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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Quatrième leçon

1er ventôse / 19 février

Texte intégral

1Après avoir exposé, dans la précédente leçon, les éléments du langage algébrique, je reviens à la théorie des équations. J’ai indiqué la méthode de résoudre les équations du premier degré, méthode que l’on est parvenu à simplifier en déterminant directement la valeur de chaque inconnue au moyen des quantités connues de ces équations. La considération des carrés des nombres a conduit aux équations du second degré. On appelle ainsi les équations dans lesquelles l’inconnue est élevée à sa seconde puissance.

2Supposons que l’on se propose de trouver un nombre tel que si de trois fois ce nombre, on retranche son carré, le reste soit égal à 2. En nommant x ce nombre, 3 x en sera le triple, et son carré sera x2 ; leur différence sera donc 3 x – x2 ; ainsi l’on aura l’équation 3 x – x2 = 2.

3C’est la traduction algébrique de la question proposée ; il s’agit d’en tirer la valeur de l’inconnue.

4Pour cela, on commence par rendre le carré de l’inconnue positif, ce que l’on fait en multipliant tous les termes de l’équation par – 1, et alors on a x2 – 3 x = 2.

5Si par l’addition d’un terme connu à chaque membre de l’équation, on parvenait à rendre le premier membre un carré parfait, il est clair qu’en extrayant la racine carrée de chaque membre, l’équation s’abaisserait au premier degré ; on sait que le carré d’un binôme est égal au carré du premier terme, plus au double du produit du premier terme par le second, plus au carré du second ; en considérant donc x comme le premier terme du binôme, et - 3 x comme étant égal au produit de x par le double du second, –3/2 sera ce second terme ; il suffit donc d’ajouter son carré ou 9/4 au premier membre de l’équation précédente, pour le rendre un carré parfait. Cette équation devient ainsi

6En extrayant la racine carrée de chaque membre, on a

7Mais on doit faire ici une observation importante. La racine carrée d’un nombre peut être également affectée du signe +, ou du signe – ; car le carré de – a est le même que celui de + a. Ainsi, en extrayant la racine carrée de chaque membre de l’équation précédente, le signe radical peut être indifféremment affecté de l’un ou l’autre de ces signes, et rien n’indique lequel doit être employé. Pour exprimer cette double signification du radical, on le fait précéder du double signe ±. On a ainsi

8d’où l’on tire

9On a donc pour x les deux valeurs x = 2, et x = 1, suivant que l’on prend le signe + ou le signe –, et il est visible que chacune de ces valeurs satisfait également à la question proposée. Ces valeurs ont été nommées racines de l’équation.

10Vous voyez par là que les équations du second degré ont un caractère très distinct de celles du premier degré, dans lesquelles l’inconnue n’est susceptible que d’un seule valeur, et vous pouvez déjà en conclure que, dans les équations du troisième degré et des degrés supérieurs où l’inconnue est élevée à la troisième puissance et à des puissances plus élevées, l’inconnue a autant de valeurs qu’il y a d’unités dans l’exposant de sa plus haute puissance.

11Si dans la question proposée, la différence 3 x – x2, au lieu d’être égale à 2, était supposée égale à 3, on aurait

  • 1 Voir l’annexe 8 : Les nombres imaginaires dans l’analyse algébrique.

12La quantité √ – 3 est impossible ; car un nombre réel positif ou négatif ne peut avoir pour carré un nombre négatif ; le problème qui conduit à ces valeurs est donc impossible. Ces valeurs se nomment imaginaires1 ; on peut les mettre sous la forme d’une quantité réelle, augmentée ou diminuée d’une autre quantité réelle multipliée par √ – 1 ; ainsi les deux valeurs précédentes de x, peuvent être mises sous cette forme : 3/2 ± √3/4. √ – 1 et l’on voit qu’à cause du double signe ± dont le radical √ – 1 doit être affecté, la racine imaginaire est double, en sorte que les racines d’une équation du second degré sont, ou toutes deux réelles, ou toutes deux imaginaires.

13Quoique les quantités imaginaires soient impossibles, cependant leur considération est du plus grand usage dans l’analyse. Souvent, les grandeurs réelles se présentent sous la forme de plusieurs imaginaires dans lesquelles tout ce qu’il y a d’imaginaire se détruit mutuellement, quoiqu’il soit difficile de le reconnaître à l’inspection des formules. On verra bientôt que l’expression des racines des équations du troisième degré est dans ce cas, lorsque toutes les racines sont réelles. D’ailleurs, la comparaison des grandeurs réelles entre elles, et des imaginaires avec les imaginaires est un moyen fécond de l’analyse, pour déterminer les grandeurs.

14Proposons-nous encore le problème suivant : Deux lumières dont l’une est quatre fois plus intense que l’autre, étant séparées par un intervalle de trois pieds, déterminer sur la droite qui les joint le point qu’elles éclairent également.

15Si l’on nomme x la distance de la plus faible lumière à ce point, cette distance étant supposée dirigée vers la plus forte lumière, 3 – x sera la distance de la plus forte lumière au même point ; or, on sait que la force de la lumière décroît en raison du carré de la distance, en sorte que 1/x2 sera la force de la plus petite lumière, à la distance x, et 4/(3 – x)2 sera la force de la plus grande, à la distance 3 – ; ainsi, ces forces, devant être égales par la condition du problème, on a 1/x2 = 4/(3 – x)2, ce qui donne après les réductions convenables, x2+ 2x = 3 ; d’où l’on tire x = – 1 ± 2.

16Les deux valeurs de x sont donc x = 1 et x = – 3. La première apprend que le point également éclairé par les deux lumières et placé entre elles est à un pied de distance de la plus faible. La seconde valeur est négative ; elle montre ce que l’on pouvait ignorer d’abord, savoir qu’il existe un second point également éclairé par les lumières et placé à trois pieds de distance de la plus faible, mais en sens contraire du premier, c’est-à-dire sur la droite qui joint les deux lumières, prolongée du côté opposé à la plus forte. En effet, il est visible que ce point étant à trois pieds de distance de la plus faible lumière, et à six pieds de distance de l’autre, il est également éclairé par les deux lumières. Vous voyez par là que les valeurs négatives satisfont comme les positives, aux problèmes ; mais elles doivent être prises dans un sens opposé à celui des valeurs que l’on considère comme positives. Ces solutions inattendues nous prouvent la richesse de la langue algébrique, à la généralité de laquelle rien n’échappe quand on la sait bien lire.

17Élevons-nous maintenant à la considération de l’équation la plus générale du second degré. Quelle que soit cette équation, en transposant tous ses termes dans un seul membre, et en la divisant par le coefficient du carré de l’inconnue, on peut lui donner cette forme : x2+ px + q = 0, p et q étant des quantités quelconques positives ou négatives. Le premier membre de cette équation devient le carré de x + 1/2p, en lui ajoutant 1/4 p2; on a donc

18Telle est la forme générale des racines des équations du second degré, et vous voyez que ces racines ne peuvent être imaginaires que dans le cas où q est positif, et plus grand que 1/4p2.

19En examinant, avec attention, la raison pour laquelle l’équation du second degré est susceptible de deux valeurs que nous désignerons par a et b, il est facile de reconnaître que la quantité x2+ px + q est le produit des deux facteurs x – a, et x – b, et qu’ainsi l’équation du second degré peut être mise sous la forme (x – a). (x – b) = 0.

20Alors, il est visible que cette équation est également satisfaite par la supposition de x = a et par celle de x = b. Cette manière d’envisager les équations du second degré, étendue aux équations d’un degré quelconque, est la clef de toute la théorie des équations ; il importe donc de la développer et d’en faire sortir les principaux résultats de cette théorie.

  • 2 Ces séances de travail, ainsi lancées par Laplace, n’ont rien à voir avec les débats institués par (...)

21Je ne puis ici que tracer la route, en indiquant les vérités les plus remarquables, et en vous laissant le soin de rétablir les vérités intermédiaires et les démonstrations que je suis forcé de supprimer. J’exhorte ceux qui veulent approfondir ces matières à se réunir de temps en temps pour cet objet. Je me ferai un devoir d’assister, le plus souvent qu’il me sera possible, à ces conférences, heureux d’être utile à ceux d’entre vous que leur goût et leurs talents appellent à répandre les sciences mathématiques, et à reculer leurs bornes2.

22Considérons généralement l’équation

23Soient a, b, c, d, etc., ses n racines ; le premier membre sera le produit des n facteurs x – a, x – b, x – c, x – d, etc. En formant ce produit, on trouve, 1° que le coefficient p est égal à la somme des racines prise avec le signe – ; 2° que le coefficient q est égal à la somme des produits deux à deux des mêmes racines ; 3° que le coefficient r est égal à la somme des produits trois à trois des mêmes racines, prise avec le signe –, et ainsi de suite ; enfin, que le dernier terme h est le produit de toutes les racines, pris avec le signe +, ou avec le signe –, suivant que le degré de l’équation est pair ou impair.

  • 3 [Clairaut, 1746]. Cet ouvrage fut très apprécié pour sa méthode naturelle, ou génétique d’apprenti (...)

24Les coefficients p, q, r, etc., h, étant supposés des nombres entiers, l’équation ne peut pas avoir pour racine un nombre rationnel, à moins qu’il ne soit entier. Dans ce cas, cette racine est un des diviseurs du terme h ; en substituant donc, dans l’équation proposée, au lieu de x, chacun de ces diviseurs pris successivement avec le signe + et avec le signe –, ceux qui y satisferont seront les racines commensurables de l’équation : si a est une de ces racines, x – a sera diviseur de son premier membre ; ainsi, l’on aura ses diviseurs commensurables du premier degré. On a imaginé divers artifices, pour simplifier cette méthode et pour l’étendre aux diviseurs commensurables des degrés supérieurs. Vous les trouverez exposés, avec autant de clarté que d’élégance dans l’Algèbre de Clairaut3.

  • 4 Pour trouver les racines multiples du polynôme P(x) (que Laplace appelle racines égales), on peut (...)

25Dans le cas où l’équation a des racines égales, on peut obtenir fort simplement ces racines, et par conséquent, le diviseur commensurable formé de leur produit. Pour cela, on multiplie chaque terme de l’équation par l’exposant de l’inconnue dans ce terme ; le commun diviseur de l’équation proposée et de cette même équation ainsi multipliée, donne, en l’égalant à zéro, toutes les racines égales de l’équation4.

  • 5 La définition même que Laplace donne de l’expression « fonction entière », pour lui un polynôme, m (...)

26On nomme fonction d’une ou de plusieurs grandeurs, toute quantité qui les contient d’une manière quelconque. La fonction est rationnelle si elle ne renferme point ces grandeurs sous le signe radical ; elle est entière si elle ne contient point de fractions5.

27Les coefficients p, q, r, etc. sont des fonctions des racines de l’équation, telles quelles restent les mêmes, en y échangeant les racines entre elles. Je nomme fonction invariable toute fonction des racines qui jouit de cette propriété. Telles sont les sommes des carrés, des cubes, etc., des racines.

  • 6 Qu’un polynôme symétrique de n variables fût exprimable à partir des fonctions symétriques élément (...)

28Toute fonction invariable des racines peut être déterminée au moyen des coefficients de l’équation6. Cette détermination est un problème très intéressant pour la solution duquel les analystes ont donné diverses méthodes générales qu’il est bon de connaître. La méthode suivante suffit pour ce qui doit suivre.

  • 7 Laplace donne, sans écriture littérale, ce qu’on appelle désormais les formules de Newton. Elles n (...)

29On peut obtenir successivement la somme des puissances des racines au moyen de cette équation. La somme des puissances m des racines plus la somme des puissances m – 1, multipliée par p, plus la somme des puissances m – 2, multipliée par q, plus la somme des puissances m – 3, multipliée par r, plus, etc., plus enfin le coefficient de xn – m dans l’équation proposée, multiplié par m, est égale à zéro7.

30On doit observer de n’admettre dans cette formule que des puissances positives entières et égales ou plus grandes que l’unité ; on doit observer encore que le coefficient de xn – m est nul si m surpasse n.

31Pour avoir la somme des termes de la forme am bm' on multipliera la somme des puissances am par la somme des puissances am' ; le produit sera formé de la somme des puissances am + m' et de la somme des termes de la forme ambm'; ainsi l’on aura cette dernière somme, au moyen de celle des puissances, et par conséquent en fonction des coefficients de l’équation.

32Pour avoir la somme des termes de la forme am bm' cm", on multipliera la somme des termes de la forme am bm' par la somme des puissances am" ; le produit sera formé, 1° de la somme des termes de la forme am+m" bm' ; 2° de la somme des termes de la forme am bm' + m" ; 3° de la somme des termes de la forme am bm' cm" ; on aura donc encore cette dernière somme en fonction des coefficients de l’équation, et ainsi de suite.

  • 8 La démonstration de Laplace dit l’essentiel, mais en abrégé. On note dans cette phrase l’emploi du (...)

33Maintenant, toute fonction invariable est égale à une ou plusieurs sommes de la forme précédente ; elle peut donc être ainsi déterminée au moyen des coefficients p, q, r, etc., de l’équation proposée8.

  • 9 Ce résultat sur le degré et sur l’expression des coefficients comme fonctions invariables des raci (...)

34Si l’on a une fonction de racines qui subisse des variations, en y échangeant toutes les racines de l’équation, les unes dans les autres ; alors en désignant par a’, b’, c’, etc., ces divers changements que je suppose être au nombre i ; cette fonction sera donnée par une équation en z du degré i, résultante du produit des i facteurs, z a', z b', z – c', etc. En développant ce produit, les coefficients des puissances de z seront des fonctions invariables des racines a, b, c, etc., de l’équation primitive, et pourront être déterminés au moyen de ses coefficients. Par exemple, la fonction (a – b)2 subit n (n – 1 )/2 changements, en y substituant pour a et b toutes les racines de l’équation primitive ; l’équation en z, dont les diverses racines sont, dans ce cas les carrés des différences des racines a, b, c, etc., est donc du degré9 n (n – 1)/2.

  • 10 C’est une « démonstration » du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas polynomial. Voir l’ (...)

35Toute équation d’un degré impair a au moins une racine réelle d’un signe contraire à celui de son dernier terme ; car si l’on suppose, par exemple, ce dernier terme positif, en substituant dans le premier membre de l’équation, au lieu de l’inconnue, toutes les valeurs, depuis zéro jusqu’à l’infini négatif, ce membre passera par degrés insensibles d’une valeur positive à une valeur infinie négative ; d’où il suit qu’une des valeurs de l’inconnue, intermédiaire entre zéro et l’infini négatif, rend ce premier membre nul ; et par conséquent, elle est une des racines de la proposée10.

36Le même raisonnement fait voir que si l’équation étant d’un degré pair son dernier terme est négatif, elle a au moins deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative.

  • 11 Voir l’annexe 6 : Le théorème fondamental de l’algèbre.

37Les racines imaginaires des équations sont de la forme m + n √ –1, m et n étant des quantités réelles ; et si l’équation a pour racines m + n – 1, elle a pareillement pour racine m – n √ –1, en sorte que les racines imaginaires sont toujours en nombre pair ; et l’équation, si elle est d’un degré pair, peut être décomposée en facteurs du second degré dont les coefficients sont réels. Ce théorème important a été admis par les analystes, avant qu’ils en aient eu une démonstration rigoureuse. D’Alembert est le premier qui l’ait démontré11, en faisant voir en même temps que toutes les imaginaires connues se réduisent à la forme m ± n √ – 1.

38Deux termes consécutifs d’une équation qui ont le même signe forment une permanence ; s’ils ont différents signes, ils forment une variation. Par termes consécutifs, j’entends ceux dans lesquels les exposants de l’inconnue ne diffèrent que d’une unité.

39Il ne peut y avoir, dans une équation, plus de racines réelles positives que de variations ; il ne peut pas y avoir plus de racines réelles négatives que de permanences.

  • 12 Une preuve de la règle que Descartes énonçait dans la Géométrie de 1637 [1637, livre III, p. 373] (...)

40De là il suit que, si toutes les racines sont réelles, il y a autant de racines positives que de variations et autant de racines négatives que de permanences. C’est la fameuse règle de Descartes qui ne l’a trouvée que par induction. Elle a été démontrée depuis, et même généralisée par de Gua12, dans les mémoires de l’Académie des sciences, pour l’année 1741.

41Si quelques-uns des termes de l’équation manquent, ce qui revient à supposer leurs coefficients égaux à zéro, on peut alors les faire précéder à volonté des signes + ou – ; et si le nombre des variations n’est pas le même dans ces hypothèses, l’équation a nécessairement des racines imaginaires. Par exemple, si deux termes consécutifs manquent à la fois, l’équation a des racines imaginaires et l’équation xn + 1 = 0 a toutes ses racines imaginaires, si n est pair ; et elle n’a qu’une racine réelle, si n est impair.

  • 13 Achille Dionis du Séjour, né en 1734 à Paris, avait été associé à l’Académie des sciences en physi (...)

42On n’a point encore de règle générale pour reconnaître, dans une équation proposée, le nombre des racines réelles et celui des racines imaginaires. Plusieurs géomètres ont donné les moyens de déterminer, dans les équations du troisième et du quatrième degré, le nombre des racines imaginaires, celui des racines réelles positives, et le nombre des racines réelles négatives. Je citerai entre autres Dionis du Séjour13 que la mort vient d’enlever aux sciences et, en particulier, à l’astronomie qu’il a considérablement enrichie par des applications nombreuses et importantes de l’analyse aux divers problèmes astronomiques. Ce savant illustre et regrettable sous tous les rapports, a laissé en manuscrit un beau mémoire dans lequel il étend aux équations du cinquième degré ses recherches publiées dans les mémoires de l’Académie des sciences, pour l’année 1772.

43On peut toujours déterminer si toutes les racines d’une équation sont réelles en formant l’équation dont les racines soient les carrés des différences des racines de la proposée ; car il est visible que toutes les racines de cette nouvelle équation seront réelles et positives si toutes les racines de la proposée sont réelles ; l’équation du carré des différences des racines aura donc alors tous ses termes, alternativement positifs et négatifs. Réciproquement, si cela a lieu, la proposée n’a aucune racine imaginaire ; car les deux racines imaginaires m + n1 et m – n– 1 donneraient la racine négative – 4 n2 dans l’équation du carré des différences des racines ; mais par le théorème exposé ci-dessus, cette équation ne peut pas avoir des racines négatives si ses termes sont alternativement positifs et négatifs ; toutes les racines de la proposée sont donc alors réelles.

44On peut faire subir aux équations diverses transformations utiles ; si l’on veut, par exemple, changer les racines positives en négatives et réciproquement, il suffit de changer les signes des termes dans lesquels l’inconnue est élevée à une puissance impaire. On peut augmenter ou diminuer, à volonté, les racines d’une équation d’une quantité quelconque, et faire ainsi disparaître un de ses termes : x, étant l’inconnue, n le degré de l’équation et p le coefficient du second terme ; si l’on suppose x = y – p/n, on aura une nouvelle équation en y du degré n, dans laquelle le coefficient de yn – 1 sera nul, et dont la forme sera, par cette raison, un peu plus simple que celle de la proposée.

Notes

1 Voir l’annexe 8 : Les nombres imaginaires dans l’analyse algébrique.

2 Ces séances de travail, ainsi lancées par Laplace, n’ont rien à voir avec les débats institués par les fondateurs de l’École normale. Elles ne furent instituées que pour les mordus de mathématiques et eurent lieu une fois par décadi, sous la direction d’une dizaine d’élèves plus avancés comme Fourier, voire d’enseignants recrutés à cet effet. C’est ainsi que S.F. Lacroix fit son entrée à l’École normale. On connaît mal le déroulement de ces séances et le rôle effectif des maîtres-élèves. En tout cas, le principe de l’enseignement mutuel sera également adopté à l’École polytechnique, avec la création des chefs de brigade. Voir [Fourcy, 1828/1987, p. 71 et introd.].

3 [Clairaut, 1746]. Cet ouvrage fut très apprécié pour sa méthode naturelle, ou génétique d’apprentissage de l’algèbre. Traduit en italien (1751), en allemand (1752 et 1753), en néerlandais (1760), en polonais (1772), etc. Il y eut une dernière et sixième édition française en 1801 (2 volumes, Paris, an X), ce qui prouve un intérêt maintenu comme Laplace le souligne. A partir des facteurs du coefficient constant, la détermination d’éventuelles racines rationnelles d’une équation polynomiale à coefficients entiers est classique : elle se démontre aisément en partant d’une racine rationnelle mise sous forme d’une fraction irréductible.

4 Pour trouver les racines multiples du polynôme P(x) (que Laplace appelle racines égales), on peut résoudre le système P(x) = O et P'(x) = O. Laplace donne la règle de formation algébrique de la dérivée de P(x). Il se contente d’une recette et n’interprète pas en terme de contact, ni ici ni dans une leçon postérieure où il parlera pourtant des courbes osculatrices. La dérivation n’est pas étudiée dans les leçons de Laplace.

5 La définition même que Laplace donne de l’expression « fonction entière », pour lui un polynôme, montre bien qu’il conçoit a priori tes fonctions comme des extensions de polynômes selon le préjugé commun au xviiie siècle. Voir [Dhombres, 1987].

6 Qu’un polynôme symétrique de n variables fût exprimable à partir des fonctions symétriques élémentaires, ce qui est une autre façon d’exposer le résultat annoncé par Laplace, n’était pas de démonstration très ancienne. Il figurait chez [Vandermonde, 1774]. Lagrange allait beaucoup plus loin sur les fonctions « invariantes », dans ses grands mémoires [Lagrange, 1769b, 1770a, 1771, 1772b].

7 Laplace donne, sans écriture littérale, ce qu’on appelle désormais les formules de Newton. Elles n’ont rien d’évident lorsque m <n. En posant S0 = m, etImage fig08.jpgsomme des puissances p-èmes de toutes les racines du polynôme Image fig09.jpg on a pour m<n, l’équation

Image fig10.jpg

Ainsi Image fig11.jpgSoit par exemple l’expression de S3 à partir des coefficients sous la forme

Image fig12.jpg

La formule convient aussi avec m>n, à condition de prendre égale à 0 toute lettre a d’indice négatif. C’est ce qu’indique Laplace quelques lignes plus loin.

8 La démonstration de Laplace dit l’essentiel, mais en abrégé. On note dans cette phrase l’emploi du mot fonction au sens de polynôme seulement. Voir l’annexe 7 : Le théorème des valeurs intermédiaires et l’analyse algébrique des fonctions.

9 Ce résultat sur le degré et sur l’expression des coefficients comme fonctions invariables des racines est déductible des travaux mentionnés de [Lagrange, 1770a]. Laplace a légèrement modifié une phrase dans l’édition ultérieure : « [...] équation en z résultant du produit des i facteurs [...] ».

10 C’est une « démonstration » du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas polynomial. Voir l’annexe 7 : Le théorème des valeurs intermédiaires et l’analyse algébrique des fonctions.

11 Voir l’annexe 6 : Le théorème fondamental de l’algèbre.

12 Une preuve de la règle que Descartes énonçait dans la Géométrie de 1637 [1637, livre III, p. 373] fut donnée par l’abbé Jean-Paul de Gua de Malves (1712-1785) dans un mémoire à l’Académie des sciences de Paris en 1741. Cet académicien fournit aussi la preuve de ce que Laplace explique plus loin lorsque des coefficients sont nuls. Fourier travailla sur cette règle avant 1789 et chercha toute sa vie à l’améliorer. Élève à l’École normale, les explications trop rapides de Laplace ne durent guère le satisfaire.

13 Achille Dionis du Séjour, né en 1734 à Paris, avait été associé à l’Académie des sciences en physique. Assez tôt, il s’était lancé dans la mise au point de méthodes analytiques destinées à permettre la détermination des orbites planétaires, et s’était rendu célèbre en 1775 pour ses explications destinées à rassurer sur l’éventuelle rencontre de la Terre et d’une comète. Il avait travaillé en astronomie avec Laplace, et s’était associé avec Goudin pour les mathématiques. Député de la noblesse de Paris aux États Généraux, Dionis du Séjour fut pris d’une anxiété maladive sous la Terreur. Calfeutré dans sa propriété d’Angerville en Seine-et-Marne, il mourut peu après Thermidor, le 22 août. Il n’a publié que deux notes mathématiques à l’Académie, [Dionis, 1768, et 1772]. C’est la seconde que signale Laplace qui a dû parcourir le manuscrit ultérieur. En particulier, Dionis du Séjour calculait A et B tels que A + iB = (a + ib)n.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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