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L’École normale de l’an III. Vol. 3, Leçons de physique, de chimie, d’histoire naturelle

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Étienne Guyon

Annexes

Cristallographie

Bernard Maitte

Texte intégral

1La lecture de René-Just Haüy n’est guère facile pour un scientifique contemporain. Les physiciens doivent se familiariser avec des notions de minéralogie, avec une terminologie souvent abandonnée, se défaire aussi de leurs conceptions modernes au travers desquelles ils sont tentés de lire les écrits anciens. Les naturalistes rencontrent comme principal obstacle la prégnance des interprétations déformées ou fausses qui peuplent la quasi-totalité des livres de géologie actuels, dans lesquels les noms, les concepts, les raisonnements prêtés à Haüy sont incorrects.

  • 1 Cf. B. Maitte, « René-Just Haüy et la naissance de la cristallographie », Travaux du Comité d'histo (...)

2Ayant décrit ailleurs1 la démarche suivie par l’abbé dans ses travaux cristallographiques, nous voudrions recomposer ici, de manière légèrement anhistorique, ses conceptions sur l’explication des formes cristallines et montrer l’apport de ses successeurs, afin de mieux faire comprendre au lecteur moderne le chemin parcouru jusqu’à nos jours.

3Haüy est intrigué par le fait qu’un même minéral peut présenter une grande variété de formes extérieures différentes (la calcite en possède plus de deux cents), alors que des mêmes formes (un cube, un octaèdre, etc.) peuvent appartenir à des minéraux différents.

4Reprenant une idée du chimiste suédois Tobern Bergman (1773), il montre que tous les cristaux de calcite, quelles que soient leurs formes initiales, se clivent toujours selon trois plans distincts qui déterminent les mêmes rhomboèdres (parrallélépipèdes à faces losangiques). Ceux ci se divisent de nouveau jusqu’à la limite de vision à la loupe, au microscope. Mais, conjecture Haüy, la division mécanique possède une limite : si l’on clive par la pensée un très petit rhomboèdre élémentaire de calcite, peut-être à jamais inaccessible à notre investigation directe, on séparera ses constituants chimiques, ici le carbonate et la chaux. Le cristal sera ainsi « analysé ». Les constituants chimiques sont les « molécules principes » ; ils ne remplissent pas l’espace, sont même éloignés les uns des autres puisque la lumière (supposée alors corpusculaire) traverse facilement le cristal en lignes droites ; ils s’attirent par gravité, se repoussent par une autre force qui les maintient à distance. Ces molécules principes, ces forces, la manière dont elles s’exercent lors de la cristallisation n’appartiennent pas au domaine de la physique, ou sont pour longtemps encore inaccessibles. Haüy les signale mais ne les étudie pas.

5Toute son attention se porte sur la plus petite partie physique qui possède encore toutes les propriétés du cristal macroscopique. Cette petite masse, c’est, selon une expression empruntée à Jean-Baptiste Romé de l’Isle (1783), la « molécule intégrante » : un rhomboèdre pour la calcite. Argumentant à partir de ce que montrent les clivages, Haüy infère que la calcite est composée de l’assemblage dans les trois directions de l’espace de ces petits rhomboèdres jointifs qui se disposent de manière à remplir l’espace. Si le nombre des molécules intégrantes accolées successivement dans les trois directions est identique, le cristal macroscopique reste un rhomboèdre.

6Pour expliquer les nombreuses formes de la calcite, Haüy imagine que, à partir d’un certain point de croissance, les rhomboèdres ne se placent plus successivement en même nombre dans les trois directions mais déterminent des « décroissements » (voir fig. 15, p. 210).

7Ainsi les faces que présentent les cristaux, un « scalénoèdre » sur la figure, seraient des petites marches d’escalier dont les « pas » (un ou plusieurs rhomboèdres) sont invisibles à l’œil nu, nous donnant l’illusion de faces planes.

8Partant de cette « idée-mère », Haüy clive tous les cristaux, procède à l’examen des stries ou d’autres particularités quand les cristaux ne se clivent pas, détermine pour tous les minéraux qu’il examine la « molécule intégrante ». Celle-ci sera toujours un solide dont l’empilement régulier remplit l’espace. Répondent à cette condition géométrique tous les parallélépipèdes (cubes, rhomboèdres, etc.), l’octaèdre, le prisme hexagonal, le dodécaèdre à faces losangiques, le dodécaèdre à faces triangulaires isocèles, le tétraèdre. Haüy peut donc attribuer à tous les cristaux sa molécule intégrante caractéristique – deux minéraux différents peuvent posséder la même – et démontrer par ses empilements en décroissements que, partant de cette molécule intégrante, on peut retrouver toutes les formes connues.

Modèle en bois de cristaux. © Musée de l’École des Mines de Paris.

9Haüy se livre donc à un travail géométrique. Toutes les faces de tous les cristaux sont considérées comme de petits escaliers. Haüy estime que le Créateur a procédé avec simplicité : il infère sa « loi des indices rationnels » exprimant que les faces sont inclinées selon des gradins dont le pas est déterminé par une, deux ou trois molécules superposées.

10Mais empiler des petits solides qui emplissent l’espace n’est guère chose facile, démontrer que toutes les faces observées se réduisent à des gradins est fastidieux : les cours de l’an III en témoignent.

11Haüy va être aidé dans ses raisonnements par les apports de Romé de l’Isle : la « loi de constance des angles » d’abord. Elle exprime une loi découverte expérimentalement à l’aide d’un goniomètre : les angles des faces homologues d’une même espèce minérale sont constants, quels que soient les développements de ces faces. Ainsi des quartz présentant une forme extérieure de prisme hexagonal terminé par une bipyramide auront toujours les mêmes angles entre les faces du prisme, d’autres angles toujours égaux entre les faces de la bipyramide, d’autres encore égaux entre les faces de la bipyramide et du prisme, que ces faces soient petites ou grandes, qu’elles s’intersectent véritablement ou que ce soient leurs prolongements qui soient sécants. Fort de cette découverte, Romé de l’Isle peut représenter tous les cristaux selon des formes idéalisées : toutes leurs faces ont même développement. Il appelle « formes simples » les formes déterminées par un même type de faces (une bipyramide), « formes composées » les formes déterminées par plusieurs types de faces différentes (un prisme et une bipyramide).

12Il peut alors se livrer à des expériences par la pensée qui géométrisent plus simplement les faces que l’empilement de lames de décroissement. Puisque celles-ci déterminent des faces autres que celles qui sont présentées par la « molécule intégrante », il peut partir d’un « solide primitif » ayant même géométrie que celle-ci et retrouver toutes les faces des formes simples ou composées en effectuant des « troncatures » sur toutes les arêtes ou sur tous les sommets. Par exemple, la galène (sulfure de plomb) présente des faces naturelles qui appartiennent au cube, au rhombododécaèdre, à l’octaèdre. Sa molécule intégrante est un cube. Tronquer un cube sur toutes les arêtes donne un rhombododécaèdre (voir fig. 3, p. 202), sur tous ses sommets un octaèdre (voir fig. 2, p. 202). On retrouve donc par la méthode utilisée les formes observées dans l’espèce cristalline.

13Haüy généralise cette méthode à tous les cristaux. Mais il est initialement gêné par le fait qu’un cube de fluorine, par exemple, peut réellement se cliver en donnant un tétraèdre. Pour lui, la molécule intégrante est donc le tétraèdre. Le cube est alors une sur-structure formée de plusieurs tétraèdres, et non la forme initiale employée par le Créateur (lors de la cristal-lisation, l’union des « molécules principes » – de sulfure et de plomb – a donné une « molécule intégrante » tétraédrique). Considérer de telles sur-structures a un avantage : Haüy peut retrouver toutes les faces de tous les cristaux en tronquant seulement des parallélépipèdes et non aussi les prismes hexagonaux, tétraèdres, octaèdres, dodécaèdres à faces losangiques ou isocèles. Une unité est trouvée.

14Partant de tous les parallélépipèdes, différents en angles et longueurs d’arêtes, que décrit la géométrie, Haüy peut énoncer sa « loi de symétrie » : si un « solide primitif » subit par la pensée une troncature sur une arête, toutes les arêtes homologues subiront la même troncature. Si un primitif est tronqué selon un sommet, les formes simples déduites le seront par troncatures égales sur tous les autres sommets. Ce raisonnement par symétrie permet de retrouver toutes les formes, simples et composées, de tous les minéraux à quelques exceptions près : pour passer du cube au tétraèdre, par exemple, il faut tronquer un sommet sur deux seulement (fig. 25, p. 217). Cette « remarquable exception » n’est pas expliquée par Haüy.

15Elle le sera en 1840 par son élève Gabriel Delafosse. Celui-ci rompt avec la volonté d’empiler les molécules intégrantes de façon à emplir l’espace. Remarquant que les « molécules principes » ne répondent pas à cette obligation, il postule deux conditions : les « molécules intégrantes » ne remplissent pas l’espace ; elles possèdent des formes géométriques qui peuvent être moins symétriques que les parallélépipèdes (cas du tétraèdre). Il considère alors des réseaux géométriques de parallélépipèdes non matériels qu’il appelle les « mailles ». Celles-ci peuvent avoir sept types de formes différentes, comme les molécules intégrantes parallélépipédiques d’Haüy. Il montre qu’elles déterminent ce qu’il nomme des « plans réticulaires », qui se coupent selon des « rangées réticulaires », qui elles-mêmes s’intersectent selon des « nœuds » où se trouvent les molécules. Delafosse peut expliquer, grâce à cette conception, les « remarquables exceptions » d’Haüy, les « mériédries » : des formes cristallines peuvent avoir une symétrie moitié ou quart de celle de sa maille parallélépipédique. Les plans réticulaires de Delafosse coïncident avec les faces des molécules intégrantes d’Haüy.

16Auguste Bravais ira plus loin : en 1848, il étudie systématiquement les réseaux formés par des points et déduit mathématiquement les douze types de réseaux que peuvent posséder des assemblages tripériodiques : ce sont les sept types de mailles parallélépipédiques qu’avaient déterminés Haüy et Delafosse, mais qui peuvent aussi être selon les cas, centrées, bases centrées, faces centrées.

17Bravais démontre aussi que, le volume de toutes les mailles d’un même réseau étant constant, les plans à forte densité réticulaire (nœuds proches les uns des autres) sont nécessairement séparés de grandes distances (nœuds plus éloignés). Cette disposition spatiale permettra de rendre compte de la cohésion des cristaux : dans le cas où les forces de liaison entre les molécules placées aux nœuds du réseau sont identiques, il est plus facile de casser le cristal selon des plans de forte densité réticulaire, donc de grande distance inter-réticulaire. Mais l’introduction de ce que Bravais appelle les « modes » de réseaux (simples, centrés, corps centré, faces centrées) fait que les plans de forte densité réticulaire ne sont plus nécessairement les faces des parallélépipèdes d’Haüy et de Delafosse.

18La voie suivie par les cristallographes français, et que nous venons de décrire succinctement, est vivement contestée au xixe siècle par les cristallographes allemands. En publiant en 1804 la traduction allemande du Traité de minéralogie de René-Just Haüy, Christian-Samuel Weiss y ajoute un long paragraphe attaquant « la théorie atomistique » et lui préférant la théorie dynamique de la matière de Kant. Sans entrer dans les détails, disons qu’à la suite de Leibniz, Boscovich et Kant, s’était affirmée en Allemagne, dans le mouvement de la Naturphilosophie, une tradition beaucoup plus conceptuelle, théorique et abstraite de la matière, faisant de celle-ci un continuum divisible à l’infini au sein duquel peuvent agir des forces attractives ou répulsives, exercées en des points purement mathématiques. La cohésion de la matière et la cristallisation deviennent alors le résultat de l’équilibre dynamique de l’action de ces forces.

19Pour Weiss, les forces attractives et répulsives sont en équilibre dans un fluide. La cristallisation se produit lorsque les forces répulsives deviennent dominantes ; elles ne sont pas isotropes : des faces apparaissent perpendiculairement à la direction des forces répulsives exercées. Ce sont donc ces directions qui sont caractéristiques d’un cristal et les répétitions de directions concourantes et identiques qu’il faut étudier. Pour ce faire, Weiss forge le concept « d’axe de symétrie » et étudie la répétition selon ces axes des propriétés physiques, dont les forces répulsives, auxquelles correspondent macroscopiquement les faces. Il dénombre alors les axes (directs et inverses) que possèdent les parallélépipèdes, caractérise les cristaux par sept systèmes de combinaison d’axes (qui permettent de retrouver les parallélépipèdes d’Haüy), explique ce qu’il est le premier à appeler « mériédries ». Les travaux de Weiss permettent de définir précisément le concept de symétrie, qui était resté implicite chez les Français, et de faire de la cristallographie une stricte science géométrique. Celle-ci sera perfectionnée par Frederick Mohs (1825) et par Johann Hessel. Ce dernier parviendra, en 1830, à dénombrer les trente-deux classes de symétrie, réparties en sept systèmes, que peuvent présenter les cristaux. Le dénombrement complet des classes de symétrie est effectué... mais les travaux allemands seront rejetés par les cristallographes français, et ceux de Hessel resteront longtemps méconnus, même en Allemagne (jusqu’en 1897). C’est donc en ignorant ces derniers que, de manière purement mathématique, sans recourir aux figures, Leonard Sohncke introduira les concepts de plan de glissement et d’axes hélicoïdaux. Ses travaux seront systématisés par Artur Schoënflies et Ievgrad.S. Fedorov, qui indépendamment l’un de l’autre, sans figure, parviendront à dénombrer (1879) deux cent trente groupes spatiaux se regroupant en trente-deux classes et sept systèmes.

20Avec eux, avec Pierre et Jacques Curie également (en 1894), la symétrie ne s’applique plus à l’étude des formes et des propriétés, mais devient outil de raisonnement, de la même façon que, chez Archimède la balance permet la naissance d’un raisonnement dans lequel la forme s’est inscrite mentalement et produit des idées.

21Il faudra attendre l’expérience de Max von Laue, en 1912, pour que l’hypothèse réticulaire bénéficie d’une confirmation expérimentale, et les travaux de William-Henry et William-Lawrence Bragg, en 1913, pour que la notion de groupe rencontre une utilité pratique dans la détermination des structures cristallines par les rayons X.

22Avec la symétrie, une structure unique décrit alors un ensemble de phénomènes variés, qui semblaient totalement étrangers les uns aux autres. La fécondité de cette démarche est liée à la recherche d’une perfection, à la recherche du Beau – à la reconnaissance de la puissance et de la sagesse de Dieu, disait René-Just Haüy.

Notes

1 Cf. B. Maitte, « René-Just Haüy et la naissance de la cristallographie », Travaux du Comité d'histoire de la géologie, troisième série, XV (7), 2001, p. 143-179.

Table des illustrations

Légende Modèle en bois de cristaux. © Musée de l’École des Mines de Paris.
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Fichier image/jpeg, 849k

© Éditions Rue d’Ulm, 2006

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