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Économie et cognition

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Bernard Walliser

Équilibres et anticipations

Gabriel Desgranges

Texte intégral

1L’influence des anticipations dos agents sur l’équilibre économique est devenue une évidence pour un économiste. En fait, la plupart des prises de décision économique peuvent se modéliser en considérant que l’agent a des croyances (des anticipations) portant sur son environnement (présent et/ou futur) et qu’il prend sa décision en cherchant à maximiser un critère (profit, gain, utilité...) compte tenu de ses croyances. Parmi les très nombreuses décisions économiques qui sont analysées sous cet angle, citons : le choix d’un portefeuille d’actifs financiers, le partage par un ménage du revenu entre consommation et épargne, le choix par une entreprise de ses investissements, les choix par un individu de son éducation, de son offre de travail. La conséquence de cette modélisation des décisions individuelles est que l’équilibre économique dépend bien des croyances des agents (puisqu’il est déterminé par les décisions individuelles).

2Les modèles concernés par cette remarque sont très nombreux. Ce sont tous ceux qui obéissent au mécanisme suivant :

  • à chaque date, l’état de l’économie est caractérisé par la valeur prise par certaines variables (prix, taux d’intérêt, PIB, technologies disponibles, taille de la population, etc.) qu’on appelle des variables d’état ;
  • la prise d’une décision suppose, pour chaque agent, de connaître certaines valeurs (passées, présentes et/ou futures) prises par les variables d’étal. Lorsque l’agent ignore une de ces valeurs (c’est évidemment le cas pour les valeurs futures), il forme des croyances sur celle-ci. La décision de chacun dépend donc de ses croyances portant sur les variables d’état ;
  • à chaque date, la valeur prise par les variables d’état est déterminée par les décisions des agents.

3Il s’ensuit qu’à chaque date, les valeurs présentes des variables d’état sont déterminées par les croyances des agents portant sur des valeurs (le plus souvent futures) de ces mêmes variables. Pour se conformer à l’usage, on appellera anticipations ces croyances particulières.

4Un modèle très simple correspondant à ce mécanisme est celui à une seule variable d’état (qu’on appellera « prix » dans un souci de simplicité) : la valeur du prix à la date t, notée pt, est entièrement déterminée par les anticipations formées à la date t du prix à t+1 ; on suppose que tous les agents de l’économie ont la même anticipation (notée pat+1) et le modèle de l’économie s’écrit :

Pt = f(pat+1),

5f est une fonction. Cette relation signifie que lorsque le prix lutin anticipe par tous les agents est pat+1, alors le prix courant est pt.

  • 1 On suppose implicitement l'unicité de l'équilibre temporaire : pour une valeur pat+1 donnée, il y (...)

6On parle de relation d’équilibre temporaire : pt est la valeur qui équilibre le marché à la date t et l’équilibre économique est donc déterminé par les anticipations des agents1.

7On pourrait généraliser ce modèle en prenant en compte l’influence sur pt des valeurs passées du prix ou d’autres variables d’état, de l’anticipation de prix futurs (dans un futur plus lointain que la prochaine période), de l’anticipation de pt formée au début de la période t (lorsque les décisions des agents à la période t sont prises avant que pt ne soit observable). On pourrait modéliser également l’hétérogénéité des anticipations, leur incertitude (en les représentant mathématiquement par une variable aléatoire, pour signifier qu’on anticipe plusieurs valeurs futures possibles, chacune avec une certaine probabilité).

8Un usage possible de la relation d’équilibre temporaire est l’analyse de l’économie à une période donnée en considérant les anticipations comme un paramètre. Il faut alors poser une règle de formation de l’anticipation. Le modèle complet devient :

pt = f(pat+1),
pat+1 = g(pt),

9g(pt) est une fonction qui traduit que les agents se fondent sur l’observation du prix courant pt pour former leur anticipation du prix futur pat+1. La fonction g peut être croissante ou décroissante (selon qu’on suppose qu’une hausse de pt induit une hausse ou une baisse de pat+1), linéaire ou non linéaire (selon qu’on suppose que le taux d’inflation anticipé pat+1/pt est constant ou varie avec le prix courant pt). Le nombre des équilibres (éventuellement 0) et leurs propriétés dépendent évidemment beaucoup du choix de g.

10Cette modélisation est peu usitée. On préfère étudier le comportement intertemporel de l’économie, ce qui suppose également de spécifier l’anticipation. On le fait en définissant un équilibre intertemporel ou un processus d’apprentissage (i.e, un algorithme de formation des anticipations). On présente ici les concepts d’équilibre et d’apprentissage les plus courants. Le concept de solution standard de la théorie économique contemporaine est l’équilibre à anticipations rationnelles. On présente plusieurs exemples de cet équilibre en s’appuyant sur le modèle simple présenté ci-dessus qui illustre un mécanisme général (section 1). Ces exemples montrent la variété des situations possibles sous l’hypothèse d’anticipations rationnelles. Quelques concepts d’apprentissage sont ensuite introduits (section II). Ceux-ci permettent notamment de discuter les problèmes de multiplicité et de coordination posés par l’hypothèse d’anticipations rationnelles. L’application des concepts d’équilibre et d’apprentissage à l’analyse économique (prédictions des modèles et recommandations de politique économique) et la question de leur pertinence empirique ne sont pas envisagées.

L’équilibre à anticipations rationnelles : définition et variantes

11L’hypothèse de formation des anticipations en vigueur actuellement – quasiment à l’exclusive de toute autre – est celle d’anticipations rationnelles. Selon le modèle envisagé, cette hypothèse se définit de façon plus ou moins simple. On présente ici les cas les plus typiques, dans un ordre de sophistication croissant, de façon à mettre en évidence que l’hypothèse d’anticipations rationnelles est parfaitement compatible avec des fluctuations variées du prix. Il faut bien comprendre que tous les équilibres présentés dans cette section sont des avatars d’un même concept d’équilibre à anticipations rationnelles (EAR ci-après) qu’on pourrait définir de façon unique dans un cadre très général, au prix d’une abstraction plus grande de la présentation.

État stationnaire

12Un état stationnaire est un prix qui apparaît aujourd’hui si les agents anticipent tous qu’il apparaîtra demain. C’est donc un point fixe de la fonction f, i.e. une valeur p* qui vérifie :

p* = f(p*).

13Un état stationnaire est ainsi une valeur auquel le prix peut être constamment égal. Cet équilibre, en raison de sa simplicité, est un point focal qui retient l’attention de l’économiste. En particulier, lorsque l’état stationnaire est unique, il paraît naturel de le considérer comme la situation la plus plausible. Ce point de vue est étayé par des arguments théoriques dont certains sont présentés dans la section II mais les mêmes arguments montrent que, parfois, c’est un équilibre plus complexe que l’état stationnaire qui doit être retenu.

Équilibre à anticipations rationnelles dans un cadre sans aléa

14L’hypothèse d’anticipations rationnelles revient ici à celle d’anticipations exactes. Le modèle complet s’écrit :

pt= f(pat+1),
pat+1= pt+1.

15Un EAR est une suite de prix pt satisfaisant la relation de récurrence : pt = f (pt+1). C’est une suite de prix autoréalisatrice : lorsque tous les agents anticipent la réalisation de cette suite de prix, celle-ci se réalise.

16II peut exister beaucoup d’EAR. En effet, pour obtenir un FAR, il suffît de choisir une condition initiale (la valeur p0 du prix à la date 0) et d’utiliser la relation de récurrence pt+1 = f-1(pt) permettant de calculer successivement chaque prix à partir du prix de la période précédente (où f-1désigne la fonction réciproque de f).

17On attire l’attention sur quatre types familiers d’EAR (qui n’existent pas toujours simultanément dans un même modèle) :

  • les états stationnaires ;
  • les EAR convergeant vers un état stationnaire p* (p* est la limite de pt quand t tend vers l’infini) ;
  • • les EAR divergeant vers l’infini (mais des hypothèses du modèle, non explicitées ici, montrent que, souvent, les suites Pt+1 =f1(pt) qui divergent vers l’infini ne sont pas des EAR) ;
  • les cycles : par exemple, un cycle d’ordre 2 est formé des deux prix p1 et p2 vérifiant p1 = f(p2) et p2 = f(p1). À cet équilibre, on observe alternativement les prix p1 et p2.

18D’autres types de trajectoires plus sophistiquées sont également possibles.

19Ainsi, l’hypothèse d’anticipations rationnelles (pourtant extrêmement forte puisqu’elle suppose que tous les agents économiques forment des anticipations exactes) est compatible :

  • avec des fluctuations, périodiques ou non, de l’économie ;
  • avec la multiplicité des équilibres.

20Les croyances des agents influencent donc l’équilibre économique, même sous l’hypothèse que les agents ne se trompent pas.

À propos de l’existence des EAR

21L’ambition n’est pas ici d’aborder la question de l’existence des EAR dans toute sa généralité, mais seulement de répondre à la question, plus restreinte, de l’existence, à proximité d’un état stationnais p*, d’EAR convergeant vers p* (i.e. le deuxième type d’EAR mentionné ci-dessus). Cette question est un aspect de celle de la multiplicité locale des EAR qui, comme on le verra dans la section suivante, est, à elle seule, parfaitement pertinente. Il existe des EAR convergeant vers p* si, et seulement si, la valeur absolue de la dérivée f’(p*) de f en p* (notée f’(p*) |) est supérieure à 1. Mathématiquement, ce résultat repose sur le fait que la valeur de f’(p*) fournit une description suffisamment précise de la fonction f au voisinage de p* pour caractériser le comportement des EAR autour de p* (graphiquement, f’ (p*) est la pente du graphe de f si f est une fonction affine ou, si f est non linéaire, la pente de la droite tangente au graphe de f en p*). Cette caractérisation, quoique strictement technique, a une interprétation aisée qui fait son intérêt : c’est la sensibilité des prix observés aux anticipations qui détermine la multiplicité des EAR au voisinage d’un état stationnaire. En effet, une variation donnée des anticipations pat+1 induit une variation du prix observé pt d’autant plus grande (en valeur absolue) que |f’p*)| est grande. Cette idée de sensibilité du prix observé aux anticipations est fondamentale, on la retrouvera tout au long de cet article.

22Pour illustrer ce résultat, on représente graphiquement le cas d’une fonction f affine telle que |f’(p*) | >l (fig. 1, on a dessiné pt = 6-2pt+1) et le cas d’une fonction f affine telle que |f’(p*) |<1 (fig. 2, on a dessiné pt = 3-0,5pt+t). Sur les deux figures, on choisit arbitrairement une valeur initiale du prix p0 et on place successivement les prix pt, p2, p3, etc., en utilisant la relation de récurrence pt = f(pt+1). On dessine ainsi une « toile d’araignée » familière à l’économiste. On constate aisément que la suite p, converge vers p* = 2 sur la figure 1 et diverge sur la figure 2.

23Le rôle joué par f’(p*) se généralise au cas de modèles plus généraux (en utilisant la différentielle de f en p* plutôt que sa dérivée). La valeur de f’(p*) joue également un rôle (cependant plus délicat à exposer) pour l’existence de cycles au voisinage de p*. En revanche, l’existence d’EAR éloignés d’un état stationnaire est un problème qui a peu à voir avec f’(p*).

La prise en compte de l’incertitude sur les fondamentaux

24Le prix courant est souvent déterminé non seulement par l’anticipation du prix futur, mais également par un certain nombre de variable les « fondamentaux » de l’économie) dont la valeur exacte n’est pas nécessairement connue au moment où les agents prennent leurs décisions. Contrairement aux variables d’état (le prix) qui sont endogènes, ces variables sont déterminées indépendamment de l’équilibre économique étudié (elles sont exogènes et représentées par des processus aléatoires). La question de savoir si une variable est endogène ou exogène dépend de l’objectif assigné au modèle (un modèle explique le comportement des variables endogènes par celui des variables exogènes). Par exemple, la taille de la population sera en général considérée comme exogène sauf dans un modèle étudiant les choix de fécondité des ménages.

25Dans le cas le plus simple où il y a une seule variable exogène bt dont la distribution est connue, on a le modèle suivant :

pt= f(pa, bt),

26pa représente toujours les anticipations des agents du prix futur mais est maintenant un objet plus compliqué (décrit ci-après). Les fluctuations de pt dépendent des fluctuations de bt et de celles des anticipations pa. Elles peuvent dépendre indirectement de bt-1 (ou de toute autre variable observée par les agents) dans le cas où les agents exploiteraient le passé de l’économie pour former leurs anticipations. On présente ici un cas particulier d’EAR dans lequel pt est entièrement déterminé par bt :

  • les agents anticipent une fonction de prix pa(b) décrivant tous les prix pt+1 possibles en fonction des valeurs bt+1 : pa(b) désigne le prix anticipé pour la période t+1 si bt+1 prend la valeur b (les agents n’ont pas encore observé bt+1). C’est en fait toute cette fonction que désigne le symbole pa dans l’équation ci-dessus.
  • Une fois donnée cette fonction de prix anticipée, la relation d’équilibre temporaire détermine la valeur de pt pour chaque réalisation de bt : l’équilibre temporaire à la date t est désormais décrit par une fonction de prix (i.e. une valeur de pt, notée p(b), pour chaque valeur possible b de bt) et plus seulement par un nombre pt, (représentant, comme c’était le cas précédemment, « la » valeur du prix à t).

27Un EAR est une fonction de prix qui se réalise si tous les agents anticipent qu’elle se réalise (i.e. p(b) = pa(b) pour toute valeur possible b). On retrouve l’idée d’autoréalisation mais celle-ci ne porte plus désormais sur « la » valeur du prix à t mais sur toute la fonction de prix (qui représente l’ensemble des prix possibles à t en fonction de bt). Cet équilibre est stationnaire au sens où la valeur de pt est déterminée par la valeur de bt et ne dépend pas de t (si bt = b, alors pt = p(b) que t soit égal à 10 ou à 100). Les fluctuations de pt reflètent uniquement les fluctuations de bt et non celles des anticipations. En effet, les anticipations ne varient pas au cours du temps, car l’information des agents (l’information à t sur la valeur de bt+1) est la même d’une période à l’autre.

28En général, la corrélation du prix avec les variables exogènes fait que toute information sur les variables exogènes est pertinente pour déterminer la distribution de prix anticipée. Cette remarque prend un relief particulier si on complique le processus de variables exogènes, Par exemple, si bt+1 est corrélé à bt, alors l’observation de bt donne une information sur bt+1 et modifie ainsi les anticipations. On obtient en ce cas un EAR dans lequel la distribution de prix anticipée varie au cours du temps. En effet, l’information dont les agents disposent à t sur bt+1 change avec t (au gré des changements de bt qui est aléatoire) et l’anticipation de prix futur des agents varie avec t car les agents comprennent que la distribution de bt+1 n’est pas la même selon la valeur de bt, observée à t (i.e. ils anticipent toujours que pt+1 = pa(b) si bt+1b, mais la probabilité qu’ils assignent à cet événement varie avec bt). À l’équilibre, les fluctuations reflètent donc à la fois les fluctuations de bt et celles des anticipations même s’il demeure vrai que pt, est parfaitement corrélé à bt (car les probabilités des différentes valeurs possibles de pt+1 sont entièrement déterminées par bt).

29Enfin, on pourrait également définir des équilibres non station naires ou prendre en compte des asymétries d’information entre les agents (par exemple, certains observent bt dès le début de la période t, alors que d’autres devront attendre la période suivante).

Équilibre à taches solaires

30Dans le cas précédent, les agents comprennent que le prix est corrélé à une variable exogène et ils en tiennent compte dans la formation de leurs anticipations. De la même façon, les agents peuvent croire que le prix est corrélé à une variable même si cette variable n’affecte pas directement le prix (i.e. n’est pas une variable de la fonction d’équilibre temporaire f). On parle en ce cas d’incertitude extrinsèque et on appelle souvent ces variables, sans corrélation avec les fondamentaux de l’économie, des taches solaires (à titre d’exemple d’un processus – l’apparition temporaire de taches sur le soleil – qui n’a pas d’influence directe sur l’équilibre économique).

31Si, par exemple, trois conditions sont réunies :

  • tous les agents observent au début de la période t la réalisation (notée st) d’un processus de taches solaires (qui est un processus aléatoire quelconque).
  • la réalisation st+1 du processus à la période suivante est corrélée à st (et les agents connaissent cette corrélation),
  • les agents croient que le prix est corrélé à ce processus, alors l’anticipation de prix des agents dépend de st et, par conséquent, le prix lui-même dépend de st (puisqu’il est déterminé par les anticipations). En effet, les agents, comprenant que pt+1 varie avec st+1, anticipent une valeur différente de pt+1 pour chaque valeur de st+1 (notée pa(st+1)) et ils attribuent à chaque pa(st+1) la probabilité de st+1. L’observation de st modifiant les probabilités accordées par les agents aux différentes valeurs de st+1, elle modifie donc l’anticipation des agents et, par conséquent, le prix pt.

32La corrélation entre le prix et les taches solaires est-elle compatible avec l’hypothèse d’anticipations rationnelles ? Il faut pour le savoir définir un concept d’EAR en présence d’un processus de taches solaires et vérifier qu’un tel équilibre existe.

  • 2 On peut toujours introduire un processus de taches solaires dans un modèle Mais il n'est pas toujo (...)

33On présente un exemple d’équilibre à taches solaires où l’observation de $t permet de prédire pt : le prix est parfaitement corrélé aux taches solaires, et ce uniquement parce que les agents anticipent une telle corrélation. Le processus st a deux états (notés B et H). On note Pr(B|st) et Pr(H|.st) respectivement les probabilités que st+1 = B et que St+1 = H lorsque st est observé à t (ces probabilités ne sont pas les mêmes selon que st est B ou H, i.e. observer st donne une information sur st+1). On suppose que la relation d’équilibre temporaire s’écrit2 :

pt= Pr(B|st) f(pa(B)) + Pr(H | st) f (pa (H)).

34où les agents anticipent qu’à la période t+1, le prix pt+1 est pa(B) si st+1 = B et pa(H) si st+1 = H. Ainsi, le prix pt est la moyenne entre f(pa (B)) (qui serait le prix à t si les agents savaient que st+1 = B) et f(pa(H)) (qui serait le prix à t si les agents savaient que st+1 = H), calculée avec les probabilités Pr(B|,st) et Pr(H |st) assignées aux deux prix anticipés.

35st constitue bien une incertitude extrinsèque : si les agents ne croient pas que st influence le prix (i.e. ils anticipent un même prix dans les deux états, soit pa(B)= pa(H)), alors le prix ne dépend pas des taches solaires (l’équilibre temporaire s’écrit pt = f(pa) où pa est le prix anticipé, quel que soit s).

36La définition de l’équilibre à taches solaires est sans surprise (car analogue à la définition de l’équilibre en présence d’incertitude sur les fondamentaux) : c’est une fonction de prix qui se réalise lorsqu’elle est anticipée. Précisément, un équilibre se compose de deux prix distincts p(B) et p(H), qui sont les deux prix possibles à chaque date t selon que st est B ou H lorsque les agents anticipent que pt+1 est p(B) ou p(H) selon st+1.

37L’état stationnaire p* est toujours solution de l’équation ci-dessus (pa(B) = pa(H) = p* implique pt = p* quel que soit st : le prix est constant et ne dépend pas des taches solaires). Plus généralement, tous les EAR déjà présentés sont des équilibres de l’équation ci-dessus. Les équilibres à taches solaires éventuels s’ajoutent donc aux EAR existants et la question de l’existence d’équilibres à taches solaires apparaît liée à celle de la multiplicité des EAR.

À propos de l’existence d’équilibres à taches solaires

38Dans le modèle considéré ici, les conditions d’existence d’équilibres à taches solaires au voisinage de l’état stationnaire p* sont de même nature que celles portant sur les EAR convergeant vers p* : des équilibres à taches solaires existent si, et seulement si, |f’(p*) |>1. La valeur de f’(p*), qui décrit la forme de f au voisinage de p*, est une fois de plus la valeur clé permettant de comprendre le comportement de l’économie lorsque les prix demeurent voisins de p*.

39L’intuition mathématique de ce résultat peut s’exposer de façon assez brève. A un équilibre à taches solaires dont les prix sont p(B) et p(H). la relation d’équilibre temporaire montre que p(B) et p(H) sont des moyennes de f(p(B)) et de f(p(H)) (avec des coefficients de pondération correspondant aux probabilités du processus de taches solaires). Les prix p(B) et p(H) se situent donc entre f(p(B)) et f(p(H)) (lu moyenne de deux nombres se situe toujours entre ces deux nombres) et les prix p(B) et p(H) sont donc plus proches de p* que f(p(B)) et f(p(H)) (de la même façon que, le long d’un EAR convergeant vers p*, pt+1 est plus proche de p*que pt qui est f(pt+1). La figure 3 montre que, dans le cas d’une fonction f affine, cela suppose que |f’(p*)|>1 (on a dessiné pt = 2pt+1 -2 et on constate sur l’axe des ordonnées que p(B) et p(H) se situent entre f(p(B)) et f(p(H)). En choisissant correctement les probabilités du processus à taches solaires (i.e. les quatre valeurs Pr(B|B), Pr(H|B). Pr(B|H) et Pr(H|H)), on peut donc obtenir que p(B) et p(H) satisfasse la relation d’équilibre temporaire. Cet argument se généralise au cas d’une fonction f non linéaire dès lors que p(B) et p(H) sont voisins de p*.

40Ce résultat d’existence d’équilibres à taches solaires au voisinage d’un état stationnaire n’est pas une spécificité de ce modèle, des résultats analogues peuvent en effet être démontrés dans des modèles plus généraux. Certains de ces résultats reposent sur le même argument mathématique. En revanche, d’autres résultats (ainsi que des résultats d’existence d’équilibres à taches solaires éloignés des étals stationnaires) sont démontrés à partir de théorèmes mathématiques complètement différents.

Apprentissage et coordination des anticipations

41Au lieu de faire l’hypothèse d’anticipations rationnelles, on suppose qu’un agent essaie d’apprendre le prix. Dans le cas de l’apprentissage adaptatif, il l’orme son anticipation en utilisant un algorithme qui détermine l’anticipation à partir des prix passés (ou de toute autre information disponible). Dans le cas de l’apprentissage divinatoire, il tire les conséquences des hypothèses faites sur le comportement des autres.

L’apprentissage adaptatif « élémentaire »

42Le prix et les anticipations sont maintenant déterminés par le système :

pt = f(pat+1),
pat+1 = pat+ e(pt-pat).

  • 3 Il est fréquent que pt ne soit pas encore observé au moment où les agents forment leur anticipatio (...)

43À la période t, l’agent observe pt et mesure 1’écart entre son anticipation pat (l’anticipation de pt formée à t-l) et la réalisation pt. Pour former sa nouvelle anticipation pat+1, il corrige son ancienne anticipation pat d’une fraction constante e de l’erreur de l’anticipation précédente (pt-pa)3.

44Si l’anticipation initiale n’est pas trop éloignée d’un état station-naire. alors les prix convergent vers cet état stationnaire sous réserve que celui-ci vérifie une certaine condition. Cet algorithme d’apprentissage classe donc les états stationnaires en deux catégories : les états stables (ceux vers lesquels la dynamique de prix sous apprentissage converge) et les états instables.

Apprentissage adaptatif et équilibre à anticipations rationnelles

45La modélisation de la formation des anticipations par un algorithme d’apprentissage est moins répandue dans la théorie économique que l’hypothèse d’anticipations rationnelles. Elle est le plus souvent utilisée pour identifier les EAR stables et éliminer les EAR instables (cet usage renvoyant à la dénomination « apprentissage de l’EAR »). Elle est plus rarement utilisée pour décrire directement le comportement de l’économie (i.e. étudier les propriétés de la trajectoire des prix et les comparer à celles des séries de prix observées).

46Un des attraits de celte modélisation est d’être plus explicite, voire plus raisonnable, d’un point de vue cognitif : au lieu de supposer directement la rationalité des anticipations (qui se réduit parfois – on l’a vu – à l’exactitude des anticipations), on décrit explicitement la façon dont l’agent exploite l’information disponible pour former une anticipation. Évidemment, chaque algorithme s’expose au risque de paraître défini dans le but d’obtenir un résultat particulier (là où les anticipations rationnelles présentent l’avantage d’être la seule façon pour les agents d’utiliser toute l’information disponible sans faire d’erreur, voir ci-après).

47Cependant, un inconvénient de l’apprentissage adaptatif (qui a largement contribué à le disqualifier dans la théorie économique contemporaine) est de conduire à des anticipations systématiquement biaisées. Par exemple (dans un modèle linéaire), si t’anticipa-lion est initialement inférieure au prix observé, alors elle demeure systématiquement inférieure au prix. Ees agents ne sont pas capables de repérer cette erreur systématique et de l’éliminer (ce que le recours à des techniques économétriques pour déterminer pat+1 à partir des prix passés permettrait de faire). Un autre reproche adressé à l’apprentissage adaptatif est que la règle de formation des anticipations est insensible à toute information sur un changement permanent de la « structure » de l’économie, par exemple un changement de politique économique. C’est en fait pour répondre à ce type de critiques que le concept d’anticipations rationnelles a été développé dans les années 1960. Elus précisément, si on requiert des anticipations des agents qu’elles n’aient pas d’erreur systématique (au sens où l’erreur d’anticipation (pt+1pat+1) est en moyenne nulle au cours du temps) et qu’elles exploitent complètement l’information disponible (au sens économétrique du terme où l’erreur d’anticipation et les informations disponibles à t ne sont pas corrélées), alors on aboutit à une première définition de l’FAR (ces propriétés sont vérifiées dans les exemples de la section précédente). On appelle alors rationnelles les anticipations découlant d’une exploitation systématique par les agents de toute l’information disponible dans le cadre du « vrai modèle de l’économie » (La du modèle utilisé par l’économiste).

Apprentissage adaptatif : généralisation de l’algorithme initial

48On peut compliquer l’algorithme initial pour rendre possible la convergence vers un EAR autre qu’un état stationnaire et/ou pour échapper aux critiques ci-dessus.

49Concernant le premier point (convergence vers un EAR autre qu’un état stationnaire). on se contente de donner un exemple dont la principale vertu est de montrer que l’apprentissage d’un EAR « plus compliqué » qu’un état stationnaire (en l’occurrence, un cycle à deux périodes) ne suppose pas de compliquer à l’excès l’algorithme d’apprentissage. On considère ainsi des agents envisageant la possibilité que les prix des périodes paires ne suivent pas la même dynamique que les prix des périodes impaires. Ces agents entretiennent deux anticipations ptat+1 et p2at+1, ils se servent de l’une pour prédire le prix des périodes paires et de l’autre pour prédire le prix des périodes impaires. Ils corrigent l’une avec les observations faites aux périodes paires et l’autre avec les observations faites aux périodes impaires (et les corrections sont faites de la même façon que dans l’exemple d’apprentissage adaptatif « élémentaire » du paragraphe précédent). Étant donné qu’il est évidemment impossible d’apprendre un cycle d’ordre 2 sans admettre a priori la possibilité de prix différents aux périodes paires et impaires, cet algorithme est certainement un des plus simples possibles qui soit compatible avec l’apprentissage d’un cycle d’ordre 2 par les agents (i.e. la convergence des prix p1at et p2at vers les prix du cycle pt et p2, quand t tend vers l’infini). On montre que, sous certaines conditions (qui, encore une fois, portent sur la dynamique locale autour de l’équilibre et en particulier les valeurs f’(p1) et f’(p2)), cet algorithme converge effectivement vers un cycle d’ordre 2.

50La prise en compte des cycles d’ordres supérieurs et des équilibres à taches solaires s’effectue de la même façon. En particulier, il est possible sous certaines conditions d’apprendre des équilibres à taches solaires comme ceux présentés plus haut dès lors que les agents entretiennent autant d’anticipations ptat+1 qu’il y a d’états possibles S du processus de taches solaires (deux états s = B, H dans l’exemple développé plus haut) et qu’ils corrigent l’anticipation du prix dans l’état s au moyen des prix effectivement observés aux périodes où l’état s se réalise. On étudie ainsi plusieurs questions de stabilité : celle d’un étal stationnaire ou d’un équilibre à taches solaires lorsque les agents croient possible la corrélation entre le prix et les taches solaires, ou celle du même équilibre à taches solaires lorsque les agents croient possible la corrélation entre le prix, les taches solaires et un autre processus extrinsèque. Parfois, l’observation des taches solaires déstabilise l’étal stationnaire alors que certains équilibres à taches solaires sont stables. I interprétation de ces résultats est que l’équilibre le plus plausible n’est pas toujours un état stationnaire : le choix du « bon EAR » dépend du modèle étudié.

51Concernant le second point (échapper aux critiques faites à l’apprentissage adaptatif « élémentaire »), on sophistique la façon dont les agents extraient l’information sur les prix futurs de leurs observations (pour notamment se débarrasser du reproche de traitement insuffisant de l’information disponible mentionné au paragraphe précédent). Différentes méthodes économétriques sont ainsi convoquées pour définir une estimation pat+1 du prix futur à partir des prix passés et de toute autre information connue des agents.

52La plupart des résultats obtenus relient la convergence vers un EAR (état stationnaire ou autre) aux propriétés de la fonction d’équilibre temporaire (notamment à l’ampleur et au sens de la variation de prix produite par une petite variation des anticipations). L’intuition est souvent la suivante : si un choc se produit qui écarte légèrement le prix de sa valeur d’équilibre, alors l’anticipation des agents s’écarte également de l’équilibre (puisqu’elle repose sur les prix observés), ce qui induit une seconde déviation du prix. L’EAR sera instable si la seconde déviation amplifie la première, et stable dans le cas contraire. Ainsi, la sensibilité du prix observé aux anticipations joue un rôle. Du point de vue mathématique, on retrouve le rôle joué par f’(p*) déjà évoqué dans la section précédente à propos de la multiplicité locale des EAR : f’ (p*) est une des valeurs (parfois la seule) gouvernant la convergence d’un algorithme d’apprentissage vers un état stationnaire p*.

53Il arrive également que la trajectoire des prix impliquée par le processus d’apprentissage fluctue indéfiniment. En ce cas, les fluctuations de l’économie sont dues aux erreurs d’anticipations et à leur correction perpétuelle (et perpétuellement imparfaite). C’est notamment le cas avec certains algorithmes à mémoire finie, dans lesquels les agents utilisent seulement les dernières observations du prix et oublient les plus anciennes. Le rôle de la taille de la mémoire peut s’expliquer comme suit (on omet, par souci de simplicité, de préciser plusieurs hypothèses, portant notamment sur les distributions de probabilités des chocs exogènes) : si les agents forment leurs anticipations en se fondant uniquement sur les observations les plus récentes, alors le prix observé à une date t a toujours un impact important sur l’anticipation des agents h la date suivante. Donc, les chocs exogènes affectant l’économie à la date t ont toujours un impact important sur l’anticipation formée à la date t. Par conséquent, si les chocs exogènes sont suffisamment fréquents, alors les anticipations fluctuent en permanence et de façon aléatoire (comme les chocs auxquels elles sont corrélées) et la convergence vers un EAR est impossible. Dans le cas contraire, si les agents gardent en mémoire la totalité des observations effectuées, alors le nombre d’observations utilisées finit par être si important qu’une observation supplémentaire n’a plus beaucoup d’impact sur le choix de l’anticipation. Plus précisément, pour une date t assez élevée, les effets sur l’anticipation à t des chocs exogènes survenant à t sont faibles de sorte qu’il est possible que les anticipations se stabilisent : la convergence de l’anticipation vers un EAR devient possible.

Équilibres multiples et sélection d’un équilibre

54L’affirmation selon laquelle les anticipations rationnelles sont la solution rationnelle au problème du choix de l’anticipation se heurte à la multiplicité des EAR. En effet, la rationalité individuelle (au sens où la décision d’un agent procède de la maximisation d’un critère de satisfaction) et la rationalité des anticipations n’impliquent pas l’unicité de l’équilibre. La rationalité n’apporte donc pas de réponse univoque à la question : « Que faut-il anticiper ? »

55L’usage consiste à répondre à la question de savoir quoi anticiper en sélectionnant un EAR particulier. Les critères de sélection les plus fréquents se classent en deux familles :

  • l’unicité locale. Si un EAR n’est pas localement unique (plusieurs équilibres existent qui sont très voisins les uns des autres), alors il est difficile de croire les agents tous capables de stabiliser leurs anticipations durablement sur le même équilibre (la pertinence du critère se fonde sur l’idée de coordination présentée plus bas). Appliqué par exemple aux états stationnaires, ce critère sélectionne un état stationnaire p* qui n’est pas entouré d’équilibres à taches solaires et/ou (selon la définition précise du critère qu’on adopte) pas entouré d’équilibres non stationnaires convergeant vers p* ;
  • la stabilité sous un processus d’apprentissage. La stabilité sous un apprentissage adaptatif a déjà été présentée. On verra plus bas l’apprentissage divinatoire.

56Ces critères sélectionnent souvent les mêmes équilibres. Ce constat est remarquable puisqu’ils n’ont a priori rien en commun. La raison en est que tous ces critères imposent des propriétés plus ou moins analogues à la relation d’équilibre temporaire. On a en fait déjà introduit cette idée en montrant, à propos de l’unicité locale et de la stabilité sous apprentissage d’un état stationnaire p*, le rôle clé que joue la sensibilité du prix observé aux anticipations. Le. la forme de la relation d’équilibre temporaire au voisinage de p* (ou encore, pour être plus précis mathématiquement, la valeur de f’(p*)).

57On mentionnera également un autre critère de sélection qui ne se range dans aucune des deux familles précédentes mais qui est pratique à utiliser et présente la particularité de reposer, quoique de façon très vague et informelle, sur une idée de simplicité cognitive. Ce critère est celui du nombre minimal de variables d’état et consiste à retenir l’équilibre « le plus simple ». Par exemple, si le modèle possède un état stationnaire p* (le long duquel pt = p*, i.e. pt ne dépend d’aucune variable) et un EAR non stationnaire le long duquel pt dépend d’une variable (par exemple pt = 2pt+1), alors le critère élimine l’EAR non stationnaire qui fait dépendre pt, d’une variable de plus (en l’occurrence pt+1) que l’état stationnaire. Pour des raisons voisines de celle précédemment évoquée, ce critère sélectionne souvent les mêmes EAR que les autres critères.

Le choix des anticipations : un problème de coordination

58La sélection d’un EAR est une réponse pratique au problème que pose la multiplicité des équilibres à l’économiste soucieux de calculer « la » trajectoire de prix prédite par le modèle et de confronter celle-ci aux données. Mais la multiplicité des EAR met en évidence un problème plus fondamental : le choix des anticipations est un problème de coordination. i.e. Le. un agent ne peut pas savoir quelle anticipation adopter sans savoir ce que font les autres agents.

59Pour comprendre ce problème de coordination, considérons, par exemple, une économie avec deux états stationnaires p*1 et p*2, et adoptons le point de vue d’un agent. Cet agent sait que p*1 (ou p*2) apparaît si tous les agents anticipent p*1 (ou p*2). Pour savoir quel équilibre anticiper, il faut donc savoir quel équilibre anticipent les autres. Mais le choix de l’anticipation est en fait encore plus complexe puisqu’il est également possible que les autres agents n’anticipent pas tous le même étal stationnaire (après tout, eux aussi font face à la question de savoir ce qu’anticipent les autres). Par exemple, si la moitié des agents anticipent p*1 et l’autre moitié anticipe p*2, alors le prix n’est ni p* ni p*2 mais un autre prix p3 (qui n’est le prix d aucun EAR). En ce cas, la seule anticipation correcte est p3.

60Une anticipation n’est donc pas bonne on mauvaise (« rationnelle » ou pas) indépendamment de celles des autres et il n’est pas toujours rationnel d’avoir des anticipations rationnelles. En fait, l’EAR correspond à l’équilibre de Nash des théoriciens des jeux (dans lequel chaque agent prend la meilleure décision possible compte tenu de celles prises par les autres). En effet, un EAR se définit comme une situation qui se réalise lorsqu’elle est anticipée par tous. C’est donc une situation qui est telle que, lorsqu’elle est anticipée par tous, personne n’a intérêt à modifier son anticipation (c’est l’équilibre de Nash d’un jeu dans lequel la décision d’un agent est le choix de son anticipation). Ainsi, il est rationnel pour un agent d’anticiper un EAR si et seulement si tous les autres anticipent cet EAR.

61En résumé, l’hypothèse d’anticipations rationnelles n’explicite pas la façon dont les agents choisissent leurs anticipations. Elle n’explique donc pas comment résoudre le problème de coordination des anticipations auquel sont confrontés collectivement les agents. Au contraire, un EAR est une situation dans laquelle ce problème est déjà résolu.

Apprentissage divinatoire : des fondements logiques de la rationalité des anticipations

62On a vu que le choix de l’anticipation renvoie à la connaissance des anticipations des autres. Cela revient à relire la relation d’équilibre temporaire pt = f(pat+1) en interprétant pat+1 non plus comme l’anticipation commune à tous les agents mais comme la moyenne des anticipations des agents (ce qui permet de prendre en compte l’idée que les agents n’anticipent pas toujours tous la même chose et qu’ils ne savent pas toujours ce qu’ils font les uns les autres). Ainsi, pour connaître pt, il suffit de connaître pat+1 : deviner le prix revient à deviner les anticipations des autres.

63On dispose alors d’un cadre dans lequel se demander quelles hypothèses (sur le comportement des agents) impliquent l’apparition d’un EAR. Un premier jeu d’hypothèses se compose de la rationalité individuelle, de la connaissance du modèle (ie. de la fonction f d’équilibre temporaire) et de la connaissante des anticipations des autres. Les situations compatibles avec ces hypothèses sont exacte ment les EAR mais ce jeu d’hypothèses est très fort : il signifie que l’agent connaît à la fois les anticipations des autres et les conséquences de celles-ci sur le prix observé (si l’agent connaît à la fois la fonction f et la valeur exacte de pat+1, alors il connaît nécessairement pt (qui est f(pat+1)) et ne peut donc jamais se tromper).

  • 4 Une proposition P est connaissance commune si et seulement seulement si i) P est vraie. ii) tous l (...)

64Un autre jeu d’hypothèses laissant a priori l’agent dans l’incertitude se compose de la connaissance commune4 de la rationalité individuelle et de celle du modèle. On remplace donc la connaissance des anticipations des autres par la connaissance commune de la rationalité et du modèle. Un agent ignore a priori les anticipations des autres mais il sait que les autres sont rationnels et qu’ils connaissent le modèle. L’exploitation des conséquences logiques de celle information permet à l’agent de limiter l’ensemble des anticipations possibles, votre de déterminer exactement son anticipation. La figure 4 illustre ce processus au terme duquel l’agent « devine » partiellement ou complètement les anticipations des autres (on a dessiné pt = f(pat+1) – 3-0,5pat+1). L’agent, qui connaît le modèle, comprend d’abord que le prix ne peut pas dépasser une valeur maximum, notée p1 (sur la figure, p1=3). Puisque l’agent sait que tous les autres savent que tous sont rationnels et connaissent le modèle, il comprend que tous font la même déduction. L’agent, fort de cette Compréhension de ce que les autres font, peut donc limiter une seconde fois l’ensemble des prix possibles (si le prix anticipé par les autres est inférieur à p1, alors le prix observé est supérieur à une valeur p2 qui vaut f(p1)=1,5). Il comprend ensuite que tous ont effectué cette seconde déduction et il itère ainsi le raisonnement à l’infini en se fondant sur la connaissance commune (si le prix anticipé par les autres est supérieur à p2, alors le prix observé est inférieur à une valeur p3 qui vaut f(p2)=2,25, etc.). Ce raisonnement converge vers l’ensemble des prix compatibles avec les hypothèses de connaissance commune. Cet ensemble est le plus petit auquel il est de connaissance commune que le prix appartient (on parle de prix et d’anticipations rationalisables, par analogie avec les solutions rationalisables de la théorie des jeux dont le concept est issu) : chaque agent sait que les anticipations des autres sont rationalisables mais personne ne connaît précisément les anticipations des autres. Les anticipations des agents peuvent donc être différentes les unes des autres, et incorrectes. Cet ensemble de prix rationalisables inclut les EAR mais ne se limite pas toujours à eux. Il arrive cependant parfois qu’il y ait un seul prix rationalisable (qui est donc un EAR). On parle alors d’apprentissage divinatoire d’un EAR : les agents apprennent (au sens divinatoire) un EAR lorsqu’il est la seule solution compatible avec les hypothèses de connaissance commune.

65Sur la figure 4, l’apprentissage de l’étal stationnaire p* 2 réussit : le processus (représenté graphiquement par la suite de prix p1, p2, p3,...) converge vers p*, ce qui signifie que chaque agent infère des hypothèses de connaissance commune que tous les autres anticipent p* et qu’il est donc nécessaire d’anticiper p*. Dans d’autres cas, le même processus ne converge pas vers p* et l’apprentissage échoue (par exemple, si pt = 6-2pat+1 alors p1= 6 et le processus se bloque dès la seconde étape ; le fait de savoir que les autres anticipent un prix inférieur à p1 implique que te prix est supérieur à f(p1) = -6, ce qui n’apprend rien qu’on ne sache déjà, poursuivre le raisonnement est donc inutile et la conclusion est que tous les prix compris entre 0 et p1 sont rationalisables).

66On fait souvent une hypothèse supplémentaire (et on parle d’apprentissage divinatoire local) : on suppose qu’il est connaissance commune que les anticipations des agents sont dans un certain voisinage de l’EAR. La question est alors : le fait de savoir a priori que tous tes agents anticipent dans le voisinage de l’EAR implique-t-il que tous les agents anticipent exactement l’EAR ?

67En général, l’apprentissage divinatoire local d’un EAR impose des conditions sur la fonction f d’équilibre temporaire au voisinage de l’EAR. L’intuition usuelle de ces conditions est que le prix observé dépend peu du prix anticipé. En effet, il n’est pas alors vraiment nécessaire d’avoir une connaissance précise des anticipations des autres (ce que, justement, on ne suppose pas) pour deviner le prix. Il n’est donc pas surprenant que les conditions de convergence d’un apprentissage divinatoire reposent sur la forme de la fonction d’équilibre temporaire et s’expriment notamment à l’aide de f’(p*), comme les conditions de convergence d’apprentissage adaptatif (et celles de multiplicité locale des EAR). Cependant, l’apprentissage divinatoire est en général un peu plus exigeant que l’apprentissage adaptatif (ce qui est cohérent avec l’idée que l’apprentissage divinatoire spécifie moins le mode de formation des anticipations qu’un algorithme d’apprentissage adaptatif). Mais, ainsi que cela déjà été mentionné, il arrive que les deux donnent des résultats équivalents.

Bibliographie

Références bibliographiques

• sur l’histoire de l’équilibre à anticipations rationnelles

Sheffrin S. 1985. Les anticipations rationnelles. Economica (pour l’édition française).

• sur les équilibres à taches solaires

Azariadis C, Guesnerie R. 1982. « Prophéties créatrices et persistance des théories ». Revue Economique. 33(5) : 787-806,

Guesnerie R.. Woodford M. 1992, « Endogenous Fluctuations ». In J. J. Laffont, A. Chesher (dir.). Advances in Economie Theory : Sixth World Congress. Cambridge, Cambridge University Press, vol. 2 : 289-412.

• sur l’équilibre temporaire

Grandmont J.-M. 1986. Monnaie et valeur. Paris, Economica (pour l’édition française),

• Sur l’équilibre à anticipations rationnelles en macroéconomie Partner R. 1999. Macroeconomics of Self-Fulfilling Prophecies (2e édition).

Cambridge, MIT Press. Hairault J.-O (dir.). 2000. Analyse Macro économique. Paris, La Découverte. 2 vol.

• sur l’apprentissage

Evans G., Honkapohja S. 2001. Learning and Expectations in Macroeconomics. Princeton. Princeton University Press.

Notes

1 On suppose implicitement l'unicité de l'équilibre temporaire : pour une valeur pa t+1 donnée, il y a un unique pt. La possibilité de multiplicité des équilibres temporaires n'est pas envisagée ici (lorsque des prix différents peuvent équilibrer les marchés pour une même anticipation du prix futur).

2 On peut toujours introduire un processus de taches solaires dans un modèle Mais il n'est pas toujours vrai que l'équilibre temporaire en présence de taches solaires ait la forme mathématique proposée ici (simple puisque linéaire dans les probabilités).

3 Il est fréquent que pt ne soit pas encore observé au moment où les agents forment leur anticipation pat+1. On peut alors corriger l'anticipation en utilisant pt+1, c'est-à-dire déterminer pat+1, par la formule : pat+1 = pat+ e(pt+1pa.) plutôt que par la formule indiquée dans le texte.

4 Une proposition P est connaissance commune si et seulement seulement si i) P est vraie. ii) tous les agents savent i), iii) tous les agents savent ii). iv) tous les agents savent iii), etc.

Table des illustrations

Légende Figure 1
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Légende Figure 2
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Légende Figure 3
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Légende Figure 4
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Auteur

Professeur à l’université de Cergy-Pontoise
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