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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Troisième leçon

21 pluviôse / 9 février

Texte intégral

1La considération des nombres, indépendamment de leur valeur, et de tout système de numération, a donné naissance à l’arithmétique universelle, que l’on a désignée sous le nom d’algèbre. Pour rendre cette filiation sensible, supposons que l’on se soit proposé de partager le nombre treize en deux parties, telles que la première surpasse de cinq la seconde ; on aura pu raisonner ainsi. Puisque la seconde partie est égale à la première diminuée de cinq, les deux parties réunies sont égales au double de la première, moins cinq : mais la somme de ces parties est égale à treize ; en retranchant donc cinq du double de la première, on aura treize ; et par conséquent, la première, prise deux fois, est égale à treize plus cinq, ou à dix-huit ; cette partie est donc égale à neuf, et la seconde est égale à quatre.

2En considérant d’autres nombres que treize et cinq, on trouve, par le même raisonnement, les deux parties demandées ; mais, pour ne pas le recommencer chaque fois que l’on considère de nouveaux nombres, on a cherché à exprimer le résultat final, d’une manière indépendante de leur valeur. Pour cela, on a représenté les deux nombres par des caractères généraux, et les plus simples pour nous sous les lettres de l’alphabet. Soit donc a, le plus grand de ces nombres, et b le plus petit ; en appliquant à ces deux caractères le raisonnement que nous venons de faire sur les deux nombres treize et cinq, on trouve aisément que la première partie demandée est égale à la moitié de la somme des deux nombres a et b.

3Pour exprimer cette somme ou, ce qui revient au même, pour indiquer l’addition du nombre b au nombre a, on se sert du signe +, dont on fait précéder le nombre que l’on veut ajouter ; ainsi a + b exprime la somme des deux nombres a et b.

4Nous avons dit, en parlant des fractions, qu’une barre horizontale au-dessus et au-dessous de laquelle on écrit deux nombres, indique la division du nombre supérieur par l’inférieur ; (a+b)/2 exprime donc la moitié de la somme des deux nombres a et ; cette quantité est, par conséquent, l’expression générale de la première partie demandée quelles que soient les valeurs numériques que l’on assigne aux lettres a et b, il ne s’agit que de les substituer dans cette expression, pour avoir cette partie.

5Ces formules ou expressions générales, dont la précédente n’est qu’un exemple très simple, sont un des plus grands avantages de l’algèbre ; parce que toutes les fois qu’un problème rentre dans ces formules, il est sur le champ résolu, et l’on n’a pas besoin de recommencer le raisonnement, souvent très compliqué, qui les ont fait découvrir. Il importe donc extrêmement d’étendre et de multiplier les méthodes et les formules générales, afin qu’elles puissent embrasser tous les cas qui se présentent dans les applications de l’analyse. Mais, dans les sciences, comme dans les arts, le besoin est le premier et le principal inventeur ; et c’est surtout aux besoins de la physique céleste, que l’analyse, la mécanique et l’optique sont redevables de leurs progrès.

  • 1 Laplace savait que S. F. Lacroix était en train de composer un tel ouvrage encyclopédique [Lacroix, (...)

6Les formules générales de l’analyse sont maintenant très multipliées ; mais elles sont éparses dans un grand nombre d’ouvrages qu’il est souvent difficile de consulter. Le besoin d’un ouvrage qui les rassemblerait toutes se fait sentir à chaque instant aux analystes1.

  • 2 L’écriture des formules dans les deux premières éditions des leçons est peu soignée. Ici, en 1795, (...)

Un second avantage de l’algèbre, avantage qu’elle doit à la simplicité de son langage, est de faire apercevoir très facilement les rapports des objets. Le résultat que nous venons de trouver, en fournit un exemple. On peut l’exprimer ainsi : Le plus grand de deux nombres est égal à la moitié de leur somme, plus à la moitié de leur différence. Cette égalité ainsi exprimée, exige une attention assez grande pour paraître évidente ; mais étant traduite en langage algébrique, son évidence devient sensible. En effet, soit m le plus grand des deux nombres, et n le plus petit, leur somme sera m + n. Pour indiquer leur différence, ou, ce qui revient au même, pour indiquer la soustraction de n du nombre m, on se sert du signe -, dont on fait précéder le nombre à soustraire ; ainsi m – n est l’excès de m sur n. La proposition que nous venons d’énoncer consiste donc en ce que m est égal à la moitié de m + n, plus à la moitié de m – n. Pour indiquer l’égalité, on se sert du signe = placé entre les deux quantités que l’on égale entre elles ; on a donc2
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7J’observerai ici qu’en inclinant l’une vers l’autre, les deux lignes parallèles du signe =, on forme le signe <, qui sert à indiquer que la quantité placée vers la pointe, est plus petite que la quantité placée vers l’ouverture ; ainsi a > b exprime que a est plus grand que b.

8On nomme équation toute égalité exprimée algébriquement ; les deux membres de l’équation sont les quantités séparées par les signes =.

9L’équation précédente est la traduction analytique de la proposition énoncée ; et dans cette traduction, la vérité de la proposition se manifeste avec évidence ; car si dans le second nombre, on ajoute les numérateurs des deux fractions qui ont le même dénominateur, et si l’on observe que + n et – n se détruisent, puisque l’on retranche ce que l’on ajoute, on aura m = 2m/2 ce qui est évident.

  • 3 Ce vocabulaire, déjà bien vieilli au temps de Laplace, provenait de la théorie des proportions. Pou (...)

10Non seulement l’algèbre donne la facilité de saisir les rapports des objets ; mais elle réduit les raisonnements à des opérations, en quelque sorte, mécaniques. Reprenons le problème que nous nous sommes proposés d’abord. En nommant x, la première partie, x – b sera la seconde ; la somme de ces deux parties sera 2x – b ; mais cette somme est a ; on a conséquemment 2 x – b = a ; l’égalité ne sera point troublée3 si l’on ajoute à chaque membre le nombre ; et alors on a 2x + b – b = a + b ou simplement 2 x = a + b, équation qui n’est que la première, dans laquelle la quantité – b a passé d’un membre dans l’autre, en changeant seulement de signe. On voit, par le même raisonnement, que l’on peut faire passer généralement une quantité d’un membre dans l’autre, en l’effaçant dans le membre où elle se trouve, et en l’écrivant dans l’autre, avec un signe contraire.

11On peut encore multiplier, ou diviser les deux membres d’une équation par un même nombre sans troubler l’égalité ; en divisant donc par 2 les deux membres de la dernière équation, on aura x = (a + b)/2.

12De là résulte cette règle générale pour résoudre les équations du premier degré à une seule inconnue ; on nomme ainsi les équations dans lesquelles l’inconnue n’est élevée qu’à la première puissance.

13Faites passer toutes les quantités connues dans un seul membre, et toutes les quantités affectées de l’inconnue, dans l’autre membre ; divisez ensuite le membre composé des quantités connues, par la quantité totale qui multiplie l’inconnue dans l’autre membre, le quotient sera la valeur de l’inconnue.

14Il importe dans l’enseignement, d’exercer les élèves dans l’art de mettre les problèmes en équations ; pour cela, il faut leur proposer un grand nombre de questions délicates, qui demandent une attention soutenue et des considérations fines, pour en traduire les conditions en langage algébrique ; ainsi les élèves contractent l’habitude d’envisager les objets sous toutes leurs faces ; ils apprennent à se défier des premiers aperçus souvent trompeurs ; car le résultat du calcul redresse toujours les erreurs de ce genre.

  • 4 Laplace ne s’embarque pas dans un exposé de la résolution des systèmes linéaires. Il explique seule (...)

15Ce sont principalement les problèmes qui dépendent de plusieurs inconnues, dont la traduction algébrique est difficile ; on est alors conduit à plusieurs équations entre ces inconnues. Si toutes ces équations sont du premier degré, c’est-à-dire, si chaque inconnue n’y est élevée qu’à sa première puissance, et n’est pas multipliée par les autres ; on prend dans l’une de ces équations, la valeur d’une des inconnues, comme si toutes les autres étaient connues ; on substitue cette valeur dans les autres équations, et l’on a ainsi une équation, et une inconnue de moins : en continuant d’opérer de cette manière, on parvient à une équation qui ne renferme qu’une inconnue ; on en tire la valeur qui donne, en revenant sur ses pas, les valeurs de toutes les autres inconnues4 : mais ces diverses substitutions exigent que l’on sache ajouter, soustraire, multiplier et diviser les quantités algébriques. Nous allons indiquer les règles de ces divers opérations.

  • 5 Voir l’annexe 5 : Sur la règle des signes.

16Pour ajouter ensemble plusieurs quantités algébriques, il suffit de les écrire les unes à la suite des autres avec leurs signes5, en observant que les quantités qui n’ont point de signe, sont censées avoir le signe + ; on réduit ensuite en un seul terme tous les termes semblables, c’est-à-dire, ceux qui ne diffèrent que par leurs coefficients numériques. Pour cela, on fait une somme de tous les coefficients positifs, une autre somme de tous les coefficients négatifs ; on retranche la plus grande somme de la plus petite, abstraction faite du signe, et l’on donne à la différence le signe de la plus grande somme.

17Pour soustraire une quantité algébrique d’une autre, on écrit à la suite de la quantité dont on soustrait, la quantité à soustraire, en changeant les signes de tous ses termes ; ensuite on fait la réduction. Cette règle est évidente quand le nombre à soustraire a le signe + ; supposons qu’il ait le signe –, et que l’on se propose, par exemple, de soustraire – b de ; je dis que le résultat de l’opération est a + b. En effet, le nombre a égale a + b – b ; en retrancher – b, sous cette forme, c’est évidemment effacer – b, et alors il reste a + b.

18Quant on ne veut qu’indiquer une multiplication on se sert du signe x, ou simplement du point que l’on place entre le multiplicande et le multiplicateur. Si les deux quantités que l’on multiplie, sont complexes, c’est-à-dire composées de plusieurs termes, on les renferme chacune entre deux parenthèses, ou l’on prolonge une barre horizontale au-dessus. Ainsi, pour indiquer le produit de a + b par c – d, on écrit

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19Pour effectuer la multiplication, si le multiplicande et le multiplicateur ne renferment qu’un terme, on multiplie leurs coefficients numériques, on ajoute les exposants des lettres semblables, en observant que toute quantité qui n’a point d’exposant est censée avoir l’unité pour exposant ; enfin, on écrit à la suite les unes des autres les lettres dissemblables.

20Quant au signe du produit, il doit être positif si les signes du multiplicande et du multiplicateur sont les mêmes ; s’ils sont différents, le signe du produit doit être négatif. Cette règle présente quelques difficultés : on a de la peine à concevoir que le produit de – a par – b soit le même que celui de a par b. Pour rendre cette identité sensible, nous observerons que le produit de – a par b, est – ab, puisque ce produit n’est que – a répété autant de fois qu’il y a d’unités dans b. Nous observerons ensuite que le produit de – a par + b – b est nul, puisque le multiplicateur est nul ; ainsi le produit de – a par + b étant – ab, le produit de – a par – b, doit être d’un signe contraire, ou égal à + ab, pour le détruire.

21Si le multiplicande et le multiplicateur sont complexes, on multiplie chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur ; on ajoute tous ces produits et l’on fait la réduction.

22Quant à la division, si le dividende et le diviseur ne renferment qu’un seul terme, on divise le coefficient numérique du dividende par celui du diviseur ; on retranche l’exposant des lettres du diviseur, de l’exposant des lettres semblables du dividende ; et s’il y a dans le diviseur des lettres qui ne soient pas dans le dividende, on ne fait qu’indiquer la division par ces lettres ; enfin, on donne au quotient le signe + ou le signe – suivant que les signes du dividende et du diviseur sont les mêmes ou contraires. Tout cela résulte de ce que le produit du quotient, par le diviseur, est égal au dividende.

23Ici l’analogie conduit à une remarque importante. Si l’exposant d’une lettre commune au dividende et au diviseur est plus grand dans le diviseur que dans le dividende ; alors, en donnant à la lettre dans le quotient un exposant égal à celui du dividende, moins l’exposant du diviseur, ce nouvel exposant est négatif ; ainsi a2, divisé par a5, donne a – 3 pour quotient. Mais a2, divisé par a5, est a2/a5 ou 1/a3 ; on a donc a-3= 1/a3. On voit ainsi qu’une puissance négative n’est que l’unité divisée par la même puissance prise positivement. Cette manière d’exprimer les divisions de l’unité par les puissances est du plus grand usage dans l’analyse.

24Si l’on avait à diviser a3 par a3, le quotient, suivant la règle générale, serait a0 ; mais ce quotient est évidemment l’unité : ainsi, toute quantité élevée à la puissance zéro représente l’unité.

25Si le dividende et le diviseur sont complexes, on ordonne l’un et l’autre par rapport aux puissances d’une même lettre en écrivant les premiers, les termes dans lesquels cette lettre a le plus grand ou le plus petit exposant ; ensuite la division se fait comme celle des nombres ; on divise le premier terme du dividende par celui du diviseur, et l’on a le premier terme du quotient, que l’on multiplie par le diviseur, pour retrancher le produit du dividende. La différence forme le second dividende partiel qui, divisé pareillement par le diviseur, donne le second terme du quotient, et ainsi de suite.

26Quand la division n’est pas exactement possible, on peut réduire le quotient dans une suite infinie, ordonnée par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes d’une des lettres du dividende et du diviseur. Ainsi, l’unité divisée par 1 – x, donne la suite infinie 1 + x + x2 + x3 +, etc. Cette opération est analogue à celle par laquelle on réduit une fraction ordinaire en décimales au moyen de zéros que l’on ajoute après la virgule, dans son numérateur. Car il est visible que les nombres décimaux sont des suites ordonnées par rapport aux puissances successives d’un dixième. La réduction des fractions algébriques en suites infinies paraît bien simple ; elle fait cependant époque dans l’histoire de l’analyse, comme ayant donné la première suite pour la quadrature des courbes.

27On ajoute, on soustrait, on multiplie et l’on divise les fractions algébriques, on les réduit à leur moindre expression, exactement comme les fractions numériques.

28La formation des puissances et l’extraction des racines se font encore de la même manière en algèbre comme en arithmétique ; mais on peut considérablement abréger ces opérations, par la formule suivante.

Concevez la quantité décomposée en deux parties : soient a et b ces deux parties, et n la puissance à laquelle leur somme doit être élevée, on a
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  • 6 Avec cette généralité pour l’exposant non entier n que Laplace indique, il n’existait pas à l’époqu (...)

29La loi des termes est évidente. Cette formule est ce que l’on nomme formule du binôme dont Newton est l’inventeur. Ce qu’elle offre de remarquable, c’est qu’elle s’étend également aux puissances positives, négatives, entières et fractionnaires, en sorte qu’elle a généralement lieu quelle que soit la valeur de n ; c’est ce qui la rend d’un si grand usage dans toute l’analyse : il faut donc s’attacher dans l’enseignement à la bien démontrer6, et à développer les applications que l’on peut en faire. Lorsqu’on en fait usage pour l’extraction des racines, n devient un nombre fractionnaire, et alors on prend la première partie a du binôme, plus grande que b, et telle que l’on puisse en extraire la racine proposée.

  • 7 Le premier énoncé publié de la formule du binôme avec exposant non entier apparaît au chapitre 85 d (...)

30Je dois ici vous présenter deux observations, sur la manière dont il paraît que Newton est parvenu à cette formule7. D’abord il suivit la loi des coefficients numériques des puissances du binôme, dans le carré, le cube, la quatrième puissance, etc., et bientôt la loi générale se manifesta. Cette manière de s’élever aux lois générales par la considération des cas particuliers, se nomme induction. Elle est la source de presque toutes les découvertes, dans l’analyse et dans la nature, dont tous les phénomènes sont, comme nous l’avons déjà dit, les résultats mathématiques d’un petit nombre de lois invariables ; ainsi, la marche de Newton dans la découverte de la gravitation universelle a été exactement la même que dans celle de la formule du binôme. Mais dans cette méthode d’induction il faut éviter de généraliser trop promptement, car il arrive quelquefois qu’une loi qui se soutient dans un assez grand nombre de cas, est démentie par les cas suivants. La méthode d’induction, quoique excellente pour découvrir des vérités générales, ne doit donc pas dispenser de les démontrer avec rigueur.

31Newton étendit ensuite aux puissances fractionnaires et négatives l’expression analytique qu’il avait trouvée pour les puissances entières et positives. Vous voyez dans cette extension, un des grands avantages du langage algébrique qui exprime des vérités beaucoup plus générales que celles que l’on voulait lui faire exprimer ; en sorte qu’en lui donnant toute l’étendue qui lui convient, on voit sortir une foule de vérités nouvelles, de formules qui n’avaient été trouvées que par des suppositions particulières. On fut d’abord très réservé à admettre ces conséquences générales que fournissent les formules analytiques ; mais un grand nombre d’exemples les ayant justifiées, on s’abandonne aujourd’hui sans crainte à l’analyse et à toutes les conséquences qu’elle nous présente, et les plus heureuses découvertes ont été le fruit de cette hardiesse. Observons cependant qu’il y a quelques précautions à prendre, pour éviter de donner aux formules plus de généralité qu’elles n’en comportent, et qu’il est toujours bon de démontrer en rigueur les résultats que l’on obtient.

32Quand on ne veut qu’indiquer une extraction de racine, on se sert du signe √ sous lequel on renferme la quantité proposée ; ce radical par lui-même n’indique qu’une racine carrée ; mais pour lui faire indiquer une racine cubique ou une racine quatrième, etc., on écrit au-dessus les nombres 3, 4, etc. : ainsi 3a x b indique la racine cubique de a x b. Ce signe et les précédents forment avec les lettres de l’alphabet les éléments de la langue algébrique qui, comme l’on voit, est aussi simple qu’elle est générale. On verra par la suite de nouvelles manières d’envisager les grandeurs introduire encore quelques nouveaux signes dans l’analyse.

Notes

1 Laplace savait que S. F. Lacroix était en train de composer un tel ouvrage encyclopédique [Lacroix, 1810, Introduction, p. XIX]. Il parut à partir de 1797 en trois tomes : Traité du calcul différentiel, du calcul des intégrales, et du calcul aux différences. Pas plus Lacroix que Laplace ne se proposaient de réaliser une architecture nouvelle de l’analyse ; ils souhaitaient seulement regrouper tous les résultats de l’analyse. Il est un peu surprenant que Laplace éprouve le besoin de faire un tel commentaire alors qu’il explique les rudiments de l’algèbre.

2 L’écriture des formules dans les deux premières éditions des leçons est peu soignée. Ici, en 1795, on trouvait :

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3 Ce vocabulaire, déjà bien vieilli au temps de Laplace, provenait de la théorie des proportions. Pourtant Laplace ne reprendra pas cette théorie dans ses leçons. Dans sa seconde leçon (6 ventôse), Lagrange développe seulement la règle de trois et les règles associées, qui étaient communément reconnues comme des applications pratiques de la théorie des proportions.

4 Laplace ne s’embarque pas dans un exposé de la résolution des systèmes linéaires. Il explique seulement la méthode des substitutions successives. L’algèbre linéaire n’était pas encore constituée et on ne faisait pas usage de la théorie des déterminants, quoiqu’elle ait été inaugurée par Leibniz, mais dans un manuscrit resté il est vrai inédit.

5 Voir l’annexe 5 : Sur la règle des signes.

6 Avec cette généralité pour l’exposant non entier n que Laplace indique, il n’existait pas à l’époque de démonstration convaincante de la formule du binôme. Depuis 1750, on était conscient du cercle vicieux qui consistait à déduire cette formule, grâce aux dérivées, de celle du développement en série de Taylor de (1 + x)n. En effet, le calcul des dérivées successives de cette fonction exige la connaissance de la formule du binôme elle-même. Beaucoup d’auteurs avaient multiplié les tentatives. Voir sur l’histoire de cette formule [Dhombres, 1987] ; [Dhombres, Pensivy, 1988] ; [Pensivy, 1987]. Voir aussi Dhombres, Pensivy, Les mathématiciens au travail : la formule du binôme de Newton, P.U.F., à paraître.

7 Le premier énoncé publié de la formule du binôme avec exposant non entier apparaît au chapitre 85 dans l’Algebra de J. Wallis dont la première édition date de 1685 (A Treatrise of Algebra both historical and pratical). Dans une lettre fameuse du 13 juin 1676 à Oldenburg, Newton l’écrivait déjà (Epistola prior) et l’expliquait dans une lettre du 24 octobre de la même année (Epistola posterior). Surtout, cette formule du binôme était placée dès le début de sa Méthode des fluxions et des suites infinies, dont la version latine date de 1665. Il est vrai que la formule figurait dans des lettres de J. Gregory adressées à Collins en 1670. Laplace a tout à fait raison d’indiquer que Newton à « induit » cette formule. Il le fit à partir d’un interpolation des résultats calculés relatifs à la quadrature des courbes du type (1 – x2)n/2. [Pensivy, 1987]. Une fois la loi obtenue, et bâtissant sur elle, Newton abandonna toutes les considérations préalables. Mais Laplace, faute de lire les textes originaux, se trompait sérieusement en estimant que l’induction de Newton avait porté sur le développement de (1 + x)n à partir de celui connu pour les valeurs 2, 3 ou 4 de n. Bien sûr, cette « erreur » convenait pour manifester la puissance de l’analogie grâce à l’écriture algébrique. Contrairement à Lagrange, Laplace ne semble pas être un lecteur érudit des textes anciens. Toutefois, dans l’Essai philosophique sur les probabilités [1825, p. 70-71], Laplace reviendra sur le calcul des coefficients du binôme, de Wallis à Newton, mettant cette fois en évidence le rôle des notations.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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