé de 2 et de 5, sans aucun autre facteur. Pour toutes les autres fractions, si on veut les réduire en décimales par la division, l’opération se continue à l’infini ; mais il arrive toujours qu’un certain nombre de chiffres du quotient se répètent ensuite à l’infini dans le même ordre. En effet, comme le reste est nécessairement moindre que le diviseur, il est clair qu’il ne peut y avoir qu’un certain nombre de restes différents ; par conséquent, dès qu’on sera parvenu de nouveau à un même reste, l’opération se continuera de la même manière, et ainsi de suite à l’infini ; ce qui donnera pour quotient un nombre où les mêmes chiffres reviendront toujours. Les Français appellent ces sortes de fractions périodiques, et les Anglais les nomment circulantes.

39Par exemple, si vous voulez réduire la fraction 1/3 en décimales, vous trouvez 0,3333 à l’infini.

40Cela paraît un inconvénient, et en effet c’en serait un si, dans l’usage ordinaire de la vie, on était astreint à une précision rigoureuse et mathématique ; mais c’est précisément ce qui n’est pas, car, dans toutes les divisions, nous avons une limite au-delà de laquelle on ne va pas : dans les monnaies, on n’allait pas au-delà d’un denier. Pour tous les besoins de la vie, il y a une limite ; il n’y aura qu’à fixer cette limite suivant la nature des unités que l’on prendra. Cette unité sera fixée à la première, seconde ou troisième décimale, qu’on n’aura pas besoin de passer.

41Voilà donc la difficulté résolue pour l’usage ordinaire, auquel ces fractions sont destinées.

42Nous sommes limités par nos sens, et c’est ce qui fixe une limite pour chaque chose.

43Ce n’est que dans les sciences qu’on cherche l’exactitude rigoureuse ; mais c’est plutôt pour la satisfaction de l’esprit, et pour fixer, en quelque manière, le but dont on doit tâcher de s’approcher le plus qu’il est possible.

44Quand on veut passer de la théorie à la pratique, on est toujours obligé de se contenter d’approximations plus ou moins exactes. Et, sous ce point de vue, on peut dire que la quadrature rigoureuse du cercle et la résolution générale des équations n’auraient pour la pratique aucun avantage sur les méthodes d’approximations que nous possédons.

45Au reste, quant aux fractions décimales périodiques, il est aisé d’avoir leur valeur exacte ; il n’y a qu’à considérer à part la partie périodique et y substituer une fraction ordinaire, dont le numérateur soit formé des mêmes chiffres qui forment la période, et dont le dénominateur contienne un égal nombre de 9, mis à la suite l’un de l’autre.

46Par exemple, la fraction 0,333... se réduit à 3/9, c’est-à-dire, à 1/3. La fraction 0,414141... se réduit a 41/99 ; et si l’on avait la fraction 0,32414141... ou la période ne commence qu’a la troisième décimale, on substituerait de même 41/99 a la partie périodique ; de sorte que la valeur exacte de la fraction sera 0,32.41/99, où il faut remarquer que la fraction 41/99 est rapportée aux centièmes ; de sorte qu’elle représente, à proprement parler, la fraction 41/9 900.

47La raison en est que si on réduit en décimales les fractions 1/9, 1/99, 1/999, par une division continuelle, on a les fractions périodiques 0,11111,..., 0,010101..., 0,001001001..., ce qu’on peut aussi démontrer a priori.

48Placiard. En développant les règles de l’arithmétique, vous avez parlé de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division. J’ai observé que les trois premières opérations se font d’abord par la droite, et que la division seule se commence par la gauche. Je désirerais que vous développassiez les raisons pour lesquelles on commence plutôt cette dernière par la gauche que par la droite. Je soupçonne qu’elles sont fondées sur le principe d’algèbre, qui prescrit d’ordonner la puissance, par rapport aux mêmes lettres.

49Lagrange. La difficulté que vous proposez est très bonne. Je vous avoue que j’y ai pensé plus d’une fois et qu’il m’a paru qu’en effet, du moins pour la correspondance, on aurait dû commencer la soustraction aussi par la gauche, car on sait que la division n’est qu’une soustraction et que la multiplication n’est qu’une addition répétée. Quoiqu’on puisse, à la vérité, commencer la soustraction par la gauche, elle est moins commode.

50Pour ce qui est de la division, on sent bien qu’on ne pourrait le faire autrement, parce qu’il faut commencer par faire l’inverse de la multiplication.

51Dans la multiplication, on commence par multiplier les unités, ensuite les dizaines et centaines. Dans la division, il faut faire l’inverse, et l’on commence par le nombre le plus grand.

52C’est là la raison de commencer l’opération par la gauche. Il est possible qu’il y ait d’autres raisons ; j’y ai pensé et n’ai rien trouvé de satisfaisant.

53Laplace. J’ajouterai aux observations de mon collègue que les opérations de l’arithmétique doivent être ordonnées, de manière que la suite de ces opérations n’influe point sur les chiffres déjà écrits ; et c’est ce qui a lieu dans la manière dont on fait ces opérations. Mais cela n’aurait pas également lieu, si l’on opérait dans un ordre contraire. Par exemple, si l’on commençait la soustraction par la gauche, on retrancherait le chiffre le plus à gauche du nombre à soustraire, du chiffre correspondant supérieur, et l’on écrirait au-dessous la différence ; en passant ensuite à la colonne à droite, on ferait une soustraction semblable ; mais, si le chiffre supérieur de cette colonne surpassait le chiffre inférieur, il faudrait emprunter une unité du premier chiffre à gauche du nombre dont on soustrait, et par conséquent diminuer d’une unité le chiffre déjà écrit de la différence.

54Le même inconvénient aurait lieu dans les autres opérations de l’arithmétique si on les pratiquait dans un ordre inverse de celui qui est adopté.

55Lagrange. Je dirai encore un mot. Vous avez vu que les fractions décimales viennent de la division, et que, dans presque toutes les divisions, le quotient se continue à l’infini. Cette continuation se fait toujours par les chiffres d’un ordre inférieur, de sorte qu’il est nécessaire de commander la division du côté où il y a une limite, pour la continuer du côté où elle peut aller à l’infini.

56Placiard. J’ai encore à faire une observation sur le système de numération.

57Le citoyen Laplace a dit, en exposant les désavantages de l’arithmétique binaire, que l’un des principaux était qu’il fallait beaucoup de caractères pour exprimer un nombre fort simple ; que, par exemple, pour 1 024, il fallait onze caractères. J’ai voulu chercher l’expression de 1 024, j’ai trouvé onze divisions à faire ; j’ai d’abord divisé par 2, et ensuite j’ai divisé le quotient par 2, jusqu’à ce que je n’aie pu continuer la division ; lorsque le dividende a été plus petit que le diviseur, j’ai eu alors 0, pour quotient, et pour reste le dividende : le dernier seul a été 1, et les autres ont été 0. J’ai remarqué qu’il fallait dénombrer ces restes dans un ordre inverse : le dernier était 1, il m’a fallu renverser ces restes, écrire 1, et à la droite mettre les dix zéros. Cette unité m’a fait 1 024, en arithmétique binaire. J’ai tâché d’étendre cette idée à l’arithmétique duodécimale ; j’ai pensé que cette règle doit être générale ; je l’ai appliquée à une arithmétique dont l’échelle était A. Il m’a fallu renverser les restes, et j’ai remarqué que ces restes, ainsi disposés, donnaient généralement l’expression du nombre.

58Laplace. La règle relative à cet objet, n’est énoncée, dans votre journal, que pour l’échelle duodécimale. Vous avez remarqué, avec raison, qu’elle s’étend à tous les systèmes de numération ; si vous vous rappeliez ce qui est dit dans le journal, vous verrez que la règle d’écrire les restes, à mesure qu’ils viennent, à la gauche les uns des autres, revient à ce que vous dites.

59Un élève. Quelle est la raison pour laquelle dans la formation des logarithmes, on a fait correspondre le zéro de la progression arithmétique à l’unité dans la progression géométrique ?

  • 5 Pour répondre à la question posée, Laplace choisit d’utiliser le langage classique des proportions (...)

60Laplace. Quel est l’objet des logarithmes ? c’est de réduire la multiplication à des additions, la division à des soustractions ; et dans ces opérations, il a fallu simplifier la chose le plus qu’il a été possible ; c’est ce qu’on a fait, en faisant correspondre le zéro de la progression arithmétique à l’unité de la progression géométrique ; vous avez toujours cette proportion géométrique ; l’unité est au multiplicateur comme le multiplicande est au produit ; et, à cette proportion géométrique, répond la proportion arithmétique : zéro est au logarithme du multiplicateur comme le logarithme du multiplicande est au logarithme du produit ; de cette manière, vous voyez que l’on a le logarithme du produit en ajouant le logarithme du multiplicateur au logarithme du multiplicande. Si l’on n’avait pas fait répondre à l’unité de la progression géométrique le zéro de la progression arithmétique, on aurait eu : le logarithme de l’unité est au logarithme du multiplicande comme le logarithme du multiplicateur est au logarithme du produit ; ainsi, dans cette proportion arithmétique, pour avoir le logarithme du produit, il eût fallu ajouter les deux termes moyens, le logarithme du multiplicateur et celui du multiplicande, et en retrancher le logarithme de l’unité ; c’eût été une soustraction continuelle à faire, si le logarithme de l’unité n’eût pas été zéro. C’est pour épargner cette soustraction, que, dans les tables, on a fait le logarithme de l’unité égal à zéro, ou ce qui revient au même, on a fait correspondre à l’unité de la progression géométrique, le zéro de la progression arithmétique5.

61Un élève. En balançant les avantages et les désavantages du calcul décimal avec ceux du calcul duodécimal, vous vous êtes étendus, avec une certaine complaisance, sur le calcul duodécimal et vous en avez fait voir tous les avantages.

62Cependant, après avoir compensé ces avantages et ces désavantages, vous vous êtes décidés pour le calcul décimal, et n’y aurait-il pas eu un certain courage à devenir législateurs en ce genre car toutes les nations vous auraient suivis ?

63Je vous demanderai donc, citoyen, si vous avez réellement cru le calcul duodécimal plus parfait.

64Lagrange. Citoyen, vous demandez si, en effet, il n’y aurait pas plus d’avantage à se servir du calcul duodécimal à la place du calcul décimal.

65Quand on considère la question d’une manière abstraite, on peut dire beaucoup de choses pour et contre, mais, après tout, comme le calcul décimal est universellement adopté non seulement de toute l’Europe mais encore de toute la terre, on peut le regarder comme une espèce de langue universelle, qu’il y aurait un grand inconvénient à changer. Si nous avions le bonheur d’avoir pour le langage usuel, comme nous l’avons pour les nombres, un langage universel, nous serions trop heureux, et il ne viendrait dans la tête de personne de vouloir le changer.

66En considérant cette question théoriquement, voici ce que l’on pourrait dire : d’abord, je crois que le calcul duodécimal présente beaucoup d’avantages, parce que le nombre douze a l’avantage d’être divisible par deux, par trois, par quatre et par six. De sorte qu’on en peut prendre la moitié, le tiers, le quart, le sixième ; et ces fractions sont si naturelles et si communes qu’on y tombe même sans le vouloir ; je crois que c’est la raison pour laquelle, dans presque tous les pays où l’on trouve le calcul décimal établi, on emploie néanmoins, pour les besoins communs et usuels, le calcul duodécimal, c’est-à-dire que l’on compte par douzaine ; il y a même des pays où l’on compte par soixantaine ; et les anciens astronomes avaient adopté, dans leurs calculs, le calcul sexagésimal, comme plus parfait que le calcul décimal à cause du grande nombre de diviseurs du nombre 60.

67Le nombre douze est celui qui a le plus de diviseurs dans l’étendue de 1 à 24 ; le nombre soixante en a le plus dans l’étendue de 1 à 120.

68Sous le point de vue des diviseurs, la question est donc décidée ; mais voici une observation.

69Quand on emploie les fractions décimales, la considération des diviseurs ou des parties aliquotes devient inutile, et je vais vous faire voir que dans l’usage ordinaire, l’emploi de ces fractions est infiniment préférable à celui des parties aliquotes ou des fractions ordinaires.

70L’essentiel, dans l’usage des nombres, c’est de s’en former une idée nette ; quand je dis un, j’ai idée d’une seule chose existante et isolée ; quand je dis deux, c’est la même chose, prise deux fois ; trois, c’est la même chose, prise trois fois ; ainsi de suite.

71Il n’en est pas de même des fractions ; l’esprit les conçoit bien moins facilement que les nombres entiers ; si je dis une demie, je conçois la même chose, partagée en deux parties ; si je dis un tiers, il faut concevoir la même chose partagée en trois parties ; tant que je n’ai qu’une fraction, cela va bien ; je saurai ce que c’est qu’un tiers, en me formant l’idée d’une chose, et en la séparant par l’esprit en trois parties ; mais quand je veux les comparer, cela n’est pas aisé, et vous verrez que, parmi les personnes qui n’ont pas exercé leur esprit à compter, il y en aura peu qui puissent vous dire sur-le-champ, de combien un demi est plus grand qu’un tiers, de combien un quart est plus grand qu’un cinquième : par exemple, on vous demande, pour faire un habit, deux aunes et un tiers de drap ; vous trouverez qu’un tiers, c’est trop, et vous ne prendriez qu’un quart ; mais vous n’avez pas une idée nette de combien un tiers est plus grand qu’un quart.

72Les fractions dont le dénominateur varie, comme 1/2, 1/3, 1/4, quoique les plus simples

73en elles-mêmes, sont, par cette raison, les moins commodes dans l’usage, parce qu’elles sont difficiles à comparer entre elles ; il y a, en effet, peu de personnes qui puissent dire sur le champ de combien un cinquième est plus grand qu’un septième ; et vous avez vu, parce qu’on vous a dit, qu’il faut faire un certain calcul pour les réduire au même dénominateur ; notre esprit ne conçoit et ne compare facilement que les nombres fractionnaires dont le dénominateur est le même, parce qu’il regarde le dénominateur comme un tout dont il voit les différentes parties. Cet inconvénient n’a pas lieu dans l’arithmétique décimale ; car l’avantage des fractions décimales est d’avoir toujours le même dénominateur, ou de pouvoir y être rapportées très aisément ; de sorte que, depuis un jusqu’à dix, vous avez un seul dénominateur, et de même depuis 1 jusqu’à 100, et ainsi de suite : si on vous demande, par exemple, trois mètres et trois décimètres d’une étoffe, et que l’on trouve qu’il n’y en a pas assez, on en prendra quatre ou cinq décimètres etc. à la place de trois, et on saura toujours au juste de combien vous augmentez, ce que vous ne savez pas dans les fractions ordinaires ; si vous allez jusqu’aux centimètres, et que, par exemple, vous preniez trois décimètres cinq centimètres, quoique le dénominateur soit changé, vous pourrez aisément réduire vos fractions décimales en donnant à vos décimètres le nom de dizaine, et vous aurez trente-cinq centimètres ; par ce moyen vous aurez toujours un dénominateur constant, quelque petites que soient vos fractions décimales.

74Il me semble que cette raison doit surtout vous faire préférer ces sortes de fractions pour les usages ordinaires ; parce que, de cette manière, on aura des nombres fractionnaires une idée aussi nette que des nombres entiers.

75On voit aussi par là, qu’il est indifférent que le nombre qui suit la base du système, comme le nombre 10 dans notre système décimal, ait des diviseurs ou non ; peut-être même y aurait-il, à quelques égards, de l’avantage à ce que ce nombre n’eût point de diviseurs, comme le nombre 11, ce qui aurait lieu dans le système un décimal, parce qu’on en serait moins porté à employer les fractions 1/2, 1/3, etc.

Notes

1 Dans l’Avertissement situé en tête des Séances des Écoles Normales, il était explicitement indiqué, qu’en un sens tous les professeurs improviseraient. Lagrange joue ce jeu pour les débats mais a contrario, ne peut-on induire qu’il écrivait ses cours à l’avance ? En tout cas, le style de Laplace est beaucoup trop travaillé pour qu’il provienne de la seule inspiration du moment.

2 Lagrange se trompe : l’écriture δε’ signifie en fait 4/5.

3 Les logarithmes furent traités deux jours plus tôt par Laplace, le 9 pluviôse, dans sa 2e leçon, déplacée d’un primidi à un nonidi. Quoi qu’il en dise, Lagrange fera de toute façon l’historique des logarithmes cinq jours plus tard.

4 Voir l’annexe 2 : Sur le théorème de Wilson.

5 Pour répondre à la question posée, Laplace choisit d’utiliser le langage classique des proportions et d’envisager le logarithme comme la fonction qui transforme une proportion géométrique en une proportion arithmétique. En l’occurrence, il utilise x/1 = xy/y et log x – log 1 = log xy – log y. Or la théorie des proportions allait quasiment être ignorée dans les leçons de l’École normale, en dehors des développements propres à la règle de trois fournis par Lagrange. Laplace aurait pu choisir le langage des puissances pour s’expliquer : a0 = axx = ax/ax = 1, comme il le fera à la leçon suivante, sa troisième (cf. p. 62). Pris sur le vif, retournant aux images classiques, Laplace n’a pas le même répondant que Lagrange, qui, en un sens, est plus conservateur que son cadet dans le texte écrit.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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