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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Huitième leçon

21 germinal /10 avril

Texte intégral

  • 1 Il existait au xviie siècle tout un pan de l’activité mathématique qui consistait à fournir des co (...)

1L’algèbre ayant pour objet la grandeur en général, il est visible qu’elle peut s’appliquer à la considération des lignes, des surfaces et des solides, et que les diverses questions géométriques peuvent être traitées par son moyen. Il ne s’agit que de représenter les lignes par les caractères algébriques, et de former les équations résultantes de leurs rapports, qui, le plus souvent, sont donnés par les propriétés des triangles semblables aux rectangles et par celles du cercle. Dans la solution des problèmes, une ou plusieurs des lignes que ces équations renferment, sont des inconnues dont on détermine les valeurs par les méthodes que l’algèbre fournit pour résoudre les équations. On construit ensuite ces valeurs, c’est-à-dire, que l’on assigne, par des procédés géométriques, les lignes qui leur sont égales1. Ainsi, l’on transporte dans la géométrie toutes les ressources de l’analyse, et l’on parvient sans peine à des résultats qu’il serait souvent difficile d’obtenir par la géométrie seule.

2Les propriétés du cercle et des lignes proportionnelles, suffisent pour construire les expressions qui ne renferment que des racines carrées. Par exemple, une fraction dont le numérateur est de la dimension n, et dont le dénominateur est de la dimension n – 2, exprimant une surface ; si l’on veut déterminer le côté du carré qui lui est égal, on peut concevoir le numérateur de la fraction divisé par fn – 1, f étant une ligne prise à volonté. Chaque terme de ce numérateur devient de la première dimension, et l’on détermine la ligne qu’il représente, par les proportionnelles, en observant que f, a, b exprimant trois lignes, ab/f est une quatrième proportionnelle à ces lignes. On aura donc ainsi une ligne h égale à la somme de tous les termes du numérateur divisés par fn – 1 ; on aura pareillement une ligne l égale à la somme de tous les termes du dénominateur divisés par fn – 3 ; la fraction proposée sera réduite à celle-ci, hf2/l ou à pf, p étant une quatrième proportionnelle aux lignes l, h, f. La moyenne proportionnelle entre p et f, sera le côté du carré égal à la fraction proposée.

  • 2 Les deux paragraphes qui précèdent sont une reprise des premières lignes de la Géométrie de Descar (...)
  • 3 Laplace règle un peu trop vite les problèmes classiques de la trisection de l’angle et de la dupli (...)

3On peut, en suivant ce procédé, déterminer en lignes, en surfaces et en solides, les expressions d’une, de deux ou de trois dimensions, qui renferment des radicaux carrés, et même des radicaux dont l’exposant est une puissance de deux. Ainsi la racine de toute équation du second degré peut être construite, au moyen du cercle et de la ligne droite, c’est-à-dire avec la règle et le compas ; mais le cercle et la ligne droite, ou deux cercles, ne pouvant se couper qu’en deux2 points, on ne peut pas, par leur moyen, construire les racines d’une équation du troisième degré, ni des racines cubiques, en sorte que la duplication du cube et la trisection de l’angle, problèmes fameux dans l’antiquité, sont impossibles avec la règle seule et le compas3.

4Le choix des inconnues n’est point indifférent dans les problèmes géométriques, et c’est de là que dépend principalement la simplicité de leurs solutions. La règle que nous avons donnée pour ce choix, dans les problèmes algébriques, peut encore servir ici. Lorsque deux ou plusieurs inconnues sont déterminées par une même équation, il ne faut pas choisir l’une d’elles pour inconnue principale ; on doit prendre pour cette inconnue une ligne qui ait un même rapport avec elles, telle que leur somme, ou leur différence, ou une moyenne proportionnelle. L’équation que l’on obtient alors est moins composée que celle qui détermine les inconnues du problème ; elle en est une réduite, plus facile à résoudre, et qui donne aisément les valeurs des inconnues. Supposons, par exemple, que la hauteur d’un triangle, sa base, et la somme de ses deux côtés étant connues, on propose de déterminer chacun de ses côtés ; il est clair que, dépendant de la même manière des quantités connues, ils doivent être donnés par la même équation ; ainsi, au lieu de considérer l’un d’eux comme l’inconnue principale, il vaut mieux prendre pour cette inconnue, leur différence.

5Parmi les diverses constructions que l’on peut donner d’un même problème, il en est qui sont recommandables par leur simplicité et leur élégance, et dont la recherche exige quelquefois beaucoup d’adresse. Il est utile dans l’enseignement d’exercer sur cet objet les élèves.

  • 4 Le même jour, Monge dans sa 9e leçon croira nécessaire de justifier le recours à la géométrie, au (...)

6Vous trouverez un grand nombre de problèmes géométriques, résolus par l’algèbre, dans l’arithmétique universelle de Newton, ouvrage digne de son illustre auteur, soit par les découvertes qu’il contient, soit par les artifices au moyen desquels les solutions des problèmes sont ramenées aux équations les plus simples. Il importe d’autant plus de connaître et de perfectionner ces artifices qu’ils peuvent seuls assurer aux solutions algébriques la supériorité sur les solutions purement géométriques qui, d’ailleurs, ont l’avantage de ne faire jamais perdre de vue l’objet principal et d’éclairer la route entière qui conduit des premiers axiomes à leurs dernières conséquences. Mais je pense que l’algèbre peut toujours fournir les meilleures méthodes4 ; il ne s’agit pour cela, que de l’appliquer d’une manière convenable, en faisant un choix avantageux des inconnues, et en donnant aux résultats la forme la plus facile à construire, ou à réduire en calcul numérique. Pour employer commodément, dans cette réduction, les tables de logarithmes, il convient de décomposer les résultats en facteurs. La recherche de la solution la plus simple sous ce rapport est un nouveau problème qui souvent présente d’assez grandes difficultés, alors même que le problème principal n’en offre aucune. C’est à les résoudre que l’on doit s’attacher si l’on veut rendre utile l’application de l’algèbre à la géométrie : dans ce genre, lorsqu’il s’agit de méthodes usuelles, un abrégé de calcul est une vraie découverte ; ce qui n’a pas toujours été senti par ceux qui ont essayé de substituer l’analyse aux méthodes trigonométriques ; et c’est pour cela que, dans un grand nombre de cas, ces dernières méthodes sont encore préférées.

7Vous concevez que, pour appliquer d’une manière générale l’algèbre à la géométrie, il était nécessaire que les quantités, soit connues, soit inconnues, fussent représentées par des caractères généraux. On n’a d’abord employé les lettres que pour exprimer les inconnues ; les connues étaient représentées par des nombres. Viète est le premier qui ait eu l’heureuse idée d’exprimer les unes et les autres par des lettres. L’application que ce grand analyste fit de l’algèbre ainsi généralisée à la géométrie est devenue, par l’extension que Descartes lui a donnée, l’une des plus importantes découvertes que l’on ait faites dans les sciences. Il semble aujourd’hui qu’il était facile d’y parvenir. Déjà vous avez eu occasion d’observer que presque toujours les idées les plus fécondes sont en même temps si simples que l’on est tenté de les regarder comme d’heureux hasards ; mais ces hasards qui ne sont jamais arrivés qu’aux hommes de génie ont toujours été préparés par des recherches antérieures. Nous ne pouvons nous élever aux vérités générales que par la comparaison des résultats particuliers qu’il faut considérer longtemps, et varier d’un grand nombre de manières pour saisir ce qu’ils ont de commun entre eux, et pour en faire éclore ces grandes théories qui changent la face des sciences et font époque dans leur histoire.

  • 5 Le développement qui suit est purement analytique, la géométrie n’en recevant que les effets. C’es (...)

8Une des applications les plus intéressantes de l’algèbre à la géométrie est celle qui a pour objet la division des angles et de la circonférence, en parties égales. L’analyse en ayant tiré de grands avantages, soit pour la décomposition des fonctions en facteurs, soit pour le développement des fonctions en séries, soit pour la résolution des équations, je vais vous l’exposer en peu de mots5.

9x et y étant deux angles quelconques, il est aisé de voir par le théorème fondamental de la trigonométrie, que le produit de

10est égal à

11De là il résulte, en faisant y successivement égal à x, 2 x, 3 x,…., que l’on a généralement

  • 6 Laplace n’a pas défini ce qu’est le cosinus d’un nombre imaginaire : la forme analytique de l’expr (...)

12Cette formule, l’une des plus utiles de l’analyse, a, comme celle du binôme, l’avantage de s’étendre aux valeurs de n, entières et fractionnaires, positives et négatives, irrationnelles et même imaginaires6.

13Il est facile au moyen de cette formule de développer une fonction quelconque de sinus et de cosinus de l’angle x, en sinus et cosinus de ses multiples ; pour cela, il suffit de substituer dans cette fonction,

14au lieu de cos x et

15au lieu de sin ; et de développer ensuite la fonction par rapport aux puissances et aux produits de cos x + 1 sin x et de cos x √ – 1 sin x. Ces puissances et ces produits se réduisent en sinus et consinus de multiples de x, en observant que le produit de

16est égal à

  • 7 Dans un chapitre, [Euler, 1748] liait les lignes trigonométriques et l’exponentielle à partir de l (...)

17on aura ainsi les expressions connues des puissances des sinus, cosinus, tangentes, etc., d’un angle quelconque. Vous trouverez tous les développements que l’on peut désirer sur cet objet, dans l’introduction à l’analyse des infiniment petits, par Euler, ouvrage excellent, dont je vous recommande la lecture, comme indispensable à tous ceux qui veulent faire des progrès dans l’analyse7.

18La formule précédente donne un moyen simple de décomposer en facteurs le binôme xn± an. Pour cela, supposons x = ay, et considérons l’équation yn± 1 = 0. Si l’on y suppose

19on aura

20ce qui donne

21Si le signe + a lieu, on a nx = 2 ic, i étant zéro ou un nombre entier, et c étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on a donc alors

22les facteurs de yn– 1 sont donc les diverses quantités que l’on obtient en faisant 2 i égal à 0, 2, 4,... jusqu’à n ou n – 1, suivant que n est pair ou impair, dans la fonction

23les valeurs ultérieures de 2 i reproduisent les mêmes facteurs. Ainsi la fonction

24représente les facteurs de xn an.

25Si l’on a cos nx = 1, on aura

26et, dans ce cas, les facteurs de xn+ an seront compris dans la forme

272 i étant successivement égal à 0, 2, 4, etc. jusqu’à n – 2, ou n – 1, suivant que n est pair ou impair.

  • 8 Laplace compte deux fois les facteurs élémentaires puisqu’il regroupe

28De-là il est facile de conclure que xn an est égal à la racine carrée8 du produit des n facteurs que l’on obtient, en donnant à i toutes les valeurs, depuis i = 0 jusqu’à i = n - 1, dans le trinôme

29et que xn+ an est égal à la racine carrée du produit des n facteurs que l’on obtient, en donnant à i toutes les valeurs, depuis i = 0 jusqu’à i= n 1, dans le trinôme.

  • 9 Roger Cotes (1682-1716). Son Harmonia mensurarum seu Analysis et Synthesis per rationum et angulor (...)

30Ce résultat est la traduction analytique de ce théorème de Cotes9. Si, dans un cercle, on mène un diamètre quelconque, qu’à partir d’une des extrémités de ce diamètre comme origine, on divise la circonférence dans le nombre 2 n de parties égales, et que l’on désigne par les nombres 0, 1, 2, 3, etc., ces divisions, 0 répondant à l’origine ; si d’un point fixe quelconque pris sur le diamètre ou sur son prolongement, et du même côté du centre que l’origine des arcs, on mène des droites aux divisions 0, 1,2, etc. ; le produit de toutes les droites menées du point fixe aux nombres impairs est égal à la somme des puissances n, du rayon, et de la distance du point fixe au centre ; le produit de toutes les droites menées du point fixe aux nombres pairs 0, 2, etc. ; est égal à la différence des mêmes puissances. Si le point fixe est supposé de l’autre côté du centre, il suffit alors de considérer sa distance au centre, comme étant négative.

31Ce théorème, l’un des plus beaux que l’on ait trouvés en géométrie, mérita à son auteur, qu’une mort prématurée enleva aux sciences, ce bel éloge de Newton : Si Cotes eût vécu, nous saurions quelque chose.

32Ce grand géomètre ayant laissé sans démonstration son théorème, les géomètres s’appliquèrent à la rétablir, et leurs recherches ont produit l’analyse que nous venons d’exposer.

  • 10 Voir note 69. Laplace n’envisage ici que les cas faciles des équations cyclotomiques xn – 1 = 0, é (...)

33Il en résulte que la division de la circonférence en parties égales, et la résolution de l’équation xn – 1 =0, dépendent réciproquement l’une de l’autre : or, on peut résoudre cette équation, sans admettre de radicaux cubes, lorsque n est successivement égal à 3, 4, 5, et à ces nombres multipliés respectivement par des puissances de 2 ; on peut donc, par la règle seule et le compas, inscrire et circonscrire au cercle, des polygones réguliers de ce nombre de côtés10.

  • 11 C’est l’algorithme d’Euclide appliqué à 2π/n et 2π/m qui fournit la « commune mesure » 2π/nm au te (...)

34En général, m et n étant premiers entre eux, et exprimant le nombre des côtés de deux polygones réguliers, inscrits ou circonscrits au cercle, on pourra facilement inscrire ou circonscrire un polygone régulier d’un nombre mn de côtés. Pour cela, on portera l’arc relatif à un côté du polygone qui a le plus de côtés sur l’arc relatif à un côté de l’autre polygone autant de fois qu’il y est contenu exactement ; on portera le reste sur le second arc autant de fois qu’il y est contenu ; on portera le second reste sur le premier reste, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ne trouve point de reste. Le dernier reste11 sera la commune mesure des deux arcs ; or, cette commune mesure est égale à 2c/mn ; on pourra donc inscrire ou circonscrire au cercle, un polygone de mn côtés.

35De là, et de la relation qui existe entre la division de la circonférence, et la résolution des équations à deux termes, il suit que les racines des deux équations xm – 1 = 0 et – 1 = 0 donnent les racines de l’équation xmn – 1 = 0. En effet, la résolution de la première de ces équations, donne la valeur de

36et, par conséquent, celle de

37r étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, puisque cette seconde valeur est la puissance r de la première. Pareillement, la résolution de l’équation xn – 1 = 0, donne la valeur de

38r' étant un nombre entier ; on aura donc la valeur du produit de ces deux dernières fonctions, produit qui est égal à

  • 12 La relation rn + r' m = 1 est l’identité dite de Bézout pour deux nombres premiers n et m. Elle ét (...)

39or, m et n étant premiers entre eux, on peut toujours déterminer r et r' en sorte que l’on ait12 rm + r'm = 1 ; on aura donc ainsi la valeur de

40Cette quantité est une des racines de l’équation xmn – 1 = 0 ; et toutes les autres racines différentes de l’unité en résultent, en l’élevant successivement à ses diverses puissances.

  • 13 Le brusque passage du cadre algébrique des équations cyclotomiques au cas transcendant du logarith (...)

41La résolution de l’équation xn 1 =0, donne toutes les racines n-ième de l’unité et l’on voit que les racines, autres que l’unité, sont les puissances de celle qui répond au plus petit arc. La remarque que l’unité peut avoir plusieurs racines du même ordre ; quoiqu’une suite immédiate de la formation des équations ne paraît avoir été bien connue que dans ce siècle. Elle montre que l’égalité d’une même puissance de deux grandeurs ne prouve point l’égalité de ces grandeurs ; de même que la condition de satisfaire à une même équation ne prouve point l’égalité des racines. Cette réflexion nous sera utile dans la théorie des logarithmes que nous ferons voir être en nombre infini pour une même quantité13.

42On peut, au moyen de ce qui précède, extraire une racine quelconque d’une quantité, soit réelle soit imaginaire. Pour cela, considérons la quantité p + q √ – 1 ; sa racine est égale à

43Soit A le plus petit des angles dont le sinus et le cosinus sont respectivement

44la fonction précédente sera

45i étant un nombre entier positif qui peut s’étendre depuis i = 0 jusqu’à i = n – 1.

  • 14 Voir, sur ces puissances de nombres imaginaires, l’annexe 7 : Les nombres imaginaires dans l’analy (...)

46Ainsi, toutes les racines des fonctions de la forme p + qy 1 sont de la même forme14, et l’on voit généralement que toute fonction algébrique d’une ou plusieurs imaginaires de la forme p + q 1 est de la même forme, et peut se déterminer par la méthode précédente.

  • 15 Ce qu’annonce Laplace ne sera pas traité dans le cadre de l’École normale. Un des points de l’anal (...)

47Si n est un nombre fractionnaire que nous représentons par h/l, l’angle (2 ic + A)/n deviendra 2 (ilc + Al) /h reproduira donc les mêmes sinus et cosinus, lorsque i sera égal à h ; ainsi la racine n-ième n’a, dans ce cas, que h valeurs différentes ; mais si n est irrationnel, alors elle a une infinité de valeurs, car i et i' étant deux nombres r’ étant un nombre entier ; on aura donc la valeur du produit de ces deux dernières fonctions, produit qui est égal à quelconques, la différence des deux angles 2 (ic +A)/n et 2 (i’c +A)/n, ne peut jamais devenir un multiple de la circonférence ; les valeurs successives de i ne finissent donc point par reproduire les mêmes sinus et cosinus. Nous verrons dans la suite15 que, si n est imaginaire, et de la forme p + q 1, les racines n-ièmes sont encore de la même forme.

48Le cosinus de l’angle nx étant donné, comme on l’a vu précédemment, en puissances du cosinus de l’angle x, si l’on considère le premier de ces cosinus, comme une quantité connue, et le second, comme une inconnue, on aura, pour déterminer cette inconnue, en supposant a = cos nx, et y = cos x, l’équation.

  • 16 Le polynôme donnant a en fonction de y est connu aujourd’hui sous le nom de polynôme de Cebičev de (...)

49Cette équation peut donc être résolue par la division d’un arc en parties égales ; et si l’on nomme A le plus petit des arcs dont le cosinus est a, les diverses valeurs de y seront exprimées par cos (2ic + A/n), i pouvant s’étendre depuis i = 0, jusqu’à i = n – 1. Il suit ce qui précède16 que

50ce qui donne

51Ainsi l’expression de y peut être mise sous une forme indépendante des cosinus, et, sous cette forme, elle embrasse le cas où a est plus grand que l’unité.

52Lorsque a est moindre que l’unité, les racines de l’équation sont toutes réelles et elles offrent la même singularité que le cas irréductible des équations du troisième degré, celle d’être la somme de deux imaginaires. En effet, nous verrons bientôt que l’équation du troisième degré est alors comprise dans la précédente.

53Les expressions du sinus et de la tangente de l’angle nx, en puissances du sinus et de la tangente de l’angle x, fournissent pareillement des équations d’un degré indéfini qui peuvent être résolues par la division de l’angle en parties égales.

54De là résulte un moyen facile de résoudre les équations du troisième et du quatrième degré, en faisant usage des tables de sinus. Ce moyen est si commode que, malgré la facilité que présente la résolution des équations du second degré, il peut être employé avec avantage relativement à ces dernières équations.

55Considérons l’équation du second degré, x2+ px ± q = 0, q étant positif. Soit x = zq, on aura z ± 1/z = – pq.

56Si le signe + a lieu et si – p/2√q est, abstraction faite du signe, moindre que l’unité, on fera z = cos u + √ 1 sin u, et l’on aura cos u =p/2√q.

57Les tables des sinus feront connaître l’angle u, au moyen de cette équation, qui donnera facilement le logarithme de cos u ; et comme, à la même valeur de cos u, répondent les deux angles u et – u, on aura pour x deux valeurs qui, dans ce cas, sont imaginaires.

58Si – p/2√q est, abstraction faite du signe, plus grand que l’unité ; on fera z = tang u ; et l’on aura z + 1/z += 2/sin 2 u ; d’où l’on tire sin 2 u = – 2√q/p

59Les tables des sinus donneront le plus petit des angles qui répondent à cette expression de sin 2 u prise positivement. Cet angle, affecté du même signe que cette expression, sera la valeur de 2 ; mais au sinus de 2 u répondent les deux arcs 2 u et c 2 u, c étant la demi-circonférence ; on aura donc, pour les deux valeurs de x,

60Si l’on a

61on fera encore z = tang u, ce qui donne

62et, par conséquent,

63Les tables des sinus feront connaître le plus petit des angles qui répondent à cette expression de tang 2 u prise positivement ; cet angle, affecté du même signe que cette expression, sera la valeur de 2 u. Mais à la tangente de 2 u répondent les deux arcs 2 u et c + 2 u ; on aura donc

64Considérons présentement l’équation du troisième degré x3 + px + q = 0, p étant positif. Supposons x = r(z ± 1/z) ; nous aurons

65Cette équation en z est du sixième degré, mais résoluble à la manière de celles du second degré ; ce qui donne un nouveau moyen de résoudre les équations du troisième degré.

66Supposons d’abord que le signe supérieur ait lieu, et que h, abstraction faite du signe, soit moindre que l’unité. Alors 1/4 q2 – (1/27)p3 est une quantité négative, et l’équation proposée tombe dans le cas irréductible. Si l’on fait z = cos u + √ – 1 sin u on aura

67on aura ensuite z3 +1/z3 = 2 cos 3 u ; partant, cos 3 u = h. Soit A le plus petit des angles, dont le cosinus est h et que les tables feront connaître ; on aura pour 3 u, les trois valeurs, A, 2c + A, 4 c + A ; et, par conséquent, les trois valeurs de x seront

68Remarquez bien ici l’usage des quantités imaginaires pour déterminer les quantités réelles : la valeur de x exprime le radical imaginaire, dont la racine de l’équation du troisième degré est composée dans le cas irréductible ; mais, sous cette forme, on voit clairement que les imaginaires disparaissent de l’expression de r (z +1/z), qui est égale à x. Ainsi, la considération des quantités imaginaires qui embarassaient beaucoup les premiers analystes est devenue, par leur comparaison avec l’expression cos x ± √ – 1 sin x, facile et d’un grand usage dans l’analyse, et vous aurez occasion d’en voir des applications nombreuses dans le calcul infinitésimal.

69Si h, abstraction faite du signe, est plus grand que l’unité, on fera z3 = tang u ; alors on aura z3 + 1/z3= 2/sin 2u ; d’où l’on tire sin 2 u = 1/h ; on aura donc « par les tables des sinus. Si l’on fait ensuite 3√ tang u = tang u', on aura

70C’est la valeur réelle de x ; ses deux valeurs imaginaires sont

71Il nous reste à considérer le cas où l’on a x = p/3(z – 1/z).

72On fera, dans ce cas, 1/z3 = tang u, et l’équation z3 1/z3 = 2 h donnera tang 2 u = 1/; on aura donc l’angle u au moyen des tables. Soit tang u' = 3√tang u ; on aura

73Les valeurs imaginaires de x, sont

  • 17 Lagrange avait déjà traité l’équation du 3e et du 4e degré dans sa 3e leçon et Laplace dans sa 5e (...)

74La résolution des équations du quatrième degré dépend d’une réduite du troisième degré17 ; ses racines sont une fonction très simple de celle de la réduite ; on pourra donc les déterminer facilement par la méthode précédente.

  • 18 Le passage naturel de la recherche des racines à celle des courbes est repris de la Géométrie de D (...)

75Vous voyez par ce qui précède, que l’application de l’algèbre à la géométrie a pour objet de faire servir les méthodes de l’analyse à la détermination d’un ou de plusieurs points, d’après des conditions données. Mais, si le nombre des équations qui résultent de ces conditions est insuffisant pour la détermination de ces points, il en existe alors une infinité dont l’ensemble forme des surfaces ou des lignes18.

76La manière la plus simple de fixer la position d’un point dans l’espace consiste à le rapporter à trois plans perpendiculaires entre eux. Les distances du point à chacun de ces plans se nomment coordonnées, et les intersections mutuelles des plans sont les axes des coordonnées qui leur sont parallèles, x, y, z, exprimant ces coordonnées, z est la distance du point au plan dans lequel sont les axes des x et des y ; la rencontre de z avec ce plan est la projection du point, et y est la distance de cette projection à l’axe des x. Enfin, x est la distance du point où la perpendiculaire y à l’axe des x rencontre cet axe, à l’intersection commune des trois axes, intersection qui est l’origine des coordonnées. Cette distance se nomme alors abscisse, et les deux autres lignes y et z se nomment ordonnées. Si l’on considère comme positives les coordonnées prises d’un certain côté de leur origine, elles seront négatives, prises du côté opposé.

77Si l’on n’a qu’une équation entre les trois coordonnées, la position du point est indéterminée, et le lieu de tous les points qui y satisfont est une surface dont cette équation exprime la nature.

  • 19 On utilise aujourd’hui le qualificatif de courbe gauche, ou de courbe dans l’espace.

78Si l’on a deux équations entre les coordonnées, la position du point est encore indéterminée ; le lieu de tous les points qui satisfont à ces équations est à la fois sur les deux surfaces qu’elles représentent ; elle est donc sur la ligne formée par leur commune intersection, et cette ligne se nomme courbe à double courbure19 quand elle n’est pas située dans un même plan.

79Enfin, si l’on a trois équations entre les coordonnées, la position du point est déterminée, et c’est sous ce point de vue, que nous venons d’envisager l’application de l’algèbre à la géométrie.

80Le premier objet de l’analyse appliquée à la théorie des courbes et des surfaces est de former leurs équations d’après les conditions qui les déterminent. Par exemple, la circonférence étant une ligne dont tous les points sont également éloignés du centre, il est facile d’en conclure que, a étant son rayon, y une perpendiculaire abaissée d’un de ses points sur un diamètre et x la distance de cette perpendiculaire au centre, la condition dont il s’agit, donne pour l’équation du cercle x2+ y2= a2.

  • 20 Laplace a tout à fait raison de faire remonter les équations aux dérivées partielles au problème d (...)

81Mais, souvent ce problème présente de grandes difficultés dont la solution a fait naître des théories importantes. Ainsi, la considération des lignes et des surfaces, d’après la condition qu’elles embrassent sous la même étendue le plus petit espace, a produit le calcul des variations, et les premiers éléments du calcul des différences partielles sont dus à la recherche des courbes qui coupent un système donné d’autres courbes, à angles droits20.

  • 21 Vocabulaire vieilli issu de Viète pour désigner les propriétés des courbes. Ce passage de Laplace (...)

82Quand les équations sont formées, on peut lire dans leur développement toutes les affections21 des surfaces et des lignes qu’elles expriment. On peut déterminer le cours de ces surfaces et de ces lignes dans l’espace, leurs branches infinies, leurs inflexions, leurs rebroussements, leurs contours, leurs nœuds et leur courbure, leur grandeur et celle des espaces qu’elles enferment, la position des plans et des lignes qui les touchent, leurs plus grandes et leurs plus petites ordonnées. Ce rapprochement de la géométrie et de l’algèbre répand un nouveau jour sur ces deux sciences ; les opérations intellectuelles de l’analyse, rendues sensibles par les images de la géométrie, sont plus faciles à saisir, plus intéressantes à suivre. Cette correspondance fait l’un des plus grands charmes attachés aux spéculations mathématiques ; et quand l’observation réalise ces images, et transforme les résultats mathématiques en lois de la nature ; quand ces lois, en embrassant l’univers dévoilent à nos yeux ses états passés et à venir ; alors la vue de ce sublime spectacle nous fait éprouver le plus noble des plaisirs réservés à la nature humaine.

83Considérons d’abord les lignes courbes. Elles sont algébriques ou transcendantes suivant la nature de l’équation qui les exprime ; mais dans tous ces cas, on peut les considérer comme l’intersection de deux surfaces représentées chacune par une équation entre les trois coordonnées x, y et z. Si l’on élimine de ces équations une des coordonnées, z, par exemple, on aura une équation entre x et y, qui sera celle de la projection de la courbe sur le plan des x et des y. En éliminant y, au lieu de z, on aura une équation entre x et z qui sera celle de la projection de la courbe sur le plan des x et des z ; enfin, si l’on élimine x, on aura une équation entre y et z qui sera telle de la projection de la courbe sur le plan des y et des z. Mais il est visible que deux de ces projections étant données, la troisième en est une suite nécessaire.

84Quoique la considération des axes des coordonnées, perpendiculaires entre eux, soit la plus simple, cependant, il est quelquefois utile de supposer que ces axes font entre eux des angles quelconques ; en changeant la position des axes, leur inclinaison mutuelle et leur origine, les nouvelles coordonnées parallèles à ces axes seront données en x, y, z, par des équations linéaires et réciproquement ; en sorte que le degré des équations qui déterminent les courbes ou les surfaces restera toujours le même. C’est sous ce point de vue général que nous envisageons les coordonnées.

85La nature des courbes à double courbure dépend, comme on vient de le voir, de la nature des courbes situées dans un même plan. Celles-ci, quand elles sont rapportées à leur plan, ne dépendent que d’une seule équation ; lorsqu’elles sont algébriques, on les a distinguées en différents ordres relatifs au degré de l’équation dont elles dépendent. On a nommé lignes du premier ordre, celles dont l’équation entre les coordonnées x et y sont du premier degré, et la ligne droite est évidemment la seule de cet ordre. Les lignes du second ordre sont celles dont l’équation est du second degré, et ainsi de suite.

86Chaque ordre présente, à mesure qu’il s’élève, une grande variété de figures. Quelquefois la courbe ne s’étend que jusqu’à certaines limites au-delà desquelles les ordonnées ou les abscisses deviennent imaginaires ; ainsi, dans l’équation du cercle x2+ y2= a2, l’une des coordonnées étant imaginaire quand l’autre surpasse a, la courbe est renfermée toute entière dans un carré dont le côté est 2 a. Dans d’autres cas, la courbe étend à l’infini plusieurs branches dont le nombre et la nature sont le caractère le plus propre à distinguer les ordres en genres. Les branches infinies des courbes approchent sans cesse d’une courbe beaucoup plus simple qui lui sert d’asymptote et dont elle finit par s’éloigner moins que d’aucune quantité donnée. Cette propriété des courbes est commune à toutes les suites infinies des grandeurs qui dépendent les unes des autres. La détermination des lois qui leur servent de limites, est un des objets les plus intéressants de l’analyse. Voici comme on y est parvenu relativement aux branches infinies des courbes.

  • 22 Laplace insiste sur le fait que la géométrie des courbes n’est que l’occasion de manifester les pr (...)
  • 23 La méthode du parallélogramme avait été donnée par Newton dans ses Fragments, mais il ne s’en serv (...)

87Si l’on conçoit l’expression de l’ordonnée y de la courbe, développée dans une suite ordonnée par rapport aux puissances descendantes de l’abscisse x, il est clair que les termes qui renferment les puissances négatives de x seront d’autant moindres que cette abscisse sera plus grande, et qu’ils parviendront à être plus petits qu’aucune grandeur donnée. La courbe approchera donc sans cesse de celle qui est exprimée par l’expression de y, lorsque l’on n’a égard qu’aux termes précédents de la série, et cette seconde courbe sera l’asymptote de la première. Tout se réduit donc à former la courbe dont nous venons de parler, ce qui, dans plusieurs cas, présente des difficultés22. Newton a imaginé un procédé ingénieux pour les résoudre23. Il consiste à partager un parallélogramme en cases égales, par des lignes menées parallèlement à ses côtés. En supposant l’un deux horizontal et l’autre vertical, on place chaque terme de l’équation proposée dans la colonne verticale dont le rang, à partir du concours des deux côtés, est égal à l’exposant de x, augmenté de l’unité ; on le place en même temps dans la colonne horizontale, dont le rang, à partir du même point, est indiqué par l’exposant de y augmenté de l’unité. Cela fait, on dispose une règle de manière qu’elle passe par le centre de deux cases qui renferment des termes de l’équation, en remplissant la condition de laisser au-dessous, tous les termes qui ne sont pas sur sa direction. Maintenant, si, dans l’équation, on suppose y = Axi, tous les termes placés sur la direction de la règle renfermeront les plus hautes puissances de x, et ces puissances seront les mêmes pour chacun d’eux. En égalant leurs exposants, on aura la valeur de l’exposant indéterminé ; en égalant la somme de leurs coefficients à zéro, on aura la valeur de A.

88Le terme Axi, est le premier terme de la série descendante en ; on aura le second terme, en supposant dans l’équation y égal à Axi, plus une nouvelle variable y', dont on déterminera, par la même méthode, le premier terme A'xi' de son expression, en ayant soin d’observer que i' doit être moindre que i. En continuant ainsi, on aura les différents termes de l’expression de y. Souvent, après un certain nombre de termes, la loi des exposants se manifeste ; et alors il suffit de donner aux termes de la série des coefficients arbitraires que l’on détermine aisément en substituant cette série, au lieu de y, dans l’équation proposée, et en comparant les puissances semblables de x.

89Si la règle peut prendre deux ou un plus grand nombre de positions différentes, de manière à remplir les conditions dont nous avons parlé, on aura pour l’expression de y autant de séries différentes qui donneront les diverses branches infinies de la courbe ; mais la courbe n’aura aucune branche infinie, si toutes ces séries sont imaginaires et alors on sera sûr qu’elle ne s’étend point au-delà de certaines limites.

90Il est facile de conclure de ce qui précède que les branches infinies d’une courbe sont toujours en nombre pair, et que si le degré de son équation est impair, elle a au moins deux branches infinies.

91S’il est intéressant de suivre la courbe dans ses branches infinies, il ne l’est pas moins de la considérer à sa naissance et d’avoir la courbe la plus simple qui, dans ces points, coïncide avec elle. Pour cela, il faut ordonner l’expression de y en série, par rapport aux puissances ascendantes de x. Le parallélogramme de Newton offre encore un moyen facile d’y parvenir ; mais au lieu de placer la règle, de manière à laisser au-dessous d’elle tous les termes qui ne sont pas sur sa direction, il faut alors la disposer de manière qu’elle laisse ces termes au-dessus.

92Il n’est pas nécessaire, pour l’usage de ce parallélogramme, que les exposants des puissances de x et de y soient des nombres entiers positifs ; ils peuvent être fractionnaires, et même négatifs. Dans tous les cas, il suffit de placer chaque terme au point du concours des deux lignes parallèles aux côtés du parallélogramme qui répondent aux exposants de x et de y. Au reste, sans recourir à ce moyen mécanique, on peut, par le calcul, former d’une manière encore plus simple les séries, soit ascendantes soit descendantes, de l’expression de y ; et c’est ce que Lagrange a fait, dans les mémoires de l’Académie des sciences de Berlin.

93La considération de l’expression de y en série ascendante, sert à déterminer la courbe d’une nature donnée qui coïncide avec la proposée, dans un de ses points quelconques, et que l’on nomme courbe osculatrice. x et y étant les deux coordonnées du point, changeons dans l’équation de la courbe x dans x + x', et y dans y + y' ; les termes indépendantes de x' et de y' disparaîtront par la nature de l’équation et l’on aura une nouvelle équation entre x' et y' d’où l’on tirera, pour y', une expression en série de cette forme : y' = Ax' + Bx'2+ Cx'3 +, etc., A, B, C, etc. étant des fonctions connues de x et de y. On représentera ensuite, de la manière la plus générale, l’équation de la courbe osculatrice, en supposant que ses coordonnées soient x + x', et y + y', et que les constantes arbitraires dont elle dépend soient des fonctions de x et de y, qu’il s’agit de déterminer. Alors, en réduisant cette équation dans une série ordonnée, par rapport aux puissances et aux produits de x' et de y', elle deviendra de cette forme :

94H, L, L, N, etc. étant des fonctions connues de x, y et des arbitraires de la courbe osculatrice.

95Le point de la courbe proposée, déterminé par les coordonnées x et y devant appartenir à la courbe osculatrice, on a d’abord H = 0, et par conséquent

96d’où l’on tire pour y', une expression de cette forme,

  • 24 Laplace traite le cas d’un point simple et régulier d’une courbe plane algébrique. Avec le changem (...)

97R, S, etc. étant des fonctions de x, y et des arbitraires de la courbe osculatrice. Maintenant, si le nombre de ces arbitraires est i, on pourra faire coïncider les i – 1, premiers termes de cette série, avec les i – 1, premiers termes de l’expression de y' relative à la courbe proposée ; on aura alors, pour déterminer les i arbitraires, les i équations, H = 0, A = R, B = S, etc. L’ordonnée y' de la courbe osculatrice ayant le plus grand nombre de termes qu’il est possible, communs avec ceux de l’ordonnée y' de la courbe proposée ; il est évident qu’elle est de toutes les courbes de la même nature, celle qui approche le plus de coïncider avec la proposée, à l’origine des x'. Vous verrez dans la suite que tout l’art du calcul différentiel consiste à former d’une manière générale et simple, les termes des séries dont je viens de parler, et à exprimer, au moyen d’un caractère particulier, la loi suivant laquelle ils dépendent de la variable y, considérée comme fonction de x, en sorte que cette loi puisse entrer dans les expressions et dans les équations, indépendamment de la connaissance de y en fonction de x ; vous verrez encore que l’objet du calcul intégral est de remonter de ces équations à la valeur même de la fonction y24.

  • 25 La sous-tangente désigne le segment orienté compris, sur l’axe des abscisses, entre l’abscisse du (...)

98La solution du problème précédent embrasse tout ce qui concerne les tangentes et les rayons de courbure ; car il est clair qu’il suffit d’y supposer que la ligne osculatrice est une droite ou un cercle. Représentons par y = h (x + a), l’équation de la tangente, x + a sera la sous-tangente25 et l’on aura x + a = y/h ; si l’on change x dans x + x', et y + y', on aura y' = hx'. En comparant cette expression de y' avec celle-ci y' = Ax' + Bx'2 + etc, relative à la courbe proposée, on aura h = A, et par conséquent la sous-tangente est égale à y/A.

99Si la courbe osculatrice est un cercle, en nommant R son rayon, et a et b les coordonnées de son centre, coordonnées que nous supposons ici perpendiculaires entre elles, ainsi que x et y, on aura, par la nature du cercle,

100en changeant x dans x + x', et y dans y + y' on aura

101Cette expression de y’ comparée à celle-ci, y’ = Ax' + Bx'2 +..., donne

102d’où l’on tire

  • 26 On constate que Laplace utilise une méthode de substitution, du moins dans le cas d’une courbe alg (...)
  • 27 Le mot « continuité » est ici directement pris au sens eulérien ; c’est l’équation qui lie deux co (...)
  • 28 La construction géométrique est la suivante : AM = R, A'M' = R’, A"M" = R".
  • 29 De fait, la rectification est également obtenue pour des courbes transcendantes : sans doute, en i (...)

103On aura donc ainsi la position et la grandeur de la circonférence osculatrice26 à un point quelconque de la courbe proposée. Les centres de ces diverses circonférences formeront, par leur continuité27, une nouvelle courbe dont les coordonnées seront a et b ; or on peut, au moyen des expressions précédentes de a et de b, en x et y, déterminer x et y, en fonctions de a et de b ; en substituant donc ces valeurs dans l’équation de la courbe proposée, on aura une équation entre a et b, qui sera celle de la nouvelle courbe. Pour en concevoir la nature, imaginons que d’un point quelconque, et avec un rayon quelconque R, on décrive un très petit arc de cercle, que l’on prolonge le rayon extrême de ce petit arc de manière à former un second rayon R' et qu’avec ce rayon on décrive un nouvel arc ; que l’on prolonge encore le rayon extrême de cet arc de manière à former un troisième rayon R", avec lequel on décrira un troisième arc, et ainsi de suite ; on formera une série d’arcs de cercle, qui se toucheront par leurs extrémités, et dont les centres seront les angles d’un polygone qui aura pour côtés les différences R'R, R"R', etc. Si l’on imagine ce polygone enveloppé d’un fil tel que sa partie extrême soit dirigée suivant le premier côté du polygone et s’étende de la quantité R au-delà de ce polygone, en développant ce fil, de dessus le polygone, il décrira la suite des arcs que nous venons de considérer28 Maintenant, plus les arcs seront petits, plus leur suite approchera d’une courbe continue dont ils seront les arcs osculateurs, et plus le polygone approchera de la courbe formée par les centres des circonférences osculatrices : les deux courbes sont donc les limites des suites des arcs et des polygones, et tout ce qui a constamment lieu dans ces suites a lieu également pour ces courbes. Ainsi l’on peut concevoir une courbe quelconque comme étant formée par le développement d’un fil qui enveloppe la courbe formée par les centres de ses cercles osculateurs. On nomme cette dernière courbe développée ; la première se nomme développante. On voit par là qu’un arc quelconque de la développée est égal à la différence des deux rayons de courbure de la développante, correspondants aux deux extrémités de cet arc. Or, la développante étant une courbe algébrique, on a par ce qui précède, ses rayons de courbure et la nature de sa développée, exprimée par une équation algébrique ; on aura donc ainsi une infinité de courbes algébriques rectifiables, c’est-à-dire telles que l’on pourra déterminer une ligne droite de même longueur qu’une portion quelconque de leur circonférence29.

104Aux points multiples d’une courbe, plusieurs de ses branches se rencontrent et l’on a plusieurs valeurs de y', correspondantes à la même valeur de x'. Ainsi, en changeant dans l’équation de la courbe proposée, x dans x + x' et y dans y + y', et en développant cette équation en série, les termes indépendants de x' et de y' disparaîtront par la nature de cette équation ; et dans le cas d’un point double, les coefficients de x' et de y' seront nuls, soit par eux-mêmes, soit en vertu de la même équation. Dans le cas d’un point triple, ces coefficients et ceux de x'2, x' y', et y'2 seront nuls, et ainsi de suite ; ce qui déterminera les valeurs de x et de y correspondantes à ces points.

105Pour avoir les points où y est un maximum, ou un minimum, on observera que l’expression de l’ordonnée correspondante à x + x' est

106y + Ax' + Bx' + Cx'3 + ,etc .,

107et que l’ordonnée correspondante à xx' est

108yAx' + Bx'2Cx'3 +, etc.,

  • 30 Laplace constate que le calcul de l’extrêmum d’une courbe ne nécessite pas le recours à l’analyse (...)

109Or, x' pouvant être supposé aussi petit que l’on veut, le terme Ax', s’il n’est pas nul, peut être tel qu’il surpasse la somme des termes Bx'2 ± Cx'3 +, etc. ; l’ordonnée y ne serait donc pas à la fois plus grande que les deux ordonnées voisines correspondantes à x + x' et à xx' ; ainsi, dans le cas du maximum ou du minimum, on doit avoir A = 0, et cette équation combinée avec l’équation de la courbe proposée déterminera les valeurs de x et de y correspondantes à ces points30.

110On distinguera lequel des deux cas a lieu par le signe B, qui, s’il est négatif, désigne un maximum ; il désigne un minimum, s’il est positif. Mais si B est nul, il faut pour le maximum ou le minimum que C soit nul. En général, il est nécessaire pour cela, que les termes de la série Ax' + Bx'2 + Cx'3 +, etc., disparaissent en nombre impair, et le signe du premier terme qui ne devient pas nul indique un maximum, s’il est négatif, et un minimum, s’il est positif.

111Nous avons supposé que la série qui exprime la valeur de y' est de la forme Ax' + Bx'2 + Cx +, etc. C’est ce qui a lieu dans le cas général où l’on considère un point quelconque de la courbe : mais dans ces points particuliers, il peut arriver que cette valeur ait la forme Ax'i + Bx'i'+, etc., i, i', etc., étant des nombres positifs, entiers ou fractionnaires ; et alors ces points peuvent être des points de rebroussement. Si l’on a par exemple,

112y + Ax'2 ±B(– x') – 2/3 ;

113il est clair que, x’ étant négatif, la valeur de y' est réelle ; mais elle devient imaginaire, lorsque x' est positif ; la courbe s’arrête donc à l’abscisse x, et elle revient sur elle-même ; les deux branches, formées par la double expression de y', se terminent en forme de bec, à l’extrémité de l’ordonnée y.

  • 31 Telle est l’interprétation géométrique de la théorie algébrique développée à la 6e leçon. Voir not (...)

114Deux courbes rapportées aux mêmes axes peuvent se couper dans plusieurs points que l’on déterminera, en observant qu’à ces points, les valeurs de x et de y étant communes à ces courbes, on aura deux équations entre ces deux coordonnées, et l’on connaîtra chacune d’elles par l’élimination, m et n, exprimant les degrés des équations, l’équation finale en x ne peut pas s’élever au-delà du degré mn ainsi, les deux courbes ne peuvent pas se couper dans plus de mn points31.

115On a fait usage de ces intersections pour déterminer par des constructions géométriques, les racines des équations. Si l’on a, par exemple, à construire l’équation

116x4 + px2 + qx + r + 0,

117on pourra faire y = x2, et l’on aura

118y2 + py + qx + r = 0 ;

119les intersections des deux courbes exprimées par ces deux équations, donneront toutes les racines réelles de l’équation proposée. Ces constructions, qui ont beaucoup occupé les géomètres, sont maintenant de peu d’usage, l’analyse ayant été appliquée à des objets plus intéressants.

120Cependant, la construction des racines des équations, par l’intersection d’une courbe avec l’axe des abscisses, est très utile dans la théorie des équations, comme vous l’avez déjà vu, en rendant sensibles plusieurs résultats importants de cette théorie.

121Si l’on suppose que, y' étant le terme de l’équation d’une courbe, dans lequel y est élevé à sa plus haute puissance, la partie indépendante de y soit une fonction rationnelle et entière de x qui, décomposée en facteurs, soit de la forme

122k(ca)(xb)(xc)…,

123alors le produit de toutes les ordonnées y, relatives à la même abscisse x, sera, par la nature des équations, égal à

124± k(xa)(xb)(x – c)…

125a, b, c,... sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses ; ainsi, ces abscisses étant supposées toutes réelles, ainsi que toutes les ordonnées, x – a, x – b,... seront les distances de ces ordonnées aux points où la courbe rencontre l’axe des ; d’où résulte ce théorème général :

126Le produit de toutes les ordonnées relatives à la même abscisse est, au produit des distances de l’extrémité de l’abscisse aux points où la courbe rencontre l’axe des abscisses, en raison constante.

127Il vous sera facile d’appliquer les résultats précédents aux lignes du second ordre, dont l’équation générale est

1280 = a +bx + cy+ fx2 + hxy + ly2.

129En plaçant cette équation sur le parallélogramme de Newton, la directrice, dans sa position la plus élevée, rencontrera les trois termes fx2+ hxy + ly2 ; en égalant leur x somme à zéro, on aura - par une équation du second degré. Si les deux racines de cette équation sont imaginaires, la courbe n’aura point de branches infinies et elle sera inscrite dans un espace limité ; si les deux racines sont égales, la courbe aura deux branches infinies ; elle aura quatre branches infinies, si les deux racines sont réelles et inégales. Dans le premier cas, la courbe se nomme ellipse, et son équation peut être ramenée par une transformation convenable de ses coordonnées, à cette forme

130u2 + m2t2 = k2

131u et t étant les deux nouvelles coordonnées. Dans le second cas, la courbe se nomme parabole, et son équation peut être ramenée à cette forme

132u2 = kt ;

133enfin, dans le troisième cas, la courbe se nomme hyperbole, et son équation peut être ramenée à cette forme

134u2m2t2 = k2,

135et même à celle-ci ut = k.

  • 32 Hors géométrie, la démonstration analytique très simple est fournie au dernier paragraphe de la le (...)
  • 33 Sans compter les éditions des Coniques d’Apollonius, les ouvrages suivants de la fin du xviie et d (...)

136Ces courbes ont été nommées sections coniques, parce qu’elles sont formées par la section de la surface du cône par un plan32. C’est sous ce point de vue qu’elles ont été considérées par les anciens géomètres qui ont découvert, sur leur nature, un grand nombre de beaux théorèmes. Descartes, qui, le premier, a eu l’idée heureuse d’appliquer l’algèbre à la géométrie des courbes, a observé qu’elles formaient la classe entière des courbes du second ordre. Vous pourrez conclure aisément de l’analyse précédente leurs propriétés les plus remarquables ; ainsi, je n’insiste point sur cette matière, qui d’ailleurs est exposée, avec beaucoup de détails, dans plusieurs ouvrages élémentaires33. Je vous engage seulement à la présenter dans l’enseignement suivant cette analyse, conformément à ce que je vous ai déjà recommandé de préférer en tout les méthodes les plus générales.

137Une des plus singulières remarques que l’on ait faites sur les sections coniques est celle des deux points placés sur le grand axe, auxquels on a donné le nom de foyers. Ils sont tels, dans l’ellipse, que la somme de leurs distances à un point quelconque de la courbe est toujours la même. Un rayon lumineux, émané d’un des foyers, est réfléchi par la courbe à l’autre foyer. Dans l’hyperbole, la différence des distances des foyers à un point quelconque de la courbe est constante. Les foyers des sections coniques, sont devenus plus remarquables encore depuis que l’on a découvert que c’est dans des points semblables que résident les forces qui animent tous les corps du système du monde.

138Les bornes de cette leçon ne me permettent pas d’insister davantage sur la théorie des courbes. On trouvera tous les détails, que l’on peut désirer à cet égard, dans le second volume de l’introduction à l’analyse des infiniment petits, par Euler, et dans l’ouvrage de Cramer sur la théorie des courbes. Ces deux ouvrages, quoique excellents chacun dans leur genre, ne dispensent pas de lire les deux ouvrages originaux qui leur ont donné naissance, et qui, soit par eux-mêmes, soit par l’influence qu’ils ont eue sur les sciences mathématiques, méritent toute l’attention des géomètres : je veux parler de la Géométrie de Descartes, et du traité de Newton, intitulé : Énumération des lignes du troisième ordre.

139Il sera facile, au moyen des méthodes précédentes, de déduire les diverses affections des courbes à double courbure de celles de leurs projections ; mais quelqu’intéressante que soit cette discussion, je ne puis m’y livrer ici, et je vais terminer cette leçon, par l’application des mêmes méthodes à la théorie des surfaces.

140On distingue les surfaces, comme les lignes, en différents ordres, suivant le degré de leur équation ; ainsi la surface du premier ordre est celle dont l’équation entre les trois coordonnées x, y, z, est du premier degré, et il est visible qu’elle est plane.

141Les surfaces les plus simples qui servent d’asymptotes à une surface donnée, dans le cas x, ou de y, ou de z infinis, se déterminent de la même manière que les courbes les plus simples, qui servent d’asymptotes à une courbe donnée. On a encore par la même analyse, les plans tangents des surfaces, et leurs courbures. En effet, x, y, z étant les coordonnées d’un point quelconque de la surface si l’on change dans son équation, x dans x + x', y dans y + y', et z dans z + z', les termes indépendants de x', y', z', seront nuls séparément, et l’on aura pour z’ une expression de cette forme :

142z' = px' + qy' + rx'2 + sx' y' + ty'2 +, etc.

143p, q, r, s, t, etc., étant des fonctions connues de x, y et z. L’équation générale d’un plan quelconque est z = M + Nx + Py.

144Si l’on change, dans cette équation, x, y, z, dans x + x', y + y', et z + z’, on aura les deux équations.

145z + M + Nx + Py ;

146z' = Nx' + Py'.

147En comparant cette expression de z' avec les premiers termes de l’expression précédente de z', on aura N = p ; P = q ; on aura donc ainsi les valeurs de M, N et P, en fonction de x, y, z, et par conséquent on aura la position d’un plan tangent à un point quelconque de la surface au moyen des coordonnées de ce point.

148Si l’on rapporte à ce plan les coordonnées de la surface, que nous supposerons ici perpendiculaires entre elles, et si nous fixons au point de tangence l’origine de ces coordonnées en nommant x", y", les coordonnées dans le plan tangent, et z" l’ordonnée qui lui est perpendiculaire, l’expression de z" en série pourra être mise sous la forme

149z" = mx"2 + ny"2 + etc.

  • 34 Il s’agit de l’équation d’un cercle de rayon R dans les axes orthogonaux choisis sur un plan norma (...)

150Car, par la nature du plan tangent, les termes multipliés par les premières puissances de x" et de y" doivent disparaître, et l’on peut choisir la position de l’axe des x", de manière que le terme x"y" disparaisse ; m, n, etc., sont des fonctions connues des coordonnées x, y, z, du point de tangence. Si, par ce point, on imagine un plan quelconque, perpendiculaire à la surface, la courbe formée par la section de ce plan aura pour coordonnées z" et √x"2 + y"2 ; si l’on nomme R le rayon osculateur de cette section, on aura par la nature du cercle34,

151z" = (x"2 + y"2)/2R + etc.

152Soit A, l’angle que forme le plan coupant avec l’axe des x", on aura y" = x" tang A ; les expressions de z" relatives à la section et au cercle osculateur, deviendront

153La comparaison de ces expressions donne

154Si l’on nomme r et r' les rayons osculateurs qui répondent aux deux sections faites par le plan coupant lorsqu’il passe par l’axe des x" et lorsqu’il passe par l’axe des y", on aura

  • 35 Rappelons que les axes ont été choisis de sorte à annuler le terme croisé x' y'. On a 2 r = 1/m (c (...)

155d’où il est facile de conclure que le plus grand et le plus petit rayon de courbure répondent aux deux sections que nous venons de considérer et qui sont perpendiculaires l’une à l’autre35. Les rayons osculateurs des autres sections ne dépendent que de ceux-ci et de l’angle qu’elles forment avec les précédentes.

156Nous avons vu que l’intersection de deux surfaces courbes formait une courbe ; l’ordre des projections de cette courbe ne peut pas surpasser le produit des degrés des équations des deux surfaces. Si l’une d’elles est un plan, l’équation de la courbe sera du même degré que celle de la surface ; ainsi toute surface du second ordre coupée par un plan forme une section conique. Trois surfaces ne peuvent pas se rencontrer dans un nombre de points plus grand que le produit des degrés de leurs équations.

Notes

1 Il existait au xviie siècle tout un pan de l’activité mathématique qui consistait à fournir des constructions géométriques pour la résolution des équations algébriques. Voir à ce sujet [Bos, 1984]. Lorsque Laplace écrivait, ces activités étaient obsolètes. Il en conviendra d’ailleurs un peu plus loin, ce qui ne l’empêche pas de donner quelques exemples.

2 Les deux paragraphes qui précèdent sont une reprise des premières lignes de la Géométrie de Descartes.

3 Laplace règle un peu trop vite les problèmes classiques de la trisection de l’angle et de la duplication du cube, car ces problèmes ne dépendent pas d’une équation générale du 3e degré. Ainsi les racines de x3 – 1 = 0 sont constructibles à la règle et au compas.

4 Le même jour, Monge dans sa 9e leçon croira nécessaire de justifier le recours à la géométrie, au moins pour les artistes non « familiarisés avec les opérations analytiques ».

5 Le développement qui suit est purement analytique, la géométrie n’en recevant que les effets. C’est une démarche typique chez Laplace, qui, à terme, implique la disparition de la géométrie. On remarque que le mot « fonction » est une fois encore utilisé au sens de polynôme.

6 Laplace n’a pas défini ce qu’est le cosinus d’un nombre imaginaire : la forme analytique de l’expression semble lui suffire. Remarquons qu’il ne définit pas eix mais utilise la relation cos x + i sin x (avec i = √ – 1). Voir introduction.

7 Dans un chapitre, [Euler, 1748] liait les lignes trigonométriques et l’exponentielle à partir de la formule ez = lim (1 + z/n)n. Une traduction française était disponible depuis quelques années. J. B. Labey, futur professeur à l’École polytechnique, en fit une autre en 1796.

8 Laplace compte deux fois les facteurs élémentaires puisqu’il regroupe

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L’inconvénient analytique d’une racine carrée est justifiée par l’interprétation géométrique de la longueur d’un segment par

Image fig17.jpg

Il est à remarquer qu’en restant avec des variables réelles Lagrange obtiendra les mêmes décompositions en facteurs réels de xn ± an dans son livre le Calcul des Fonctions (Paris, 1806), dont une partie reprenait des leçons non prononcées à l’École normale.

9 Roger Cotes (1682-1716). Son Harmonia mensurarum seu Analysis et Synthesis per rationum et angulorum parut seulement en 1722 à Londres. Le théorème de Cotes fut prouvé par Abraham de Moivre (Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis, Londres, 1730) et par Jean Bernoulli (Opera, tome IV, Genève, 1742, p. 67).

10 Voir note 69. Laplace n’envisage ici que les cas faciles des équations cyclotomiques xn – 1 = 0, équations qui avaient pris une grande importance en algèbre.

11 C’est l’algorithme d’Euclide appliqué à 2π/n et 2π/m qui fournit la « commune mesure » 2π/nm au terme d’un processus algébrique qui ne nécessite, pour se réaliser géométriquement, que l’emploi du compas.

12 La relation rn + r' m = 1 est l’identité dite de Bézout pour deux nombres premiers n et m. Elle était connue depuis longtemps.

13 Le brusque passage du cadre algébrique des équations cyclotomiques au cas transcendant du logarithme est surprenant. En outre, Laplace ne traitera pas plus loin des logarithmes. Est-ce à dire qu’à cette date du 21 germinal (13 avril 1795) il entendait encore aborder à l’École normale l’analyse des fonctions transcendantes ? Prenait-il au contraire date en vue de la rédaction d’un manuel complet ?

14 Voir, sur ces puissances de nombres imaginaires, l’annexe 7 : Les nombres imaginaires dans l’analyse algébrique.

15 Ce qu’annonce Laplace ne sera pas traité dans le cadre de l’École normale. Un des points de l’analyse du xviiie siècle consistait à démontrer qu’une puissance imaginaire d’un nombre complexe était encore un nombre complexe. Voir l’annexe 6 : Le théorème fondamental de l’algèbre.

16 Le polynôme donnant a en fonction de y est connu aujourd’hui sous le nom de polynôme de Cebičev de première espèce. Laplace en explicite les racines au moyen d’expressions algébriques, distinguant pour l’expression a + a2 - 1 le cas où n>l et celui où a < 1 (car il remarque que les termes imaginaires s’éliminent grâce aux relations de conjugaison).

17 Lagrange avait déjà traité l’équation du 3e et du 4e degré dans sa 3e leçon et Laplace dans sa 5e leçon. Ici, Laplace donne l’utilisation de méthodes trigonométriques pour la résolution des mêmes équations.

18 Le passage naturel de la recherche des racines à celle des courbes est repris de la Géométrie de Descartes.

19 On utilise aujourd’hui le qualificatif de courbe gauche, ou de courbe dans l’espace.

20 Laplace a tout à fait raison de faire remonter les équations aux dérivées partielles au problème des trajectoires orthogonales, traité par bien des auteurs au début du xviiie siècle, notamment par Jean Bernoulli ; Voir [Engelsman, 1984] et [Demidov, 1982].

21 Vocabulaire vieilli issu de Viète pour désigner les propriétés des courbes. Ce passage de Laplace fait penser au texte de Descartes au 2e livre de la Géométrie [1637, p. 341] : « Or de cela seul qu’on sait le rapport, qu’ont tous les points d’une ligne courbe à tous ceux d’une ligne droite, en la façon que j’ai expliquée, il est aisé de trouver aussi le rapport qu’ils ont à tous les autres points, et lignes données, et ensuite d’en connaître les diamètres, les essieux, les centres et autres lignes, ou points, à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier, ou plus simple, qu’aux autres, et ainsi d’imaginer divers moyens pour les décrire, et d’en choisir les plus faciles »

22 Laplace insiste sur le fait que la géométrie des courbes n’est que l’occasion de manifester les propriétés générales des grandeurs, c’est-à-dire le rôle de l’analyse. La difficulté est que pour une courbe l’on n’a pas en général une équation résolue, y exprimée en x, mais une équation implicite ƒ(x, y) = 0. S’il y a des branches infinies, le point à l’infini est un point multiple de la courbe et le développement de y en x peut faire intervenir des puissances fractionnaires.

23 La méthode du parallélogramme avait été donnée par Newton dans ses Fragments, mais il ne s’en servit pas dans son extraordinaire classification des courbes du 3e degré (Enumeratio linearum tertii ordinis, Londres, 1706, traduction française à paraître), car il utilisait des méthodes différentielles. Mais Stirling ajouta un commentaire à cet ouvrage (Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis, sequitur illustratio ejusdem tractatus, dont une nouvelle édition parut à Paris, chez Duprat, en 1797), où la méthode du parallélogramme figurait bien pour la détermination des branches infinies des courbes. [De Gua de Malves, 1740] remplaça le parallélogramme par un triangle : ces méthodes étaient importantes à ses yeux car elles restaient dans le giron algébrique, sans recours aux différentielles. Cramer procéda de même dans son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, ouvrage paru à Genève en 1750. Dans un Mémoire de l’Académie de Berlin (1776, p. 238, et suivantes), Lagrange avait remplacé la méthode du parallélogramme par un calcul analytique en fournissant un algorithme efficace dont Laplace s’inspire en partie dans la seconde partie de son exposé très court, relatif à la courbe osculatrice.

24 Laplace traite le cas d’un point simple et régulier d’une courbe plane algébrique. Avec le changement de coordonnées x + x', y + y', il place le point à l’origine (x' = 0, y' = 0). Il admet l’existence d’un développement de y’ en série de puissances de x', l’objet du calcul différentiel étant de fournir explicitement les coefficients d’un tel développement dans le cas général d’une courbe, c’est-à-dire de fournir la signification des coefficients de la formule de Taylor, et de montrer leur génération à partir d’une seule opération, la dérivation. Or à la date de la leçon, ce calcul n’était plus envisageable au programme de l’École. Laplace fournit donc un moyen pour se passer de ce calcul lorsqu’on considère le seul cas d’une courbe algébrique (Voir note suivante). Il s’adapte donc rapidement à la situation pratique des élèves. Lagrange dégagera quant à lui le calcul différentiel dans une perspective qu’il croit purement algébrique avec sa Théorie des fonctions analytiques [Lagrange, 1797] et ses leçons sur le Calcul des Fonctions [Lagrange, 1804, et 1808a]. Aussi l’algèbre reprend-elle le dessus puisque, pour calculer une courbe osculatrice à l’ordre k, elle aussi donnée sous forme implicite à partir de grandeurs géométriques à déterminer, il suffit d’identifier tous les coefficients des puissances de x' jusqu’à l’ordre k dans les développements tant de la courbe que de son osculatrice. La séparation des interventions de l’algèbre et du calcul différentiel est caractéristique de l’analyse algébrique.

25 La sous-tangente désigne le segment orienté compris, sur l’axe des abscisses, entre l’abscisse du point courant à la courbe et l’intersection de la tangente en ce point avec l’axe des abscisses. C’est un vocabulaire ancien. L’expression analytique de la longueur de la sous-tangente est ƒ/ƒ' et c’est exactement ce que trouve Laplace par identification puisque A est la dérivée de y au point x. Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

26 On constate que Laplace utilise une méthode de substitution, du moins dans le cas d’une courbe algébrique, pour trouver le développement de v en fonction de x, puis utilise ensuite la méthode d’identification pour déterminer les coefficients de la courbe osculatrice.

En effet, si celle-ci est un cercle (xa)2 + (y – b)2 = R2, les données géométriques sont a, b, et R, sachant que f(x,y) = 0 est l’équation implicite de la courbe donnée. Laplace transforme l’équation du cercle par le changement de variable x + x', y + y' de sorte qu’il est conduit à exprimer y' en fonction de x' selon

(1) y'(b-y) + x'(a-x) – x'2y'2 = 0.

Si l’on néglige tous les termes sauf ceux du premier degré en x' et y', on a

y' = x'(xa)/(by).

Tel est le premier coefficient du développement. Laplace reporte cette valeur de y' dans (1) et néglige cette fois les termes de degré supérieur à 2, ce qui fournit le terme du second degré

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Il pourrait continuer ainsi, tout comme dans la méthode d’approximation numérique de Newton, mais s’arrête car l’osculation cherchée est d’ordre deux. Il peut alors procéder par identification et déterminer le rayon R du cercle osculateur, ainsi que son centre donné par les coordonnées (a, b). Il faut remarquer que pour la réussite de la méthode la courbe de départ n’a pas besoin d’être algébrique, puisqu’il suffit que l’on sache son développement en puissances entières de x'. La méthode est donc générale, ce que recherche encore et toujours Laplace.

27 Le mot « continuité » est ici directement pris au sens eulérien ; c’est l’équation qui lie deux coordonnées, la loi qui régit la courbe, lieu du centre du cercle osculateur. Il n’y a aucune idée de continuité au sens moderne (celui de Cauchy). Voir [Dhombres, 1988b].

28 La construction géométrique est la suivante : AM = R, A'M' = R’, A"M" = R".

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29 De fait, la rectification est également obtenue pour des courbes transcendantes : sans doute, en insistant ainsi, Laplace veut-il souligner le caractère algébrique de la développée d’une courbe algébrique.

30 Laplace constate que le calcul de l’extrêmum d’une courbe ne nécessite pas le recours à l’analyse différentielle si du moins l’on sait exprimer y’ en série de puissances de x'. D’après la méthode de substitution, on sait toujours le faire dans le cas d’une courbe algébrique.

31 Telle est l’interprétation géométrique de la théorie algébrique développée à la 6e leçon. Voir note 77.

32 Hors géométrie, la démonstration analytique très simple est fournie au dernier paragraphe de la leçon.

33 Sans compter les éditions des Coniques d’Apollonius, les ouvrages suivants de la fin du xviie et du xviiie siècles étaient les plus connus : [Wallis, 1656] ; [La Hire, 1679 et 1685] ; [Guisnée, 1705] ; [L’Hôpital, 1707] ; [La Chapelle, 1740] ; [Simson, 1735] ; [Milnes, 1702] ; [Dionis et Goudin, 1756].
Pourtant, déjà dans l’Encyclopédie, d’Alembert demandait la composition d’un « traité vraiment analytique des sections coniques, c’est-à-dire où les propriétés de ces courbes seraient déduites immédiatement de leur équation générale, et non pas, comme dans l’ouvrage de M. le marquis de L’Hôpital, de leur description sur un plan. M. l’abbé de Gua a fait à ce sujet de fort bonnes réflexions dans son ouvrage intitulé Usage de l’analyse de Descartes, et il y a tracé le plan d’un pareil traité » [Gua, 1740].
Un ouvrage très analytique, à la Laplace, parut bientôt, après les leçons de l’École normale : [Biot, 1802]. L’ouvrage suivant mêlait géométrie et esprit analytique [Monge, 1807]. L’aspect analytique était repris par [Lacroix, 1798] et [Puissant, 1805].
Voici les références concernant les quatre livres que Laplace recommande un peu plus loin, pour l’étude de la théorie des courbes :

  • L. Euler, lntroductio in analysin infïnitorum, 1748.
  • G. Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, 1750.
  • I. Newton, Enumeratio linearum tertii ordinis, 1706.
  • R. Descartes, La Géométrie, 1637.

34 Il s’agit de l’équation d’un cercle de rayon R dans les axes orthogonaux choisis sur un plan normal à la surface. On peut aussi appliquer la formule précédemment donnée par Laplace (juste avant la note 136), en faisant A = 0 dans cette expression du rayon de courbure et en remplaçant x’ par √x"2 + y"2.

35 Rappelons que les axes ont été choisis de sorte à annuler le terme croisé x' y'. On a 2 r = 1/m (cas A = 0) et 2 r' = l/n (cas A = π/2) : ce sont les rayons de courbure principaux. Les résultats fournis par Laplace sont tirés d’un mémoire d’Euler [1767]. Meusnier, élève de Monge, avait repris le problème [Meusnier, 1785] et considéré le rayon de courbure des sections planes non normales, obtenant un joli théorème. Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure. Laplace note cos. A2 et sin. A2, ce que nous écrivons cos2. A et sin2. A.

Table des illustrations

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© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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