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Le Centenaire de l’École normale (1795-1895)

IV. Variétés

Influence de Galois sur le développement des mathématiques

Sophus Lie

Texte intégral

1La direction de l’École normale supérieure a bien voulu me demander d’écrire, à l’occasion du centenaire de l’École, quelques mots sur Galois, cet immortel normalien qui a si puissamment contribué à la gloire des mathématiques françaises ; je dois sans doute cet honneur, que je n’ai pas cru pouvoir refuser, à ce que, depuis vingt-cinq ans, je me suis tout particulièrement efforcé d’étendre à d’autres domaines de la science mathématique ses idées sur les équations algébriques, si originales et si fécondes.

2Je ne me suis pas dissimulé cependant combien il serait au-dessus de mes forces de faire une étude complète de l’œuvre et du génie de Galois. J’espère donc qu’on ne m’en voudra pas si je parle presque uniquement des branches des mathématiques avec lesquelles mes recherches personnelles m’ont, en quelque mesure, familiarisé. Que l’on m’excuse aussi, si je crois devoir m’abstenir, autant que possible, de nommer dans ces pages les géomètres encore vivants.

I

3En mathématiques, comme en général dans toutes les sciences exactes, ce sont les idées neuves et fondamentales, ce sont les grandes découvertes qui caractérisent les époques. Et s’il est certain aussi pour toutes les sciences que les hommes qui leur ont fait faire le plus de progrès ont conçu dans leur jeunesse les plus importantes de leurs idées, il est particulièrement caractéristique en mathématiques que deux des plus profondes découvertes qui aient jamais été faites (le théorème d’Abel et la théorie des équations algébriques de Galois) soient l’œuvre de deux géomètres dont l’un, Abel, avait à peu près vingt-deux ans, et l’autre, Galois, n’avait pas atteint vingt ans. Tous deux furent emportés par la mort sans avoir eu le temps de mettre en pleine lumière l’étendue de leurs découvertes ; tous deux durent abandonner à leurs successeurs le soin d’approfondir leurs théories et d’en développer les conséquences. Et pourtant, tant est grande en mathématiques la puissance de l’idée, on rapprochera éternellement les noms d’Abel et de Galois de ceux des premiers mathématiciens de tous les temps.

4La trop brève carrière de ces deux mathématiciens se développa au moment où une ère nouvelle commençait, tant en analyse qu’en géométrie. La géométrie, qui avait atteint un si haut degré de perfection avec les anciens géomètres grecs, était demeurée étroitement liée à l’analyse depuis la création de la géométrie analytique. Aussi, l’invention du calcul infinitésimal, à la fondation duquel des considérations analytiques, géométriques et mécaniques avaient si heureusement concouru, exerça-t-elle à son tour une puissante réaction sur la géométrie.

5N’avait-on pas vu, du reste, dès la fondation de la géométrie analytique, la différence entre l’analyse et la géométrie s’effacer si bien, que les progrès de la géométrie se rattachaient depuis plutôt à une application systématique de l’analyse qu’à l’introduction d’idées géométriques nouvelles. Ce n’est que dans notre siècle, entre 1820 et 1830, que la géométrie fait une nouvelle apparition, en tant que science indépendante.

6C’est à Poncelet et à Gauss que nous devons ce revirement et celte impulsion nouvelle, qui n’est pas encore aujourd’hui assez universellement reconnue. Leurs œuvres fondamentales (Traité des propriétés projectives, 1822, et Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827), renfermant de nouveaux principes de géométrie, ont en effet imprimé aux recherches géométriques un remarquable élan. Nous reviendrons plus loin sur ces théories géométriques et nous essaierons de montrer par suite de quelles circonstances elles ont contracté une si fructueuse union avec des théories analytiques qui venaient alors de se développer. Presque simultanément en effet, l’analyse s’enrichissait d’idées nouvelles d’une portée si considérable que toute la science mathématique en était comme transformée.

7A la tête des savants de cette nouvelle époque, Gauss et Cauchy, Abel et Galois doivent être mis en première ligne ; et s’il est juste de nommer, immédiatement après ces génies créateurs, Jacobi, dont le talent brillant s’est attaqué à tant de branches des mathématiques, à mon avis, pour l’originalité, la puissance et la profondeur, il ne saurait toutefois être comparé aux quatre mathématiciens cités plus haut. Parmi les successeurs de ces maîtres, Riemann occupe une place particulièrement brillante, bien que l’exposition de ses idées, si originales, si profondes et si fécondes, manque souvent de la clarté, parfois même de la rigueur désirables.

8Gauss et Cauchy ont eu le rare bonheur de pouvoir, durant les longues années d’une existence heureuse, développer leurs idées et en tirer parti ; hautement estimés de leurs contemporains, ils eurent la grande joie de voir des élèves éminents poursuivre leur œuvre. Ils exercèrent sur Abel, qui était un peu plus jeune, et aussi sur Galois (né neuf ans après Abel), une action incontestable ; quoique cependant l’influence des idées d’Abel sur le génie de Galois ait été incomparablement plus grande.

9Quelle différence entre la longue et brillante existence de Gauss et de Cauchy, et la courte carrière d’Abel et de Galois, dont les travaux ont pourtant laissé dans la science des traces si profondes !

10Il y a entre Abel et Galois, aussi bien dans la brièveté de leur vie que dans le genre de leur talent et l’orientation de leurs recherches, une si frappante similitude, qu’il me parait difficile de ne pas dire d’abord quelques mots de l’œuvre scientifique d’Abel.

11Niels-Henrik Abel, né en 1802, publia en 1823 ses premiers travaux, qui furent bientôt suivis de nombreux mémoires. Il mourut avant d’avoir atteint l’âge de vingt-sept ans. Ses recherches se portèrent dans plusieurs directions bien différentes, entre lesquelles existent pourtant de nombreux points de contact.

12Les recherches d’Abel sur les séries de puissances, unies aux travaux de Cauchy sur le même sujet, sont les véritables fondements de la théorie moderne des fonctions analytiques, théorie qui a reçu depuis un si brillant développement. Abel introduisit le premier dans la science les fonctions elliptiques, par l’inversion de l’intégrale elliptique ; il fut aussi le premier à faire une étude systématique et détaillée de ces fonctions ; Jacobi, qui en même temps avait commencé des recherches sur la transformation des intégrales elliptiques, contribua puissamment dans la suite au perfectionnement de la théorie des fonctions elliptiques. Cette théorie, déjà si importante en elle-même, a exercé la plus heureuse influence tant sur la théorie générale des fonctions analytiques que sur celle des équations algébriques.

13Les recherches profondes d’Abel sur les équations algébriques, dont Galois n’avait eu qu’en partie connaissance, sont liées de la façon la plus importante à celles de Galois. On peut en dire autant, bien que cela ait été peu observé jusqu’ici, des recherches célèbres d’Abel sur les intégrales de différentielles algébriques.

II

14Évariste Galois, né en 1811, était encore élève à l’École normale lorsqu’il fut enlevé par la mort, en 1832, sans avoir eu le temps d’exposer en détail des idées qui devaient faire époque. Il s’occupa comme Abel des équations algébriques, des fonctions elliptiques et des intégrales de différentielles algébriques. Son travail le plus connu, et aussi le plus important, est sa théorie des équations algébriques.

15La théorie générale des équations algébriques commence avec Vandermonde, Lagrange et Gauss. Abel reconnut que l’équation générale du 5e degré n’est pas résoluble par radicaux ; il découvrit ensuite, par la généralisation de la théorie de Gauss, une grande classe d’équations résolubles, qu’on a plus tard appelées de son nom équations abéliennes. Enfin, dans un travail interrompu par la mort, et qui parut sept ans après la mort de Galois, Abel s’occupait de toutes les équations résolubles par radicaux, et esquissait à leur sujet une théorie qui, comme toutes ses recherches, porte l’empreinte de son puissant génie.

16Galois, qui ne pouvait avoir eu connaissance de ce dernier effort, se proposa un problème encore plus difficile — développer la théorie générale des équations algébriques qui peuvent être résolues au moyen d’équations auxiliaires de degrés moindres. — Galois reconnut, et c’est le point capital de son œuvre, que ce difficile problème est régi dans chaque cas particulier par un certain groupe de substitutions, dans lequel se reflètent les propriétés les plus importantes de l’équation algébrique considérée. Cette profonde découverte, que les successeurs de Galois, et particulièrement M. Camille Jordan, ont éclaircie, développée et appliquée, avait en elle-même une importance capitale, mais elle a acquis une bien autre portée quand on s’est aperçu que les notions introduites par Galois s’étendaient à un domaine beaucoup plus vaste. Je reviendrai bientôt sur ce point avec plus de détails.

17Galois s’occupa aussi d’appliquer ses idées fondamentales à l’étude des fonctions elliptiques, et en particulier aux équations algébriques provenant de la division et de la transformation de ces fonctions ; il fit ainsi faire à la théorie de ces transcendantes les plus brillants progrès.

18Je viens de parler des recherches les plus connues de Galois ; mais je dois dire aussi un mot d’autres idées profondes qu’il n’a fait qu’indiquer si rapidement qu’elles paraissent être restées inaperçues des mathématiciens.

19Voici d’abord quelques remarques à propos des recherches de Galois sur les intégrales abéliennes. Galois connaissait la courte note où le célèbre théorème d’Abel apparut dans toute sa généralité ; il avait lu aussi le travail d’Abel où est introduit à propos des intégrales hyperelliptiques ce nombre si important, désigné dans la suite sous le nom de genre. Par contre, Galois ne pouvait avoir eu connaissance du grand mémoire présenté à l’Académie des sciences, où Abel s’occupait des intégrales abéliennes les plus générales et obtenait la notion du genre dans toute sa généralité. Il n’est par suite pas inutile d’observer que Galois non seulement était arrivé de son côté à cette notion, sous sa forme la plus générale, mais qu’il en avait encore donné plusieurs définitions profondes et essentiellement différentes.

20Il n’est donc pas douteux qu’Abel et Galois étaient en possession de celte notion, qu’on attribue généralement à Riemann. Il est vrai que ce dernier a eu le mérite de la mettre en lumière et d’en développer les conséquences. Si incomplètes que soient les communications de Galois relativement à ses recherches dans ce domaine si élevé, elles montrent toutefois combien son génie était pénétrant, et nous font regretter plus vivement encore la perte que la science a faite par sa mort prématurée.

21Elles ne sont pas moins remarquables, les indications dernières du testament scientifique de Galois, bien qu’il les ait exprimées sous une forme tellement vague que l’on peut à peine deviner sa pensée. On ne peut douter en effet que Galois ait eu l’intention de rechercher, non seulement les groupes de substitutions, mais aussi, à un point de vue tout à fait général, les groupes de transformations, et qu’il ait songé à en poursuivre les applications à l’analyse. On ne sait guère aujourd’hui s’il a pensé aux groupes continus, ou aux groupes discontinus, ou aux deux espèces à la fois ; et nous ne pouvons dire dans quelle direction il espérait en tirer parti ; mais il est certain que Galois a pressenti l’importance que pourraient acquérir dans d’autres branches les idées qui l’avaient conduit à de si éclatants succès dans la théorie des équations algébriques.

22La grande portée de l’œuvre de Galois tient en somme à ce fait, que sa théorie si originale des équations algébriques est une application systématique des deux notions fondamentales de groupe et d’invariant ; notions qui prennent chaque jour dans les mathématiques une place plus prépondérante, et tendent à dominer tout l’ensemble de celte science. Il est vrai que, dans un certain sens, les notions de groupe et d’invariant ne sont pas nouvelles. Elles s’introduisent implicitement d’une façon plus ou moins immédiate, dans presque toutes les recherches mathématiques ; on reconnaît par exemple immédiatement que la géométrie euclidienne traite des grandeurs qui restent invariantes par le groupe de tous les mouvements. D’un autre côté, la notion d’invariant est en évidence dans les travaux de Vandermonde, Lagrange, Gauss, Ampère et Cauchy. Au contraire c’est Galois, qui le premier, je crois, a introduit l’idée de groupe ; et dans tous cas, il est le premier mathématicien qui a approfondi les rapports existant entre les idées de groupe et d’invariant. C’est de plus à lui que l’on doit incontestablement la notion de sous-groupe invariant et, par-dessus tout, c’est lui qui a pleinement mis en lumière la puissance de ces nouvelles conceptions en traitant un exemple du plus haut intérêt, et d’une difficulté presque insurmontable.

III

23Les successeurs de Galois ont reconnu que ses idées, convenablement généralisées, dominent des branches étendues de la science mathématique ; grâce à lui, on a découvert d’étroites relations entre des théories considérées jusqu’alors comme tout à fait distinctes. Les analogies ainsi constatées nous apprennent comment doivent être traités beaucoup de problèmes difficiles ; et, résultat plus important encore, elles ont conduit souvent à des généralisations inattendues de théories connues.

24Tout le monde sait aujourd’hui que la notion de groupe, due à Galois, ne se rapporte pas seulement aux substitutions, mais peut au contraire être généralisée dans des directions multiples. Pourtant, si de telles généralisations étaient au premier abord immédiates, il n’est pas certain pour cela que la notion de groupe ait acquis dès à présent une forme définitive. — La définition la plus générale que l’on ait posée jusqu’ici est la suivante : Un ensemble d’opérations forme un groupe, si le produit de deux de ces opérations est équivalent à une seule opération appartenant à l’ensemble considéré.

25Si l’on remplace dans cet énoncé le mot opération par le mot plus spécial transformation, et le mot produit par le mot succession, on a une définition de la notion de groupe de transformations, qui est peut-être définitive. Pratiquement, on précise dans chaque cas particulier cette définition. Par exemple, on partage les groupes en groupes continus, discontinus, et mixtes, et chacune de ces classes comporte deux divisions, les groupes finis et les groupes infinis. Parmi les groupes continus, il a paru convenable de laisser de côté ceux qui ne sont pas définis par des équations différentielles. Enfin, on n’a pas encore montré, d’une façon entièrement satisfaisante au point de vue purement théorique, s’il était nécessaire d’ajouter à la définition des groupes continus que parmi leurs transformations se trouve la transformation identique. En étendant la notion de groupe à des opérations quelconques, on n’a pas le droit de conclure que de la définition donnée plus haut résulte le partage des opérations du groupe en couples d’opérations inverses. Il arrive aussi que le principe d’associativité n’est pas valable pour tous les groupes d’opérations. Dans ce qui suit, je m’occuperai uniquement des groupes de transformations ; il me paraît donc inutile de donner plus de détails sur ces questions, malgré leur haut intérêt.

26Je vais maintenant montrer par des exemples caractéristiques quelle importance les idées de Galois ont acquise peu à peu dans les différentes branches des mathématiques.

27On définit simplement aujourd’hui la géométrie euclidienne, qui opère avec les notions d’angle, et de rapport de deux distances, comme la théorie des invariants du groupe de transformations composé de tous les mouvements et de toutes les transformations par similitude.

28La théorie de la courbure, due à Euler et Monge, peut être envisagée de même comme la théorie des invariants différentiels du groupe des mouvements. Il y a lieu, à ce propos, de remarquer qu’Ampère déterminait déjà, en 1803, toutes les expressions différentielles à deux variables x, y qui restent invariantes pour tous les mouvements du plan des x y.

29La géométrie projective, fondée par Poncelet, traite des invariants du groupe des transformations projectives. Cette théorie, à laquelle Möbius a donné une forme analytique nouvelle, a conduit, il y a cinquante ans, à la théorie de Cayley pour les invariants des groupes linéaires et homogènes. Les rapports étroits de cette théorie avec les substitutions de Galois n’ont été, si je ne me trompe, mis en évidence que dans ces vingt dernières années.

30La théorie de la déformation des surfaces, due à Gauss, ainsi que les recherches connexes sur la transformation des expressions différentielles, recherches commencées par Riemann, se ramènent à l’étude des invariants différentiels du groupe infini formé de toutes les transformations ponctuelles.

31Enfin nous considérons aujourd’hui la théorie supérieure de la courbure comme la théorie des invariants d’un certain groupe de transformations de contact, que l’on peut ramener au groupe projectif général d’une façon bien remarquable, par une certaine transformation de contact imaginaire. La découverte de la similitude de ces deux derniers groupes a conduit de plus à la découverte de relations importantes entre les théories métriques et projectives.

32Si les notions de groupe et d’invariant ont jeté, comme on vient de le voir, une vive lumière sur la géométrie, elles ont donné dans la théorie des équations différentielles des résultats d’une importance encore plus grande. Les méthodes d’intégration que l’on trouve exposées dans les traités classiques étaient données autrefois comme des théories séparées, entre lesquelles aucun lien n’existait ; par l’introduction de la notion de groupe on les fait sortir d’une même source. C’est ainsi que l’on a acquis, sur la théorie des équations différentielles, des vues plus profondes, dont la fécondité s’est maintes fois manifestée. De là par exemple est née une théorie générale d’intégration pour les systèmes d’équations différentielles dont la solution la plus générale s’exprime en fonction d’une solution particulière par des formules qui définissent un groupe fini et continu ; cette théorie a une analogie frappante avec celle de Galois. Dans chaque cas particulier, en effet, la difficulté du problème d’intégration dépend uniquement de la structure du groupe continu correspondant. Par suite, la recherche de la structure de tous les groupes simples a une importance capitale. Il est très remarquable qu’on soit arrivé récemment à la solution complète de ce problème difficile dans le cas où le groupe est fini et continu, mais il n’est pas moins intéressant de constater que ces recherches, si je ne me trompe, ont conduit tout dernièrement à la découverte de deux nouveaux groupes simples discontinus.

33L’extension de la méthode d’intégration dont nous venons de parler au cas où le groupe continu correspondant est infini a donné également de nombreux et remarquables résultats.

34Les applications de la théorie des groupes discontinus, plus connues bien qu’elles soient à peine plus importantes, ont conduit à de grandes découvertes dans la théorie des fonctions et celle des équations différentielles. On leur doit de belles recherches sur les équations différentielles linéaires ordinaires dont les intégrales sont algébriques, et ces célèbres travaux sur les fonctions uniformes appelées souvent fonctions automorphes.

35Tout particulièrement intéressantes et importantes sont les recherches récentes sur les équations différentielles linéaires ordinaires, dont l’intégration peut être ramenée à celle d’équations auxiliaires simples. On est arrivé à ce résultat très important que la théorie de chacune de ces équations dépend d’un certain groupe continu. Par suite, le problème de l’intégration d’une telle équation différentielle linéaire dépend de cette catégorie d’équations déjà citée, dont la solution générale s’exprime par une solution particulière au moyen des équations d’un groupe continu. C’est dans cette belle théorie des équations linéaires que l’on trouve avec les théories de Galois la plus grande analogie, le domaine de rationalilé n’étant pas donné à l’avance.

36Depuis quelque vingt ans, comme l’ont montré les exemples précédents, on a fait faire de grands progrès à un grand nombre de théories mathématiques en les rattachant à l’étude des groupes ; et il s’est trouvé, en règle générale, que, une fois les problèmes posés au point de vue de la théorie des groupes, les résultats connus conduisaient immédiatement aux plus grandes généralisations.

37Nous voulons montrer la vérité de cette affirmation (bien que cela soit peut-être superflu) par quelques exemples particulièrement instructifs. La théorie de Cayley sur les invariants, et la théorie de la déformation des surfaces, de Gauss et de Minding, envisagées au point de vue des groupes, ont conduit depuis longtemps à celte découverte capitale, que l’on peut développer pour chaque groupe continu défini par des équations différentielles une théorie d’équivalence qui opère, dans chaque cas particulier, avec un nombre limité d’invariants différentiels.

38L’exemple suivant, quoique moins important, est d’un grand intérêt. Jacobi a montré que l’intégration de toute équation linéaire aux dérivées partielles X f = 0, dont le multiplicateur est l’unité, était susceptible de simplification. Dans cette hypothèse, l’expression X f représente la transformation infinitésimale la plus générale d’un groupe infini bien connu. On est dès lors conduit naturellement à se poser et à résoudre le problème général suivant : Étant donné un groupe continu quelconque fini ou infini, on demande de ramener la transformation infinitésimale la plus générale du groupe à une forme canonique donnée, de la manière la plus simple, par une transformation du groupe.

39La théorie tout entière des équations aux dérivées partielles du premier ordre non linéaires n’est que la solution d’un cas particulier du problème précédent.

40Enfin un autre exemple très intéressant est donné par les recherches récentes sur les équations différentielles à solutions fondamentales.

41Il n’est pas moins intéressant de constater en terminant que les notions dues à Galois ont jeté une lumière inattendue sur la métaphysique des mathématiques, comme l’ont montré les dernières recherches sur les nombres complexes et sur les fondements de la géométrie. Des études, fondées sur la théorie des groupes, présentent sous un jour tout nouveau beaucoup de concepts fondamentaux des mathématiques, tels que ceux d’aire, de volume, de transformation projective, etc., en montrant en particulier comment ces notions sont en quelque sorte nécessaires.

42Bien plus, si on se place au point de vue de la théorie des groupes, il est peut-être permis d’affirmer que les progrès et le développement de l’ensemble de la science mathématique, depuis ses origines jusqu’à ce jour, ne doivent pas être considérés, si j’ose dire, comme un pur effet du hasard.

43Ayant vu combien les idées de Galois se sont peu à peu montrées fécondes dans tant de branches de l’analyse, de la géométrie et même de la mécanique, il est bien permis d’espérer que leur puissance se manifestera également en physique mathématique. Que nous représentent en effet les phénomènes naturels, si ce n’est une succession de transformations infinitésimales, dont les lois de l’univers sont les invariants ?

44Leipzig, le 17 novembre 1894.

Auteur

© Éditions Rue d’Ulm, 1994

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