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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Deuxième leçon

9 pluviôse / 28 janvier

Texte intégral

1Nous avons considéré précédemment les nombres entiers et décimaux, examinons présentement les nombres fractionnaires en général. Si l’on conçoit l’unité partagée en plusieurs parties égales, un certain nombre de ces parties est ce que l’on nomme fraction. Pour l’exprimer, on place au-dessous d’une petite barre horizontale, le nombre qui désigne en combien de parties l’unité a été divisée, et que l’on nomme dénominateur ; on place au-dessus le nombre qui exprime combien on prend de ces parties et que l’on nomme numérateur.

  • 1 Le résultat d’une division (quotient) est assimilé à l’écriture de ce que Condillac dans la Langue (...)

2De là il est aisé de conclure qu’une fraction est égale au quotient de la division du numérateur par le dénominateur1, et qu’ainsi elle ne change point de valeur en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre. La réduction de plusieurs fractions au même dénominateur est fondée sur ce principe ; on leur donne pour dénominateur commun un nombre divisible à la fois par chacun de leurs dénominateurs, et l’on multiplie le numérateur de chacune d’elles par le nombre qui exprime combien de fois son dénominateur est contenu dans le dénominateur commun. Les fractions étant ainsi réduites au même dénominateur, il suffit pour les ajouter, ou pour les soustraire les unes des autres, d’ajouter ou de soustraire leurs numérateurs, en conservant à leur somme ou à leur différence le commun dénominateur.

3Le produit de deux fractions est une nouvelle fraction, dont le numérateur est le produit des numérateurs de ces fractions, et dont le dénominateur est le produit de leurs dénominateurs.

  • 2 Laplace se contente de fournir les règles de manipulation des fractions sans chercher à les justifi (...)

4Pour diviser une fraction par une autre, il faut multiplier la fraction dividente par la fraction diviseur renversée2.

  • 3 Tel est l’algorithme dit d’Euclide, qui est expliqué et démontré au livre VII des Éléments (Proposi (...)

5On appelle nombre premier, tout nombre qui n’a d’autres diviseurs que lui-même et l’unité. Deux nombres sont premiers entre eux, lorsqu’ils n’ont d’autre commun diviseur que l’unité. Si les deux termes d’une fraction sont premiers entre eux, elle est alors réduite à sa plus simple expression. Pour réduire une fraction quelconque à cet état, il faut diviser chacun de ses deux termes par le plus grand commun diviseur, que l’on obtient ainsi : divisez le plus grand terme par le plus petit ; divisez ensuite ce plus petit terme par le reste de la division ; ce premier reste par le reste de la seconde division, ce second reste par le troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce que vous parveniez à une division sans reste. Le dernier diviseur sera le plus grand commun diviseur cherché3.

  • 4 En écriture littérale, on a la chaîne de calculs qui fait comprendre les fractions dites continues (...)
  • 5 Laplace présuppose que son lecteur connaît déjà les développements décimaux infinis. Il ne prétend (...)

6En examinant avec attention cette suite de divisions, il est facile de voir que si le numérateur de la fraction est moindre que son dénominateur, on peut lui donner la forme d’une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le quotient de la première division, augmenté d’une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le quotient de la seconde division, augmenté d’une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le quotient de la troisième division ; plus, etc. Cette suite de fractions ainsi enchaînées les unes aux autres, se nomme fraction continue4. On peut donner cette forme aux nombres décimaux qui ne sont que des fractions, dont le dénominateur est dix, ou cent, ou mille, etc. Si le nombre des décimales est infini, la fraction continue se prolonge à l’infini, à moins que le nombre décimal ne soit une fraction ordinaire, réduite par la division en parties décimales, auquel cas la fraction continue se termine ; et cela a généralement lieu toutes les fois que la fraction continue est l’expression du rapport de deux nombres entiers5.

  • 6 Ce fut en 1761 que J.H. Lambert démontra que le rapport π, ainsi noté selon une suggestion d’Euler (...)
  • 7 Laplace reprend des exemples d’utilisation des fractions continues qui figuraient déjà chez Euler, (...)

7La théorie de ces fractions n’est point un pur jeu de l’esprit ; elle est importante dans l’analyse et elle a conduit à plusieurs vérités curieuses, telles que l’impossibilité d’exprimer, par le rapport de deux nombres entiers, celui du diamètre à la circonférence6. L’un de ces principaux avantages est de donner les valeurs des fractions exprimées par de très grands nombres, les plus approchées que l’on puisse obtenir avec les petits nombres. Il suffit pour cela de réduire la fraction proposée en fraction continue ; d’arrêter cette fraction à l’un de ses termes, et de mettre la fraction continue ainsi tronquée sous la forme d’une fraction ordinaire. Par exemple, on a déterminé le rapport du diamètre à la circonférence au moyen d’un très grand nombre de décimales ; mais il est souvent utile d’avoir ce rapport, exprimé d’une manière fort approchée par de petits nombres. En réduisant en fraction continue la valeur de ce rapport exprimé en décimales, on trouve que le rapport de 7 à 22, trouvé par Archimède, est fort approché, et le plus exact que l’on puisse obtenir en n’employant pas de plus grands nombres que 22. Si l’on réduit pareillement la longueur de l’année en jours et en décimales de jours, et ensuite en fraction continue, on parvient à l’intercalation persane de huit années bissextiles sur trente-trois ans7.

8Considérons maintenant les nombres eu égard à leurs puissances. Le produit d’un nombre par lui-même forme le carré de ce nombre ; le produit du carré par le nombre, forme le cube ; le produit du cube par le nombre, forme le carré carré : et ainsi de suite. Pour exprimer ces divers produits, on nomme première puissance d’un nombre, ce nombre lui-même ; son carré, seconde puissance ; son cube, troisième puissance, etc. ; et pour écrire ces puissances, on écrit à la droite du nombre, et vers sa partie supérieure, les nombres 1, 2, 3, etc., qui marquent le degré de la puissance : ces nombres s’appellent exposants.

  • 8 Il n’y a là aucun raisonnement rigoureux, mais le jeu d’une analogie. C’est parce que n x 1/n = 1 q (...)

9La racine carrée d’un nombre est le nombre dont il est la seconde puissance ; sa racine cubique est le nombre dont il est la troisième puissance, etc. ; et comme, pour former les exposants des puissances, on multiplie l’unité par 2, 3, etc., pour former les exposants des racines, on doit diviser l’unité par les mêmes nombres, en sorte que la racine d’un nombre en est une puissance fractionnaire8 : on peut même donner à l’exposant une valeur quelconque fractionnaire ; en le supposant, par exemple, égal à deux tiers, il indique la racine cubique du carré du nombre. Ces notions très simples sont de la plus grande fécondité ; elles sont la base d’une branche d’analyse, que l’on nomme calcul exponentiel.

10La formation des puissances est toujours facile ; l’extraction des racines présente plus de difficulté. On peut généralement y parvenir par la règle suivante.

11Partagez le nombre proposé, de droite à gauche, en tranches d’autant de chiffres qu’il y a d’unités dans l’exposant de la puissance dont on cherche la racine, la première tranche à gauche pouvant en renfermer moins. Extrayez la racine proposée de cette tranche, racine qui ne peut être que d’un seul chiffre ; vous aurez le premier chiffre à gauche de la racine. Retranchez la puissance de ce chiffre de la même tranche, et à la droite du reste, abaissez le premier chiffre de la seconde tranche ; divisez ce reste ainsi augmenté par l’exposant de la puissance, multiplié par le premier chiffre trouvé, élevé à une puissance moindre d’une unité ; le second chiffre de la racine sera égal ou moindre que le quotient de cette division ; il lui sera égal, si le nombre formé de ce quotient écrit à la droite du premier chiffre de la racine, et élevé à la puissance, peut être soustrait des deux premières tranches : si cela n’est pas, il faudra, pour avoir le second chiffre de la racine, qui doit satisfaire à la condition précédente, diminuer le quotient d’une ou de plusieurs unités. On aura le troisième chiffre de la racine, en opérant sur les deux premiers chiffres trouvés, et sur les trois premières tranches, comme on vient de le faire sur le premier chiffre et sur les deux premières tranches.

12Si le nombre dont on veut extraire la racine, est décimal, il faut, en mettant un nombre convenable de zéros à sa suite, rendre le nombre des décimales un multiple de l’exposant de la puissance ; on extrait ensuite la racine de ce nombre, comme s’il était entier, et l’on sépare, sur la droite de cette racine, autant de chiffres par la virgule, qu’il y a d’unités dans le quotient du nombre des décimales de la quantité proposée, divisé par l’exposant de la puissance.

13Pour extraire la racine d’une fraction, il suffit d’extraire la racine de son numérateur, et celle de son dénominateur.

  • 9 Laplace adopte le point de vue de Condillac d’une appropriation progressive par l’esprit d’un domai (...)
  • 10 Euclide définit le nombre (entier) comme un assemblage d’unités (définition 2 du livre VII des Élém (...)

14La puissance de tout nombre entier ou fractionnaire est un nombre entier ou une fraction ; mais il n’en est pas ainsi des racines. Par exemple, la racine carrée de deux n’a aucune mesure commune avec l’unité. Quel que soit le nombre des parties égales dans lesquelles l’unité est divisée, aucune de ces parties n’est exactement contenue dans la racine carrée de deux, que l’on nomme, par cette raison, irrationnelle ou incommensurable. Vous voyez comment l’examen des propriétés des nombres étend successivement nos idées9. Les nombres entiers se sont présentés, ensuite les nombres fractionnaires, et enfin nous sommes arrivés à la considération des nombres irrationnels. Le nombre n’est plus simplement une collection d’unités, comme nous l’avions conçu d’abord ; il est généralement le rapport d’une quantité à une autre quantité prise pour unité. Examinons particulièrement les rapports10.

  • 11 Il n’y a ici aucune définition du rapport et Laplace pose ex abrupto un rapport de deux grandeurs c (...)

15La différence de deux nombres est leur rapport arithmétique ; la manière dont ils se contiennent forme le rapport géométrique, qui n’est ainsi que le quotient de l’un des nombres divisé par l’autre11.

16La proportion consiste dans l’égalité de deux rapports. Si quatre grandeurs sont en proportion arithmétique, c’est-à-dire, si la différence de la première à la seconde est la même que celle de la troisième à la quatrième, la somme des moyens est égale à celle des extrêmes.

17Réciproquement, si la somme des extrêmes est égale à celle des moyens, les quatre grandeurs sont en proportion arithmétique.

18Si quatre grandeurs sont en proportion géométrique, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens ; et réciproquement, si le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, les quatre grandeurs sont en proportion géométrique.

19De là résulte la règle de trois, et toutes les règles qui s’y rapportent.

20Une suite de termes, tels que le premier est surpassé par le second, comme le second est surpassé par le troisième, comme le troisième est surpassé par le quatrième, etc., forme une progression arithmétique. La raison de la progression est l’excès d’un des termes sur celui qui le précède.

21Une suite de termes, tels que le premier est contenu dans le second, comme le second est contenu dans le troisième, comme le troisième est contenu dans le quatrième, etc., forme une progression géométrique. La raison de la progression, est la manière dont un terme contient celui qui le précède.

22Les deux suites que nous venons de considérer, sont le germe de la théorie des suites, l’une des branches les plus étendues de l’analyse, et qui a particulièrement fixé l’attention des géomètres modernes.

23La loi d’une série est la manière dont ses termes se forment successivement ; ainsi la loi de la progression arithmétique consiste en ce que chaque terme est égal à celui qui le précède, plus la raison ; la loi de la progression géométrique consiste en ce que chaque terme est égal à celui qui le précède multiplié par la raison.

24La valeur du terme général de la série, c’est-à-dire d’un quelconque de ses termes, peut toujours être exprimée au moyen du nombre qui marque le rang de ce terme ; et c’est une recherche intéressante et souvent difficile que d’exprimer ainsi les termes d’une série d’après la loi de sa formation.

25Dans la progression arithmétique, un terme quelconque est égal au premier, plus à la raison multipliée par le nombre qui indique le rang du terme, diminué de l’unité.

  • 12 un = u1 + (n – 1) r (cas d’une progression arithmétique) et un = u1 rn-1 (cas d’une progression géo (...)

26Dans la progression géométrique, un terme quelconque est égal au premier multiplié par la raison élevée à une puissance, moindre d’une unité que le nombre qui indique le rang12.

27En examinant avec attention ces divers résultats, on observe entre eux une analogie remarquable. Tout ce qui, dans les rapports, les proportions et les progressions arithmétiques, se rapporte aux sommes ou aux différences, se rapporte aux produits ou aux quotients dans les rapports, les proportions et les progressions géométriques. Tout ce qui, dans les progressions arithmétiques se rapporte aux produits, se rapporte aux puissances dans les progressions géométriques.

  • 13 La description de l’utilisation des logarithmes fut donnée par Neper en 1614 et la théorie publiée (...)

28Cette analogie a conduit Neper13 à la découverte des logarithmes, admirable instrument, qui, en réduisant à quelques heures le travail de plusieurs mois, double si l’on peut ainsi dire, la vie des astronomes, et leur épargne les erreurs et les dégoûts inséparables des longs calculs ; invention d’autant plus satisfaisante pour l’esprit humain qu’il l’a tirée en entier de son propre fond. Dans les arts, l’homme emploie les forces et les matériaux de la nature pour accroître sa puissance ; mais ici tout est son ouvrage.

29Peut rendre l’analogie dont nous venons de parler, plus sensible, et pour en voir naître les logarithmes, concevons que l’on écrive, l’une au-dessous de l’autre, deux progressions : la première géométrique et commençant par l’unité ; la seconde arithmétique, et commençant par zéro. Il est aisé de voir qu’au produit de deux termes quelconques de la progression géométrique répond la somme des deux termes correspondants de la progression arithmétique, et qu’à une puissance quelconque d’un des termes de la première progression, répond le produit du terme correspondant de la seconde par l’exposant de la puissance.

30Il suit de là que si l’on renfermait dans une progression géométrique tous les nombres 1, 2, 3, etc., en lui faisant correspondre une progression arithmétique commençant par zéro, la somme des deux termes de la progression arithmétique indiquerait le produit des deux nombres correspondants dans la progression géométrique ; et par conséquent, leurs différence indiquerait le quotient de ces mêmes nombres. Pareillement, le produit d’un terme de la progression arithmétique par 2, 3, etc., indiquerait la puissance seconde, troisième, etc., du nombre correspondant de la progression géométrique ; et par conséquent, la division d’un terme de la progression arithmétique, par 2, 3, etc., indiquerait la racine seconde, troisième, etc. du nombre correspondant. Une table qui renfermerait les deux progressions précédentes réduirait donc les multiplications à des additions, les divisions à des soustractions, les élévations de puissances à des multiplications, et les extractions de racines à des divisions. Cette table est celle des logarithmes ; on nomme ainsi les nombres de la progression arithmétique correspondant aux nombres naturels qui sont censés appartenir à une progression géométrique.

31À la vérité, les nombres naturels 1, 2, 3, etc., n’entrent point rigoureusement dans une même progression géométrique ; mais on conçoit que si, entre un et cent mille, par exemple, on insère un très grand nombre de moyens géométriques, ils croîtront par degrés insensibles, et les nombres naturels pourront se confondre avec eux. Si en prenant zéro pour le premier terme de la progression arithmétique, et cinq, par exemple, pour le terme correspondant à cent mille dans la progression géométrique, on insère entre un et cinq le même nombre de moyens arithmétiques ; ils seront les logarithmes des moyens géométriques correspondants.

32On peut, à la progression arithmétique 0, 1, 2, etc., faire correspondre telle progression géométrique que l’on veut, ce qui donne une infinité de systèmes de logarithmes ; mais le plus commode est le système dans lequel on lui fait correspondre la progression décimale 1, 10, 100, 1 000, etc. Alors, dans chaque logarithme, le nombre qui précède les décimales, et que l’on nomme sa caractéristique, indique l’ordre des unités les plus considérables du nombre auquel il appartient ; et pour multiplier ou diviser un nombre par dix, cent, etc., il suffit d’augmenter ou de diminuer sa caractéristique d’une, de deux unités, etc.

  • 14 Laplace lie l’usage de la décimalisation à celui des logarithmes de base 10. Ceux-ci furent pourtan (...)

33C’est sur ces principes que sont fondées nos tables de logarithmes : on voit qu’elles deviendront d’un fréquent usage dans la société, quand le système des divisions décimales sera généralement admis14. La facilité qui en résulte dans tous les calculs est un des principaux avantages de l’introduction de ce système. Il faut donc s’attacher particulièrement à développer dans l’enseignement, la nature des logarithmes et leurs divers usages.

  • 15 Après avoir utilisé l’analogie des progressions arithmétiques et géométriques pour décrire les loga (...)

34Dix, cent, mille, etc., étant les puissances successives de dix, leurs logarithmes sont les exposants de ces puissances. Ainsi l’on peut généralement considérer les logarithmes, comme les exposants des puissances entières ou fractionnaires, auxquelles le nombre 10 doit être élevé pour former successivement tous les nombres. Cette manière d’envisager les logarithmes est plus analytique que la précédente ; elle conduit à des séries très convergentes, au moyen desquelles on peut obtenir aisément les logarithmes dans tous les systèmes possibles. Mais les tables de logarithmes étaient déjà faites quand ces séries ont été trouvées et la patience des calculateurs avait suppléé à l’imperfection de leurs méthodes15.

35Il me reste à vous dire un mot des propriétés des nombres. Elles ont intéressé la curiosité des géomètres, surtout par les artifices singuliers qu’il a fallu imaginer pour y parvenir. Pour vous donner une idée de ces propriétés, il suffit d’en énoncer quelques-unes.

  • 16 Ce théorème qui exprime que tout entier n peut s’écrire au moins une fois sous la forme x2+ y2+ z2+(...)

36Tout nombre entier est composé de quatre ou d’un moindre nombre de carrés16.

  • 17 C’est l’équation fameuse xn+ yn= zn dont Fermât assurait, en marge de son exemplaire de Diophante d (...)

37La somme de deux puissances semblables et entières ne peut former exactement une puissance semblable, en nombres rationnels, lorsque l’exposant de cette puissance surpasse deux17.

  • 18 La théorie analytique des nombres était pourtant bien naissante chez Euler lorsqu’il utilisait des (...)
  • 19 Dans l’édition des leçons de Laplace au Journal de l’École polytechnique en 1812, mention était ajo (...)

38Ce dernier théorème est dû, avec beaucoup d’autres également curieux, à Fermat et n’a point encore été démontré. Ce grand géomètre avait promis de publier les démonstrations de ces divers théorèmes, mais elles ont été perdues à sa mort ; et ces théorèmes sont restés comme autant de monuments qui, par la difficulté d’y parvenir, attestent la profondeur de son génie. Il est fort remarquable que les grandes découvertes dont l’analyse s’est enrichie dans ce siècle, aient peu influé sur la théorie des nombres18. Au reste, ces recherches ne sont jusqu’ici que de pure curiosité ; et je ne conseille de s’y livrer qu’à ceux qui en ont le loisir. Cependant il est bon de les suivre ; elles fournissent d’excellents modèles dans l’art de raisonner ; d’ailleurs on en fera un jour, peut-être, des applications importantes. Tout se tient dans la chaîne des vérités, et quelquefois un seul phénomène a suffi pour faire passer les plus inutiles en apparence, de notre entendement, dans la nature. Rien ne semblait plus futile que les spéculations des anciens géomètres sur les courbes qu’engendre la section de la surface du cône par un plan : après deux mille ans, elles ont fait découvrir à Kepler les lois générales du système planétaire, dont les différents corps se meuvent dans ces courbes19.

Notes

1 Le résultat d’une division (quotient) est assimilé à l’écriture de ce que Condillac dans la Langue des calculs appelait non pas une fraction mais la « division indiquée » [Condillac, 1798].

2 Laplace se contente de fournir les règles de manipulation des fractions sans chercher à les justifier.

3 Tel est l’algorithme dit d’Euclide, qui est expliqué et démontré au livre VII des Éléments (Propositions 1 et 2). A partir des deux nombres entiers, n1 et n2(n2 < n1), après avoir posé n1 = r1 et n2 = r2 l’algorithme s’écrit selon la division euclidienne, Image 1.jpg

Avec le premier entier i tel que ri+ 2 = 0, ri+1, fournit le plus grand commun diviseur des entiers n1 et n2.

4 En écriture littérale, on a la chaîne de calculs qui fait comprendre les fractions dites continues : Image 2.jpg

Soit : Image 3.jpg

Cette écriture d’un quotient en fraction continue fut largement popularisée au xviiie siècle, par Euler, puis Lagrange dans son supplément à la traduction française de l’Algèbre d’Euler (Paris, 1772). Voir annexe 4 : Sur les fractions continues.

5 Laplace présuppose que son lecteur connaît déjà les développements décimaux infinis. Il ne prétend pas en fait initier son auditoire, mais plutôt brosser une fresque, montrer une architecture réfléchie des mathématiques, conformément à son programme affiché (cf. Programme, p. 45-47). Rappelons pourtant que les nombres réels ne sont pas encore construits et n’ont de statut que géométrique. La démarche de Laplace est abrupte. Il explique d’abord le développement décimal (fini) et passe ensuite au concept de fraction, pour décrire un algorithme qui se termine nécessairement lorsque les grandeurs en jeu sont des entiers. Mais il considère aussi le cas où l’algorithme ne se termine pas. On ne peut cependant pas parler de fraction dans un cas aussi général ! Euclide a établi que la non-terminaison de l’algorithme caractérisait les grandeurs non commensurables entre elles (Proposition 2 du livre X des Éléments). Par contre, même pour une fraction d’entiers, c’est-à-dire pour le cas commensurable, le développement décimal peut être infini. C’est sans doute cette opposition que Laplace veut soulever.

6 Ce fut en 1761 que J.H. Lambert démontra que le rapport π, ainsi noté selon une suggestion d’Euler qu’il ne respecta guère, rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre, était un nombre irrationnel, c’est-à-dire non exprimable comme quotient d’entiers [Lambert, 1761]. Lambert utilisa les fractions continues pour cette démonstration qui ne prouvait cependant pas l’impossibilité de la quadrature du cercle, autrement dit l’impossibilité de construire, en n’utilisant que la règle et le compas, un carré d’aire égale à un cercle donné. Ce sera en 1882 que F. Lindenmann prouvera plus encore, à savoir la transcendance du nombre π, c’est-à-dire que π, n’annule aucune écriture polynomiale à coefficients entiers. Wantzel en 1837 avait établi les types d’équations polynomiales à coefficients entiers que devait satisfaire π pour que la quadrature du cercle fût réalisable.

7 Laplace reprend des exemples d’utilisation des fractions continues qui figuraient déjà chez Euler, notamment dans l’Introductio in analysin infinitorum [Euler, 1748]. Voir, en particulier pour l’année persane, l’annexe 4 : Sur les fractions continues.

8 Il n’y a là aucun raisonnement rigoureux, mais le jeu d’une analogie. C’est parce que n x 1/n = 1 que l’on peut noter la racine n-ième de a sous la forme a 1/n. D’Alembert considérait que le calcul exponentiel incluait la détermination de la différentielle de la fonction exponentielle ; Laplace semble plus proche de l’école combinatoire allemande qui développait alors un calcul exponentiel purement algébrique.

9 Laplace adopte le point de vue de Condillac d’une appropriation progressive par l’esprit d’un domaine mathématique, appropriation qui se fait par simple extension selon la règle de l’analogie. L’expression revient souvent sous sa plume. Voir d’ailleurs les occurrences de ce mot grâce à l’index fourni. Il n’y a dans les leçons de Laplace aucune construction, ni d’ailleurs aucune réflexion sur les conditions de l’abstraction en mathématiques.

10 Euclide définit le nombre (entier) comme un assemblage d’unités (définition 2 du livre VII des Éléments). Newton préférait une définition du nombre par le rapport, car elle permet de dépasser les seuls nombres entiers. Laplace estime que l’on passe de la première définition à la seconde par extension analogique. Pourtant, pour poser la seconde définition, il faut d’abord savoir ce qu’est un rapport de quantités ou de grandeurs, rapport qui en général ne se réduit pas simplement à la division euclidienne. Laplace se garde d’examiner ces difficultés, supposant son lecteur bien au fait de la théorie des proportions développée au livre V des Éléments. Il se contente de donner quelques règles de calcul.

11 Il n’y a ici aucune définition du rapport et Laplace pose ex abrupto un rapport de deux grandeurs comme un quotient, doué de toutes les propriétés des quotients d’entiers. L’expression mathématique de l’analogie est le logarithme. Grosso modo, c’était ainsi qu’agissait Condillac dans la Langue des calculs : l’analogie qui joue est alors celle entre rapport géométrique et rapport arithmétique, entre progression arithmétique et progression géométrique. Peut-être cependant Laplace considérait-il un rapport comme la donnée de tous les restes successifs dans le processus de l’algorithme d’Euclide mis en place pour les deux termes du rapport ? Ce serait alors une définition anthyphérétique qu’il adopterait. En tout cas, en assimilant ratio et proportio, Laplace réduisait la longue histoire des nombres réels qui remonte au moins à Eudoxe de Cnide. Voir [Dhombres, 1978].

12 un = u1 + (n – 1) r (cas d’une progression arithmétique) et un = u1 rn-1 (cas d’une progression géométrique). Laplace manifeste la différence entre la loi qui peut lier un terme d’une suite à un ou plusieurs de ses prédécesseurs et la loi fonctionnelle qui donne le terme général en fonction de son numéro.

13 La description de l’utilisation des logarithmes fut donnée par Neper en 1614 et la théorie publiée juste après la mort de l’auteur en 1617. Dès sa première leçon, celle du 16 pluviôse, Lagrange quant à lui fournit un historique des logarithmes.

14 Laplace lie l’usage de la décimalisation à celui des logarithmes de base 10. Ceux-ci furent pourtant popularisés par H. Briggs dès 1624.

15 Après avoir utilisé l’analogie des progressions arithmétiques et géométriques pour décrire les logarithmes, puis les calculer par approximation, Laplace donne une définition analytique : log x est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour avoir x. Cette définition présuppose la connaissance de l’exponentielle pour toutes les valeurs réelles (malencontreusement, Laplace ne parle que de puissances entières ou fractionnaires pour former successivement tous les nombres à partir des puissances de 10). Lagrange reviendra sur les logarithmes et les progressions dans un débat qui fut seulement une leçon (p. 208). Pour le calcul, Laplace fait allusion — sans plus — aux développements en série de l’exponentielle et du logarithme tels qu’ils sont par exemple effectués par Euler dans son Introductio in analysin infinitorim [Euler, 1748, livre I, chap. II]. Il est curieux que Laplace ne mentionne pas précisément en 1795 la confection des tables de logarithmes décimaux, à quatorze places numériques, dont dès l’an II et avec la collaboration de Legendre, Prony se chargeait à la demande de Carnot et Prieur, tous deux du Comité de salut public. Les tables de Prony, une œuvre monumentale obtenue selon une méthode de division du travail, forment dix sept volumes grand folio, mais elles ne furent pas publiées. Delambre, Laplace et Lagrange donnèrent une description du travail de Prony [Delambre, Laplace et Lagrange, 1804]. A l’occasion de l’édition de ses leçons au Journal de l’École polytechnique [Laplace, 1812a], Laplace rajouta un texte élémentaire, juste après les mots « imperfection de leurs méthodes ». Le voici :
« On peut envisager, sous ce point de vue général, les tables de logarithmes. Concevons tous les nombres écrits sur une ligne horizontale et sur une ligne verticale, de manière que l’unité soit au point de jonction des deux lignes. Imaginons ensuite des verticales menées par chaque nombre horizontal, et des horizontales menées par chaque nombre vertical, et supposons le produit de ces nombres, écrit au point de jonction de ces lignes. On formera ainsi une table qui sera une extension de celle que l’on a nommée Table de Pythagore, et dont l’inspection seule fera connaître le produit de deux nombres ; car, en cherchant sur la première ligne horizontale le nombre multiplicateur et sur la première ligne verticale le nombre multiplicande, et en suivant les deux colonnes verticale et horizontale correspondant à ces nombres, jusqu’au point de leur jonction, on trouvera écrit, à ce point, le produit cherché des deux nombres. Mais une pareille table serait d’une longueur excessive et, pour les seuls mille premiers nombres, elle renferme un million de produits, ce qui la rend impraticable. Les tables de ce genre se nomment tables à double entrée, parce que l’on y entre avec deux nombres. L’art de l’analyste consiste à les transformer en tables à simple entrée, ou dans lesquelles on n’entre qu’avec un seul nombre et qui, par cette raison, sont incomparablement moins étendues ; c’est ce que l’on obtient d’une manière très heureuse par les logarithmes : car le logarithme du produit de deux nombres étant la somme de deux logarithmes, si l’on conçoit tous les nombres écrits dans une même colonne verticale et leurs logarithmes à côté, en cherchant les logarithmes de chaque nombre, en faisant ensuite une somme de ces logarithmes, et cherchant dans la colonne des logarithmes à quel nombre cette somme correspond, on aura le produit cherché. »

16 Ce théorème qui exprime que tout entier n peut s’écrire au moins une fois sous la forme x2 + y2+ z2 + t2x, y, z et t sont des entiers, fut démontré par Lagrange en 1770, [Lagrange, 1770b]. Il est étonnant, mais assez dans son style, que Laplace ne mentionne pas le nom de son collègue Lagrange, car cette preuve fut une réussite célèbre vers laquelle tendit Euler dans plusieurs articles (cf. par exemple [Euler, 1754/1755]). Voir l’annexe 3 : Sur le problème de Waring.

17 C’est l’équation fameuse xn + yn = zn dont Fermât assurait, en marge de son exemplaire de Diophante dans l’édition de Bachet de Méziriac, qu’elle ne pouvait se résoudre en nombres entiers x, y, z et n lorsque n est strictement supérieur à 2.

18 La théorie analytique des nombres était pourtant bien naissante chez Euler lorsqu’il utilisait des produits infinis et les reliait aux nombres premiers. C’est sur une idée analytique d’Euler que Dirichlet a bâti sa démonstration de l’existence d’une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique de la forme an + b, a et b étant premiers entre eux [Lejeune-Dirichlet, 1839].

19 Dans l’édition des leçons de Laplace au Journal de l’École polytechnique en 1812, mention était ajoutée des travaux de Gauss en théorie des nombres sous la forme suivante : « Depuis la première publication de ces Leçons, M. Gauss, célèbre géomètre, a réalisé cette prédiction et, par une application extrêmement ingénieuse de la théorie des nombres, il est parvenu à des résultats intéressants, entièrement nouveaux, sur la résolution des équations et sur l’inscription des polygones réguliers dans un cercle ». Laplace estimait, avec quelque audace, que se réalisait sa prédiction d’un emploi de l’analyse en théorie des nombres. En mars 1796, Gauss avait établi algébriquement que le polygone régulier de 17 côtés pouvait se construire à la règle et au compas (c’était une percée qu’Abel et Galois allaient poursuivre). Dans la septième section des Disquisitiones arithmeticae [Gauss, 1801], il généralisait ce résultat aux polygones réguliers de 2n + 1 = p côtés, lorsque p est premier, voire lorsque p est un produit de tels nombres premiers distincts : on connaît les cas n = 3, 5, 17, 257, et 65 537. On peut naturellement multiplier par une puissance de deux sans modifier la conclusion. Cet ouvrage magistral de Gauss sera traduit en français par Poullet-Delisle en 1807 et la traduction dédicacée à...Laplace.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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