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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Dixième leçon

21 floréal / 10 mai

Texte intégral

  • 1 Cette expression, fournie ici relativement à l’Exposition du système du monde [Laplace, 1796b] rev (...)
  • 2 Malgré la fermeture de l’École normale, et pour diffuser un certain type d’enseignement, des leçon (...)
  • 3 Laplace a commencé à écrire sur les probabilités à partir de 1772 (voir [Laplace, 1774a]) et n’a c (...)

1Pour suivre le plan que j’ai tracé dans le programme du cours de mathématiques, je devrais vous entretenir encore des calculs différentiel et intégral aux différences soit finies, soit infiniment petites, de la mécanique, de l’astronomie, et de la théorie des probabilités. Le peu de durée de l’École normale ne me le permet point, mais je me propose d’y suppléer relativement à la mécanique et à l’astronomie par la publication d’un ouvrage dans lequel j’ai présenté, indépendamment de l’analyse1, la série des découvertes qui ont été faites, jusqu’à ce jour, sur le système du monde2. Je vous parlerai dans cette leçon, de la théorie des probabilités, théorie intéressante par elle-même et par ses nombreux rapports avec les objets les plus utiles de la société3.

  • 4 Dans l’Essai philosophique, après ce paragraphe repris tel quel, Laplace expose à sa façon le prin (...)

2Tous les événements, ceux mêmes qui, par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de l’univers, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil4. On les attribue au hasard, parce que l’on ignore les causes qui les produisent et les liens qui les unissent au système entier de la nature. Ainsi, l’apparition des comètes, phénomène dépendant de la loi qui ramène les saisons, semblait être un effet du hasard à ceux qui mettaient ces astres au rang des météores, et qui, pour expliquer les mouvements réguliers des planètes, attribuaient à chacune d’elles une intelligence. Suivant que les phénomènes ont paru arriver et se succéder avec régularité, ou sans ordre apparent, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard ; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances et disparaissent entièrement devant la saine philosophie qui ne voit en elles que l’expression de l’ignorance où nous sommes des véritables causes.

  • 5 [Clairaut, 1760]
  • 6 Dans l’Essai philosophique, Laplace préférera employer l’expression moins controversée de « molécu (...)

3Pour vous convaincre de ce résultat important du progrès des lumières, rappelez-vous qu’autrefois une pluie ou une sécheresse extrême, une comète traînant après elle une queue fort étendue, et généralement tous les phénomènes attribués au hasard lorsqu’ils offraient quelque chose d’extraordinaire, étaient regardés comme des signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence ; on ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du soleil ; l’observation eût bientôt fait sentir l’inutilité de ces prières. Mais, parce que les phénomènes irréguliers arrivaient et disparaissaient sans causes apparentes, et semblaient quelquefois contrarier l’ordre de la nature, on supposait que le ciel les faisait naître et les modifiait à son gré, dans plusieurs circonstances. Ainsi, la longue queue de la comète de 1456 répandit la terreur, dans l’Europe déjà consternée des succès rapides des Turcs qui venaient de détruire l’Empire grec, et le pape Callixte ordonna une prière dans laquelle on conjurait la comète et les Turcs. Après quatre de ses révolutions, elle a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde avait succédé, dans cet intervalle, aux vaines frayeurs inspirées par l’ignorance de ces lois, et Halley ayant reconnu l’identité de cette comète, avec celles des années 1531, 1607 et 1682, avait annoncé son retour pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendait, avec impatience, ce retour qui devait confirmer l’une des plus grandes découvertes que l’on eût faites dans les sciences. Clairaut entreprit alors de soumettre à l’analyse les perturbations que la comète avait éprouvées par l’action de Jupiter et de Saturne ; après d’immenses calculs, il fixa son prochain passage au périhélie, vers le commencement d’avril de l’année 1759, ce qui a été vérifié ensuite par les observations5. La régularité que l’astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu, sans aucun doute, dans tous les phénomènes : la courbe décrite par le plus léger atome6 est réglée d’une manière aussi certaine que les orbites planétaires ; il n’y a de différence entre elles que celle qu’y met notre ignorance.

4La probabilité est relative, en partie, à cette ignorance, et en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois, ou un plus grand nombre d’événements, un seul doit exister, mais rien ne porte à croire que l’un d’eux arrivera plutôt que les autres : dans cet état d’indécision, il est impossible de prononcer avec certitude sur leur existence. Il est cependant probable qu’un de ces événements, pris à volonté, n’existera pas ; parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence, tandis qu’un seul la favorise.

5La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un certain nombre de cas également possibles, c’est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre des cas favorables à l’événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles est la mesure de cette probabilité qui n’est ainsi qu’une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables, et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles.

6Tous nos jugements sur les choses qui ne sont que vraisemblables sont fondés sur un pareil rapport. La différence des données que chaque homme a sur elles, et les erreurs que l’on commet en évaluant ce rapport donnent naissance à cette foule d’opinions que l’on voit régner sur les mêmes objets. Supposons, par exemple, que l’on ait trois urnes A, B et C, dont une ne renferme que des boules noires, tandis que les autres ne renferment que des boules blanches ; on doit tirer une boule, de l’urne C, et l’on demande la probabilité que cette boule sera noire. Si j’ignore quelle est celle des trois urnes qui ne renferme que des boules noires, en sorte que je n’aie aucune raison de penser qu’elle est plutôt C que B ou A, ces trois hypothèses sont, par rapport à moi, également possibles ; et comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l’extraire est égale à un tiers. Si je sais que l’urne A ne renferme que des boules blanches, mon indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et C, et la probabilité que la boule extraite sera noire est un demi, enfin cette probabilité se change en certitude si je suis assuré que les deux urnes A et B ne contiennent que des boules blanches.

  • 7 Dans l’Essai philosophique, Laplace ajoutera une longue diatribe contre la magie et l’astrologie, (...)

7C’est ainsi que le même fait récité devant un nombreux auditoire obtient divers degrés de croyance, suivant l’étendue des connaissances de ceux qui l’écoutent. Si l’homme qui le rapporte en paraît intimement persuadé, et si son état et ses vertus sont propres à inspirer une grande confiance, quelque extraordinaire que soit son récit, il aura, par rapport aux auditeurs dépourvus de lumières, le même degré de vraisemblance qu’un fait ordinaire rapporté par le même homme et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant, si quelqu’un d’eux a eu occasion d’entendre des faits contraires affirmés par d’autres hommes également respectables, il sera dans le doute, et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui le trouveront opposé, soit à des faits bien avérés, soit aux lois immuables de la nature7. Quelle indulgence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres, puisque cette différence ne dépend souvent que des points de vue divers où les circonstances nous ont placés ? Eclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits, mais auparavant examinons sévèrement nos propres opinions et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives.

8Quand tous les cas possibles sont favorables à un événement, sa probabilité devient égale à l’unité et se change en certitude. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparables, quoiqu’il y ait une différence essentielle entre les deux états de l’esprit, lorsqu’une vérité lui est rigoureusement démontrée et lorsqu’il aperçoit encore une petite source d’erreurs.

9La notion précédente de la probabilité donne une solution fort simple d’une question agitée par quelques philosophes et qui consiste à savoir si les événements passés influent sur la probabilité des événements futurs. Supposons qu’au jeu de croix et pile, on ait amené croix plus souvent que pile ; par cela seul, nous serons portés à croire que dans la constitution de la pièce il existe une cause constante qui le favorise ; les coups passés influent donc alors sur la probabilité des suivants. Ainsi, dans la conduite de la vie, le bonheur est souvent une preuve d’habileté qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais s’il est certain que les événements dépendent entièrement du hasard, c’est-à-dire, si, par l’instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse à l’état d’une indécision absolue sur ce qui doit arriver : si, par exemple, au jeu de croix et pile, on change de pièce à chaque coup, le passé ne peut répandre aucune lumière sur l’avenir, et il serait absurde d’en tenir compte. Vous voyez par là, ce qu’il faut penser de ces veines de bonheur ou de malheur, que les hommes imaginent pour expliquer la constance de quelques événements qui leur sont favorables ou contraires. Ils tombent même à cet égard dans une contradiction évidente, puisque dans plusieurs cas, et spécialement dans les loteries, ils jugent qu’un événement qui, depuis longtemps, n’est pas arrivé, en devient plus vraisemblable.

10La différence des opinions dépend encore de la manière dont chacun détermine l’influence des données qui lui sont connues. La théorie des probabilités est si difficile, elle tient à des considérations si délicates, qu’il n’est pas surprenant qu’avec les mêmes données, deux personnes trouvent des résultats différents, surtout dans les matières trop compliquées pour être soumises à un calcul rigoureux. L’esprit a ses illusions, comme le sens de la vue, et, de même que le toucher rectifie celles-ci, la réflexion et le calcul corrigent également les premières. La probabilité fondée sur une expérience journalière ou exagérée par la crainte ou l’espérance nous frappe davantage qu’une probabilité plus forte qui n’est qu’un résultat de l’analyse ; il serait donc à désirer que dans tous les cas, on pût lui assujettir les probabilités : mais le plus souvent la chose est impossible, et nous sommes forcés de nous en rapporter à des aperçus quelquefois trompeurs. Cependant nous pouvons même alors juger qu’une probabilité est fort grande, comme nous jugeons qu’une distance est considérable, sans l’avoir mesurée. L’induction et l’analogie sont deux moyens que l’on emploie pour cela dans les sciences, et dont il peut résulter une certitude égale à celle des observations elles-mêmes.

  • 8 Une telle phrase manifeste le désaveu des thèses de Condillac.

11C’est par l’analogie que nous jugeons que des êtres pourvus des mêmes organes, exécutant les mêmes choses, et se communiquant leurs sensations et leur industrie, sentent d’une manière semblable. Il ne faut pas cependant lui donner trop d’extension : par exemple, l’identité des sensations de couleur que deux hommes éprouvent à la vue du même objet, n’est pas une suite nécessaire de l’identité de leur langage8 ; ils parleraient et agiraient de la même manière dans le cas où les rayons qui donnent à l’un la sensation du rouge donneraient la sensation du vert à l’autre ; il y a tout lieu de croire qu’à raison de la variété de leurs organes il existe au moins des nuances différentes entre les sensations que la même cause excite en eux.

12Vous avez vu que, souvent, les lois des expressions analytiques se manifestent dans leurs premiers termes et que celles de la nature sont indiquées par un petit nombre d’observations ; le propre du génie est de les démêler au milieu des circonstances dont elles sont enveloppées et de les exposer dans un jour tel qu’il soit impossible de les méconnaître. Ce moyen d’y parvenir se nomme induction : pour en accroître la probabilité, on forme de nouveaux termes, ou l’on fait de nouvelles observations ; et si les lois dont on a soupçonné l’existence, continuent d’y satisfaire, elles acquièrent un degré de vraisemblance qui finit par se confondre avec la certitude.

13La probabilité d’une théorie peut croître de deux manières : en diminuant le nombre des hypothèses sur lesquelles on l’appuie et en augmentant le nombre des phénomènes qu’elle explique. C’est ainsi que la théorie du mouvement de la terre, qui, par sa simplicité et par son analogie avec celle des mouvements planétaires, avait entraîné le suffrage des astronomes, a reçu du principe de la pesanteur universelle, une confirmation qui l’a portée au plus haut degré de probabilité dont les sciences physiques soient susceptibles. Comme ce principe résulte nécessairement de cette théorie, il ne lui ajoute aucune supposition nouvelle, mais, pour expliquer les mouvements apparents des astres, Copernic admettait trois mouvements distincts dans la terre ; l’un autour du soleil, un autre de révolution sur elle-même, enfin un troisième mouvement des pôles de la terre autour de ceux de l’écliptique. Le principe de la pesanteur les fait tous dépendre d’un seul mouvement imprimé à la terre, suivant une direction qui ne passe point par son centre de gravité. En vertu de ce mouvement, elle tourne à la fois autour du soleil et sur elle-même ; elle a pris la figure d’un sphéroïde aplati à ses pôles et l’action du soleil et de la lune sur ce sphéroïde fait mouvoir son axe autour des pôles de l’écliptique. La découverte de la gravitation universelle a donc réduit au plus petit nombre possible, les suppositions sur lesquelles Copernic fondait sa théorie. Elle a d’ailleurs l’avantage de lier cette théorie à tous les phénomènes astronomiques ; sans elle, l’ellipticité des orbes planétaires, les lois que les planètes et les comètes suivent dans leurs mouvements autour du soleil, leurs inégalités périodiques et séculaires, les nombreuses inégalités de la lune et des satellites de Jupiter, la précession des équinoxes, la rotation de l’axe terrestre, les mouvements de l’axe lunaire, enfin le flux et le reflux de la mer, ne seraient que des résultats de l’observation, isolés entre eux. C’est une chose vraiment admirable que la manière dont un si grand nombre de phénomènes qui semblent très disparates dérive d’une même loi qui les enchaîne au mouvement de la terre, en sorte que, ce mouvement étant une fois admis, on est conduit par une suite de raisonnements géométriques à ces phénomènes. Chacun d’eux fournit donc une preuve de ce mouvement. Et, si l’on considère qu’il n’y en a pas maintenant un seul qui ne soit ramené à la loi de la pesanteur, que cette loi déterminant avec la plus grande exactitude la position et les mouvements des corps célestes, à chaque instant et dans tous leurs cours, il n’est point à craindre qu’elle soit démentie par quelque phénomène jusqu’ici non observé ; enfin, que la planète Uranus et ses satellites nouvellement découverts lui obéissent et la confirment, il est impossible de se refuser à l’ensemble de ces preuves et de ne pas convenir que rien n’est mieux démontré dans la philosophie naturelle que le mouvement de la terre et le principe de la gravitation universelle, en raison des masses, et réciproque aux carrés des distances. Mais il existe encore très peu de théories qui soient ramenées à un principe aussi simple et confirmées par l’accord d’un aussi grand nombre de phénomènes avec les résultats du calcul.

  • 9 Dans son Essai philosophique, à la suite de plusieurs auteurs, Laplace développera ses idées sur l (...)

14Un des points les plus délicats de la théorie des probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. La probabilité d’un événement étant une fraction de l’unité, celle que dans les mêmes circonstances l’événement arrivera un certain nombre de fois de suite, est une fraction égale à la première, élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi, les puissances successives des fractions moindres que l’unité diminuant sans cesse, un événement qui dépend d’une longue suite de probabilités fort grandes peut devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu’un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l’ait transmis au second, le second au troisième, et ainsi des autres ; supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à neuf dixièmes, celle du fait sera moindre qu’un huitième, c’est-à-dire, qu’il y aura plus de sept contre un à parier qu’il est faux. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité qu’à l’extinction de la clarté des objets par l’interposition de plusieurs morceaux de verre ; une épaisseur peu considérable suffisant pour dérober la vue d’un objet qu’un seul morceau laisse apercevoir d’une manière très distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d’attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu’ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives ; plusieurs événements historiques regardés comme certains seraient au moins douteux si on les soumettait à cette analyse9.

15La combinaison des probabilités présente un résultat qui me paraît mériter l’attention des géomètres. Concevons qu’au jeu de croix et pile, la pièce ait plus de pente à retomber d’un côté que de l’autre, ce qui a toujours lieu dans la nature, l’égalité parfaite étant une supposition purement mathématique ; il est clair que, si l’on ignore de quel côté se trouve la plus grande pente, elle n’influe point sur la probabilité d’amener croix ou pile, au premier coup ; mais, malgré cette ignorance, elle influe sur la probabilité d’amener croix ou pile deux fois de suite, et ce qu’il y a de remarquable, c’est qu’elle augmente la probabilité de cet événement composé. Le même résultat a lieu dans un grand nombre de cas dans lesquels on peut semblablement déterminer si l’inégalité des possibilités simples, que l’on suppose ordinairement égales entre elles, augmente ou diminue la probabilité des événements composés, quoique l’on ignore quel événement simple cette inégalité favorise.

  • 10 [Laplace, 1776].
  • 11 [Laplace, 1785a], suivi de [Laplace, 1786a].

16Quand la possibilité des événements simples est connue, la probabilité des événements composés peut se déterminer par la théorie des combinaisons ; mais la méthode la plus générale pour y parvenir consiste à observer la loi des variations qu’elle éprouve par la multiplication des événements simples et à la faire dépendre d’une équation aux différences finies ordinaires ou partielles ; l’intégrale de cette équation donne l’expression analytique de la probabilité cherchée. On résout ainsi avec facilité les divers problèmes relatifs aux jeux de hasard, comme vous pouvez le voir dans le tome VII des savants étrangers10, et dans les mémoires de l’Académie des sciences de Berlin, pour l’année 1775. Lorsque l’événement est très composé, il devient souvent impossible d’évaluer numériquement l’expression de sa probabilité, à cause du grand nombre de ses termes et de ses facteurs ; mais, heureusement, cette circonstance donne lieu à une méthode d’approximation, d’autant plus rapide qu’elle est plus nécessaire. Vous avez vu dans la théorie des courbes que la supposition des quantités infinies ou infiniment petites détermine des asymptotes ou des limites dont les fonctions des quantités approchent sans cesse, en se développant en séries convergentes. La recherche de ces limites et des lois suivant lesquelles les fonctions en approchent, est un des objets les plus intéressants de l’analyse ; vous pouvez consulter à cet égard un mémoire fort étendu sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres, inséré dans le volume11 de l’Académie des sciences pour l’année 1782.

17La probabilité des événements sert à déterminer l’espérance, ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime ordinairement l’état de l’esprit lorsqu’il doit arriver un bien quelconque, dans certaines suppositions qui ne sont que vraisemblables ; dans la théorie des hasards, l’espérance est le produit de la somme espérée par la probabilité de l’obtenir. Pour distinguer ces deux acceptions, je nommerai la première, espérance morale et la seconde, espérance mathématique : celle-ci n’est, comme l’on voit, que la somme partielle qui doit revenir, lorsqu’on ne veut point courir les risques de l’événement, en supposant que la répartition de la somme entière se fasse proportionnellement aux probabilités : c’est en effet la seule manière équitable de la répartir, quand on fait abstraction des circonstances étrangères, parce qu’avec un égal degré de probabilité, on a un droit égal à la somme espérée.

  • 12 Dans l’Essai philosophique, Laplace organise en dix principes le calcul des probabilités, ce qui e (...)

18L’espérance morale dépend, ainsi que l’espérance mathématique, de la somme espérée et de la probabilité de l’obtenir ; mais elle n’est pas proportionnelle au produit de ces deux quantités, elle se règle sur mille circonstances variables qu’il est presque toujours impossible de définir, et encore plus d’assujettir au calcul. Ces circonstances, il est vrai, ne font qu’augmenter ou diminuer l’avantage que procure la somme espérée, et, alors, on peut considérer l’espérance morale elle-même, comme le produit de cet avantage par la probabilité de l’obtenir ; mais on doit distinguer, dans le bien espéré, sa valeur relative de sa valeur absolue ; celle-ci est indépendante des motifs qui le font désirer au lieu que la première croît avec ces motifs12.

  • 13 Le problème discuté est connu sous le nom de « problème de Pétersbourg ». Voir D. Bernoulli, Mém. (...)

19On ne peut point donner de règle générale pour apprécier cette valeur relative ; en voici cependant une fort ingénieuse, que Daniel Bernoulli a proposée13 et qui peut servir dans beaucoup de cas. La valeur relative d’une somme infiniment petite, est égale à sa valeur absolue, divisée par le bien total de la personne intéressée. En effet, il est clair qu’une livre a très peu de prix pour celui qui en possède un grand nombre et que la manière la plus naturelle d’estimer sa valeur relative est de la supposer en raison inverse de ce nombre.

  • 14 Laplace est toujours critique par rapport aux jeux de hasard. A la Chambre des Pairs, sous la Rest (...)

20De là résulte cette règle dictée par la prudence, et qui consiste à exposer sa fortune par parties, à des dangers indépendants les uns des autres, plutôt que de l’exposer toute entière au même danger. Il en résulte encore que la perte est toujours plus sensible que le gain, ainsi la valeur relative de dix livres ajoutées à une fortune de cent livres est à fort peu près égale à la fraction 10/105, tandis que la valeur relative de la même somme retranchée de cent livres est égale à la fraction 10/25. Le jeu est donc désavantageux dans le cas même où la mise et la somme espérée sont réciproques à leurs probabilités respectives. On peut juger par là de l’immoralité des loteries dans lesquelles les sommes promises sont au-dessous de ce qu’elles devraient être ; elles ne subsistent que par les faux raisonnements et la cupidité qu’elles fomentent et qui, portant le peuple à sacrifier son nécessaire à des espérances chimériques dont il est hors d’état d’apprécier l’invraisemblance, sont la source d’une infinité de maux14.

21Dans un grand nombre de cas, et ce sont les plus intéressants de l’analyse des hasards, les possibilités des événements simples sont inconnues et nous sommes réduits à chercher, dans les événements passés, les indices qui peuvent nous guider dans nos conjectures sur l’avenir. Mais de quelle manière ces événements nous dévoilent-ils, en se développant, leurs possibilités respectives ? Suivant quelles lois influent-ils sur la probabilité des événements futurs ? Ce sont deux questions difficiles, dont la solution exige des considérations métaphysiques très délicates et une analyse épineuse.

  • 15 Le « principe fondamental de cette branche de l’Analyse des hasards, qui consiste à remonter des é (...)

22Exposons les principes de cette analyse et, pour cela, considérons une urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires dans un rapport inconnu. Supposons que sur cinq boules tirées de cette urne, trois sont blanches et deux sont noires et proposons-nous de trouver la probabilité que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules contenues dans l’urne est compris dans des limites données. Pour résoudre ce problème, on doit observer que ce rapport est susceptible de toutes les valeurs, depuis zéro jusqu’à l’unité. Ces valeurs considérées a priori sont également possibles, mais les tirages déjà faits rendent les unes plus probables que les autres, et il est clair que les plus vraisemblables sont celles qui sont le plus favorable à l’existence des événements arrivés. La probabilité de l’une quelconque de ces valeurs est donc égale à une fraction dont le numérateur est la probabilité qu’en partant de cette valeur sur cinq boules extraites de l’urne, trois seront blanches et deux seront noires, et dont le dénominateur est la somme de toutes les probabilités semblables, relatives à chacune de ces valeurs15. On a ainsi, par des intégrations fort simples, la probabilité cherchée que le rapport du nombre des boules blanches, au nombre total des boules contenues dans l’urne est compris dans des limites données. Si, dans le cas précédent, on suppose ces limites égales à deux cinquièmes et à quatre cinquièmes, on trouve 2 256/3 225 pour cette probabilité.

23Si l’on prend deux limites, l’une plus grande et l’autre plus petite que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules extraites de l’urne, et qui soient à égale distance de ce rapport, la probabilité que le vrai rapport du nombre des boules blanches contenues dans l’urne au nombre total des boules, est compris dans ces limites, croît avec le nombre des boules extraites, de manière que, dans la supposition où ce nombre est infini, cette probabilité se confond avec la certitude, quelque rapprochées que soient ces limites. Le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules de l’urne est donc alors exactement celui qui résulte des observations.

24L’analyse conduit à ce théorème général. Un événement observé étant composé de plusieurs événements simples, répétés un grand nombre de fois, les possibilités de ces événements qui rendent l’événement observé le plus probable, sont celles qu’il indique avec le plus de vraisemblance ; et cette vraisemblance finit par se confondre avec la certitude, dans la supposition où l’événement observé est composé des événements simples répétés une infinité de fois. Le cas de plusieurs boules extraites d’une urne qui en renferme une infinité de blanches et de noires, est compris dans ce théorème ; car le rapport du nombre des boules blanches, au nombre total des boules de l’urne, qui rend le tirage déjà fait, le plus probable, est celui du nombre des boules blanches, au nombre entier des boules extraites. C’est ainsi que les événements font connaître, en se développant, leurs possibilités respectives. On peut parvenir, de cette manière, à des résultats qu’il serait très difficile d’obtenir a priori ; telles sont les probabilités d’amener les diverses faces d’un parallélépipède rectangle dont les faces sont inégales. Du théorème précédent, résultent les conséquences suivantes.

25Un avantage au jeu, quelque petit qu’il soit, produit à la longue un gain assuré proportionnel à cet avantage.

  • 16 Le rapport auquel pense Laplace est 22/21.
  • 17 Allusion à [Arbuthnot, 1710], [S’ Gravesande, 1737].

26Les événements qui dépendent du hasard offrent dans leur ensemble une régularité qui paraît tenir à un dessein, mais qui n’est, au fond, que le développement de leurs possibilités respectives. Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, dans les grandes villes telles que Paris et Londres, en est un exemple ; ce rapport est très peu variable16 : quelques philosophes ont cru voir dans cette constance une preuve de la providence qui gouverne le monde17 ; mais l’analyse des hasards nous montre que ce rapport doit toujours coïncider à peu près avec celui des facilités des naissances des deux sexes. On peut même établir comme une loi générale que les rapports des effets de la nature, tels que celui des naissances à la population ou des mariages aux naissances, sont à peu près constants, quand ces effets sont considérés en très grand nombre. Ainsi, malgré la grande variété des années, la somme des productions pendant un nombre d’années un peu considérable, est sensiblement la même ; en sorte que l’homme peut, par une utile prévoyance, se mettre à l’abri de l’irrégularité des saisons, en répandant également sur tous les temps les biens que la nature lui distribue d’une manière inégale. Je n’excepte pas même de la loi précédente les effets dus aux causes morales. À Paris, le nombre des naissances annuelles depuis un grand nombre d’années a peu différé de dix-neuf mille ; et j’ai ouï dire qu’à la poste le nombre des lettres mises au rebut, par les défauts des adresses, était à peu près le même chaque année.

  • 18 Allusion notamment à [d’Alembert. 1761].
  • 19 Tout ce long paragraphe est repris dans l’Essai philosophique, et sert de commentaire au sixième p (...)

27Vous voyez par ce qui précède que, si un événement peut être attribué à plusieurs causes, chacune d’elles sera indiquée par cet événement, avec d’autant plus de vraisemblance, qu’il sera plus probable que l’événement aura lieu, en la supposant exister ; la probabilité de l’existence de l’une quelconque de ces causes est donc égale au quotient de la probabilité de l’événement, résultante de cette cause, divisée par la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes. C’est le principe fondamental de cette branche de l’analyse des hasards, qui remonte des événements aux causes. Il donne la raison pour laquelle on est porté à attribuer les événements réguliers à une cause particulière. Quelques philosophes18 ont cru que ces événements sont moins possibles que les autres et qu’au jeu de croix et pile, par exemple, la combinaison dans laquelle croix arriverait vingt fois de suite, est moins facile à la nature, que celles dans lesquelles croix et pile sont entremêlés d’une façon irrégulière ; mais cette opinion suppose que les événements passés influent sur la possibilité des événements futurs, ce qui n’est point admissible. Les combinaisons régulières n’arrivent plus rarement que parce qu’elles sont moins nombreuses en elles-mêmes. Si nous recherchons une cause là où nous apercevons de la symétrie, ce n’est pas que nous regardions un événement symétrique, comme étant moins possible que les autres, mais cet événement devant être l’effet d’une cause régulière ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table des caractères d’imprimerie disposés dans cet ordre : Constantinople, et nous jugeons que cet arrangement n’est pas l’effet du hasard, non parce qu’il est moins possible que les autres, puisque, si ce mot n’était employé dans aucune langue, cet arrangement ne serait ni plus ni moins possible en lui-même, et cependant nous ne lui soupçonnerions alors aucune cause particulière ; mais ce mot étant en usage parmi nous, il est incomparablement plus probable qu’une personne aura ainsi disposé les caractères précédents, qu’il ne l’est que cet arrangement soit dû au hasard19.

28Quelquefois les phénomènes paraissent dépendre d’une cause régulière, et, cependant, ils ne sont que le résultat de ces causes irrégulières, variables et inconnues, auxquelles nous donnons le nom de hasard. C’est à l’analyse des probabilités à déterminer jusqu’à quel point une cause régulière est probable en vertu de ces phénomènes, et à l’indiquer aux philosophes comme un objet digne de leurs recherches.

29Le système solaire offre incontestablement une cause de ce genre. On est frappé, en le considérant avec attention, de voir toutes les planètes en mouvement autour du soleil, d’occident en orient, et presque dans un même plan ; tous les satellites en mouvement autour de leurs planètes, dans le même sens et à peu près dans le même plan que ces planètes ; enfin, le soleil, les planètes et les satellites dont on a observé les mouvements de rotation, tournant sur eux-mêmes, dans le sens et à peu près dans le plan de leurs mouvements de projection.

  • 20 Dans l’édition de 1825 de son Essai philosophique sur les probabilités, Laplace fera intervenir 43 (...)

30Un phénomène aussi extraordinaire n’est point l’effet du hasard ; il indique une cause générale qui a déterminé tous ces mouvements. Pour avoir une approximation de la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée, nous remarquerons que le système planétaire, tel que nous le connaissons aujourd’hui, est composé de sept planètes et de quatorze satellites : on a observé les mouvements de rotation du soleil, de cinq planètes, de la lune, de l’anneau de Saturne, et de son dernier satellite ; ce qui fait, en tout, trente mouvements observés, dirigés dans le même sens. Si l’on conçoit le plan d’un mouvement quelconque, couché d’abord sur celui de l’écliptique, s’inclinant ensuite à ce dernier plan, et parcourant tous les degrés d’inclinaison depuis zéro jusqu’à la demi-circonférence, il est clair que ce mouvement sera direct dans toutes les inclinaisons inférieures à cent degrés et qu’il sera rétrograde dans les inclinaisons au-dessus. On peut ainsi, par le changement seul d’inclinaison, représenter les mouvements directs et rétrogrades. Le système solaire envisagé sous ce point de vue nous offre donc vingt-neuf mouvements dont les plans sont inclinés à celui du mouvement de la terre tout au plus du quart de la circonférence. En supposant que leurs inclinaisons aient été l’effet du hasard, elles auraient pu s’étendre jusqu’à la demi-circonférence, et la probabilité que l’une d’elles, au moins, eût surpassé le quart de la circonférence serait 1-(1/2)29, ou 536 870 911/536 870 912 : il est donc extrêmement probable20 que la direction des mouvements planétaires n’est pas l’effet du hasard, et cela devient plus probable encore si l’on considère que l’inclinaison du plus grand nombre de ces mouvements à l’écliptique est très petite et fort au-dessous du quart de la circonférence.

31La probabilité d’une cause générale qui a déterminé les mouvements des planètes et des satellites est bien supérieure à celle d’un grand nombre de faits qu’il nous paraîtrait absurde de révoquer en doute. Mais l’expérience nous rend sensibles les probabilités de ces faits en justifiant chaque jour la confiance que nous accordons à ce genre de probabilités ; au lieu que la probabilité de la cause dont il s’agit, n’étant que le résultat du calcul, elle ne peut être appréciée que par la réflexion.

32Un autre phénomène très remarquable du système du monde est le peu d’excentricité des orbes des planètes et des satellites, tandis que ceux des comètes, sont fort excentriques ; en sorte que les orbes de ce système n’offrent point de nuances intermédiaires entre une grande et une petite excentricité. Nous sommes encore forcés de reconnaître ici l’effet d’une cause régulière ; le hasard seul n’eût point donné une forme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de tous les satellites. Il est donc nécessaire que la cause qui a déterminé les mouvements de ces corps les ait rendus presque circulaires ; il faut encore que cette cause ait influé sur la grande excentricité des orbes des comètes et, ce qui est fort extraordinaire, sans avoir influé sur les directions de leurs mouvements. Car, en regardant les orbes des comètes rétrogrades, comme étant inclinés de plus de cent degrés à l’écliptique, on trouve que l’inclinaison moyenne des orbes de toutes les comètes observées approche beaucoup de cent degrés, comme cela doit être si ces corps ont été lancés au hasard. Cette cause n’a conservé, dans le système solaire, que des orbes fort approchant du cercle ou de la parabole, en faisant disparaître les orbes intermédiaires.

33Ainsi l’on a, pour remonter à la cause des mouvements primitifs de ce système, les cinq phénomènes suivants : 1° les mouvements des planètes dans le même sens et à peu près dans le même plan ; 2° les mouvements des satellites dans le même sens et à peu près dans le même plan que ceux des planètes ; 3° les mouvements de rotation de ces différents corps et du soleil, dans le même sens que leurs mouvements de projection et dans des plans peu différents ; 4° le peu d’excentricité des orbes des planètes et des satellites ; 5° enfin, la grande excentricité des orbes des comètes, quoique leurs inclinaisons aient été abandonnées au hasard.

34Cette cause ayant embrassé le système entier des planètes dont elle a déterminé tous les mouvements dans des orbes presque circulaires, elle ne peut avoir été qu’un fluide d’une immense étendue, disposé comme une atmosphère autour du soleil. Les mouvements des planètes nous conduisent donc à penser que l’atmosphère du soleil s’est primitivement étendue au-delà des orbes de toutes les planètes et qu’elle s’est resserrée successivement jusqu’à ses limites actuelles, ce qui peut avoir eu lieu par des causes semblables à celle qui fit briller du plus vif éclat, pendant plusieurs mois, la fameuse étoile qui parut tout à coup dans la constellation de Cassiopée, en 1572.

35La grande excentricité des orbes des comètes conduit au même résultat. Elle indique clairement, la disparition d’un grand nombre d’orbes moins excentriques, ce qui suppose autour du soleil une atmosphère qui s’est étendue au-delà des périhélies des comètes observables et qui, en détruisant les mouvements de celles qui l’ont traversée pendant la durée de sa grande étendue, les a réunies au soleil. Alors, on voit qu’il ne doit exister maintenant que les comètes qui étaient au-delà dans cet intervalle, et, comme nous ne pouvons observer que celles qui approchent assez près du soleil dans leur périhélie, leurs orbes doivent être fort excentriques. Mais en même temps, on voit que leurs inclinaisons doivent offrir les mêmes irrégularités que si ces corps ont été lancés au hasard, puisque l’atmosphère solaire n’a point influé sur leurs mouvements.

  • 21 Ce qui vient d’être expliqué — la condensation progressive de la nébuleuse — constitue la fameuse (...)

36Mais comment cette atmosphère a-t-elle déterminé les mouvements de révolution et de rotation des planètes ? Si ces corps avaient pénétré dans ce fluide, sa résistance les aurait fait tomber sur le soleil. On peut donc conjecturer qu’ils ont été formés aux limites successives de l’atmosphère solaire, par la condensation des zones fluides qu’elle a dû abandonner dans le plan de son équateur en se refroidissant et en se condensant à la surface de cet astre, dont elle a ainsi augmenté le mouvement de rotation. On peut conjecturer encore que les satellites ont été formés d’une manière semblable par les atmosphères des planètes. Les cinq phénomènes dont nous venons de parler, s’expliquent naturellement par ces conjectures auxquelles les anneaux de Saturne ajoutent un nouveau degré de vraisemblance21.

  • 22 Laplace reste prudent lorsqu’il expose en note son hypothèse cosmogonique, une « hypothèse que je (...)
  • 23 Laplace, dans la Mécanique céleste notamment, a donné un contenu mathématique précis à cette notio (...)

37Quoiqu’il en soit de cette origine du système planétaire22, il est certain que ces éléments sont ordonnés de manière qu’il jouit de la plus grande stabilité si des causes étrangères ne viennent point le troubler23. Par cela seul que les mouvements des planètes et des satellites sont presque circulaires et dirigés dans le même sens et dans des plans peu différents, ce système ne fait qu’osciller autour de son état moyen dont il ne s’écarte jamais que de quantités très petites. Les moyens mouvements de rotation et de révolution de ces différents corps sont uniformes ; leurs distances moyennes aux foyers des forces principales qui les animent sont constantes. Il semble que la nature ait tout disposé dans le ciel pour assurer la durée de ce système, par des vues semblables à celles qu’elle nous paraît suivre si admirablement sur la terre pour la conservation des individus et la perpétuité des espèces.

38Quand les événements ont fait connaître en se développant leurs possibilités respectives, on peut en conclure la probabilité des événements futurs : mais on ne doit partir de ces possibilités que dans le cas où l’événement futur est beaucoup moins composé que l’événement observé ; car ces possibilités n’étant pas connues d’une manière rigoureuse, les petites erreurs dont elles sont susceptibles peuvent en s’accumulant dans le calcul d’un événement futur, l’écarter considérablement de la vérité. Quel que soit l’événement futur, on pourra toujours déterminer sa probabilité de cette manière.

39Reprenons la considération de l’urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires et dont on a déjà tiré deux boules noires et trois boules blanches. Proposons-nous de trouver la probabilité que quatre nouvelles boules extraites de l’urne, seront noires. Il est visible que la probabilité de tirer d’abord deux boules noires sur cinq, et ensuite, quatre boules noires est égale à la probabilité du premier résultat, multipliée par la probabilité que, ce résultat ayant lieu, le second arrivera. Cette dernière probabilité est évidemment la probabilité cherchée qui, par conséquent, est égale à la probabilité du résultat composé des deux précédents, divisée par la probabilité du premier. Quand le rapport des boules blanches au nombre total des boules contenues dans l’urne est inconnu, on a la probabilité d’un résultat quelconque, en donnant à ce rapport une valeur indéterminée et en calculant la probabilité du résultat correspondante à cette valeur ; en multipliant ensuite cette probabilité par la différentielle de la valeur indéterminée, l’intégrale du produit, prise relativement à cette valeur depuis zéro jusqu’à l’unité, sera la probabilité du résultat. On trouve dans le cas précédent 1/4 pour la probabilité que quatre boules extraites de l’urne seront noires. Si les boules blanches et noires étaient en nombre égal dans l’urne, cette probabilité serait 1/6 ; ainsi, quoique les tirages déjà faits indiquent plus de boules blanches que de boules noires dans l’urne, cependant la probabilité d’en extraire de suite quatre nouvelles boules noires est plus grande que dans le cas de l’égalité des couleurs, résultat qui semble, au premier coup d’œil, paradoxe, mais dont il n’est pas difficile d’apercevoir la raison. C’est une des conséquences de l’analyse des hasards propre à nous inspirer une juste défiance de nos premiers aperçus.

  • 24 Laplace réorganisa dans l’Essai philosophique toutes les considérations de cette leçon, afin d’évi (...)
  • 25 Laplace invita les savants de l’expédition d’Égypte (1798-1801) à vérifier la validité de la loi é (...)

40Ce que nous venons de dire s’applique aux naissances24, que l’on peut comparer aux boules extraites d’une urne qui en renferme une infinité de blanches et de noires. Les naissances sont un objet important de l’histoire naturelle de l’homme et l’observation offre à cet égard des variétés remarquables dépendantes de la différence des sexes et des climats ; mais elles sont si petites qu’elles ne peuvent devenir sensibles qu’au moyen d’un grand nombre de naissances observées. Les événements d’un même genre ont des causes uniformes et constantes dont l’action peut être modifiée par mille circonstances variables qui produisent les irrégularités que nous attribuons au hasard. Ces irrégularités, en se compensant les unes par les autres, disparaissent dans une très longue suite d’observations qui ne laissent ainsi apercevoir que le résultat des causes constantes. Moins les effets de ces causes sont sensibles, plus il faut d’observations pour les reconnaître, et l’un des problèmes les plus intéressants de l’analyse des hasards est de déterminer jusqu’à quel point le nombre des observations doit s’élever pour acquérir une grande probabilité de l’existence des causes qu’elles paraissent indiquer, et pour les distinguer de ces variétés que le hasard seul amène dans la succession des événements également possibles. La méthode dont j’ai parlé ci-dessus, et dont l’objet est d’exprimer par des séries convergentes les fonctions de très grands nombres, fournit une solution générale de ce problème. En l’appliquant aux naissances observées, on trouve que du nord au midi de l’Europe elles indiquent une plus grande possibilité dans les naissances des garçons, avec une probabilité si fort approchante de la certitude qu’il n’existe aucun fait mieux établi par les observations. Cette supériorité dans les possibilités des naissances des garçons est donc une loi générale de la nature, du moins, dans la partie du globe que nous habitons ; et, si l’on considère qu’elle subsiste malgré la grande variété des climats et des productions qui a lieu de Naples à Pétersbourg, il paraîtra vraisemblable qu’elle s’étend à la terre entière25. Il serait curieux de connaître les lois que suit la nature dans les naissances des mâles et des femelles des diverses espèces d’animaux et de plantes.

  • 26 [Laplace, 1786b].

41Un résultat intéressant que les observations indiquent avec beaucoup de vraisemblance, est que la possibilité des naissances des garçons relativement à celles des filles n’est point partout la même. C’est ici surtout, qu’il importe d’avoir un moyen facile de comparer un grand nombre d’observations, pour s’assurer que les différences observées ne sont point dues au hasard ; ces différences sont si petites, qu’il faut souvent plusieurs millions de naissances pour reconnaître avec une grande probabilité l’action des causes constantes. En comparant les naissances observées à Londres et à Paris, on trouve que le rapport des naissances des garçons à celles des filles est environ 19/15 à Londres et 25/24 à Paris. Les naissances observées dans ces deux villes donnent une probabilité de plus de quatre cent mille contre un qu’il existe à Londres une cause de plus qu’à Paris, qui rend les naissances des garçons supérieures à celles des filles. Dans le royaume de Naples, le rapport des naissances des garçons à celles des filles est 22/21 ; mais, quoique ce rapport résulte de la comparaison de plus d’un million et demi de naissances, cependant la probabilité que les naissances des garçons y sont plus faciles qu’à Paris n’est que de cent contre un. (Voyez sur cet objet, les mémoires de l’Académie des sciences, année 178326.)

  • 27 La détermination du ou des « multiplicateurs » permettant de déduire le chiffre de la population d (...)
  • 28 De fait, avec les données recueillies : 25 299 417 habitants [Laplace, 1786b]. Laplace calcula que (...)
  • 29 Il fut entendu par le ministre de l’Intérieur Chaptal, par ailleurs éminent chimiste, qui, le 30 f (...)

42Les naissances peuvent servir à déterminer la population sans recourir au dénombrement des habitants ; mais il faut pour cela, connaître le rapport de la population aux naissances. Le moyen le plus exact d’y parvenir en France, consiste : 1° à choisir plusieurs communes dans chaque département pour avoir un milieu entre les petites différences que les causes locales apportent dans les résultats ; 2° à faire le dénombrement des habitants de ces communes, à une époque donnée et après une longue paix ; 3° à déterminer, par le relevé des naissances durant les dix années qui précèdent cette époque, le nombre correspondant des naissances annuelles. Ce nombre divisé par celui des habitants donnera le rapport de la population aux naissances, d’une manière d’autant plus précise que le dénombrement sera plus considérable27. On trouve par l’analyse des hasards que ce dénombrement doit s’élever à un million ou douze cent mille habitants, pour avoir une grande probabilité que les erreurs sur la population entière de la France, déterminée par les naissances, seront renfermées dans d’étroites limites28. Les dénombrements déjà faits donnent environ 26, pour le rapport de la population aux naissances, dans la république française. Il est à désirer qu’un rapport aussi intéressant soit déterminé de nouveau par un dénombrement plus considérable29. Le rapport des mariages aux naissances est à peu près celui de deux à neuf, c’est-à-dire que deux mariages produisent neuf enfants, ce qui suffit pour l’entretien de la population.

43On a construit des tables de mortalité qui présentent toutes ce résultat affligeant, savoir que moitié du genre humain périt avant d’avoir atteint sa dixième année. La manière de former ces tables est très simple : on prend sur les registres des naissances et des morts, un grand nombre d’enfants, que l’on suit pendant tout le cours de leur vie, en déterminant combien il en reste à la fin de chaque année de leur âge, et l’on inscrit ce nombre vis-à-vis de chaque année finissante. Mais, comme dans les deux ou trois premières années de la vie, la mortalité est très rapide, il faut, pour plus d’exactitude, indiquer dans ce premier âge le nombre des survivants à la fin de chaque demi-année. Vous concevez que la loi de mortalité ne peut être bien établie qu’au moyen d’un grand nombre de naissances. Les divers états de la société offrent à l’égard de cette loi des différences très sensibles, relatives à l’aisance, aux fatigues et aux dangers qui les accompagnent, et dont il est essentiel de tenir compte dans les calculs fondés sur la durée de la vie. Mais ces différences n’ont pas encore été exactement déterminées ; elles le seront un jour : on saura quel sacrifice de la vie chaque profession exige et l’on profitera de ces connaissances pour en prévenir ou pour en diminuer les dangers.

44Si l’on divise la somme des années de la vie de tous les individus considérés dans une table de mortalité par le nombre de ces individus, on a la durée moyenne de la vie, que l’on trouve ainsi de vingt-six ou vingt-sept ans. La durée moyenne de ce qui reste encore à vivre, lorsqu’on est parvenu à un âge quelconque, se détermine en faisant une somme des années qu’ont vécu au-delà de cet âge tous les individus qui l’ont atteint et en la divisant par le nombre de ces individus. Ce n’est point au moment de la naissance que cette durée est la plus grande, mais lorsqu’on a échappé aux dangers de la première enfance ; et alors elle est d’environ quarante ans. La probabilité d’arriver à un âge quelconque, en partant d’un âge donné, est égale au rapport du nombre d’individus indiqués dans la table, à ces deux âges.

45On a observé en France qu’il existe plus de femmes que d’hommes, quoiqu’il y naisse plus de garçons que de filles. Or, dans les contrées où la population est constante, le rapport de la population aux naissances annuelles est égal au nombre des années de la durée moyenne de la vie ; cette durée est donc plus grande pour les femmes que pour les hommes, soit en vertu de leur constitution, soit parce qu’elles sont exposées à moins de dangers.

  • 30 Le problème de l’inoculation a suscité de très nombreux débats au xviiie siècle, que modifiera l’i (...)

46Il est visible que la durée moyenne de la vie serait augmentée si les guerres devenaient plus rares, si l’aisance était plus grande et plus générale, et si, par des moyens quelconques, l’homme parvenait à rendre plus salubre le sol qu’il habite et à diminuer le nombre et les dangers des maladies. C’est ce qu’il a fait à l’égard de la petite vérole, l’un des fléaux les plus destructeurs de l’espèce humaine. Daniel Bernoulli a trouvé, par une application ingénieuse du calcul des probabilités, que l’inoculation augmente sensiblement la vie moyenne, en supposant même qu’il périt un inoculé sur deux cents : il n’est donc pas douteux qu’elle soit avantageuse à l’État. Mais celui qui veut se faire inoculer doit comparer le danger très petit mais prochain, d’en mourir, au danger beaucoup plus grand mais plus éloigné, de mourir de la petite vérole naturelle ; et quoique la considération de la proximité du danger soit nulle pour l’État qui n’envisage que la masse des citoyens, elle ne l’est pas pour les individus. Cependant, l’inoculation bien conduite fait périr un si petit nombre de personnes et les ravages de la petite vérole naturelle sont si considérables, que l’intérêt particulier se joint à celui de l’État pour adopter cette méthode. Le père de famille dont l’attachement pour ses enfants croît avec eux ne doit point balancer à les soumettre à une opération qui les délivre de l’inquiétude et des dangers d’une aussi cruelle maladie et qui lui assure le fruit de ses soins et de leur éducation. Je n’hésite donc point à conseiller la pratique salutaire de l’inoculation, et à la regarder comme l’un des résultats les plus avantageux que la médecine ait tirés de l’expérience30.

  • 31 Laplace développa les calculs sur les « bénéfices des établissements qui dépendent de la probabili (...)

47On a fondé sur les tables de mortalité divers établissements, tels que les rentes viagères et les tontines ; mais les plus utiles de ces établissements sont ceux dans lesquels, au moyen d’un léger sacrifice de son revenu, on assure l’existence de sa famille pour un temps où l’on doit craindre de ne pouvoir plus suffire à ses besoins. Autant les loteries sont immorales, autant les établissements dont je parle sont avantageux aux mœurs en favorisant les plus doux penchants de la nature. D’ailleurs, des capitaux qui par leur petitesse seraient stériles entre les mains de chaque particulier deviennent productifs et alimentent le commerce dans les grands établissements qui les reçoivent et qui, par la multitude des capitaux, produisent un bénéfice certain quand ils sont bien conçus et sagement administrés. Ils n’offrent point l’inconvénient que nous avons remarqué dans les jeux même les plus équitables, celui de rendre la perte plus sensible que le gain ; puisqu’au contraire, ils donnent le moyen d’échanger son superflu pour des ressources assurées dans l’avenir. Le gouvernement doit donc encourager ces établissements et les respecter dans ses vicissitudes, car les espérances qu’ils présentent portant sur un avenir éloigné ils ne peuvent prospérer qu’à l’abri de toute inquiétude sur leur durée31.

48La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices et les charges de ces établissements, consiste à les réduire en capitaux actuels, au moyen de ce principe : « Le capital actuel équivalent à une somme qui ne doit être probablement payée qu’après un certain nombre d’années est égal à cette somme multipliée par la probabilité qu’elle sera payée à cette époque, et divisée par l’unité augmentée du taux de l’intérêt, élevée à une puissance égale au nombre de ces années ». L’intérêt annuel de l’unité est ce que l’on nomme taux de l’intérêt.

49Il est facile d’appliquer ce principe aux rentes viagères sur une ou plusieurs têtes et aux caisses d’épargnes et d’assurance, d’une nature quelconque. Supposons, par exemple, que l’on se propose de former une table de rentes viagères d’après une table donnée de mortalité. En prenant pour unité la rente viagère, on formera une suite de fractions dont les dénominateurs seront les produits du nombre des personnes indiquées dans la table de mortalité, comme vivantes à l’âge de celui qui veut avoir cette rente, par les puissances successives de l’unité augmentée du taux de l’intérêt, et dont les numérateurs seront les nombres de personnes vivantes au même âge, augmenté successivement d’une année, de deux années, etc. ; la somme de ces fractions sera le capital requis pour la rente viagère à cet âge. On aura ainsi les capitaux relatifs à tous les âges, mais on peut abréger le calcul en observant que le produit du capital relatif à un âge quelconque, par le nombre des personnes vivantes à cet âge et par l’unité augmentée du taux de l’intérêt, est égal au produit de l’unité, plus le capital relatif au même âge augmenté d’une année, par le nombre des personnes vivantes à ce dernier âge, ce qui donne la facilité de conclure ces capitaux, les uns des autres.

50Supposons maintenant qu’une personne veuille, au moyen d’une rente viagère, assurer à ses héritiers un capital payable à la fin de l’année de sa mort. Pour déterminer la valeur de cette rente, on peut imaginer que la personne place en viager ce capital divisé par l’unité augmentée du taux de l’intérêt et qu’après avoir retiré l’intérêt perpétuel de ce placement de son intérêt viager elle donne, chaque année, l’excédent à la caisse d’assurance. Il est clair qu’à la fin de l’année de sa mort le capital sera dû par la caisse à ses héritiers ; la table des rentes viagères fera donc connaître ce que la personne dont il s’agit doit donner annuellement pour assurer ce capital après sa mort.

51Les assurances maritimes se calculent par le même principe. Un négociant a des vaisseaux en mer ; il veut assurer leur valeur et celle de leurs cargaisons contre les dangers qu’ils peuvent courir, et, pour cela, il donne une somme à une compagnie qui lui répond de la valeur estimée de ses cargaisons et de ses vaisseaux. Le rapport de la somme donnée pour prix de l’assurance à la somme assurée dépend des dangers auxquels les vaisseaux sont exposés et ne peut être apprécié que par des observations nombreuses sur le sort des vaisseaux partis du port pour la même destination. Mais nous devons observer que ces établissements et tous ceux du même genre, tel que les assurances contre les incendies, ne peuvent réussir qu’autant qu’ils ont un avantage propre à subvenir aux dépenses qu’ils entraînent ; il faut encore qu’ils aient des relations très nombreuses, afin que cet avantage en se développant, produise un bénéfice certain et fasse coïncider leurs espérances mathématique et morale.

  • 32 Laplace développe le calcul des erreurs et l’estimation dans l’Essai philosophique [Laplace, 1814, (...)

52Il me reste à vous parler du milieu qu’il faut choisir entre les résultats de plusieurs observations et de la probabilité des décisions d’une assemblée. La règle la plus simple que l’on ait proposée pour fixer un milieu entre les résultats de plusieurs observations, consiste à supposer au lieu déterminé par chaque observation un poids proportionnel à la bonté de l’observation, et réciproque à l’influence de l’erreur dont elle est susceptible. Le centre commun de gravité de tous ces poids déterminera le résultat moyen des observations. On a l’influence de l’erreur d’une observation sur le résultat qu’elle donne en calculant, par l’analyse différentielle, l’erreur du résultat correspondante à une très petite erreur supposée dans l’observation, et en divisant la première par la seconde de ces erreurs. Remarquons cependant que la règle précédente, quoique fort simple et suffisante dans la pratique, n’est pas celle que la théorie des probabilités indique avec le plus de vraisemblance ; mais il serait trop long d’entrer dans cette discussion32.

  • 33 Cette partie sur les décisions des assemblées sera grosso modo maintenue dans l’Essai philosophiqu (...)
  • 34 Le passage qui commence avec « Vérité, justice, voilà les lois éternelles... » est repris en concl (...)

53La probabilité des décisions d’une assemblée, dépend de la pluralité des voix, des lumières et de l’impartialité des membres qui la composent33. Tant de passions et d’intérêts particuliers y mêlent souvent leur influence qu’il est impossible de soumettre cette probabilité au calcul. Voici cependant un résultat général auquel on est conduit par l’analyse. Si l’assemblée est très peu éclairée sur l’objet soumis à sa décision, si cet objet exige des considérations délicates et à la portée du plus petit nombre, ou si la vérité sur ce point est contraire à des préjugés reçus, en sorte qu’il y ait plus d’un contre un à parier que chaque votant s’en écartera, il sera probable que la raison sera du côté de la minorité. Et plus l’assemblée sera nombreuse, plus il y aura lieu de craindre que la décision de la majorité soit mauvaise. Ce sera le contraire si l’assemblée est composée d’hommes instruits. Concevez, par exemple, cent personnes rassemblées indistinctement, et proposez-leur de statuer sur cette question : Le soleil tourne-t-il, chaque jour, autour de la terre ? Il y a tout lieu de croire que la décision de la majorité sera pour l’affirmative, et cela deviendra plus probable encore, si au lieu de cent personnes, vous en supposez mille ou dix mille réunies. De là vous pouvez tirer cette conséquence dictée par le simple bon sens : c’est qu’il importe extrêmement à la chose publique que l’instruction soit fort répandue et que la représentation nationale soit l’élite des hommes justes et éclairés. Vérité, justice, voilà les lois éternelles de l’ordre social qui doit reposer uniquement sur les vrais rapports de l’homme avec ses semblables et avec la nature ; elles sont aussi nécessaires à son maintien que la gravitation universelle à l’existence de l’ordre physique. La plus dangereuse des erreurs est de croire que l’on peut quelquefois s’en écarter et tromper ou asservir les hommes pour leur propre bonheur ; de cruelles expériences ont prouvé dans tous les temps que ces lois sacrées ne sont jamais impunément enfreintes34.

54Il est souvent difficile de connaître et même de définir le vœu d’une assemblée au milieu de la variété des opinions de ses membres. Essayons de donner sur cela quelques règles, et considérons les deux cas les plus ordinaires : l’élection entre plusieurs candidats et celle entre plusieurs propositions relatives au même objet.

55Lorsqu’une assemblée doit choisir entre divers candidats qui se présentent pour une ou plusieurs places du même genre, ce qui paraît le plus simple consiste à faire écrire à chaque votant sur un billet, les noms de tous les candidats dans l’ordre du mérite qu’il leur attribue. En supposant qu’il les classe de bonne foi, l’inspection de ces billets fera connaître les résultats des élections, de quelque manière que les candidats soient comparés entre eux, en sorte que de nouvelles élections ne peuvent apprendre rien de plus à cet égard. Il s’agit présentement d’en conclure l’ordre de préférence qu’ils établissent entre les candidats. Imaginons que l’on donne à chaque électeur une urne qui contienne une infinité de boules au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de mérite des candidats. Concevons encore qu’il tire de son urne un nombre de boules proportionnel au mérite de chaque candidat, et supposons ce nombre écrit sur son billet, à côté du nom du candidat. Il est clair qu’en faisant une somme de tous les nombres relatifs à chaque candidat, sur chaque billet, celui de tous les candidats qui aura la plus grande somme sera le candidat que l’assemblée préfère, et qu’en général l’ordre de préférence des candidats sera celui des sommes relatives à chacun d’eux. Mais les billets ne marquent point le nombre de boules que chaque électeur donne aux candidats ; ils indiquent seulement que le premier en a plus que le second, le second plus que le troisième, et ainsi de suite. En supposant donc au premier, sur un billet donné, un nombre quelconque de boules, toutes les combinaisons des nombres inférieurs qui remplissent les conditions précédentes sont également admissibles, et l’on aura le nombre des boules relatif à chaque candidat en faisant une somme de tous les nombres que lui donne chaque combinaison et en la divisant par le nombre entier des combinaisons. Si ces nombres sont très considérables, comme on doit le supposer pour qu’ils puissent exprimer toutes les nuances de mérite, une analyse fort simple fait voir que les nombres qu’il faut écrire sur chaque billet à côté du premier nom, du second nom, etc., sont entre eux comme les suivants : 1° le nombre des candidats ; 2° ce nombre diminué d’une unité ; 3° ce même nombre diminué de deux unités, etc. Il suffit donc d’écrire sur chaque billet ces derniers nombres et d’ajouter les nombres relatifs à chaque candidat sur tous les billets ; ces diverses sommes indiqueront par leur grandeur l’ordre de préférence qui doit être établi entre les candidats. On simplifiera le calcul en écrivant, sur chaque billet, zéro à côté du dernier candidat, et les nombres 1, 2, 3, etc. respectivement à côté des candidats supérieurs.

  • 35 Les discussions sur les différents modes d’élection ont été nombreuses, avant même la Révolution f (...)
  • 36 Laplace [1825, p. 134] dira plus directement : « faire placer quelquefois au dernier rang le candi (...)

56La seule objection dont ce mode d’élection35 paraisse susceptible tient aux passions des électeurs qui, pour diminuer l’avantage des concurrents du candidat qu’ils préfèrent, pourront placer au second rang, un candidat médiocre36. Mais dans l’impossibilité de calculer l’effet des passions, il convient de s’en tenir au mode d’élection indiqué par l’analyse des probabilités.

57Le choix entre plusieurs propositions relatives au même objet semble devoir être assujetti aux mêmes règles que l’élection entre plusieurs candidats ; cependant il existe entre ces deux cas cette différence essentielle que le mérite d’un candidat n’exclut point celui de ses concurrents, au lieu que, si les propositions entre lesquelles il faut choisir sont contraires, la vérité de l’une exclut la vérité des autres. Voici comment on peut alors envisager la question.

  • 37 Dans [Laplace, 1825], le nombre sera pris infini.

58Donnons encore à chaque votant une urne qui renferme un très grand nombre de boules37, et concevons qu’il les distribue sur chaque proposition en raison de la probabilité qu’il lui suppose. Il est clair que le nombre total des boules exprimant la certitude, et le votant étant, par l’hypothèse, assuré que l’une des propositions est vraie, il doit répartir le nombre des boules de l’urne sur ces diverses propositions. Le problème se réduit donc à déterminer les combinaisons dans lesquelles toutes les boules sont réparties sur les propositions, de manière qu’il y en ait plus sur la première que sur la seconde, plus sur la seconde que sur la troisième, etc., à faire les sommes de tous les nombres de boules relatifs à chaque proposition dans ces diverses combinaisons et à diviser ces sommes par le nombre des combinaisons. Les quotients seront les nombres de boules que l’on doit attribuer aux propositions sur un billet quelconque. On trouve ainsi, par l’analyse, que ces quotients, en partant de la dernière proposition pour remonter à la première, sont entre eux comme les quantités suivantes : 1° l’unité divisée par le nombre des propositions ; 2° l’unité divisée par le nombre des propositions, plus l’unité divisée par ce nombre diminué d’un ; 3° l’unité divisée par le nombre des propositions, plus l’unité divisée par ce nombre diminué d’un ; plus, l’unité divisée par le même nombre diminué de deux, et ainsi du reste. On écrira donc ces quantités sur chaque billet, à côté des propositions correspondantes et, en ajoutant les quantités relatives à chaque proposition sur les divers billets, les sommes indiqueront par leur grandeur l’ordre de préférence que l’assemblée donne à ces propositions.

  • 38 Laplace n’a pas traité des jugements des tribunaux, alors que depuis Leibniz il s’agissait d’un th (...)
  • 39 Il y avait, chose fort originale, un cours d’économie politique à l’École normale, fait par Vander (...)

59Je viens de parcourir la plupart des objets auxquels on a, jusqu’à présent, appliqué le calcul des probabilités38. On peut, en tenant compte de tous les résultats de l’observation et de l’expérience, étendre ces applications et perfectionner ainsi l’économie politique. Les questions que cette science présente sont si compliquées, elles tiennent à tant d’éléments inappréciables ou inconnus qu’il est impossible de les résoudre a priori. On ne peut avoir à leur égard, que des aperçus, et le calcul, dans les matières qui en sont susceptibles, nous montre combien ils sont trompeurs. Traitons l’économie comme on a traité la physique, par la voie de l’expérience et de l’analyse. Considérez d’un côté le grand nombre de vérités que cette méthode a fait découvrir sur la nature et, de l’autre, la foule des erreurs que la manie des systèmes a produites ; vous sentirez alors la nécessité de consulter en tout l’expérience39. C’est un guide lent, mais toujours sûr, en l’abandonnant on s’expose aux plus dangereux écarts.

Notes

1 Cette expression, fournie ici relativement à l’Exposition du système du monde [Laplace, 1796b] revient dans l’introduction à l’Essai philosophique sur les probabilités [Laplace, 1814] : « Je présente ici, sans le secours de l’Analyse, les principes et les résultats généraux de cette théorie, en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité ».

2 Malgré la fermeture de l’École normale, et pour diffuser un certain type d’enseignement, des leçons « continuées » furent publiées. Ainsi, J.-B. Biot, alors professeur au Collège de France, data sa leçon du 1er prairial an IX, (Séances des Écoles normales, nouv. éd., leçons, tome VII, Paris, Imp. du Cercle Social, 1801, p. 5-141). Il y donnait « les principales découvertes de la mécanique et de l’astronomie » en se basant sur la Mécanique céleste récemment parue de Laplace. De la même façon, Berthollet data une leçon sur la chimie du 21 prairial an IX et Lagrange donna, mais sans fixer de date « révolutionnaire », un texte en vingt leçons intitulé : « Sur le calcul des fonctions » (Séances des Écoles normales, nouv. éd., tome X, Paris, Imp. du Cercle Social, 1801, p. 5-523). Lagrange indique lui-même : « Les leçons suivantes offrent un cours d’analyse sur cette partie du calcul qu’on nomme communément infinitésimale, ou transcendante, et qui n’est proprement que le calcul des fonctions. Ces leçons ont été données à l’École polytechnique pendant l’an VII, exceptée la dernière qu’on a cru devoir ajouter ici pour compléter ce Cours. Elles étaient destinées à servir de commentaire et de supplément à la première partie de la Théorie des fonctions analytiques. Ceux qui ont étudié le calcul différentiel pourront acquérir dans ces leçons des notions simples et exactes de ce calcul. Ils y trouveront aussi des formules et des méthodes nouvelles, ou qui n’avaient pas encore été présentées avec toute la clarté et la généralité qu’on pouvait désirer. C’est par ces motifs qu’on a cru pouvoir les publier dans le recueil des leçons de l’École Normale. »

3 Laplace a commencé à écrire sur les probabilités à partir de 1772 (voir [Laplace, 1774a]) et n’a cessé de publier à leur sujet. Il est donc particulièrement bien armé pour rédiger cette leçon, qui lui paraîtra suffisamment articulée pour qu’il puisse en 1814 la reprendre mais en l’étendant : « Cet Essai philosophique est le développement d’une leçon sur les probabilités, que je donnai en 1795 aux écoles normales, où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange par un décret de la Convention nationale » [Laplace, 1814]. Il serait certes utile de noter toutes les additions et toutes les modifications opérées par Laplace entre 1795 et 1814, mais nous n’avons pas cru devoir le faire systématiquement dans le cadre présent. Voir cependant la postface de B. Bru, dans l’édition de l’Essai philosophique de 1986, édition que nous prendrons comme référence pour les citations et qui est basée sur la dernière parution du vivant de Laplace, en 1825. Voir l’introduction aux leçons de Laplace pour la différence de fond entre l’Essai philosophique et cette dernière leçon, différence qui tient à la découverte du théorème central limite. B. Bru nous a permis de préciser quelques unes des notes qui suivent.

4 Dans l’Essai philosophique, après ce paragraphe repris tel quel, Laplace expose à sa façon le principe de raison suffisante de Leibniz qui lui paraît fonder le déterminisme. Il enchaîne alors sur la phrase fameuse : « Nous devons donc envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence... » (p. 32-33).

5 [Clairaut, 1760]

6 Dans l’Essai philosophique, Laplace préférera employer l’expression moins controversée de « molécule d’air ou de vapeurs ».

7 Dans l’Essai philosophique, Laplace ajoutera une longue diatribe contre la magie et l’astrologie, et partant contre le pouvoir de l’imitation et de l’habitude : « Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral, établit et conserve dans toute une nation des idées entièrement contraires à celles qu’il maintient ailleurs avec le même empire ». Au moins sur le plan philosophique, sous l’Empire comme sous la Restauration, Laplace ne diminuera pas la force de ses convictions.

8 Une telle phrase manifeste le désaveu des thèses de Condillac.

9 Dans son Essai philosophique, à la suite de plusieurs auteurs, Laplace développera ses idées sur les témoignages [Laplace, 1814, p. 118 et suivantes], à partir des analyses mathématiques de la Théorie analytique des probabilités [Laplace, 1812b, p. 455-470 des Œuvres].

10 [Laplace, 1776].

11 [Laplace, 1785a], suivi de [Laplace, 1786a].

12 Dans l’Essai philosophique, Laplace organise en dix principes le calcul des probabilités, ce qui est nouveau par rapport à la leçon du 10 mai 1795. Toutefois certaines explications relatives à ces principes sont reprises de la leçon elle-même. En 1814, l’espérance morale reçoit alors un traitement mathématique : « Il est facile de voir qu’elle coïncide avec l’espérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité [c’est-à-dire la portion de la fortune indépendante des expectatives de l’individu] devient infinie par rapport aux variations qu’elle reçoit des expectatives » [Laplace, 1814, p. 49].

13 Le problème discuté est connu sous le nom de « problème de Pétersbourg ». Voir D. Bernoulli, Mém. Acad. Pétersbourg, t. 5, 1738.

14 Laplace est toujours critique par rapport aux jeux de hasard. A la Chambre des Pairs, sous la Restauration, il demanda la suppression de la loterie.

15 Le « principe fondamental de cette branche de l’Analyse des hasards, qui consiste à remonter des événements aux causes » est énoncé sous forme de sixième principe dans l’Essai philosophique. Ce principe provient de plusieurs travaux de Laplace, [Laplace, 1774b, et 1781].

16 Le rapport auquel pense Laplace est 22/21.

17 Allusion à [Arbuthnot, 1710], [S’ Gravesande, 1737].

18 Allusion notamment à [d’Alembert. 1761].

19 Tout ce long paragraphe est repris dans l’Essai philosophique, et sert de commentaire au sixième principe [Laplace, 1814, p. 42-43].

20 Dans l’édition de 1825 de son Essai philosophique sur les probabilités, Laplace fera intervenir 43 mouvements de planètes ou satellites observés. Il déduira « qu’il y a plus de quatre milliards à parier contre un, que cette disposition n’est pas l’effet du hasard » (p. 110). Rappelons que le degré des angles dont parle ici Laplace en propagandiste du système décimal est le grade.

21 Ce qui vient d’être expliqué — la condensation progressive de la nébuleuse — constitue la fameuse hypothèse cosmogonique de Laplace, qui la reprit l’année suivante dans son Exposition du système du monde [Laplace, 1796b, livre V, chap. VI, note 7 et dernière]. Laplace a modifié bien des détails de son exposé au cours des différentes éditions. Voir [Jaki, 1976].

22 Laplace reste prudent lorsqu’il expose en note son hypothèse cosmogonique, une « hypothèse que je présente avec la défiance que doit inspirer tout ce qui n’est point un résultat de l’observation et du calcul » [1796b, livre V, chapitre 6].

23 Laplace, dans la Mécanique céleste notamment, a donné un contenu mathématique précis à cette notion de stabilité du système solaire, et il a essayé de la démontrer en première approximation, ouvrant ainsi un large champ à l’analyse asymptotique.

24 Laplace réorganisa dans l’Essai philosophique toutes les considérations de cette leçon, afin d’éviter d’évoquer le même sujet en des pages différentes. Celui des naissances, par exemple, est plusieurs fois repris dans la leçon.

25 Laplace invita les savants de l’expédition d’Égypte (1798-1801) à vérifier la validité de la loi énoncée. Humboldt la vérifia lors de son voyage en Amérique du Sud. Voir [Laplace, 1825, p. 82] et [Humboldt, 1811, t. 1, p. 138-139].

26 [Laplace, 1786b].

27 La détermination du ou des « multiplicateurs » permettant de déduire le chiffre de la population du seul chiffre des naissances a beaucoup intrigué les savants au xviiie siècle, après les remarques faites par Leibniz dans un mémoire daté du 1er août 1700. Le débat sera important après la publication des enquêtes démographiques du Contrôleur général des finances, Terray, dans les Mém. de l’Ac. des sciences (1783, 1784 et 1785), ou le livre de [Moheau, 1778]. L’Académie des sciences publia à partir de 1783 différents documents annuels dans le cadre d’un Essai pour connaître la population du royaume. Laplace, Condorcet et Dionis du Séjour étaient les rapporteurs des textes dus en fait à J.B.F. de La Michodière (alias Messance). Voir [Gillispie, 1978, p. 309]. Voir [Bru, 1988a] pour les calculs de Laplace.

28 De fait, avec les données recueillies : 25 299 417 habitants [Laplace, 1786b]. Laplace calcula que l’on devait recenser au moins 771 669 habitants pour, avec un risque d’erreur de 1/1 000, pouvoir connaître la population totale de France sous une erreur inférieure à 500 000 habitants. Une augmentation de 1/2 point du multiplicateur entraînerait un recensement de 35 000 habitants de plus. D’où la proposition faite par Laplace.

29 Il fut entendu par le ministre de l’Intérieur Chaptal, par ailleurs éminent chimiste, qui, le 30 fructidor an X, ordonnait un dénombrement d’un certain nombre de communes dans 30 départements afin de toucher environ 1 500 000 habitants. Les chiffres étaient traités par le bureau de statistique du ministère. Le mathématicien Duvillard, qui avait déjà fourni des tables, reprit ultérieurement ces données, mais ne publia pas ses analyses [Bru, 1988a]. Laplace commentera cette enquête dans son Essai philosophique [1814, p. 83-84].

30 Le problème de l’inoculation a suscité de très nombreux débats au xviiie siècle, que modifiera l’intervention de la vaccine découverte par Jenner en 1796, sans en diminuer le nombre. Voir [Bernoulli, 1766] ; [d’Alembert, 1761]. Plus tard, Laplace reprendra le thème lancé par d’Alembert de la crainte du père de famille « de voir périr ce qu’il a de plus cher au monde et d’en être la cause », et il le fera d’autant plus facilement que la vaccine changeait radicalement la donne pratique, sinon l’enjeu philosophique et sentimental.

31 Laplace développa les calculs sur les « bénéfices des établissements qui dépendent de la probabilité des événements » dans son Essai philosophique [1814, p. 149-157]. Les caisses d’assurances, etc.... se développeront considérablement à partir de la Restauration.

32 Laplace développe le calcul des erreurs et l’estimation dans l’Essai philosophique [Laplace, 1814, p. 89-97, et 202-206] mais explique l’analyse mathématique dans la Théorie analytique des probabilités, en développant la méthode des moindres carrés due à Legendre et Gauss. Ici il reprend son Mémoire sur les probabilités [Laplace, 1781, articles XXX et suivants], voir aussi [Stigler, 1986, p. 117-122]. [Lagrange, 1776] avait analysé avec soin les milieux qu’il faut choisir entre les résultats des observations. Laplace parviendra à beaucoup mieux grâce à son travail de 1810 et c’est ce qu’il exposera en 1812.

33 Cette partie sur les décisions des assemblées sera grosso modo maintenue dans l’Essai philosophique. Mais l’exemple du mouvement diurne sera éliminé, ainsi que la tirade qui commence avec « Vérité, justice, voilà les lois éternelles... ».

34 Le passage qui commence avec « Vérité, justice, voilà les lois éternelles... » est repris en conclusion de l’Exposition du système du monde, dans la lere édition (1796b) ainsi que dans la 2e édition (1799), mais il disparaîtra de l’édition de janvier 1824.

35 Les discussions sur les différents modes d’élection ont été nombreuses, avant même la Révolution française. Borda, dans les Mém. de l’Ac. des Sciences de 1781 (p. 657-665) recommandait déjà le système préconisé par Laplace. Voir aussi [Condorcet, 1785].

36 Laplace [1825, p. 134] dira plus directement : « faire placer quelquefois au dernier rang le candidat le plus redoutable à celui que l’on préfère, ce qui donne trop d’avantage aux candidats d’un médiocre mérite ». Il fera mine de comprendre l’impossibilité du système proposé et évoquera favorablement l’élection à la majorité absolue des suffrages.

37 Dans [Laplace, 1825], le nombre sera pris infini.

38 Laplace n’a pas traité des jugements des tribunaux, alors que depuis Leibniz il s’agissait d’un thème important relatif aux probabibilités. Il en parlera longuement dans [Laplace, 1825], mais déjà en 1816 dans son deuxième supplément à la Théorie analytique des probabilités. Dans ce dernier texte, il évoquera avec force exemple les « illusions » dans l’estimation des probabilités, et développera d’intéressantes considérations de psychologie. Laplace n’a pas non plus parlé de l’utilisation des probabilités et de la théorie des erreurs en géodésie, ce qui est un peu surprenant car la triangulation de Dunkerque à Barcelone la mettait à l’ordre du jour et il était directement responsable de plusieurs techniques. Peut-être estimait-il ne pas disposer encore d’une théorie mathématique satisfaisante à ce sujet ? Il la découvrira effectivement vers 1817-1818, voir [Bru, 1988b].

39 Il y avait, chose fort originale, un cours d’économie politique à l’École normale, fait par Vandermonde. Le premier cours eut lieu le 21 février. Laplace apparaît particulièrement réticent à l’utilisation directe du « calcul » en économie politique, du moins tant que des expériences concrètes ne viennent pas en préalable, et il n’en parlera pas plus dans son Essai philosophique sur les probabilités.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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