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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Lagrange

La méthode critique du « mathématicien-philosophe »

Amy Dahan Dalmédico

Texte intégral

« Exquis de simplicité et de gaucherie,
son génie domine tous les autres... »

1Quand lagrange aborde l’École normale de l’an III, c’est un mathématicien à l’œuvre impressionnante dans presque tous les domaines mathématiques, œuvre très profonde, et qui jouit d’un prestige considérable. Mais, à 59 ans, il n’a pas délivré d’enseignement depuis plus de trente ans et ne s’est intéressé qu’à la recherche et à l’élaboration de nouvelles théories. Comment, dans ces conditions, va-t-il bien donner des « leçons élémentaires » ? Comment apprécier son rôle dans l’École et sa participation au projet même qu’elle représente ?

2Pour répondre à ces deux interrogations, il nous faut d’abord rappeler brièvement sa vie et sa personnalité en évoquant la part de l’algèbre et de la théorie des nombres dans son œuvre puisque ses leçons portent exclusivement sur ces domaines, les relations qu’il a entretenues très tôt avec certains savants français, notamment Laplace qui devient son collègue à l’École normale, et la place qu’il occupe dans le milieu scientifique parisien à partir de 1787.

Une vie en trois capitales

3La vie de Lagrange se divise en trois périodes. La première se déroule à Turin, ville où il est né en 1736, et où il demeure jusqu’en 1766. La seconde se rapporte à son séjour à Berlin de 1766 à 1787 et à son activité au sein de l’Académie de cette ville. Enfin la troisième se situe à Paris, où il restera jusqu’à sa mort.

  • 1 Ces cours viennent d’être édités par M. L. Pepe.

4A 19 ans, Lagrange révèle des dons brillants pour les mathématiques en envoyant à Euler une lettre contenant les premiers éléments de sa méthode analytique de maxima et minima, ce qui va devenir plus tard le calcul des variations, Euler se trouve vivement intéressé. A Turin même, rapidement jugé à sa vraie valeur, Lagrange est nommé professeur aux Écoles Royales d’Artillerie : pendant plusieurs années il y donne des cours sur la mécanique, le calcul différentiel et le calcul intégral. C’est le seul enseignement effectué par Lagrange avant son arrivée à Paris. Les cours de Turin sont restés manuscrits1 et sans doute ont-ils été peu connus de la communauté européenne de l’époque. En revanche, la notoriété de Lagrange grandit rapidement d’abord grâce à ses travaux dans le domaine de la mécanique, à laquelle il applique sa méthode de calcul des variations.

5Lagrange est en correspondance avec Euler, puis aussi avec Maupertuis, alors président de l’Académie de Berlin, et dès l’année suivante, en 1756, il est élu associé étranger à cette académie.

6Avec quelques autres hommes de science turinois, Lagrange fonde une société scientifique qui publie un recueil rédigé en français et en latin, les Miscellanea Taurinensia ou Mélanges de Turin. La contribution de Lagrange y est fondamentale. Avec les trois premiers tomes parus successivement en 1759, 1762, 1766, Lagrange se place d’emblée au premier rang des géomètres de l’Europe. En particulier dans ses deux mémoires, Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et minima des formules intégrales indéfinies et Application de la méthode précédente à la solution de différents problèmes de Dynamique, il rend publiques ses méthodes variationnelles et propose une première unification de la mécanique à partir du principe de moindre action. Cette synthèse préfigure celle qu’il mène à bien dans la première édition de la Mécanique analytique en 1788 ; « la marche analytique qui depuis a fait le caractère des grandes productions de Lagrange y est déjà à l’œuvre », dira Delambre dans son éloge du mathématicien [Delambre, 1813]. Honnis des travaux sur la mécanique et la propagation du son, les autres mémoires de Lagrange portent sur divers points d’analyse et de calcul intégral. De plus, Lagrange se fait connaître des savants parisiens en participant au concours de l’Académie des sciences de Paris pour l’année 1764 portant sur la libration de la Lune. Il remporte le prix avec une contribution éclatante.

  • 2 La correspondance de Lagrange avec Condorcet est publiée dans le tome 14 des Œuvres de Lagrange [18 (...)

7D’ailleurs Lagrange entreprend, en novembre 1763, un voyage à Paris. Il y est fort bien accueilli par les milieux scientifiques parisiens et il fait la connaissance de d’Alembert, Condorcet, Clairaut, Fontaine, etc... Avec les deux premiers, il se lie d’une vraie amitié et entretiendra pendant vingt ans une correspondance assidue et très proche. A propos de ce séjour à Paris, Lagrange écrit à Condorcet le 19 octobre 1773 : « Il y a bientôt dix ans que j’ai eu le bonheur de faire votre connaissance à Paris, et que j’ai conçu pour vous le plus tendre attachement. Je regarde toujours cette époque comme la plus heureuse de ma vie2 » [Lagrange, 1892, p. 14].

  • 3 Cette lettre est citée dans l’introduction du volume des Opera Omnia d’Euler consacré à la correspo (...)

8Plusieurs témoins français notent sa modestie, son aspect sérieux et réservé, sa santé délicate. Clairaut le décrit ainsi à Daniel Bernoulli : « un jeune homme très singulier tant par ses talents que par sa modestie, son caractère est doux et mélancolique ; il ne connaît d’autre plaisir que l’étude et semble s’y livrer plus par indolence que par ambition3 ».

9Pendant son retour vers l’Italie en 1765 Lagrange, sur les conseils de d’Alembert, rend visite à Voltaire, qui lui fait bon accueil. Il en rend compte ainsi à d’Alembert : « Il était ce jour là en humeur de rire, et ses plaisanteries tombaient toujours, comme de coutume, sur la religion, ce qui amusa toute la compagnie. C’est en vérité un original qui mérite d’être vu » (cf. [Itard, 1970]).

  • 4 Cf. la correspondance d’Alembert-Lagrange à ce sujet [Lagrange, 1882, p. 53, 58, 60 à 75].

10En août 1765, il participe à un deuxième concours de l’Académie de Paris sur les inégalités du mouvement des satellites de Jupiter et remporte le prix. Mais sa situation matérielle à Turin est médiocre ; d’Alembert, alors proche du roi de Prusse Frédéric II, fait en sorte qu’on lui propose un poste très avantageux à Berlin. Tant qu’Euler s’y trouvait, Lagrange ne pensait pas pouvoir s’y rendre, mais quand il apprend qu’Euler quitte la ville pour Saint-Pétersbourg, il accepte de lui succéder4.

11Pendant près de vingt ans, Lagrange va mener à Berlin une vie calme et régulière, entièrement consacrée à la recherche. Il dirige les travaux de l’Académie en mathématiques et s’occupe de la publication principale de celle-ci. Lagrange présente aussi ses propres mémoires, entretient une correspondance scientifique avec de nombreux savants. Il n’a plus aucune fonction d’enseignement. Discret, se mettant à l’écart de toute querelle personnelle, religieuse ou idéologique, satisfait de sa situation matérielle et dépourvu de toute ambition pour l’améliorer, Lagrange se fait bien accepter par les Prussiens et estimer par Frédéric II, ce qui n’avait pas toujours été le cas d’Euler et encore moins celui de Lambert.

12Pressé instamment par d’Alembert, Lagrange participe sur des questions de mécanique céleste à plusieurs concours de l’Académie des sciences de Paris. Outre les deux premiers déjà cités qui datent de la période turinoise, il y aura : Sur la théorie de la Lune (problème des trois corps) (concours de 1772), Sur l’équation séculaire de la Lune (celui de 1774), Sur les perturbations du mouvement des comètes sous l’action des planètes (celui de 1780) ; auxquels s’adjoignent d’autres travaux dans le même domaine : Sur le mouvement des nœuds des orbites planétaires (1776), Sur l’altération des moyens mouvements des planètes (1779), etc. La mécanique céleste et l’astronomie sont des domaines où Lagrange est et restera actif pratiquement toute sa vie. Il remporte toujours le prix ou le partage éventuellement.

La correspondance avec Laplace

  • 5 Un des principaux effets de l’attraction mutuelle des planètes est le changement de situation de le (...)

13En 1773, Lagrange commence une correspondance avec Laplace qui dure au moins jusqu’en 1785, deux ans avant son installation à Paris. Lagrange reconnaît immédiatement la valeur de son cadet et leurs échanges portent sur tous les sujets où ils interviennent tous deux : la théorie des inégalités séculaires des planètes5, la mécanique des fluides, l’intégration des équations linéaires aux différences finies, etc. Relativement à la première théorie, Lagrange écrit à d’Alembert, le 29 mai 1775 : « Ce que M. de la Place a fait sur cette matière m’a beaucoup plu et je me flatte qu’il ne me saura pas mauvais gré de ne pas tenir l’espèce de promesse que j’avais faite de la lui abandonner entièrement, je n’ai pas pu résister à l’envie de m’en occuper de nouveau, mais je ne suis pas moins charmé qu’il y travaille aussi de son côté, je suis même fort empressé de lire ses recherches ultérieures sur ce sujet... » [Lagrange, 1882, p. 229].

14Quand Laplace lui envoie son Mémoire sur la probabilité des causes par les événements, Lagrange lui répond en soulignant la « nouveauté de la matière mais surtout la dextérité singulière avec laquelle vous (Laplace) maniez ce genre d’analyse » [Lagrange, 1892, p. 58]. Le 10 juillet 1778, il écrit encore à d’Alembert : « Les nouveaux pas que M. de la Place a faits dans la théorie du flux et du reflux sont dignes de lui et du rang qu’il tient du premier de vos disciples en France. S’il continue ainsi, votre patrie n’aura pas à craindre le sort de l’Angleterre après la mort de Newton » [Lagrange, 1882, p. 339]. De son côté, Laplace exprime à plusieurs reprises son admiration pour les travaux de son aîné [Lagrange, 1892, p. 129].

15Ainsi, bien qu’en rivalité implicite dans plusieurs domaines, notamment de mécanique céleste, le ton des échanges entre les deux hommes est toujours courtois, de grande estime réciproque et même amical au fil des années. S’il n’a pas la chaleur et la tendresse affectueuse que revêt la correspondance de Lagrange avec d’Alembert ou avec Condorcet, on n’y décèle pas de traces de rancœur ou de jalousie.

16Mais dès son arrivée à Berlin, Lagrange, qui témoigne d’un intérêt très large pour toutes les parties des mathématiques et d’une activité de recherche intense, se lance aussi dans des domaines très éloignés de la mécanique et du calcul intégral. Il s’agit de la théorie des équations algébriques d’une part, de l’analyse indéterminée ou théorie des nombres d’autre part, domaines auxquels Laplace ne s’est pratiquement jamais intéressé.

La théorie des nombres

17Le 16 juin 1768, Lagrange écrit à d’Alembert : « Je me suis occupé ces jours passés, pour diversifier un peu mes études, de quelques problèmes d’Arithmétique, et je vous assure que j’y ai trouvé beaucoup plus de difficultés que je ne croyais » [Lagrange, 1882, p. 118]. Les premières recherches de Lagrange portent sur la résolution en nombres entiers de l’équation dite de Pell-Fermat x2 – ay2 = 1, quand a est un nombre donné non carré. Lagrange écrit à son ami que ce « problème est d’une grande importance dans la théorie des quantités carrées qui font le principal objet de l’analyse de Diophante. Les géomètres du siècle passé s’y sont fort appliqués, mais nous n’avons que je sache, que la solution de Wallis qui est d’ailleurs fort imparfaite et qui ne consiste que dans une espèce de tâtonnement. Au reste j’ai trouvé à cette occasion de très beaux théorèmes d’Arithmétique... » En fait, Lagrange obtient au cours de ces années 1767-1771 de nombreux résultats sur les problèmes indéterminés ou équations diophantiennes (auxquels il applique très subtilement la théorie des fractions continues), sur la décomposition d’un nombre en somme de quatre carrés ou plus, sur le théorème de Wilson, sur la théorie des restes etc. (sur tous ces résultats, voir les annexes 1, 2, 3, 4, aux leçons de Lagrange, Laplace et Monge) Mais, s’il fait part de ses résultats à ses amis parisiens, Lagrange sait que cela ne les intéresse guère et il s’en excuse presque. Il ne reçoit de Paris que les compliments d’usage, dus à l’amitié et à son prestige. Mais on peut dire qu’avant Legendre il n’a, de ce côté de l’Europe, aucun lecteur averti.

18Son seul interlocuteur est Euler à Saint-Pétersbourg ; celui-ci a lui-même consacré de nombreuses et fécondes études à ces questions, études que connaît parfaitement Lagrange et qui constituent sa première source d’inspiration. La première lettre d’Euler, datée du 16 janvier 1770, concerne justement les équations de Pell-Fermat ([Lagrange, 1892, p. 214] et [Euler, 1980, p. 466]). Euler, déjà aveugle et qui ne peut lire seul les résultats de Lagrange, lui explique, sur l’exemple 101=p2 – 13q2, ses difficultés à appliquer sa méthode.

19L’échange entre les deux hommes se développe sur cet exemple, comme sur l’utilisation a priori paradoxale des nombres irrationnels et des imaginaires dans « cette espèce d’analyse, qui est uniquement attachée aux nombres rationnels ». Ainsi Euler écrit qu’il a montré, dans son Algèbre en cours de publication en russe et en allemand, que pour résoudre l’équation

20x2 + ny2= (p2+ nq2)λ,

21on n’a qu’à résoudre l’équation

22x + y √ – n = (p + q √ – n)λ,

23mais qu’il n’a pas poussé ses recherches au delà des racines carrées [Euler, 1980, p. 467].

24A la réception de cette Algèbre, Lagrange est très intéressé par la partie du livre d’Euler sur l’analyse diophantienne. « Je la trouve d’autant plus précieuse, écrit-il, qu’il n’existe encore, que je sache, aucun livre où cette branche de l’analyse soit traitée d’une manière tant soit peu satisfaisante. » Il convainc Jean Beraoulli III (1744-1807), fils de Daniel, d’en faire la traduction en français ; et il ajoute au deuxième tome ses fameuses Additions sur l’Analyse indéterminée [Lagrange, 1773] dans lesquelles il reprend tous les thèmes initiaux de ses mémoires antérieurs. L’ensemble constitue le premier traité systématique sur le sujet.

25Quand Euler reçoit l’ouvrage publié à Lyon, il se contente de remercier Lagrange brièvement et de mentionner « ses très profondes recherches sur l’Analyse indéterminée » sans faire de vrai commentaire sur le fond [Euler, Taton, Youschkévitch, 1980, p. 58]. Si quelques lettres d’Euler parlent encore de théorie des nombres (voir l’annexe 2 : Sur le théorème de Wilson), Lagrange a dû néanmoins être fort déçu du peu d’écho de ce livre, surtout de la part de la seule personne à même d’en mesurer les mérites.

26Peu après, Lagrange publie un mémoire capital, modestement intitulé Recherches d’Arithmétique [Lagrange, 1775-1777] qui porte sur la théorie des formes quadratiques. A partir du problème de la résolution en nombres entiers de l’équation

27ax2 + bxy + cy2 = n.

28Lagrange pose la double question suivante :

  1. quels entiers la forme du premier membre peut-elle représenter ?

  2. peut-on trouver toutes les représentations similaires d’un nombre entier donné ? La forme quadratique pouvant être symbolisée par le triplet (a, b, c), Lagrange est conduit à une classification des formes quadratiques suivant leur discriminant b2 — 4ac, et à la notion d’automorphisme d’une forme. Ce mémoire sera le point de départ de travaux de Legendre et Gauss.

29Lagrange, sans doute lassé par ce travail solitaire et très abstrait, écrit à d’Alembert le 6 juillet 1775 : « Je ne serais pas surpris que vous fussiez peu satisfait de ce que j’ai donné dans ce volume, car je ne l’en suis guère moi-même. Les recherches d’arithmétique sont ce qui m’a coûté le plus de peine, et ce qui vaut peut-être le moins. Je crois que vous n’avez jamais eu envie de flairer un peu ces sortes de matières, et je ne crois pas que vous ayez tort » [Lagrange, 1882, p. 301]. Pourtant, comme le fait remarquer J. Itard [1970], Lagrange est conscient, ô combien à juste titre, de la valeur de ses travaux qui ouvrent la voie aux mathématiques abstraites du xixe siècle.

La théorie des équations

30Revenons en arrière. En même temps qu’à la théorie des nombres, Lagrange s’est beaucoup intéressé, au cours de ses dix premières années berlinoises, à la théorie des équations, tant du point de vue de leur résolution algébrique que numérique.

31Pour la résolution numérique [Lagrange, 1769-1770] la grande originalité de Lagrange est l’emploi de la théorie des fractions continues (et de plusieurs algorithmes qui en sont dérivés), théorie qu’il développe aussi pour ses recherches en analyse indéterminée. Il établit ainsi qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre soit un irrationnel quadratique, est que son développement en fraction continue soit périodique (voir l’annexe 4 : Sur les fractions continues).

32Dans ces mémoires, Lagrange fait référence aux travaux antérieurs, notamment à ceux de Cramer, et à un mémoire de Bézout présenté à l’Académie des sciences de Paris en 1764. Il perfectionne des résultats, simplifie des méthodes tant sur l’équation des différences, les règles d’élimination, que l’encadrement des racines, etc... Dans ce domaine, ses travaux sont immédiatement assimilés par ses contemporains, qui les reprennent et quelquefois les prolongent. Par exemple, quand Lagrange reçoit la Théorie des Équations de Bézout en 1779, il lui écrit pour le remercier : il est « frappé et enchanté » par le traitement de plusieurs questions sur lesquels il a travaillé lui-même [Lagrange, 1892, p. 276]. Un précis des méthodes de Lagrange pour la résolution numérique est intégré dans les Suppléments de l’Encyclopédie que rédige Condorcet en 1777, puis dans les articles de l’Encyclopédie Méthodique éditée par Panckoucke, articles rédigés encore par Condorcet avec la collaboration de l’abbé Bossut. Ces méthodes deviennent rapidement des classiques (voir l’annexe 9 : Sur la résolution numérique).

  • 6 Voici comment Lagrange présente le principal théorème de son mémoire, dans une lettre à d’Alembert (...)

33Lagrange trouve par ailleurs une « Nouvelle Méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries » [Lagrange, 1771], mais il s’agit d’une méthode de type analytique qui concerne aussi bien les équations transcendantes que les équations algébriques, et il l’applique à l’équation de Kepler t = x + n sin x [Lagrange, 1771]. Ces travaux qui portent sur ce qu’on a appelé le « théorème de Lagrange6 » passionnent tant Euler et son disciple Lexell que les savants français, d’Alembert, Condorcet et Laplace, qui tentent d’en parfaire la démonstration.

34Mais la résolution algébrique des équations de degré supérieur à quatre, — c’est-à-dire la recherche d’une expression algébrique composée avec les coefficients de l’équation donnée, et qui, substituée à l’inconnue, satisfasse identiquement à cette équation —, reste un point non élucidé, crucial en algèbre. Le point culminant des recherches de Lagrange sur le sujet est le mémoire Réflexions sur la résolution algébrique des équations [Lagrange, 1770-1771]. Ce mémoire, extraordinaire par sa composition et sa démarche, représente un bilan méthodologique de toutes les recherches antérieures ; de nouvelles notions très profondes relatives à la théorie des substitutions, et au-delà à la théorie des groupes, y affleurent.

35Au même moment, en novembre 1770, Vandermonde présente à l’Académie des sciences de Paris une étude analogue à celle de Lagrange, et tout à fait indépendante. Publiée en 1774, Lagrange reconnaît d’emblée la valeur du travail de son collègue français : « M. de Vandermonde me paraît un grand analyste et j’ai été très enchanté de son travail sur les équations » (lettre du 24 février 1774 à Condorcet [Lagrange, 1892, p. 18]). Vandermonde s’intéresse surtout à la résolubilité par radicaux des équations cyclotomiques xp – 1 = 0 ; il ne mène véritablement sa méthode à bien que pour l’équation x11 – 1 = 0, dont il exprime les solutions au moyen de racines carrées, grâce à une résolution habile d’une équation de degré cinq. Avec Lagrange, il est le premier utilisateur de la notion de « substitution » dans l’ensemble des racines d’une équation algébrique et son mémoire fin et subtil marque de façon significative la genèse de l’algèbre moderne. Gauss développera brillamment l’idée de Vandermonde en s’appuyant systématiquement sur les propriétés arithmétiques de l’exposant p et l’existence de racines primitives de congruences [Gauss, 1801].

36Vandermonde s’éloigne bien vite du domaine de l’algèbre et même des mathématiques ; le sujet qu’il avait abordé avec tant de bonheur était-il trop abstrait et en avance sur son temps ? On peut regretter que Lagrange et Vandermonde ne soient pas entrés en relation directe à l’époque de leurs recherches presque simultanées. Pendant près de trente ans, il ne se passe rien dans cette direction de la résolution algébrique. Vandermonde s’intéresse bientôt à diverses questions de technique et d’économie. Il devient un ardent révolutionnaire, membre actif de la Commune de Paris et du Club des Jacobins, très proche de Monge. Quand Lagrange le rencontre à Paris, à l’Académie puis à l’École normale où Vandermonde est chargé du cours d’économie politique, la théorie des équations est certainement inscrite, pour le géomètre français, dans un passé révolu.

37Le mémoire de Lagrange sur la résolution des équations par radicaux lui a coûté bien des efforts et le 19 octobre 1773 il écrit à ce propos à Condorcet : « Je suis très aise de m’être débarrassé de cette matière qui m’a occupé plus longtemps qu’elle ne devait ». A d’Alembert il dit s’y être « embourbé mal à propos » [Lagrange, 1882, p. 264]. Lagrange publie aussi des recherches relatives au théorème fondamental de l’algèbre, auquel il s’était intéressé dès ses débuts à Turin, en particulier un mémoire Sur la forme des racines imaginaires des équations [Lagrange 1774] (voir l’annexe 6 : Sur le théorème fondamental de l’algèbre).

38Finalement tant le mémoire sur la théorie des équations que les recherches de théorie des nombres, trouvent peu d’écho immédiat, sans doute en raison de leur haut degré d’abstraction et de leur caractère trop précurseur et, vis-à-vis de ses correspondants parisiens, Lagrange a tendance à paraître en être excédé. Il est d’ailleurs remarquable que Delambre, dans sa notice nécrologique, soit pratiquement muet sur ces sujets. Et pourtant le mémoire de Lagrange sera le point de départ des travaux des fondateurs de la nouvelle algèbre, Gauss (1801), Cauchy (1815), Abel (1824) et Galois (1829).

39A partir de 1777, Lagrange revient à l’analyse et à la mécanique céleste. Il prépare dans les années suivantes, le manuscrit de sa fameuse Mécanique analytique et ne publie plus rien en algèbre et théorie des nombres pendant presque vingt ans, jusqu’aux Leçons de l’École normale et surtout au Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés [1798] (voir l’annexe 9 : Sur la résolution numérique).

Le départ vers Paris

40En 1781, la cour de Naples propose à Lagrange un poste qu’il refuse. Mais la mort de sa femme en août 1783, suivie en août 1786 de celle de Frédéric II — son protecteur depuis son arrivée à Berlin — le laissent assez désemparé, et même déprimé [Taton, 1988]. La montée sur le trône d’un nouveau monarque l’inquiète. Il envisage cette fois de quitter Berlin. Quand la nouvelle se répand en Europe, les différentes cours d’Italie (Naples, Toscane, Sardaigne) rivalisent de zèle pour l’attirer dans son pays natal. Mais, de Paris aussi, on le sollicite.

  • 7 Cette lettre est citée par [Taton, 1988]. Cet article nous a fourni, à ce propos, la plupart des in (...)

41Mirabeau, en visite à Berlin pour une mission diplomatique officieuse, écrit à l’abbé de Périgord, le 28 novembre 1786, afin que le gouvernement français fasse des offres avantageuses au savant : « L’illustre la Grange, le premier géomètre qui ait paru depuis Newton, et qui, sous tous les rapports de l’esprit et du génie, est l’homme d’Europe, qui m’a le plus étonné, la Grange le plus sage, et peut-être le seul philosophe vraiment pratique qui ait vraiment existé, recommandable par son imperturbable sagesse, ses mœurs, sa conduite de tout genre...7 ». De son côté Lagrange écrit à son père le 24 mars 1787, à propos d’une offre de « premier professeur de mathématiques » auprès du roi de Sardaigne : « D’ailleurs je n’ai jamais aimé les mathématiques pour les enseigner, ce que beaucoup peuvent faire, mais uniquement pour le plaisir de contribuer à leurs avancements » (cité par [Taton, 1988]). L’Académie de Paris, « premier tribunal de l’Europe pour les Sciences », a beaucoup d’attraits pour lui.

42Finalement, Lagrange opte pour la France et s’installe à Paris en juin 1787. Il reçoit une pension de 6 000 livres, valable à partir du 1er janvier 1787 et une gratification supplémentaire de 4 000 livres en dédommagement de ses frais de voyage et d’installation ; les régimes politiques successifs respecteront toujours leurs engagements à son égard. Delambre le décrit à cette époque dans les termes suivants, et ce témoignage, rare, est très précieux : « On lui donna un logement au Louvre, il y vécut heureux jusqu’à la Révolution. La satisfaction dont il jouissait se répandait peu au-dehors : toujours affable et bon quand on l’interrogeait, il se pressait peu de parler, paraissait distrait et mélancolique ; souvent dans une réunion qui devait être selon son goût au milieu de ces savants qu’il était venu chercher de si loin parmi les hommes les plus distingués de tout le pays qui se rassemblaient toutes les semaines chez l’illustre Lavoisier, je l’ai vu rêveur, debout contre une fenêtre où rien n’attirait ses regards, il y restait étranger à tout ce qui se disait autour de lui ; il avouait lui-même que son enthousiasme était éteint, et qu’il avait perdu le goût des recherches mathématiques.

43S’il apprenait qu’un géomètre s’occupât de quelque travail, « tant mieux, disait-il, je l’avais commencé, je serais dispensé de l’achever ».

  • 8 A propos de la notice nécrologique de Lagrange par Delambre, on peut lire l’article de I. Grattan-G (...)

44Mais cette tête pensante ne pouvait que changer l’objet de ses méditations. La métaphysique, l’histoire de l’esprit humain, celle des différentes religions, la théorie générale des langues, la médecine, la botanique, s’étaient partagés ses loisirs. Quand la conversation se portait sur les matières qui paraissaient lui devoir être les plus étrangères, on était frappé d’un trait inattendu, d’une pensée fine, d’une vue profonde qui décelaient de longues réflexions8. »

L’esprit encyclopédique

45Le qualificatif de « seul philosophe », que lui avait donné Mirabeau, pouvait être l’effet d’une admiration trop excessive pour être tout à fait authentique, mais ces lignes de Delambre suggèrent que le mathématicien Lagrange, créateur particulièrement profond et pénétrant dans son domaine, ami de longue date de d’Alembert et de Condorcet, participait pleinement de l’état d’esprit des Encyclopédistes. Il mettait à profit la pause de son activité mathématique pour s’intéresser aux sujets les plus divers auxquels il n’avait pas eu le temps de réfléchir auparavant. De tempérament modeste, Lagrange n’a rien écrit sur ces sujets. « Doux et même timide dans la conversation, il aimait particulièrement à interroger soit pour faire valoir les autres, soit pour ajouter leurs réflexions à ses vastes connaissances. Quand il parlait c’était toujours sur le ton du doute et sa première phrase commençait toujours par je ne sais pas », rapporte encore Delambre.

  • 9 On sait notamment que Lagrange a travaillé, avec Hassenfratz, sur la physiologie de la respiration, (...)

46Pourtant sur un sujet au moins, à savoir la révolution chimique opérée par Lavoisier et la création du nouveau langage de cette discipline, il semble bien que les idées de Lagrange, appuyées sur sa conception des mathématiques et nourries de thèmes condillaciens (comme ceux de la langue et du langage), aient marqué de façon significative ses contemporains. Voici comment Delambre évoque cette question : « Entouré de Chimistes qui venaient de réformer toutes les théories, et jusqu’au langage de leur science, il se mit au courant de leurs découvertes qui donnaient à des faits auparavant isolés et inexplicables cette liaison qu’ont entre elles les différentes parties des Mathématiques : il consentit à acquérir ces connaissances9 qui lui avaient autrefois semblé si obscures, et qui étaient devenues aisées comme l’algèbre. On a été étonné de cette comparaison, on a cru qu’elle ne pouvait venir à l’esprit que d’un Lagrange. Elle nous paraît aussi simple que juste, mais il faut la prendre dans son véritable sens. L’Algèbre qui présente tant de difficultés contre lesquelles sont venus se briser tous les efforts de Lagrange lui-même, ne pouvait lui paraître une étude si facile ; mais il comparait les éléments de la Chimie à ceux de l’Algèbre ; ces nouveaux éléments faisaient corps, ils étaient intelligibles ; ils offraient plus de certitude ; ils ressemblaient à ceux de l’Algèbre qui, dans la partie qui est faite, n’offre rien de bien difficile à concevoir, aucune vérité à laquelle on ne puisse parvenir par une suite de raisonnements de l’évidence la plus palpable. »

47Nous reviendrons sur la conception de l’algèbre de Lagrange et l’importance qu’il a toujours accordée aux méthodes analytiques, mais remarquons déjà que le rapprochement entre algèbre et chimie intéresse au premier chef les adeptes, comme Garat, de la « philosophie de l’analyse » prônée par Condillac, dont la participation va être déterminante dans la création de l’École normale. En effet les deux thèmes philosophiques qui sont déjà au cœur de la philosophie de Condillac, à savoir :

  • le thème de la langue scientifique,

  • la dualité analyse-synthèse,

48semblent trouver des lieux d’illustrations exemplaires tant à propos de la chimie qu’à propos de l’algèbre (conçue généralement comme méthode analytique, ou géométrie analytique par opposition à géométrie pure).

Les événements révolutionnaires

49Lagrange a certainement été inquiet des troubles de la Révolution et a même, fugitivement, pensé revenir à l’Académie de Berlin qui n’aurait pas demandé mieux que de récupérer l’illustre géomètre. Mais il a été néanmoins curieux de cette secousse formidable et absolument inédite. Le 24 octobre 1791, il écrit à un prince non identifié : « Pour n’avoir été que simple spectateur de tous les événements qui sont arrivés, je n’en ai pas moins été affecté. Maintenant que la tranquillité et l’ordre sont rétablis, je ne regrette pas d’avoir assisté à un spectacle, le plus intéressant pour les philosophes mêmes, celui d’une grande nation qui se crée un nouveau gouvernement, non par la force des armes, mais par celle de la parole et de l’opinion publique » [Lagrange, 1892, p. 283-284]. Il propose à son correspondant de passer par Paris : « Nous pourrions y philosopher quelquefois sur la vanité et la fragilité des choses humaines, dont on a eu ici un grand exemple ».

50Fidèle aux mêmes principes de loyauté et de réserve vis-à-vis du pays qui l’accueille, Lagrange assiste aux événements de France et accepte toutes les responsabilités que les pouvoirs successifs lui confient : Commission du système des poids et mesures en 1790, Bureau des computations balistiques du gouvernement révolutionnaire en 1793 (à la demande du chimiste Guyton de Morveau, président en avril du Comité de salut public), puis charges d’enseignement à l’École normale et à l’École polytechnique, enfin participation au Bureau des longitudes en 1795.

51Dans sa lutte contre l’ennemi, le Comité de salut public fait appel au concours des savants les plus illustres et la science est directement mobilisée pour la défense de la Nation. Et la « mobilisation des savants de l’an II » [Mathiez, 1917] porte ses fruits, notamment dans le domaine de la fabrication « révolutionnaire » des poudres, grâce à l’École des armes. Celle-ci sert de prototype et de modèle, du point de vue des principes, pour les deux autres projets du Comité d’instruction publique.

52Lagrange est à l’écart des débats institutionnels sur l’instruction, qui ont lieu dans les comités de la Convention, ou dans certaines commissions qui dépendent de ceux-ci. Alors que plusieurs savants (Borda, Lavoisier, Laplace, Coulomb, Brisson et Delambre) sont éliminés, fin décembre 1793, de la Commission des poids et mesures par un arrêté du Comité de salut public signé de Prieur, Lagrange, lui, n’est pas touché. On sait sans doute que la science seule l’intéresse, et son prestige est trop grand pour qu’il puisse être inquiété.

53Pourtant, les événements du printemps 1794 ont dû être particulièrement douloureux pour Lagrange : son vieil ami Condorcet se suicide le 29 mars ; Lavoisier avec lequel il était très lié depuis son installation en France, est guillotiné le 8 mai. Le lendemain de ce deuil, Lagrange déclare à Delambre : « Il ne leur a fallu qu’un moment pour faire tomber cette tête, et cent années peut-être ne suffiront pas à en produire une semblable ». Mais le vent tourne au cours de l’été. Pour résoudre la crise de l’instruction, toutes les compétences sont à nouveau sollicitées. Les projets de l’École polytechnique et de l’École normale, conçus lors de la Terreur, voient, après la chute de Robespierre, leur mise en œuvre réalisée.

Lagrange à l’École centrale des travaux publics de l’an III

54Le 28 septembre 1794, sous le nom d’École centrale des travaux publics, la future École polytechnique est créée. (Elle acquiert son nom définitif le 15 septembre suivant.) Elle a pour objet de former « les ingénieurs en tout genre » et de contribuer à « rétablir l’enseignement des sciences exactes qui avait été suspendu par les crises de la Révolution ». Quelle a été la place de Lagrange dans cette École ?

55On sait qu’à l’École centrale une première session de « cours révolutionnaires » est inaugurée le 1er nivôse (21 décembre 1794) ; elle a pour objectif, la présentation abrégée des cours devant faire l’objet d’une étude approfondie durant les trois années suivantes. (Cette session se déroula donc en même temps que les cours de l’École normale de l’an III et Monge courut d’une école à l’autre pour donner, quelquefois dans la même matinée, ses leçons dans chacune d’entre elles.)

  • 10 En effet citons le témoignage d’un élève qui avait commencé par être serrurier et éprouvait quelque (...)

56Lagrange occupe une place de premier rang à l’École centrale des travaux publics : il est élu Président du Conseil de l’École (pour un mois seulement d’après le règlement en vigueur) ; il est premier professeur d’analyse dans l’ordre d’importance des enseignants. Mais il ne fait pas lui-même de cours pendant cette période ; le cours préliminaire d’analyse est confié à Prony et à Ferry. Devant le niveau très faible des élèves et leur hétérogénéité, Lagrange décide, avec Prieur, de lancer un cours supplémentaire d’algèbre (consacré à la théorie des équations et aux courbes planes étudiées du point de vue de la géométrie analytique), confié à Griffet-Labaume. Lagrange y assiste de temps en temps, davantage, selon Langins, pour donner à ce cours l’éclat de sa présence que pour se rendre compte des préoccupations des élèves. Pourtant il semble qu’il ait toujours fait preuve de disponibilité et de grande simplicité quand on le sollicitait10.

57L’ouverture solennelle des cours ordinaires a lieu le 5 prairial an III (24 mai 1795), soit quelques jours après la fermeture de l’École normale. Au sujet de la place de Lagrange, voici ce que rapporte Fourcy : « Lagrange en acceptant le titre d’instituteur, avait offert ses conseils et ses services pour tout ce qui pourrait être utile à l’École ; mais il avait déclaré que la faiblesse de sa santé ne lui permettait pas de se livrer à l’enseignement. Cependant son zèle pour la propagation des connaissances mathématiques l’ayant emporté sur toute autre considération, il fit connaître que “voulant concourir au progrès de l’École Centrale des Travaux Publics, il ferait un cours sur toutes les parties des mathématiques élémentaires” [Fourcy, 1828, p.74]. Sans doute, Lagrange a-t-il accepté cette fonction parce que l’École polytechnique était menacée de disparition, après les journées de prairial.

58C’est donc Lagrange qui donne la leçon inaugurale de la nouvelle école, avec une solennité certaine, puisque tous ses collègues- » instituteurs » avaient tenu à y assister. A propos de cette séance historique, Prony a écrit : « C’était là qu’il fallait assister pour se faire une idée de l’enthousiasme de cette jeunesse passionnée du désir de s’instruire, afin de mieux servir son pays, pour voir d’habiles professeurs rendre hommage à un si grand esprit, se confondre avec les élèves, afin de s’éclairer plus tôt de sa lumière, et de prendre en quelque sorte sur le fait le génie de l’invention, et pour juger du religieux silence de ce nombreux auditoire, quand une interruption inattendue indiquait chez l’illustre géomètre une de ces profondes distractions qu’une idée imprévue venait parfois lui causer ».

59La réalité des cours suivants est moins euphorique. Aux cours réguliers de Lagrange, censés pourtant être élémentaires, et qui ont lieu toutes les décades, l’effectif s’amenuise considérablement. Prony [1795] a laissé un résumé de ces leçons : la première recoupe à peu près le cours de l’École normale (arithmétique et numération, théorie des fractions continues, logarithmes, suites, interpolation...) ; ensuite Lagrange passe à une « matière qui n’appartient qu’à lui seul », dit Prony, à savoir la démonstration des principes fondamentaux du calcul différentiel et intégral, ce qui constituera ultérieurement ses Leçons sur le Calcul des Fonctions. Si la « thèse » lagrangienne sur la transformation de l’analyse est de grande importance dans l’histoire des mathématiques, elle n’était sans doute pas à la portée des premières générations d’élèves.

60Selon le mot du député Barailon, se faisant sans doute l’écho de l’opinion commune, « les leçons [de Lagrange] sont si savantes qu’il ne se trouve peut-être pas en France trente personnes en état de les entendre » [Langins, 1987, p.77]. A partir de 1798, la leçon d’analyse de Lagrange « étant destinée au perfectionnement des sciences mathématiques » est déclarée « non obligatoire » [Fourcy, op. cit., p. 158]. Quand Lagrange voudra, pour des raisons de santé, prendre sa retraite de l’École Polytechnique, l’année suivante, il reconnaît que ses « leçons n’avaient pour objet que l’avancement de l’analyse, et n’étaient par conséquent destinées qu’à ceux qui désiraient la cultiver dans toute son étendue ». Il estime utile de les remplacer par des « leçons ordinaires et suivies sur les parties des mathématiques dont l’étude est de rigueur et fait la matière des examens » [Fourcy, op. cit., p.190-191].

61En résumé, on peut dire que le prestige scientifique de Lagrange est tel que sa participation, même symbolique, à un enseignement, une instance de décision ou une institution confère à ceux-ci une autorité et une renommée très recherchées. Lagrange se sent le devoir d’accepter ces charges, mais décidément la fonction d’enseignement ne lui convient guère. Déjà assez âgé, souffrant de la poitrine, manquant de voix, il n’est pas à son aise. De plus, chercheur et créateur avant tout, il ne peut s’astreindre à exposer progressivement un ensemble de connaissances, présentant un niveau raisonnable de difficultés, eu égard à celui de ses auditeurs. C’est pourquoi à l’École polytechnique, comme à l’École normale, Lagrange se décharge du cours principal et ne garde qu’un enseignement ayant un statut complémentaire.

L’École normale

  • 11 Procès-verbal du Comité d’instruction publique du 6 nivôse.

62Venons en à la place de Lagrange à l’École normale. Le 30 octobre 1794, quand le Comité d’instruction publique arrête la liste des futurs professeurs, les seuls mathématiciens qui y figurent sont Lagrange et Monge. Mais quand Hallé, nommé à l’École de santé, opte pour cette dernière, on ne le remplace pas à l’École normale et on profite de la place libre pour adjoindre Laplace à Lagrange11. Il est fort probable que c’est à la demande même de Lagrange, fût-elle indirecte, que cette adjonction a été faite.

63Le premier objectif de l’École normale, conçu par des politiques en prairial (juin 1794), était la possibilité d’une instruction rapide par le biais de savants parmi les plus célèbres, qui formeraient des professeurs et donneraient des leçons sur l’art d’enseigner ; ces professeurs devant être amenés eux-mêmes à répéter l’expérience dans leurs régions et districts, assurant ainsi la diffusion rapide et « révolutionnaire » d’un minimum de connaissances nécessaires à la formation de cadres pour la nation et, au-delà, au bon fonctionnement de la société nouvelle, démocratique.

64Déjà, au niveau de ce projet initial, il y a une chimère irréductible : la diffusion de connaissances élémentaires dans tous les domaines peut-elle s’effectuer de façon analogue à celle de la technique de fabrication du salpêtre ? Par exemple, comment apprendre l’art d’enseigner les mathématiques à des gens qui ne possèdent pas eux-mêmes les mathématiques ? Le choix de savants illustres ne résout évidemment rien, ceux-ci n’étant ni préparés à la pédagogie, ni intéressés par elle. Lagrange en est un excellent exemple.

65Dupuy a mis en lumière le déplacement du projet initial vers un nouveau projet (celui de vendémiaire), œuvre cette fois de professeurs et de philosophes dont principalement Garat, qui élargissent considérablement les ambitions de l’École normale, avec l’espoir implicite de pérenniser l’institution. Garat voudrait que celle-ci devienne « la métropole des connaissances humaines », le lieu où l’on diffuserait la « philosophie de l’entendement humain », dont il est un fervent prosélyte.

66Le discours lu par Lakanal à la Convention le 5 brumaire an III, mais certainement écrit par Garat, est à cet égard très net : « Bacon, Locke, et leurs disciples, en approfondissant la nature de l’esprit humain, y ont trouvé ses moyens de direction. L’analyse doit porter également la lumière dans tous les genres des sciences et devenir l’organe universel de toutes les connaissances humaines : tandis que la liberté politique et la liberté illimitée de l’industrie et du commerce détruiront les inégalités monstrueuses des richesses, l’analyse appliquée à tous les genres d’idées, dans toutes les écoles détruira l’inégalité des lumières plus fatale encore et plus humiliante. L’analyse est un instrument indispensable dans une grande démocratie ». Cette « philosophie de l’entendement humain » a donc vocation à dominer l’enseignement de toutes les sciences, à régler leurs méthodes et à devenir l’instrument de la révolution nécessaire dans le domaine de l’esprit.

67On passe ainsi d’une école à vocation pédagogique, orientée au moins partiellement vers l’instruction primaire, à une école de haute culture scientifique, à vocation encyclopédique, orientée vers l’enseignement supérieur. Le programme exposé par Lagrange et Laplace confirme ce déplacement de l’objectif initial de l’École normale : « Présenter les plus importantes découvertes que l’on ait faites dans les sciences, en développer les principes pour faire remarquer les idées fines et heureuses qui leur ont donné naissance, indiquer la voie la plus directe qui peut y conduire, les meilleures sources où on peut puiser les détails, ce qui reste encore à faire, la marche qu’il faut suivre : tel est l’objet de l’École normale, et c’est sous ce point de vue que les mathématiques y seront envisagées ». Vaste et ambitieux programme, mais dans lequel la pédagogie n’est certes pas la première priorité !

  • 12 Évidemment on peut penser que toute mise en œuvre de la « méthode révolutionnaire » s’accompagne in (...)

68Le projet initial de prairial, inspiré directement de l’École des armes mettait l’accent principal sur la « méthode révolutionnaire » d’enseignement, au sens pragmatique, où « révolutionnaire » se réfère à la forme de l’enseignement et veut dire expéditif, limité dans le temps, allant à l’essentiel. Garat, lui, abandonne le caractère « révolutionnaire » de l’École (en ce sens de méthode révolutionnaire). S’affirme alors plutôt la volonté de diffuser les Lumières, d’où l’idée de constituer un « foyer » des Lumières où seraient réunis les plus prestigieux des savants. Ce qui persiste, d’un projet à l’autre, c’est une foi dans la transparence de la Raison qui peut expliquer leur optimisme utopique et la conviction qu’un enseignement donné par les savants est plus facilement accessible et transmissible12. Les conventionnels, qui ont adopté le projet de vendémiaire, n’ont pas perçu le changement d’orientation ; les déceptions et les critiques n’en seront que plus vives.

69Nous avons montré que la vie, la carrière et le tempérament de Lagrange font qu’il est relativement étranger à l’aspect de la forme de l’enseignement. Quant à la question de savoir s’il est davantage concerné par une certaine transformation ou innovation du contenu de sa discipline à transmettre, nous allons présenter plus précisément ses leçons avant d’y répondre.

Les leçons élémentaires de Lagrange

70Lagrange ne prononça que cinq leçons à l’École normale, la première ayant en fait été donnée au cours de la deuxième séance de débats, le 16 pluviôse (4 février 1795), et la dernière ayant eu lieu le 22 germinal, plus d’un mois avant la fin de l’École. Il a en outre participé à un débat avec Laplace ; nous pouvons d’ailleurs juger grâce à ce débat que Lagrange utilisa principalement un langage oral, réfléchissant à haute voix devant les élèves comme s’il s’agissait d’une conversation avec lui-même. Voici résumé ci-dessous le contenu de ce débat et des cinq leçons avec le rappel des titres donnés lors de l’édition de ses œuvres complètes.

71Débat Sur les systèmes de numérotation et les opérations.

721re leçon Sur l’arithmétique où l’on traite des fractions et des logarithmes :

73Programme commun avec Laplace ; exposé succinct de la théorie des fractions continues ; théorie des proportions et applications au problème des intérêts et de la rente viagère ; digressions sur l’histoire des logarithmes.

742e leçon Sur les opérations de l’arithmétique :

75Régies de divisibilité et congruences. Application des fractions continues à la résolution d’équations linéaires en nombres entiers. Remarques relatives à la théorie des nombres.

763e leçon Sur l’algèbre où l’on donne la résolution des équations du 3e et du 4e degré : Introduction historique sur les équations et étude critique particulièrement approfondie des méthodes de résolution de l’équation du 3e degré et du cas irréductible. Réflexions épistémologiques sur les imaginaires dans les opérations algébriques.

774e leçon Sur la résolution des équations numériques :

78Considérations sur le théorème des valeurs intermédiaires et métaphore des deux mobiles ; méthode pour trouver la plus petite différence entre les racines consécutives d’une équation polynomiale, équation aux différences ; « théorème de Lagrange ».

795e leçon Sur l’usage des courbes dans la solution des problèmes :

80Exemples de problèmes où la résolution se fait par constructions géométriques permettant une détermination approchée de la solution. Courbe des erreurs. Polynôme d’interpolation de Newton et variante de Lagrange.

81Le cours de Lagrange se présente très nettement comme un complément à celui de Laplace, comme le reconnaît d’ailleurs Lagrange au début de la 3e séance : « Citoyens, comme le temps destiné au cours entier de mathématiques est assez court ; et comme d’ailleurs on a établi depuis peu sur les mathématiques des conférences particulières, on a désiré que celles qui devaient se tenir ici sur la même science fussent remplacées par des leçons, où l’on donnerait les développements qui ne pourraient pas entrer dans le cours principal et dans lesquelles on exposerait surtout la marche analytique des inventeurs et les artifices qu’ils ont employés pour vaincre les difficultés qui pouvaient les arrêter, je continuerai à vous entretenir comme je l’ai fait dans les dernières séances et je parlerai aujourd’hui d’algèbre. »

82L’objet essentiel est le même que celui des premières leçons de son collègue, mais les leçons de Lagrange, peu structurées, sont truffées de développements historiques, de réflexions critiques et épistémologiques sur les méthodes (surtout algébriques) et sur les différentes disciplines mathématiques. Les difficultés sont traitées brièvement et des résultats qui ont coûté beaucoup d’efforts aux mathématiciens du xviiie siècle, notamment en théorie des nombres, sont évoqués allusivement. Ces résultats, qui font implicitement référence à l’ensemble des recherches de Lagrange, entre 1767 et 1777, ne peuvent être compris par l’immense majorité de l’auditoire.

83Le caractère à la fois allusif et très profond de l’enseignement de Lagrange est particulièrement perceptible dans les trois premières séances, qui sont non seulement d’une extraordinaire densité (voir nos annexes sur les fractions continues et la théorie des nombres), mais aussi très subtiles ; ainsi la troisième leçon qui revient sur la résolution de l’équation du 3e degré, déjà traitée par Laplace, a les mêmes exigences théoriques, pour ce cas particulier, que le fameux mémoire de 1770-1771 sur la théorie des équations. Peut-être Lagrange est-il allé trop loin dans le sens de la difficulté et de l’abstraction et lui a-t-on fait sentir la nécessité de limiter ses ambitions ? Toujours est-il que les deux dernières séances ont un objet plus restreint et sont plus accessibles ; Lagrange y présente un exposé classique et élégant de son théorème de résolution numérique et de son polynôme d’interpolation.

84Le montagnard Romme a écrit, à propos de l’École normale : « Les élèves s’attendaient à trouver dans les leçons de leurs professeurs des notions élémentaires ; ils n’y ont trouvé que des notions académiques ».

85Certes le style de Lagrange n’est ni didactique, ni élémentaire ; on ne peut dire que, supposant un niveau acquis de connaissances, il se soucie d’éclairer les difficultés des méthodes et des théories nouvelles, qu’il en contrôle la compréhension et établisse une hiérarchie dans l’importance des questions qu’il aborde. Sans doute devant l’hétérogénéité de l’auditoire, — mélange disparate de gens très peu instruits venus des provinces, d’anciens instituteurs, mais comprenant aussi quelques érudits, de vrais savants et certains jeunes hommes très doués (comme Fourier) qui deviendront rapidement répétiteurs — était-ce d’ailleurs impossible. Nous avons affaire à un grand savant créateur, peu préoccupé de pédagogie, et qui suggère aux élèves les plus avancés, par ses remarques, ses digressions et la mise à plat des méthodes, tout l’intérêt, l’étendue, la diversité et la puissance des mathématiques. Si Romme veut dire que les élèves de l’École normale ont trouvé des leçons d’un niveau comparable à celui des mémoires soumis à l’Académie, il n’a pas tout à fait tort !

86Citons ici le portrait du brillant mathématicien Lagrange tel qu’il apparaît à l’élève Fourier : « Lagrange, le premier des savants d’Europe, paraît avoir de 50 à 60 ans : il est cependant plus jeune ; il a dans les traits de la dignité, et de la finesse dans la physionomie ; il paraît un peu grêlé et pâle ; sa voix est très faible, à moins qu’il ne s’échauffe ; il a l’accent italien très marqué, il prononce les s comme des z ; il est très modestement vêtu en noir ou en brun ; il parle familièrement et avec quelque peine ; il a dans la parole l’embarras ou la simplicité d’un enfant. Tout le monde voit bien que c’est un homme extraordinaire, mais il faut l’avoir vu pour reconnaître un grand homme. Il ne parle que dans les conférences, et il y a telles de ses phrases qui exciteraient la risée. Il disait l’autre jour : "Il y a encore sur cette matière beaucoup de choses importantes à dire, mais je ne les dirai pas." Les élèves, dont la plupart sont incapables de l’apprécier, lui font pourtant assez peu d’accueil, mais les professeurs le dédommagent. »

87Examinons quelques traits saillants de son enseignement, qui sont significatifs d’ailleurs de sa démarche de mathématicien, pendant toute sa vie.

La dimension de l’Histoire

88La référence constante à l’histoire des mathématiques dans les leçons est un moyen pour Lagrange de rendre ses développements moins abstraits, d’expliciter les problématiques en jeu et d’illustrer le chemin parcouru par les mathématiciens dans la résolution des problèmes. Lagrange a toujours témoigné d’un goût appuyé pour l’histoire et même l’érudition. On sait aujourd’hui qu’il possédait une bibliothèque exceptionnelle, avec de très nombreuses éditions originales et anciennes.

89Dans presque tous les domaines où il a travaillé de façon importante et prolongée, Lagrange a eu l’occasion d’écrire des études historiques introductives, dans lesquelles il passe en revue les travaux de ses prédécesseurs anciens et modernes, analyse leurs tentatives et en fait le bilan. C’est le cas en algèbre, dans le mémoire Réflexions sur la résolution algébrique des équations de 1770-1771, à propos de la résolution par radicaux des équations algébriques et dans de nombreux développements du Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés, notamment sur les essais de démonstration du théorème fondamental de l’algèbre, et sur l’histoire des méthodes numériques. C’est le cas en théorie des nombres où Lagrange a retracé les étapes de l’histoire de l’analyse diophantienne. Il est même revenu au texte des Arithmétiques de Diophante et en a préparé une édition, qui n’a pas vu le jour [Rashed, 1988, p. 39-83]. C’est le cas aussi en analyse, dans la longue préface de la Théorie des fonctions analytiques de 1797 consacrée à l’histoire des fondements du calcul infinitésimal, et dans la 21e leçon des Leçons sur le calcul des fonctions sur l’histoire des problèmes isopérimétriques, puis du calcul des variations. Enfin c’est le cas en mécanique. Chacune des quatre parties de la Mécanique analytique est précédée d’une longue partie historique dans laquelle Lagrange examine les travaux antérieurs et contemporains, les différents principes mécaniques utilisés, leur dépendance mutuelle, leur justesse et leur domaine de validité, etc., pour finalement justifier l’adoption du « principe des vitesses virtuelles » comme principe le plus général et le plus universel.

90Le point de vue de Lagrange dans toutes ces études est à la fois celui d’un chercheur, confronté à des problèmes ouverts, qui trouve dans certains travaux du passé une source encore vivante d’inspiration et d’idées, et celui du savant dont l’ambition est de présenter de vastes synthèses dans des domaines déterminés ; or toute synthèse ne peut ignorer les essais antérieurs, qu’elle se doit de surpasser. Ce qui est propre à Lagrange dans cette démarche, c’est la véritable « déconstruction » des méthodes, la confrontation épistémologique auxquelles il les soumet. A plusieurs reprises, celle-ci s’est révélée directement créatrice. L’exemple le plus frappant est celui de la théorie des équations, où les concepts de la théorie des substitutions qui affleurent de son bilan historique seront le point de départ des travaux des fondateurs de la nouvelle algèbre.

L’idéal analytique de Lagrange

91« C’est faire tort à l’Algèbre que de l’accuser de ne pas donner des résultats aussi généraux que la question en est susceptible », déclare Lagrange au début de sa 3e leçon et il ajoute une peu plus loin, toujours à propos de l’algèbre : « [...] une science, qui par les progrès immenses qu’elle a faits depuis [Diophante], est devenue une de celles qui font le plus d’honneur à l’esprit humain. » Ces professions de foi lagrangiennes ne sont pas circonstancielles, les leçons de l’École normale portant principalement sur l’algèbre ; elles reflètent une vision philosophique profonde des mathématiques qui s’est manifestée chez Lagrange dès ses premières recherches et s’est accentuée au cours des années.

92En fait, un même mouvement de pensée anime Lagrange dans différents domaines scientifiques : que ce soit en algèbre, en analyse ou en mécanique, il est à la recherche de points de vue lui permettant de réaliser de vastes unifications et d’obtenir a priori des méthodes, des démonstrations et des procédures les plus uniformes possibles et valables dans les cas les plus généraux. Cet idéal scientifique de Lagrange est profondément lié à sa conception des mathématiques ; il peut être perçu dans toute son œuvre, mais il est particulièrement sensible dans la dernière partie de sa vie.

93Ainsi, dès ses premières recherches sur les questions de maxima et minima en 1755, Lagrange met au centre de ses objectifs l’élaboration d’une méthode algorithmique, indépendante des représentations géométriques particulières (dont avait besoin Euler). Son « δ-calcul » répond à cette exigence. Et, depuis cette époque jusqu’à la Mécanique analytique, on peut suivre une tendance croissante de Lagrange à considérer le calcul des variations en termes de ses propriétés formelles [Dahan, 1989]. On se rappelle les passages fameux de la préface de cet ouvrage : « On a déjà plusieurs traités de Mécanique mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science et l’art de résoudre les problèmes qui s’y rapportent à des formules générales, dont le simple mouvement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. [...] On ne trouvera point de Figures dans cet ouvrage. Les méthodes que j’y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou méchaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l’Analyse verront avec plaisir la Méchanique en devenir une nouvelle branche et me sauront gré d’en avoir étendu ainsi le domaine. »

94Ce que Lagrange veut accomplir dans la Mécanique analytique et qu’il exprime dans les lignes citées, c’est un mouvement de double réduction : de la mécanique à l’analyse et de l’analyse à l’algèbre. Si la première partie du programme y est réalisée grâce au calcul des variations, la deuxième réduction est à l’œuvre dans la Théorie des fonctions analytiques (1797) et dans les Leçons sur le calcul des fonctions publiées comme suite des leçons de l’École normale, ouvrages qui visent à fonder le calcul infinitésimal sur le développement des fonctions en séries de Taylor, c’est-à-dire en somme sur une généralisation de l’algèbre des polynômes.

  • 13 On peut citer l’introduction de Lagrange à un mémoire Sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques [ (...)
  • 14 Dans ce terme d’« analyse », il y a toujours une multiplicité de significations :

95L’omniprésence du terme « analytique » chez Lagrange, soit dans les titres de ses ouvrages soit pour caractériser ses méthodes, est frappante ; et cet épithète est toujours investi d’une valeur positive. Dans tous les cas, la méthode analytique lui paraît préférable à une méthode géométrique13 ; L’analyse est toujours la méthode la plus féconde en mathématiques (la différence avec Laplace est que ce dernier privilégie des formes plutôt que des méthodes, ces formes étant bien sûr analytiques). C’est pourquoi nous pensons pouvoir parler de l’idéal scientifique de Lagrange, au sens méthodique du terme, comme d’un idéal analytique14.

96Or, les domaines de la haute analyse (ou théorie des fonctions) et de la mécanique sortent du cadre des « mathématiques élémentaires », dévolu à l’École normale. Quant à la théorie des nombres, elle a, en particulier à cette époque où elle est encore naissante, un statut spécial : bien que Lagrange y promeuve des méthodes analytiques nouvelles comme celles des fractions continues, elle semble caractérisée par les méthodes et inventions ad hoc. C’est donc dans ses développements sur l’algèbre que s’exprime le plus nettement la philosophie des mathématiques de Lagrange.

97« “L’arithmétique et la géométrie sont les ailes des mathématiques”, disait un Ancien », rappelle Lagrange dans sa première leçon ; la géométrie n’ayant jamais suscité véritablement son intérêt, Lagrange s’entretient d’abord avec ses élèves d’arithmétique et très vite de la partie de celle-ci « qu’on peut regarder comme une arithmétique universelle, qui tient de près à l’algèbre ». Dans la préface à son Traité sur la résolution numérique des équations, en 1808, il écrira à propos du rapport arithmétique-algèbre : « Newton a appelé l’Algèbre Arithmétique universelle. Cette dénomination est exacte à quelques égards ; mais elle ne fait pas assez connaître la véritable différence qui se trouve entre l’Arithmétique et l’Algèbre. Le caractère essentiel de celle-ci consiste en ce que les résultats de ses opérations ne donnent pas les valeurs individuelles des quantités qu’on cherche, comme ceux des opérations arithmétiques ou géométriques [...].

98L’Algèbre plane pour ainsi dire également sur l’Arithmétique et la Géométrie ; son objet n’est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités cherchées, mais le système d’opérations à faire sur les quantités données pour en déduire les valeurs des quantités qu’on cherche, d’après les conditions du problème. »

  • 15 L’algèbre s’identifie de ce point de vue à l’analyse (méthode). On pourra lire à ce propos a. Dahan (...)

99Lagrange exprime ici une position qu’on peut qualifier de proprement philosophique (au même titre où l’on pourrait qualifier par exemple celles d’Aristote, Descartes ou Condillac) : l’algèbre n’a pas d’objet propre, elle est avant tout méthode15 par laquelle on accède au contenu de connaissance des mathématiques. Comme mathématicien, Lagrange considère que l’algèbre, par sa généralité et l’uniformité de ses procédures d’une part, par le fait qu’elle s’intéresse non aux objets mais aux opérations sur ces objets d’autre part, est investie d’une fonction première en mathématiques. C’est elle qui permet la réalisation de l’idéal analytique.

100Enfin, élément essentiel dans cette conception des mathématiques : les symboles. Durant toute sa vie, Lagrange a été sensible à l’efficacité d’un bon symbolisme qui simplifie l’écriture, soulage la mémoire, guide la pensée et permet par des raisonnements presque automatiques d’obtenir de nouveaux résultats. Il a créé la « caractéristique » du calcul des variations, à cette fin ; il a développé, à la suite de Leibniz, à partir d’une analogie entre les symboles algébriques de puissances et les symboles de dérivation, un « jeu des accents et des indices » qui prouvera ultérieurement toute sa fécondité. Gergonne écrira en 1813 : « Les tous nouveaux perfectionnements des notations, dont Lagrange a été l’un des principaux promoteurs, [...] ont fait de l’algèbre une langue toute nouvelle ».

  • 16 Cette réforme du vocabulaire est reprise par Lacroix dans ses manuels.
  • 17 Le passage précédemment cité de Delambre sur la réflexion de Lagrange à propos de la chimie confirm (...)

101A l’École normale, Lagrange développe à plusieurs reprises le thème très condillacien de la langue : « La langue philosophiquement la plus parfaite serait celle où l’on pourrait exprimer le plus grand nombre -d’idées par le plus petit nombre de mots possibles », dit-il dès la première séance ; à propos d’une question de vocabulaire de la théorie des proportions qui l’a retenu un moment16, il note : « Comme un des objets de l’École normale est de rectifier la langue des sciences, on ne regardera pas cette petite digression comme inutile ». En attirant l’attention de son auditoire sur l’importance de la perfection de la langue mathématique, que ce soit à propos de l’arithmétique et de la numération décimale ou bien de l’algèbre et de ses symbolismes, Lagrange retrouve l’objectif de Garat, corrélatif à la création d’une école encyclopédique guidée par la « philosophie de l’analyse ». Mais nous venons de montrer que ce thème de la langue correspondait à ses propres préoccupations, tant scientifiques qu’épistémologiques17.

La méthode critique en théorie des équations

102Mais « l’algèbre » à cette époque, c’est non seulement le calcul algébrique qui renvoie philosophiquement aux thèmes de la méthode et de la langue, c’est aussi la théorie des équations, qui constitue l’objet essentiel de l’enseignement de Laplace et de Lagrange à l’École normale.

103La troisième leçon de Lagrange est exemplaire de la méthode critique qu’il a souvent utilisée en mathématiques, et particulièrement dans le mémoire de 1770-1771 sur la résolution algébrique des équations par radicaux. Voici comment Lagrange a résumé lui-même l’essentiel de ce mémoire :

104« Dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (années 1770 et 71) j’ai examiné et comparé les principales méthodes connues pour la résolution des équations algébriques, et j’ai trouvé que ces méthodes se réduisent toutes, en dernière analyse, à employer une équation secondaire qu’on appelle résolvante, dont la racine est de la forme x' + αx" + α2 x'" + α3 xIV +... en désignant par x', x", x'", les racines de l’équation proposée, et par a une des racines de l’unité, du même degré que celui de l’équation.

  • 18 Note XIII au Traité de la résolution numérique... ajoutée pour la deuxième édition en 1808. Lagrang (...)

105« Je suis ensuite parti de cette forme générale des racines, et j’ai cherché a priori le degré de l’équation résolvante et les diviseurs qu’elle peut avoir, et j’ai rendu raison pourquoi cette équation, qui est toujours d’un degré plus haut que l’équation donnée, est susceptible d’abaissement pour les équations du 3e et du 4e degré et peut servir à les résoudre18. »

106Le mémoire de Lagrange porte donc davantage sur les méthodes que sur les équations. Extraordinaire par sa composition et sa démarche, il se présente de façon assez complexe : trois sections consacrées respectivement au 3e degré, 4e degré, et degré supérieur à 4, enfin une quatrième section de confrontation et de bilan. Grosso modo, Lagrange procède dans les trois premières à un examen a posteriori des méthodes de ses prédécesseurs (Tartaglia, Cardan, Ferrari, Descartes, Tschirnhaus, Euler, Bézout, de Moivre...) puis, dans la dernière, il compare les méthodes pour en dégager les limites et la portée des principes ; c’est la partie a priori.

  • 19 Voir J. Vuillemin, La Philosophie de l’Algèbre, Paris, P.U.F., 1962, (chapitre 1, « le théorème de (...)

107Mais, comme l’a montré J. Vuillemin19, la composition est, en fait, plus compliquée. Chacune des trois premières sections contient déjà un double exposé : d’abord un moment historique et apagogique dans lequel on part d’une solution donnée ; par exemple pour l’équation du troisième degré x3 + nx + p = 0, la solution de Cardan, dont il décompose les étapes :

  1. utilisation de la transformation : x = y – n/3 y

  2. construction de la « réduite » : y6 + py3n3/27 = 0

  3. décomposition de la réduite en deux équations : r = y3 et r2 + pr – n3/27 = 0 (cette dernière est dite souvent « réduite abaissée »)

  4. emploi de l’équation binôme : ε3 – 1 =0, qui va permettre la résolution algébrique

    • 20 Lagrange a quelquefois appelé « résolvante » non seulement les expressions de la forme x’ + αx" + α(...)

    construction de la « résolvante20 » : x1+ εx2 + ε2x3 qui a permis cette suite d’opérations, à partir d’une racine (différente de l’unité) de l’équation précédente.

108Un moment a priori et direct suit immédiatement le moment précédent. Il consiste à refaire le même chemin en sens inverse, soit pour cet exemple :

  1. Lagrange part de la résolvante, directement construite à partir de l’équation proposée t = x1+ εx2+ ε2 x3

  2. formation de l’équation binôme qui détermine les racines troisièmes de l’unité

  3. formation des expressions

109t0 = x1 + x2 + x3 = 0 (grâce à la préparation de l’équation proposée)

110t1 = x1 + εx2 + ε2x3

111t2 = x1 + ε2x2 + εx3

112telles que, si l’on fait toutes les permutations possibles des xi, t0 reste nul et t1 et t2 prennent au plus six valeurs ;

  1. en prenant les cubes de ces quantités, qui seules figurent dans la réduite, on les réduit à deux valeurs θ1 = t13 et θ2 = t23 qui sont racines de l’équation du second degré θ2+ 27 – 27n3 = 0, ce qui donne enfin a priori la réduite t6 + 27pt3 – 27n3 = 0

  2. on obtient les valeurs des racines de l’équation

113qui reproduisent à l’ordre près la solution indirecte.

  • 21 Si la section relative au degré supérieur à quatre a la même architecture que celles des sections r (...)

114Cette succession des deux exposés a lieu pour tous les procédés historiques que Lagrange examine21.

115Au début de la quatrième section, Lagrange affirme que la recherche des résolvantes n’a eu lieu qu’a posteriori et qu’il convient de reprendre les choses a priori. Et de fait, comme le montre Vuillemin, on a affaire à un nouveau moment a priori et direct mais en un second sens : cette fois Lagrange ne construit pas les solutions en supposant données les résolvantes, c’est sur la possibilité même de la résolvante que Lagrange s’interroge. A cet égard, il montre clairement que la résolubilité de l’équation cubique (resp. de degré 4) est liée à l’existence d’une fonction de trois variables (resp. quatre) ne prenant que deux (resp. trois) valeurs distinctes par permutation de ces variables au lieu des 6=3! (resp. 24=4!) que l’on pouvait théoriquement prévoir. L’équation auxiliaire est alors susceptible d’abaissement et son degré est moindre que celui de l’équation initiale ce qui n’est plus le cas pour les équations de degré supérieur à quatre.

116Lagrange démontre le principe général suivant (qu’il avait auparavant vérifié par le calcul dans chaque cas particulier) : si une expression rationnelle des racines d’une équation algébrique donnée prend m valeurs distinctes lorsqu’on permute lesdites racines de toutes les façons possibles, alors cette expression est solution d’une équation algébrique de degré m dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des coefficients de l’équation donnée. Ce moment que Lagrange qualifie de « métaphysique » débouche à terme sur une perspective toute nouvelle : le problème de la résolution algébrique par radicaux revient à la construction d’une cascade successive de fonctions rationnelles, c’est-à-dire au problème de la partition du groupe symétrique de n lettres.

117Or c’est à la même « métaphysique » de la résolution des équations (fort sophistiquée) que Lagrange veut initier les élèves de l’École normale, dans la troisième leçon. Le problème spécifique dont il va se saisir pour cet objectif est le cas dit irréductible de l’équation du troisième degré :

118x3 + px + q = 0, avec 4p3 + 27 q2 négatif.

119Dans ce cas, les trois racines sont réelles mais on ne peut éviter, dans leur écriture à partir des coefficients p et q, l’appel aux imaginaires. Voici comment Lagrange résumait le problème au mathématicien italien Lorgna, le 20 décembre 1777 : « [...] il me paraît impossible de délivrer des imaginaires l’expression des racines des équations du 3e degré dans le cas irréductible, à moins de la réduire en suite infinie ; mais cette expression ainsi impliquée d’imaginaires, ne représente pas moins une quantité réelle, ainsi qu’on le démontre dans le théorème de la trisection de l’angle. [...] En général, il me semble qu’il est aussi impossible de délivrer l’expression de la racine, dans le cas irréductible, des imaginaires, qu’il le serait de délivrer la valeur de la diagonale de l’irrationalité radicale » [Lagrange, 1892, p. 259]. C’est donc essentiellement l’impossibilité d’un problème que doit expliquer Lagrange aux élèves de l’École normale, impossibilité qu’il rapproche de celles de la trisection de l’angle (non encore prouvée) ou de la rationalité 2 de (prouvée depuis l’antiquité).

120Il commence par procéder a posteriori et expose la méthode historique de Cardan de résolution de l’équation générale du 3e degré. Mais celle-ci pêche par manque de généralité en ne traitant pas, sur le même pied, les trois racines de l’équation. Pour Lagrange, une méthode n’est satisfaisante que si elle procède le plus uniformément et le plus généralement possible. Il développe alors un autre procédé, toujours dans le cadre indirect et a posteriori, pour obtenir la réduite, en faisant appel aux racines cubiques de l’unité. Ce nouveau procédé fait apparaître notamment le cas irréductible.

  • 22 C’est dans sa cinquième leçon, prononcée le 11 ventôse, que Laplace a fait mention du développement (...)

121Lagrange vérifie alors devant les élèves que, si l’on veut prouver directement (et en particulier sans utiliser le développement en série de Newton22) qu’une expression de la forme

122(ƒ + g √ – 3)1/3 + (ƒ + g √ – 1)1/3 = h

123est une quantité réelle, on retombe sur l’équation cubique et le cas irréductible. Mais peut-être alors était-on tombé sur cette forme de l’équation par l’introduction contingente d’une inconnue, écrite elle-même sous la forme d’une somme de deux autres indéterminées ?

  • 23 Notons que Laplace utilise aussi le conditionnel, à ce propos, dans sa cinquième leçon.
  • 24 Dans cette Note IX, consacrée à un exposé systématique des démonstrations du théorème fondamental d (...)

124Pour éviter tout doute sur cette question, Lagrange opère alors un renversement de méthode et présente cette fois, par un procédé direct et a priori, une démonstration du fait que si les trois racines sont réelles on est bien dans le cas irréductible. Cette dernière démonstration lui semble préférable car « plus générale, plus directe, étant tirée des principes de la chose. » Au terme, pourtant, de toutes ces démonstrations, la forme rhétorique au conditionnel de la conclusion de Lagrange (« Comme il parait impossible d’y parvenir autrement, on peut regarder comme une vérité démontrée, que l’expression générale des racines.... ne saurait être indépendante des imaginaires) laisse à penser que Lagrange n’est pas tout à fait content de l’expression donnée aux trois racines23. Il règlera de façon totalement satisfaisante la question dans la Note IX du Traité sur la résolution numérique [1798]24.

  • 25 C’est pourquoi nous avons voulu aider notre lecteur en ponctuant, par de brèves notes appelées dans (...)

125Il faut bien admettre que cette construction subtile et exigeante de la leçon (qui se pousuit d’ailleurs avec l’équation du 4e degré) a dû paraître inutilement compliquée aux élèves de l’École normale25. Il nous semble que la clarté de la leçon aurait été plus grande si Lagrange avait séparé les deux points suivants :

  • d’une part, il y a équivalence entre a) 4p3+27q2 < 0

126β) les trois racines sont réelles

  • d’autre part, dans ce dernier cas dit irréductible, l’écriture des racines réelles ne peut éviter l’appel aux imaginaires.

  • 26 C’est dans un mémoire Recherches sur la Détermination du Nombre des Racines imaginaires dans les Éq (...)

127En fait, c’est seulement dans le dernier paragraphe, quand il revient à la méthode directe a priori, que Lagrange traite le premier point26.

  • 27 Cf. notice de Delambre, 1813, publiée dans les Œuvres de Lagrange, t. I, p. XXVIII.

128On ne peut s’empêcher de rappeler ici la réflexion de Delambre, faite à propos de mécanique mais qui demeure assez pertinente : « Mais si le plus souvent on lui voit faire les plus heureux efforts pour généraliser une solution, pour épuiser un sujet, quelquefois aussi on le voit se créer des difficultés où il n’en existait aucune, et appliquer ses méthodes adroites et savantes à la solution de problèmes élémentaires qui n’exigeaient qu’une construction du genre le plus simple27 ».

  • 28 Si nous avons utilisé pour titre de cette introduction l’expression de « mathématicien-philosophe » (...)

129Finalement, ce que Lagrange entend par métaphysique d’une question (résolution algébrique, cas irréductible de l’équation cubique etc., mais cela est aussi valable ailleurs qu’en théorie des équations), c’est bien la résolution de l’essence de cette question, tirée des principes de la chose. Elle implique la réflexion critique a posteriori sur les méthodes de résolution déjà utilisées, l’étude des conditions de leur succès, la reconstruction d’une démarche a priori, la mise à plat des difficultés cachées etc., cela afin d’atteindre la compréhension profonde du problème général. De plus, l’appréciation du bilan et le choix des méthodes privilégiées s’appuient sur une vaste culture historique et sont conformes à l’idéal analytique, précédemment décrit. Jamais, le travail du mathématicien créateur n’a paru aussi proche de celui de « l’épistémologue28 ».

130Ainsi ni le contexte révolutionnaire de l’École normale, ni le programme restreint des cours, ni le niveau très hétérogène des élèves, ni le caractère élémentaire exigé des leçons, n’ont véritablement modifié la démarche lagrangienne, telle qu’elle s’affirme dans ses plus importants travaux. Ici encore elle émerge, conforme à l’image scientifique singulière que Lagrange a incarné en cette fin du xviiie siècle, celle d’un « mathématicien-philosophe ».

Notes

1 Ces cours viennent d’être édités par M. L. Pepe.

2 La correspondance de Lagrange avec Condorcet est publiée dans le tome 14 des Œuvres de Lagrange [1892].

3 Cette lettre est citée dans l’introduction du volume des Opera Omnia d’Euler consacré à la correspondance Euler-Lagrange. série 4A, vol 5, p. 330, édité en 1980 par MM. Taton et Youschkévitch.

4 Cf. la correspondance d’Alembert-Lagrange à ce sujet [Lagrange, 1882, p. 53, 58, 60 à 75].

5 Un des principaux effets de l’attraction mutuelle des planètes est le changement de situation de leurs orbites. La théorie fait voir que, si un corps qui se meut autour d’un centre est attiré par un autre corps mû autour du même centre et dans le même sens, mais dans un plan différent, le nœud, c’est-à-dire l’intersection de l’orbite du corps attiré avec celle du corps attirant (regardée comme fixe), a nécessairement un mouvement rétrograde et contraire à celui des deux corps, sans compter les inégalités périodiques qui auront lieu tant dans ce mouvement du nœud que dans l’inclinaison des orbites. C’est sur cet ensemble de questions que travaillaient simultanément Lagrange et Laplace.

6 Voici comment Lagrange présente le principal théorème de son mémoire, dans une lettre à d’Alembert du 26 août 1770 [Lagrange, 1882, p. 181-182] : soit l’équation  = x + Ø (x) = 0, Ø (x) dénotant une fonction quelconque de x dont p soit l’une des racines ; je dis qu’on aura, ψ (p) dénotant une fonction quelconque de p :

Image 1.jpg pourvu qu’on mette dans cette série a à la place de x après avoir exécuté les différentiations indiquées en y prenant dx pour constant.

7 Cette lettre est citée par [Taton, 1988]. Cet article nous a fourni, à ce propos, la plupart des informations dont nous faisons état.

8 A propos de la notice nécrologique de Lagrange par Delambre, on peut lire l’article de I. Grattan-Guinness : « A Paris curiosity, 1814 : Delambre’s obituary of Lagrange, and its « supplement », Festschrift fur Helmuth Gericke (Reihe « Boethius », Bd. 12. Franz Steiner Verlag Wiesbaden Gmbh., Stuttgart, 1985). Grattan-Guinness y fait état d’une lettre signée « G », envoyée au Moniteur Universel au moment de la parution du texte de Delambre (et qu’il attribue, avec des réserves, au chimiste Guyton de Morveau). Cette lettre rapporte plusieurs éléments de conversation de l’auteur (?) avec Lagrange, qui peuvent compléter le portrait fait par Delambre.

9 On sait notamment que Lagrange a travaillé, avec Hassenfratz, sur la physiologie de la respiration, estimant que les échanges de chaleur n’étaient pas dans les poumons, mais répartis dans le sang.

10 En effet citons le témoignage d’un élève qui avait commencé par être serrurier et éprouvait quelques difficultés en mathématiques. Il écrivait à sa famille :
« Il y a quelque temps, ma bonne étoile m’a favorisé et m’a fait faire la connaissance du célèbre Lagrange. J’ai terminé l’étude de son Traité des fonctions analytiques, et comme je trouvai une difficulté dans un passage un peu avancé, je consultai quelques professeurs dont les réponses ne me satisfirent point. Après avoir hésité plusieurs fois, je fus trouver Lagrange lui-même, à qui je dis ce qui m’embarrassait. Je ne puis vous exprimer le gracieux accueil qu’il me fit. Il me demanda en quoi consistait cette difficulté et, quand je lui eus fait voir, il parut étonné de ce que j’avais été jusque-là, attendu que le cours n’était pas encore arrivé à ce point. Il me pressa les mains dans les siennes, me fit asseoir auprès de lui, m’entretint pendant une demi-heure, en attendant le moment où il devait donner sa leçon, et me dit de venir le voir tous les décadis pour exposer toutes les difficultés que je pourrais rencontrer. Enfin, il me quitta en me disant qu’il fera tout ce qu’il pourrait pour m’être utile.
« J’y vais tous les décadis et je cause mathématique avec lui pendant environ deux heures. La dernière fois que j’y fus comme il avait à sortir, il s’habilla près de moi en me disant : “Pour vous prouver que vous ne me gênez pas, je vais m’habiller en votre présence ; alors bien convaincu que je ne me gêne pas avec vous, vous viendrez me voir plus souvent”. Quand il fut prêt, nous sortîmes tous deux, et je le quittai. Voudrez-vous le croire ? Il eut la bonté de descendre jusqu’à m’embrasser ! Je pense vraiment que j’ai fait un rêve. Moi embrasser Lagrange ! »
Lettre du 24 août 1799 de François Joseph Masquelez, élève de la promotion de l’an VII (1798) à l’École polytechnique. Cité par J. Dhombres : « Voir les sciences et les techniques de la décennie révolutionnaire », dans La Révolution française et l’Europe. Paris, Réunion des Musées nationaux, 1989.

11 Procès-verbal du Comité d’instruction publique du 6 nivôse.

12 Évidemment on peut penser que toute mise en œuvre de la « méthode révolutionnaire » s’accompagne inéluctablement d’un certain point de vue innovateur dans la présentation même des connaissances. Pourtant il serait parfaitement anachronique de penser qu’existe, à cette époque, au moins dans le domaine des sciences, une volonté de balayer l’ordre ancien des connaissances, ordre qui serait identifié à l’ordre politique.

13 On peut citer l’introduction de Lagrange à un mémoire Sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques [1773] :
« Quelques avantages que l’Analyse algébrique ait sur la méthode géométrique des Anciens, qu’on appelle vulgairement, quoique fort improprement, synthèse, il est néanmoins des Problèmes où celle-ci paraît préférable, tant par la clarté lumineuse qui l’accompagne, que par l’élégance et la facilité des solutions qu’elle donne. Il en est de même pour lesquels l’analyse algébrique paraît en quelque sorte insuffisante, et où il semble que la méthode synthétique soit seule capable d’atteindre.
Le Problème où il s’agit de déterminer l’attraction qu’un sphéroïde elliptique exerce sur un point quelconque placé sur sa surface, ou dans son intérieur, est de cette espèce. M. Mac Laurin [...] ».
Lagrange résume la méthode de ce dernier : un « chef-d’œuvre de Géométrie ». Et pourtant l’objet de son mémoire est de la supplanter, encore une fois, par une méthode analytique. Il conclut son introduction par ces mots :
« Je me propose dans ce Mémoire de faire voir que bien loin que le Problème dont il s’agit se refuse à l’Analyse, il peut être résolu par ce moyen d’une manière, sinon plus simple, du moins plus directe et plus générale que par la voie de la synthèse ; ce qui servira à détruire un des principaux arguments que les détracteurs de l’Analyse puissent apporter pour la rabaisser et pour prouver la supériorité de la méthode synthétique des Anciens. »

14 Dans ce terme d’« analyse », il y a toujours une multiplicité de significations :

  • analyse, comme méthode opposée à la synthèse (voir note précédente),

  • analyse, comme discipline mathématique. Ce terme n’est pas encore fixé à la fin du xviiie siècle ; on parlera d’analyse algébrique ou même d’algèbre, les lois de l’intégration et de la dérivation étant assimilées à de nouvelles opérations sur les fonctions (voir l’annexe 7 : Sur l’analyse algébrique).

Mais, finalement, la confusion (et Lagrange, en écrivant qu’il est impropre d’identifier méthode géométrique des Anciens et synthèse, la remarque) n’est pas si grande : en utilisant les procédures analytiques, on fait bien principalement appel à la méthode de l’analyse.

15 L’algèbre s’identifie de ce point de vue à l’analyse (méthode). On pourra lire à ce propos a. Dahan Dalmédico [1986]. Cet article analyse un mémoire inédit de Gergonne sur l’analyse et la synthèse, significatif des débats sur ce sujet, à cette époque, où la référence à Lagrange est explicite et prégnante.
Par ailleurs, il est piquant de noter que Monge conçoit aussi sa géométrie descriptive comme une méthode, permettant d’accéder à la connaissance des figures de l’espace ; c’est cette conception qui inspire encore ses successeurs qui créent la géométrie projective.

16 Cette réforme du vocabulaire est reprise par Lacroix dans ses manuels.

17 Le passage précédemment cité de Delambre sur la réflexion de Lagrange à propos de la chimie confirme, s’il en était encore besoin, l’intérêt de Lagrange au thème de la langue scientifique.

18 Note XIII au Traité de la résolution numérique... ajoutée pour la deuxième édition en 1808. Lagrange donne dans cette Note un résumé de son mémoire de 1771-1772 et s’en explique ainsi : « J’ai cru qu’un précis de cette théorie ne serait pas déplacé dans le présent Traité, non seulement parce qu’il en résulte une méthode uniforme pour la résolution des équations des quatre premiers degrés, mais encore parce que cette méthode s’applique avec succès aux équations à deux termes, de quelques degrés qu’elles soient » (Œuvres de Lagrange, t VIII).

19 Voir J. Vuillemin, La Philosophie de l’Algèbre, Paris, P.U.F., 1962, (chapitre 1, « le théorème de Lagrange »). Nous résumons ici l’analyse très fine de l’auteur.

20 Lagrange a quelquefois appelé « résolvante » non seulement les expressions de la forme x’ + αx" + α2 x’" + α3xIV +..., mais aussi les équations qui les admettaient comme racines (comme dans la citation mentionnée, extraite de la Note XIII du Traité de la résolution numérique).

21 Si la section relative au degré supérieur à quatre a la même architecture que celles des sections relatives au 3e et au 4e degré, elle diffère en ce que le moment a priori n’est pas une reconstruction directe de la solution mais une explication a priori de l’insuffisance de la méthode.

22 C’est dans sa cinquième leçon, prononcée le 11 ventôse, que Laplace a fait mention du développement des radicaux en séries de Newton, pour vérifier que l’expression
(f + g – 1)1/n + (fg –1)1/n
est bien une quantité réelle. En cela Laplace n’a pas l’impression de sortir du cadre accepté de l’analyse algébrique. Pour Lagrange, mêler des considérations d’analyse à une question de nature algébrique est, sinon toujours un défaut de méthode, du moins à éviter. Il a déployé de multiples efforts, comme Euler d’ailleurs, pour mettre au point une démonstration essentiellement algébrique du théorème fondamental de l’algèbre, (cf. annexes 7 et 8 sur l’analyse algébrique, et 6 sur ce théorème)

23 Notons que Laplace utilise aussi le conditionnel, à ce propos, dans sa cinquième leçon.

24 Dans cette Note IX, consacrée à un exposé systématique des démonstrations du théorème fondamental de l’algèbre et intitulée « Sur la forme des racines imaginaires », Lagrange établit rigoureusement que toute expression de la forme : (x + y 1)m +n√–1 s’écrit comme un imaginaire p + q√- 1.

25 C’est pourquoi nous avons voulu aider notre lecteur en ponctuant, par de brèves notes appelées dans le texte même de la troisième leçon, les moments significatifs de la construction que nous venons d’analyser.

26 C’est dans un mémoire Recherches sur la Détermination du Nombre des Racines imaginaires dans les Équations littérales [1777] que Lagrange donne cette démonstration (qu’il qualifie de « directe et analytique ») du fait que les équations cubiques sans second terme ont toutes leurs racines réelles si et seulement si 4p3 + 27q2<0. Il l’attribue d’ailleurs à Harriot. Dans la suite de ce mémoire, Lagrange cherche à trouver une règle assez simple pour reconnaître a priori quand une équation de degré quelconque renferme des racines imaginaires et combien elle en renferme. Voici la méthode de Lagrange :

  • on divise l’équation par x2 - ax + b, tel que a2 – 4 b < ; 0, et on pousse la division jusqu’au reste de premier degré qu’on égale à zéro,

  • on obtient deux équations en a et b qu’on peut résoudre,

  • on pose a2/4 b = u,

  • Lagrange montre que l’équation proposée n’aura de racines imaginaires, qu’autant que la transformée en u aura de racines réelles négatives et réciproquement.

Or, pour ce dernier problème, on peut utiliser la règle de Descartes (une équation ne peut avoir qu’autant de racines positives et autant de racines négatives qu’elle a de variations ou de successions de signes dans la succession des coefficients dans l’écriture selon les puissances décroissantes), mais à la condition que l’on soit assuré que l’équation a toutes ses racines réelles. L’application au troisième degré est aisée et redonne la condition connue.

27 Cf. notice de Delambre, 1813, publiée dans les Œuvres de Lagrange, t. I, p. XXVIII.

28 Si nous avons utilisé pour titre de cette introduction l’expression de « mathématicien-philosophe » et non celle de « mathématicien-épistémologue », c’est pour éviter un anachronisme de vocabulaire trop criant. Cette deuxième expression serait aussi très défendable.

Table des illustrations

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Auteur

Amy Dahan Dalmédico, chargée de recherche en histoire des sciences au CNRS et maître de conférences à l’École polytechnique, a soutenu en 1990 une thèse d’État sous le titre Aspects de la mathématisation au XIXe siècle. La physique mathématique de Cauchy (Blanchard, à paraître). Elle a notamment publié, en collaboration avec Jeanne Peiffer, une Histoire des mathématiques, routes et dédales (Le Seuil, 1985).

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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