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Économie et cognition

 | 
Bernard Walliser

Le raisonnement spéculaire

Ce qu’Aumann doit à Lacan...

Antoine Billot

Texte intégral

Introduction

  • 1 Un recueil de poésie publié par les éditions Gallimard en 1991.
  • 2 Mise en abyme dont Jean-Paul Sartre, dans L’Imagination, conteste d’ailleurs la fécondité conceptue (...)

1La littérature a depuis longtemps assimilé la forme introspective croisée – « L’un sait que l’autre sait... » – en tant que procédé narratif ; cette forme est même l’un des combustibles privilégiés de la plupart des intrigues amoureuses, policières ou fantastiques ; on en trouve de nombreux exemples chez Jorge Luis Borges (voir le « jeu des miroirs » dans la nouvelle La Mort et la Boussole), Julio Cortazár ou Marcel Proust et plus récemment chez Jacques Roubaud dans La Pluralité des mondes de Lewis1 dont le motif est explicitement inspiré de l’œuvre du logicien David Lewis et de la sémantique des mondes possibles de Saul Kripke (voir aussi Laing 1970 pour les applications « poétiques » de l’aphorisme « If I don’t know I don’t know, I think I know... »). Toutefois, l’introspection croisée telle qu’elle apparaît dans la littérature correspond bien souvent à un simple « jeu de miroirs » ou à une « mise en abyme du sujet »2 quand tu, il, l’un ou l’autre sont autant de façons de dire je (voir Elster 1987 et ses multiple self. En revanche, l’extension du principe d’introspection croisée à un nombre illimité de protagonistes – « Je sais que tu sais qu’il sait qu’elle sait... » plutôt que « Je sais que tu sais que je sais que tu sais... » – conduit assez naturellement à l’élaboration d’une théorie de l’interaction fondée sur le raisonnement spéculaire dont l’information ainsi que le réseau de sa circulation parmi les individus seraient les éléments primitifs. L’objet d’une telle théorie se trouve certes au carrefour de nombreuses disciplines – intelligence artificielle et logique formelle en amont, psychologie sociale, science politique, sociologie... en aval – mais c’est la science économique qui en constitue la voie royale, étroitement liée qu’elle est – et cela dès les premières intuitions d’Arnauld et Nicole (1662) jusqu’aux développements logiques de Keynes (1921) – aux notions d’« anticipation » (adaptative pour Milton Friedman, rationnelle pour John Muth et Robert Lucas...), de « prévision » (François Quesnay déjà), de « confiance » (Georg Simmel, George Shackle...) et bien sûr de « croyance » via la théorie de la décision (Daniel Bernoulli, Pierre-Simon Laplace, Leonard Savage...). Ces différentes notions sont désormais centrales et non plus périphériques à l’analyse économique la plus fruste comme la plus élaborée ; elles ont envahi le discours des décideurs politiques comme celui des chercheurs les plus exigeants ; elles ont nourri la théorie des jeux, alimenté l’économie financière et transformé l’analyse des marchés. Et l’« économie cognitive », outre qu’elle est sans conteste de toutes les disciplines concernées celle dont la réflexion en la matière est la plus avancée, se trouve à l’avant-garde de cette évolution, son ambition affichée – quand elle prend le temps de s’autodéfinir de manière programmatique – étant précisément de fonder la légitimité de ces différentes notions et de s’approprier (au sens positif du terme) – en les synthétisant par l’intermédiaire de son langage propre, i.e. celui essentiellement de la théorie microéconomique – les contributions a priori hétéroclites des informaticiens (voir Fagin, Halpern, Moses et Vardi 1995), des logiciens (Alchourrón, Gàrdenfors et Makinson 1985, par exemple) et des théoriciens des jeux (Board 2004, Bonanno 2005).

La spécularité

  • 3 Le verbe « spéculer » vient du latin speculari qui signifie « contempler ».
  • 4 Le terme « empathie » (du grec ancien εµ, « à l’intérieur », et παθoϛ, « ce qu’on éprouve ») est un (...)

2Dupuy (1989) appelle spécularité3 l’acte mental par lequel un individu décide de se mettre à la place d’un autre afin d’expérimenter virtuellement son raisonnement dans le cadre d’un jeu (entendu au sens de la théorie des jeux). Il s’agit d’une sorte d’empathie stratégique propre à des situations d’entente ou à l’inverse de conflit, situations par nature plus informationnelles qu’émotionnelles, plus agressives qu’affectives4 Aussi la capacité de mise en œuvre de la spécularité repose-t-elle sur le postulat d’existence d’une aptitude particulière : chaque joueur doit être capable de reproduire (d’imi(d’imiter ?) la logique de la pensée de son adversaire de façon à se coordonner avec lui au mieux de l’intérêt collectif (entente) ou de façon à neutraliser ses calculs et ses ruses en les anticipant le plus efficacement possible (conflit) : en somme, contrefaire pour faire ou défaire (la nécessité stratégique de cette aptitude apparaît clairement dans le poker ou la bataille des sexes...). Ainsi peut-on définir la spécularité en tant qu’elle est une empathie stratégique reposant sur un mécanisme cognitif impartial (débarrassé de tout affect) à l’égard de celui qui en est l’objet et le degré de spécularité en tant qu’il mesure la profondeur du mécanisme de reproduction du type : « Je sais que tu sais qu’il sait... », i.e. le nombre de fois (-1) où l’on peut réitérer le raisonnement spéculaire. Selon qu’il est fini ou infini, le degré de spécularité traduit alors l’imperfection ou au contraire la perfection de l’information disponible dans le jeu.

Limperfection de l’information

3Les champs sociologique, psychologique, économique et politique – dans la mesure où ils étudient l’opportunité théorique de décisions subordonnées à l’existence d’interactions dont la théorie des jeux se veut le langage par excellence-, et cela indépendamment du degré de rationalité des individus considérés, fournissent de nombreux exemples au très vaste catalogue des circonstances souffrant par définition d’une imperfection fondamentale de l’information : il ne suffit que de penser aux rumeurs publiques (voir Bonanno 1994), aux délits d’initié (voir Milgrom et Stokey 1982, Kyle 1985), aux processus de contagion des opinions (voir Morris 2000)... pour s’en convaincre – même s’il convient de distinguer les situations où l’imperfection de l’information affecte le monde matériel, objectif, de celles où elle affecte le « monde » personnel, subjectif – celui où s’expriment les croyances d’un individu à l’endroit des croyances d’autrui : douter de ce que l’autre sait du monde n’est pas douter du monde. L’imperfection qui est à la source de ces divers phénomènes procède d’une asymétrie patente de l’information – en bref, certains savent ce que d’autres ignorent –, asymétrie qui restreint la profondeur du raisonnement spéculaire à un nombre fini d’itérations. Et ce degré fini de spécularité signale alors autant qu’il traduit la présence d’une incertitude avérée au cœur du jeu : comment peut-on en effet prévoir l’avenir du jeu si l’on n’est pas à même de tout anticiper du comportement des autres joueurs ? Et comment choisir rationnellement une stratégie sans être capable de tout prévoir des conséquences qu’elle aura sur la décision des autres joueurs dont, en retour, dépend sa propre efficacité ?

La connaissance et la croyance

4Au-delà de la simple constatation selon laquelle une mauvaise répartition de l’information parmi les individus engendre toujours de l’incertitude, il convient de savoir s’il existe des mécanismes de transmission, des dispositifs d’interaction cognitive, tels que ces mécanismes ou ces dispositifs soient éventuellement à même d’améliorer la répartition de l’information, c’est-à-dire d’en réduire l’iniquité, l’hétérogénéité et l’imperfection en résolvant par exemple son asymétrie fondamentale et, partant, l’incertitude invalidante qui en découle (voir par exemple les théorèmes de no-trade à la Milgrom et Stokey (1982) – voir infra –, l’electronic mail game de Rubinstein (1989) ou, dans le cadre du modèle multi-prior, Billot et al. 2000). Vouloir apporter une réponse à cette interrogation signifie, implicitement ou explicitement, que l’on adhère à l’idée selon laquelle la « connaissance » (knowledge) – ou plus généralement la « croyance( » (belief) –, qu’elle soit initiale (propre) ou acquise (par transmission ou par raisonnement), constitue l’élément déterminant de toute théorie qui prétend se fonder sur l’observation des comportements interactifs (que son objet soit par ailleurs sociologique, psychologique, économique ou politique) en ceci que l’efficacité d’une décision dépend par nature de la connaissance que l’on a de son contexte – ici directement assimilable aux données du jeu lui-même que sous-tend la situation interactive concernée : ce peut-être un marché, un contrat, un conflit, une norme sociale ou une convention (ainsi Lewis 1969 ou Dupuy 1989), c’est-à-dire un lien et un lieu informationnels... La notion d’interaction stratégique avec asymétrie informationnelle est précisément issue de cette réflexion qui exige de la représentation formelle des comportements qu’elle puisse rendre compte simultanément de l’influence sur chaque décision individuelle de la croyance de l’individu à propos des éléments fondamentaux du jeu et aussi bien de la croyance des autres individus à propos de ces mêmes éléments fondamentaux.

L’hypothèse de connaissance commune

5Lorsque l’information portant sur un événement donné est non seulement symétrique mais d’une qualité telle que les croyances de tous les individus sont parfaitement transparentes et qu’à ce titre il ne subsiste plus aucune trace de cette incertitude dont on vient de stigmatiser les effets corrosifs sur le processus de décision, on dit alors que cet événement est de « connaissance commune » (common knowledge, Lewis ibid.). De manière plus précise, on considère qu’il y a une connaissance commune d’un événement donné lorsque chacun connaît cet événement, lorsque chacun sait que chacun connaît cet événement, lorsque chacun sait que chacun sait que chacun connaît cet événement, etc., c’est-à-dire lorsque le degré de spécularité tel que défini supra est infini. La connaissance commune d’un événement correspond donc au niveau le plus élevé – proprement indépassable – de connaissance qu’un groupe d’individus puisse revendiquer d’un événement. En outre, la connaissance interactive, i.e. la connaissance de la connaissance des autres, et la liste des événements qui sont de connaissance commune ainsi que, par complément, celle des événements qui ne sont pas de connaissance commune sont les constituants essentiels de la prise rationnelle de décision. S’écarter théoriquement de l’hypothèse de connaissance commune, ne serait-ce que de façon mineure, dans un repli apparemment marginal du jeu, peut avoir des effets radicaux sur l’efficacité des décisions parce qu’aussitôt l’incertitude prend symboliquement la place du quantum de connaissance qui fait soudain défaut et qu’elle se diffuse très au-delà de son seul voisinage – via le raisonnement spéculaire. Aussi, utiliser l’hypothèse de connaissance commune d’un événement jusque dans ses moindres implications logiques revient-il finalement à traquer l’ignorance, partout où elle sait pouvoir se réfugier sans qu’on s’y attende a priori, afin de supprimer l’incertitude qu’elle provoque.

Le principe général des jeux spéculaires

  • 5 Le principe de récurrence est central dans de nombreuses résolutions d’énigmes liées à l’organisati (...)

6Supposons une population donnée, de taille finie, formée de n individus, n ≥ 2, et admettons qu’elle soit potentiellement divisée en deux sous-ensembles correspondant chacun à un type particulier, quelle que soit par ailleurs la nature du critère qui permet de les distinguer : couleur du chapeau, du disque, fidélité du conjoint, etc. Chaque individu connaît le type des autres mais ignore le sien. En outre, le protocole du jeu stipule que si par le seul raisonnement logique, c’est-à-dire sans aucune communication directe entre les individus, un joueur i parvient à déterminer à l’instant t son type avec certitude, alors il doit le faire savoir immédiatement, i.e. à l’instant t. Au début du jeu, un arbitre extérieur – deus ex machina ou modélisateur – convoque la population entière et énonce publiquement la proposition p suivante : « Il y a parmi vous au moins un individu de type 1. » Cette proposition p n’apprend rien à personne. Chacun est en mesure de vérifier, sur le champ, qu’elle est vraie et chacun sait qu’il pouvait savoir qu’elle était vraie dès avant que l’arbitre l’énonce. Cependant, progressivement, étape par étape, cette proposition qui ne contient a priori aucune sorte d’information nouvelle va être à l’origine de la mise en lumière d’une véritable information – mais une information en quelque sorte masquée que le raisonnement spéculaire peut seul révéler : ainsi adviendra-t-il qu’à l’instant t = m, les m individus de type 1, m n, se reconnaîtront en tant qu’ils sont de type 1. Par quel mécanisme mystérieux une proposition vide d’information peut-elle révéler de l’information sans qu’il y ait la moindre communication entre les joueurs ? Bien sûr, la proposition p est connue de tous puisque tous peuvent la vérifier. En revanche, elle n’est pas immédiatement de connaissance commune : il n’est pas aussitôt vrai que le joueur i sait que/sait que k... sait que p est vraie. Et c’est précisément là, dans la mutation inattendue d’une connaissance partagée en une connaissance commune, que s’exprime l’impact du raisonnement spéculaire en même temps que sa capacité à révéler de l’information (et non à la produire réellement) et à organiser la connaissance, individuelle autant que collective. Le mécanisme de cette mutation est très exactement une récurrence5 Supposons en premier lieu qu’il n’y ait qu’un seul individu de type 1 ; alors l’information que lui délivre l’arbitre en énonçant la proposition p lui signale immédiatement qu’il est précisément cet individu puisque, autour de lui, il ne voit que des individus de type 2. Supposons maintenant qu’il y ait deux individus de type 1 ; chacun des deux comprend (mais séparément) que s’il est de type 2, l’unique individu qu’il sait être de type 1 (puisqu’il le voit) doit se manifester immédiatement en ce qu’alors la proposition p signifie qu’il est seul de type 1. S’il ne se manifeste pas, cela implique qu’il y a deux individus de type 1 et comme chacun des deux individus n’en voit qu’un, c’est donc que chacun est le deuxième individu de type 1. Aussi, dès le second instant, les deux individus de type 1 savent avec certitude qu’ils sont deux de type 1 et le font aussitôt savoir.

De Lacan à Aumann

7Il serait pour le moins artificiel de prétendre que Jacques Lacan, dont on connaît certes l’engouement quelquefois baroque pour le langage topologique – mathèmes et autres nœuds borroméens –, a eu l’intuition de la logique épistémique avant Kripke (1963), Lewis (1969) ou Aumann (1976). En revanche, il paraît incontestable qu’il a pressenti très tôt et en dehors de toute sollicitation académique contiguë (rares semblent avoir été les théoriciens des jeux à fréquenter l’École freudienne de Paris...) la portée du raisonnement spéculaire et plus encore, son exceptionnelle mécanique cognitive. Le plus étonnant réside peut-être en ce que l’on trouve au centre même de la résolution de l’énigme qu’il propose dans l’article rédigé en 1945, « Le temps logique et l’assertion de certitude anticipée : un nouveau sophisme », l’authentique mise en scène de la spécularité telle qu’un pur logicien comme Lewis aura à cœur d’en développer, vingt-cinq ans plus tard, l’analyse formelle – ce que prouve la facilité avec laquelle il est possible de rendre compte de cette énigme dans le cadre sémantique des partitions d’information à la Aumann (ibid.) dont Jacques Lacan, par définition, ne pouvait avoir connaissance puisque nul ne le connaissait encore (voir infra)...

Des assertions de l’un...

L’intuition de Lacan

  • 6 Également appelé « le problème des quarante cocus de Bagdad » et inspiré par l’un des contes des Mi (...)
  • 7 Dont rien n’indique par ailleurs qu’il n’avait pas lu les mille et un contes...
  • 8 Je remercie J.-B. Pontalis de m’avoir signalé l’existence d’une publication de ce texte très antéri (...)

8L’appréhension de l’hypothèse de connaissance commune en tant qu’elle est source d’évidence permet de justifier la notion de certitude anticipée dont Lacan ([1945]1966) développe la maïeutique plusieurs années avant que la logique épistémique ne s’en saisisse formellement. À l’inverse de ce qu’affirment la plupart des auteurs (voir par exemple Lewis 1969, Geneakoplos [1992]1994 ou Fagin et al 1995), il semble en effet que la première trace d’un raisonnement spéculaire utilisant les conséquences logiques de l’hypothèse de connaissance commune ne se trouve pas dans l’ouvrage A Mathematician’s Miscellany du mathématicien J. E. Littlewood publié en 1953 (voir Béla Bollobas, 1986), ni même dans l’article de Gamow et Stern (1958) publié dans la revue Puzzle Math sous le titre « Énigme des femmes infidèles6 », mais bien plutôt dans une contribution du psychanalyste Jacques Lacan7 – à une époque où il n’était pas encore l’animateur des fameux séminaires. Certes Dupuy (1989) cite Jacques Lacan et son « nouveau sophisme » à propos des énigmes célèbres présentant des situations de connaissance commune mais il donne à ce texte la même date de parution, à savoir 1966, que celle des Ecrits dont il constitue effectivement un chapitre cependant que le texte en question a été publié pour la première fois8 dans la revue Les Cahiers d’art dès 1945. De façon moins anecdotique, il n’est peut-être pas totalement fortuit que le premier à s’interroger à propos de la logique de la rationalité et de ses déterminants cognitifs – via une sorte d’aporie philosophique qui traduit l’embarras de la raison quand elle doit démêler dans le fatras des informations qui s’offrent à elle la route optimale dessinant, d’une information à l’autre, la solution du problème posé – ait été un psychiatre plutôt qu’un théoricien des jeux, un psychanalyste plutôt qu’un mathématicien. Qui autant qu’un psychanalyste se soucie fondamentalement des rapports qu’entretiennent croyance et comportement, information et décision ? En ce qu’ils sont l’objet même de sa réflexion et cela dès l’origine – au début de sa carrière, Sigmund Freud lui-même croit en l’avenir d’une « psychologie scientifique », projet qu’il développe dans l’Esquisse rédigée en 1885 et qu’il abandonnera ensuite au profit de la démarche analytique d’inspiration nettement plus empirique –, ces différents ingrédients ne devaient pas manquer de mener un psychanalyste – par ailleurs notoirement féru de dialectique et de mathématiques – à concevoir un scénario symbolique les mélangeant opportunément.

Le temps logique ou l’assertion de certitude anticipée

9Dans ses Ecrits, au chapitre « Le temps logique et l’assertion de certitude anticipée : un nouveau sophisme » – tiré donc d’un article rédigé en 1945 pour la revue Les Cahiers d’art –, Jacques Lacan propose une sorte de fiction paradoxale :

Le directeur de la prison fait comparaître trois détenus de choix et leur communique l’avis suivant :
« Pour des raisons que je n’ai pas à vous rapporter maintenant, messieurs, je dois libérer l’un d’entre vous. Pour décider lequel, j’en remets le sort à une épreuve que vous allez courir, s’il vous agrée. Vous êtes trois ici présents. Voici cinq disques qui ne diffèrent que par leur couleur : trois sont blancs, et deux sont noirs. Sans lui faire connaître duquel j’aurai fait choix, je vais fixer à chacun de vous un de ces disques entre les deux épaules, c’est-à-dire hors de la portée directe de son regard, toute possibilité indirecte d’y atteindre par la vue étant également exclue par l’absence ici d’aucun moyen de se mirer. Dès lors, tout loisir vous sera laissé de considérer vos compagnons et les disques dont chacun d’eux se montrera porteur, sans qu’il vous soit permis, bien entendu, de vous communiquer l’un à l’autre le résultat de votre inspection. Ce qu’au reste votre intérêt seul vous interdirait. Car c’est le premier à pouvoir en conclure sa propre couleur qui doit bénéficier de la mesure libératoire dont nous disposons. Encore faudra-t-il que sa conclusion soit fondée sur des motifs de logique, et non seulement de probabilité. À cet effet, il est convenu que, dès que l’un d’entre vous sera prêt à en formuler une telle, il franchira cette porte afin que, pris à part, il soit jugé sur sa réponse. »
Ce propos accepté, on pare nos trois sujets chacun d’un disque blanc, sans utiliser les noirs, dont on ne disposait, rappelons-le, qu’au nombre de deux. Comment les sujets peuvent-ils résoudre le problème ?

10Et Lacan de poursuivre :

La solution parfaite : après s’être considérés entre eux un certain temps, les trois sujets font ensemble quelques pas qui les mènent de front à franchir la porte. Séparément, chacun fournit alors une réponse semblable qui s’exprime ainsi :
« Je suis un blanc, et voici comment je le sais. Étant donné que mes compagnons étaient des blancs, j’ai pensé que si j’étais un noir, chacun d’eux eût pu en inférer ceci : “Si j’étais un noir moi aussi, l’autre, y devant reconnaître immédiatement qu’il est un blanc, serait sorti aussitôt, donc je ne suis pas un noir” et tous deux seraient sortis ensemble, convaincus d’être des blancs. S’ils n’en faisaient rien, c’est que j’étais un blanc comme eux. Sur quoi, j’ai pris la porte, pour faire connaître ma conclusion. »
C’est ainsi que tous trois sont sortis simultanément forts des mêmes raisons de conclure.

... aux partitions de l’autre

La logique épistémique ou l’épistémologie interactive

  • 9 C’est Gottfried Leibniz qui le premier introduit cette notion dans La monadologie, publiée en 1714.
  • 10 Un raisonnement explicitement contrefactuel comme celui qui fonde la spécularité.

11Le problème des trois prisonniers – une fois écartée l’interprétation psychanalytique qu’en propose Jacques Lacan, interprétation à laquelle sont naturellement consacrées les pages qui suivent l’exposé et qui s’avèrent pour partie étrangères à ce qui nous occupe dans ce chapitre – peut être aisément disséqué de manière à produire quelques-uns des concepts principaux de la logique épistémique (appelée aussi « épistémologie interactive ») telle qu’elle apparaît trente ans plus tard sous la plume d’Aumann (1976, 1999a, 1999b) : ainsi le rôle du modélisateur omniscient est-il joué ici par le directeur de la prison – c’est en effet lui qui choisit l’état du monde réel9, c’est-à-dire la vraie distribution des disques sur le dos des prisonniers (en l’occurrence trois disques blancs) ; de même est-il de connaissance commune (1) que chaque prisonnier puisse voir seulement la couleur de deux disques (ceux que les autres prisonniers portent dans le dos) mais non la couleur de celui qu’il porte lui-même (absence de miroir et interdiction de toute communication) et (2) que l’un au moins des disques soit blanc ; ainsi encore un aveu d’ignorance (aussi longtemps qu’un prisonnier demeure dans le bureau du directeur) est-il toujours public (tout prisonnier sait interpréter en termes informationnels la présence d’un autre) et chaque prisonnier connaît-il le raisonnement10 de ses deux acolytes puisqu’ils ont été informés ensemble des règles du jeu (d’où ils finiront par inférer qu’ils sont tous les trois dans la même situation, i.e. porteurs d’un disque blanc).

La sémantique

  • 11 Il est à noter que Robert Aumann ignorait autant les travaux de Saul Kripke que les intuitions de J (...)
  • 12 Dans le cadre de l’exemple emprunté à Jacques Lacan, un monde possible – du moins sa partie matérie (...)

12Le cadre sémantique proposé par Aumann (1976), inspiré du modèle d’espace des états de Savage (1954) et Harsanyi (1967) mais aussi de la sémantique des mondes possibles telle qu’elle a été proposée par Kripke (1963), postule que l’information peut être représentée au moyen d’une organisation partitionnelle des états du monde11 Il est alors possible de caractériser l’hypothèse de connaissance commune à l’aide des seules partitions individuelles. La notion fondamentale est ici celle d’état du monde (ou plus simplement : monde possible). Un monde possible, on le note généralement ϖ, est la description exhaustive des faits qui sont pertinents au sens de la situation envisagée (par exemple, un jeu). Il est tout à la fois la mémoire, l’actualité et le futur des faits objectifs qui précèdent, accompagnent et anticipent sa conception ; il est le portrait de l’environnement physique, matériel, des n individus i présents dans le jeu, i : l,..., n, mais aussi bien celui de leur environnement cognitif, c’est-à-dire la description de ce que chacun sait de l’environnement matériel, de ce qu’il sait des croyances des autres individus à propos de cet environnement et de ce qu’il sait de ce que les autres savent de cet environnement, etc.12 Notons W l’ensemble de tous ces mondes ϖ et E un événement, i.e. un sous-ensemble quelconque de W. Une partition Π de W est un ensemble d’événements E⊂W tels que ∪EΠE=W et, pour tout E, E’∈Π, E ≠E’, E∩E’=Ø. Aussi appelle-t-on partition d’information du joueur i la partition Π de W telle que Π représente la connaissance du joueur i, c’est-à-dire sa plus ou moins grande capacité à distinguer précisément les différents mondes possibles ϖ. Notons Πi(ϖ) l’événement auquel participe le monde ῶ, i.e. le sous-ensemble de mondes au sein duquel il est indiscernable de tous les autres mondes possibles appartenant à Πi(ϖ). Lorsque ῶ se produit, le joueur apprend seulement que l’événement Πi(ϖ) se produit puisqu’il n’est pas capable de distinguer exactement celui des mondes de Πi(ϖ) grâce auquel il apprend que Πi(ϖ) se produit. En d’autres termes, Πi(ϖ) représente le domaine d’indiscernabilité de ϖ. Si un événement E⊂W est vrai dans chacun des mondes que le joueur i ne discerne pas du monde ϖ, c’est-à-dire dans le domaine d’indiscernabilité Πi(ϖ), alors on dit que i sait que E est vrai dans le monde ϖ. En résumé, le joueur i sait E en ϖ si et seulement si Πi( ϖ) ⊂ E. Par ailleurs, une partition Πi de W est dite plus fine qu’une autre partition Π’i de W lorsque le cardinal, i.e. la « taille », des événements de Πi est plus petit que celui des événements de Π’i au sens où chaque événement de Πi est inclus dans un événement de Π’i. Ce rapport d’inclusion traduit un enrichissement de la connaissance du joueur en ce qu’il exprime formellement une amélioration de sa capacité à distinguer les différents états du monde. La définition que propose Aumann (1976) d’un événement de connaissance commune est alors la suivante : un événement E⊂W est de connaissance commune dans le monde ϖ s’il est la conséquence logique d’un événement public se produisant dans le monde ϖ. C’est la nature publique de l’événement en amont qui authentifie l’occurrence de connaissance commune d’un événement en aval. Techniquement, on définit la conjonction (meet) des partitions individuelles d’information Πi, i : 1,..., n, en tant qu’elle est la plus fine partition P de W (the finest common coarsening) telle que pour tout monde ϖ de W et tout joueur i, Πi(ϖ) ⊂ P(ϖ). (Aussi P(ϖ) peut-il être considéré comme public.) Le modèle d’Aumann (1976) établit ainsi qu’un événement quelconque E⊂W est de connaissance commune pour tous les joueurs i et cela dans le monde ϖ si et seulement si P(ϖ) ⊂ E.

La syntaxe comme représentation

  • 13 Ce pourquoi l’on dit alors qu’une telle syntaxe est mixte en ce qu’elle porte sur des événements re (...)
  • 14 L’événement ¬ KiE est le champ de la proposition « Le joueur i ne sait pas E », K¬E celui de la pro (...)
  • 15 Au sens où une fonction d’utilité représente une relation binaire de préférence...
  • 16 Condition qui correspond à la condition de préservation de l’ordre par les fonctions d’utilité dans (...)

13À la sémantique d’Aumann (1976), il est possible d’associer une syntaxe particulière reposant sur l’existence d’opérateurs individuels de connaissance notés Ki, : 1,..., n, tels que chacun de ces opérateurs permet d’exprimer directement la connaissance du joueur i. Techniquement, chaque Ki est une fonction de l’espace 2w\Ø des événements non vides (fondés sur des propositions non contradictoires) vers lui-même ; à n’importe quel événement E ∈ 2w\Ø est associée une image KiE – laquelle signifie littéralement « Le joueur i sait E ». En réalité, Ki E n’est rien d’autre qu’un événement de 2w\Ø qui décrit l’ensemble des mondes où la proposition « Le joueur i sait E » est vraie13 : KiE est appelé le champ de la proposition « Le joueur i sait E »14 La notion de champ propositionnel permet alors d’associer n’importe quelle sémantique à une syntaxe en définissant la seconde en tant que représentation15 de la première : un énoncé syntaxique – par exemple KiE – traduit alors un énoncé sémantique – ici, la définition de l’ensemble des mondes où la proposition « Le joueur i sait E » est vraie. Pour tout événement donné E, la partition d’information Πi. du joueur i permet en effet d’établir le sous-ensemble des mondes ϖ dont le domaine d’indiscernabilité IIi.( ϖ) est « compatible » avec E, i.e. tel que le joueur i sait E en n’importe quel monde ϖ’ ∈ Πi (ϖ). Aussi peut-on finalement écrire que { ϖ ∈ W : Πi (ϖ) ⊂ E} = KiE16.

La syntaxe associée au raisonnement spéculaire

14Une fois établi le principe général de représentation de la sémantique par la syntaxe, il est possible d’étendre ce principe aux structures elles-mêmes en répondant à la question suivante : quelles conditions syntaxiques (sous forme d’axiomes) un opérateur Ki doit-il respecter pour représenter une partition d’information au sens d’Aumann (1976) ? La réponse à cette question se fait en deux temps. D’une part, on recense les propriétés cognitives qu’un opérateur Ki est susceptible de satisfaire (voir, par exemple, Billot et Walliser 1999). D’autre part, on isole certaines de ces propriétés dont l’interprétation semble plus naturelle et la présence simultanée plus cohérente d’un point de vue formel : (1) l’axiome de conscienceWKiW – qui signifie qu’un joueur ne peut pas être surpris par une contingence imprévue ; (2) l’omniscience logique – Ki(EF) = Ki(E) ∩ Ki (F) – qui signifie qu’il connaît toutes les implications logiques d’un événement donné ; (3) l’axiome de vérité – KiE E– qui signifie qu’il ne connaît que des événements qui sont vrais ; (4) l’introspection positive – KiE ⊂ Ki Ki E – qui signifie qu’il sait ce qu’il sait et (5) l’introspection négative –¬ KiE ⊂ Ki¬ KiE-, qu’il sait ce qu’il ne sait pas. Enfin, on démontre (Bacharach 1985) qu’un opérateur Ki satisfait les axiomes de conscience, de vérité, d’omniscience logique, d’introspection positive et d’introspection négative (i.e. le système logique S5, voir Kripke 1963) si, et seulement si, il existe une organisation partitionnelle Πi de l’ensemble W des mondes possibles (c’est-à-dire une structure à la Aumann 1976) telle que pour cette organisation { ϖ ∈ W : Πi(ϖ) ⊂ E} = KiE. En d’autres termes, le théorème de Bacharach (ibid.) prouve que la seule représentation fidèle du modèle sémantique de connaissance avec partitions d’information est le modèle syntaxique S5 – qualifié de modèle épistémique fort. En conséquence, si l’on note CP l’opérateur de connaissance partagée, un événement E ∈ 2W\Ø est dit de connaissance partagée lorsque pour tout joueur i, il est vrai que KiE, i.e. CPE = ∩ni=1 KiE. Notons maintenant CPαE la connaissance partagée de degré a (par exemple, CP3 E. signifie que le groupe des joueurs sait que le groupe des joueurs sait que le groupe des joueurs sait E). Alors, en notant CK l’opérateur de connaissance commune (CK pour Common Knowledge), un événement E ∈ 2W\Ø est dit de connaissance commune lorsque CKE= ∩α=0CPαE.

La sémantique spéculaire

  • 17 Le temps de réaction des joueurs, que Jacques Lacan nomme assez justement le « temps logique », est (...)

15Il existe dans la littérature (voir tout particulièrement Geneakoplos [1992] 1994 et Samuelson 2004) de nombreuses illustrations plus ou moins spectaculaires et ludiques de l’influence du raisonnement spéculaire sur la résolution d’énigmes d’apparence insoluble (« les trois prisonniers », « les femmes infidèles », « les trois chapeaux », « Bob et Alice »...), énigmes dont la logique interne repose sur l’exploitation croisée des informations via les comportements qu’elles induisent17

De l’infidélité des femmes18 et de la couleur des chapeaux19

  • 18 Il existe une version « féminine » de cette énigme proposée par Moses, Dolev et Halpern (1986) où l (...)
  • 19 On trouve parfois une variante de cette énigme sous le nom de muddy children puzzle. C’est semble-t (...)

16À Bagdad, ville qui compte plusieurs milliers de couples, il est quarante épouses qui sont infidèles. Dans un pur esprit – certes bien peu orientale – de vaudeville à la Labiche, chaque mari est à même de distinguer l’infidélité de la femme d’autrui mais il est en revanche totalement aveugle quand il s’agit de la sienne. Et s’il a la preuve de l’infidélité de sa femme, il se doit de l’égorger : telle est la tradition. Un certain jour, pour rompre l’impunité dont jouissent les épouses débauchées au cœur de son royaume, le roi Chāhriyār convoque sur le parvis du palais royal les milliers de couples qui habitent la cité et s’adresse ainsi à eux : « Je vois parmi vous un homme au moins dont la femme est infidèle. » Dès lors, quotidiennement, à la tombée de la nuit, chaque mari se demande si sa femme est infidèle et, selon les conclusions auxquelles il parvient au terme de la nuit (que l’on soupçonne d’avoir été mauvaise), demeure convaincu de sa fidélité – auquel cas il ne lui fait aucun mal – ou, à l’inverse, se décide à l’égorger tout aussitôt après avoir compris qu’elle lui est infidèle. Au matin, il peut donc apprendre ce que les autres maris savent de leur propre situation en comptant le nombre des femmes égorgées (s’il y en a). Durant quarante jours, aucune femme n’est égorgée. Mais, à l’aube du quarante et unième jour, les quarante femmes infidèles sont trouvées baignant mortes dans leur sang...

L’analyse formelle

  • 20 La sémantique est d’une certaine façon première et la syntaxe n’en est que la représentation (voir (...)
  • 21 Entre accolades se trouvent des mondes indiscernables, c’est-à-dire des mondes qui sont information (...)

17Afin de rendre compte du processus théorique qui sous-tend le raisonnement spéculaire, il est opportun d’emprunter à Aumann (1976) son cadre sémantique d’analyse afin de l’appliquer à l’une de ces énigmes20 (celle des trois prisonniers, suggérée par Lacan [1945] 1966) de sorte que l’on puisse observer étape après étape le cheminement du raisonnement des joueurs et la genèse dynamique de leur connaissance, laquelle les autorise finalement à résoudre ce qui semble mystérieux. Le « sophisme lacanien » des trois prisonniers est à ce titre logiquement équivalent à l’énigme des trois chapeaux ou à celle des femmes infidèles. Considérons maintenant cette énigme d’un point de vue plus formel. Un état du monde possible décrivant la couleur (N comme noir ou B comme blanc) de chacun des trois disques accrochés dans le dos des prisonniers, on sait qu’il y a huit états du monde possibles dans l’ensemble W. Et les partitions d’information Πi des trois prisonniers i, i : 1, 2, 3, se présentent a priori de la façon suivante21 :

Π1 = {(BBB), (NBB)}{(BBN),(NBN)}
{(BNB), (NNB)}{(BNN), (NNN)},
Π2 = {(BBB), (BNB)}{(BBN), (BNN)}
{(NBB), (NNB)}{(NBN), (NNN)},
Π3= {(BBB), (BBN)}{(BNB), (BNN)}
{(NBB), (NBN)}{(NNB), (NNN)}.

  • 22 Dans le contexte du problème des trois chapeaux (voir note 19 supra), la proposition selon laquelle (...)

18Puisque le directeur a informé les trois prisonniers qu’il n’y a que deux disques noirs pour trois disques blancs, il est alors évident que l’un au moins des trois disques est blanc22 Cette information est typiquement de connaissance commune. En d’autres termes, grâce à elle, il devient de connaissance commune que chaque prisonnier peut distinguer le monde (NNN) de tous les autres mondes. En conséquence, les trois partitions suivantes sont elles aussi de connaissance commune :

Π1 = {(BBB), (NBB)}{(BBN), (NBN)}
{(BNB), (NNB)}{(BNN)}{(NNN)},
Π2= {(BBB), (BNB)}{(BBN), (BNN)}
{(NBB), (NNB)}{(NBN)}{(NNN)},
Π3 = {(BBB), (BBN)}{(BNB), (BNN)}
{(NBB), (NBN)}{(NNB)}{(NNN)}.

19Il est relativement aisé d’inférer que chaque prisonnier ne connaît avec certitude la couleur de son disque que dans les états (BNN) et (NNN) pour le prisonnier 1, (NBN) et (NNN) pour le prisonnier 2, (NNB) et (NNN) pour le prisonnier 3. Mettons-nous ici, par convention, dans la peau du prisonnier 1. Dans le monde (BBB), le prisonnier 1 ne sait pas distinguer le monde (BBB) de (NBB). D’après lui, les prisonniers 2 et 3 vont en conclure qu’ils sont en mesure d’isoler le monde (BNN). Et les partitions d’information de devenir alors :

Π1 = {(BBB), (NBB)}{(BBN), (NBN)}
{(BNB), (NNB)}{(BNN)}{(NNN)},
Π2= {(BBB), (BNB)}{(BBN)}{(BNN)}
{(NBB), (NNB)}{(NBN)}{(NNN)},
Π3= {(BBB), (BBN)}{(BNB)}{(BNN)}
{(NBB), (NBN)}{(NNB)}{(NNN)}.

  • 23 N’ayant pas révisé ses informations lors de l’étape (3), le prisonnier 1, lui, n’est pas en mesure (...)

20Désormais, le prisonnier 1 sait que le prisonnier 2 connaît avec certitude la couleur du disque qu’il porte entre les omoplates dans chacun des quatre mondes singletons (BBN), (BNN), (NBN) et (NNN). Que le prisonnier 2 sorte ou ne sorte pas du bureau du directeur devient alors une information de première importance puisque – se dit le prisonnier 1 – cela permet au prisonnier 3 de déterminer dans quel sous-ensemble de mondes possibles se trouve le monde réel : s’il franchit la porte du bureau, c’est que le prisonnier 2 connaît la couleur de son propre disque et donc qu’il se croit dans l’un des quatre mondes singletons ; sinon c’est qu’il se croit dans l’un des mondes (BBB), (BNB), (NBB) ou (NNB). Aussi, le prisonnier 1 est-il conscient de ce que le prisonnier 3 va affiner sa partition d’information23 comme suit :

Π1, = {(BBB), (NBB)}{(BBN), (NBN)}
{(BNB), (NNB)}{(BNN)}{(NNN)},
Π2 = {(BBB), (BNB)}{(BBN)}{(BNN)}
{(NBB),(NNB)}{(NBN)}{(NNN)},
Π3 = {(BBB)}{(BBN)}{(BNB)}{(BNN)}
{(NBB)}{(NBN)}{(NNB)}{(NNN)}.

21Dès lors le prisonnier 1 apprend que le prisonnier 3 est toujours capable, i.e. dans chacun des mondes possibles, de dire quelle est la couleur de son propre disque. À partir de l’hypothèse que les trois prisonniers se comportent de cette même façon – lorsque les prisonniers 2 et 3 raisonnent simultanément de la même manière que le prisonnier 1-, il est facile de déduire que tous trois identifient en même temps le monde réel (BBB) et donc, qu’ils franchissent de concert la porte du bureau du directeur...

Coordination vs connaissance commune

22L’hypothèse de connaissance commune qui permet de résoudre certaines énigmes n’est pas sans engendrer à son tour quelques situations paradoxales. En effet, Aumann (1976) – et c’est là l’objet véritable de sa contribution – démontre qu’il est impossible que des individus puissent s’entendre sur le fait qu’ils ne sont pas d’accord entre eux (agreeing to disagree). En termes plus précis, si deux joueurs ont la même croyance a priori définie sur l’ensemble W des mondes possibles et s’il existe un monde où leurs croyances a posteriori sont de connaissance commune, alors ces croyances a posteriori ne peuvent pas ne pas être identiques. L’une des conséquences majeures de ce résultat est de mettre en évidence certains problèmes de coordination informationnelle entre les joueurs dont la répercussion sur la détermination des équilibres du jeu est fondamentale et, partant, de révéler l’importance de la notion de valeur de l’information pour l’analyse des comportements nécessitant une certaine coordination.

Agreeing to disagree : le théorème

  • 24 Il s’agit là de la très classique règle de Bayes.

23Restreignons-nous sans perte de généralité au cas d’un jeu n’impliquant que deux joueurs, 1 et 2. L’ensemble W des mondes possibles est ici « organisé » dans le cadre d’un espace (W,p) de probabilités où p est la probabilité a priori – commune aux deux joueurs. En outre, chaque partition d’information Πi, i : 1, 2, qui représente la connaissance du joueur i, est telle qu’il n’y a aucun monde possible ϖ dont le domaine joint d’indiscernabilité ⋃i:1,2Πi (ϖ) soit de probabilité nulle. Comme on le sait (voir supra), un événement E W est de connaissance commune en ϖ si ⋃i :1,2Πi(ϖ) ⊂ E. Par ailleurs, la probabilité a posteriori qi(i : 1,2) que le joueur i assigne à l’événement EW – étant donné la probabilité a priori p et sa partition d’information Πi – est définie en ϖ de la façon suivante24 : qi(ϖ) = p(E⋂ Πi(ϖ))/p(Πi(ϖ)). Le théorème d’Aumann (1976) s’écrit alors : supposons que, pour des probabilités a posteriori (qi)i :1,2∈ [0,1] x [0,1], l’événement E = {qi=qi, i : 1, 2} soit de connaissance commune en un monde ϖ ∈ W, alors ces probabilités a posteriori sont forcément identiques, i.e. q1=q2.

Agreeing to disagree : l’interprétation

24Geneakoplos et Polemarchakis (1982) proposent une interprétation dynamique du théorème d’Aumann (1976). Cette interprétation se fonde sur l’existence d’un processus itératif de communication simultanée entre les joueurs tel qu’à son terme, i.e. après qu’ils ont annoncé des croyances a posteriori différentes, révisé leurs informations privées puis annoncé leurs croyances révisées et cela plusieurs fois – et à condition qu’ils aient partagé la même croyance a priori –, les joueurs finissent toujours par s’accorder quant à leurs croyances a posteriori : en d’autres termes, il faut juste « laisser du temps au temps ». Il est notable que, selon cette interprétation, l’information puisse être « stockée » par les joueurs au fur et à mesure des différentes étapes du raisonnement sans que pour autant – du moins en apparence, i.e. pour le modélisateur – cela se traduise aussitôt par une révision des croyances ; ainsi, dans les jeux spéculaires, tout se passe comme si les joueurs (qu’ils soient les prisonniers de Jacques Lacan, les maris de Badgad ou les fillettes de John Geneakoplos) prenaient simultanément mais tardivement conscience du parti qu’ils pouvaient tirer des informations accumulées en cours de processus. Et Geneakoplos et Polemarchakis (ibid.) de préciser que ce processus doit converger en un temps fini. Cependant, il semble possible de s’affranchir de la lecture dynamique que proposent ces derniers du théorème d’Aumann (1976) en envisageant, par exemple, les croyances a posteriori en tant qu’opinions (voir Ménager 2006) et en considérant l’hypothèse de « même croyance a priori » en tant que condition comportementale plutôt que cognitive. Cela permet alors de présenter le résultat d’Aumann (1976) comme un théorème établissant que les joueurs peuvent avoir des opinions différentes quoique ces opinions soient fondées sur une même information dès lors qu’ils ne partagent pas la même croyance a priori. Aussitôt, il apparaît qu’il n’est jamais possible de distinguer parmi les joueurs qui ont des opinions différentes ceux qui possèdent des informations privées différentes et ceux qui manifestent des croyances a priori différentes. De cette façon, le théorème d’Aumann (1976) démontre que l’existence d’une même croyance a priori est une condition suffisante pour qu’il soit impossible aux joueurs de s’accorder à propos de leur désaccord, et celui de Samet (1998) qu’elle en est une condition nécessaire.

La valeur de l’information

  • 25 Le jeu suivant fournit un exemple assez simple d’une situation où la valeur de l’information est né (...)

25Le raisonnement spéculaire appliqué à des situations d’apport informationnel – lorsqu’un message est adressé à tous les joueurs (cas du message public) ou seulement à certains (cas d’un message privé : « Bob sait qu’Alice a appris quelque chose mais il ignore quoi » ou secret : « Bob ne sait même pas qu’Alice a appris quelque chose ») – est essentiellement lié à la notion de valeur de l’information. Et c’est aussi dans ce contexte que s’en révèlent les limites, bien que de manière inattendue. Si l’on sait depuis Blackwell (1951) qu’il n’est aucune information dont la valeur – mesurée par la variation d’utilité ressentie par l’individu après qu’il a reçu le message qui la véhicule – puisse être négative dans un contexte non stratégique de décision pure, il n’en va pas de même au sein d’un jeu. La notion de valeur de l’information a été généralisée au cas d’un individu en situation stratégique par Hirshleifer (1971) qui ne considère que l’occurrence d’un message délivré simultanément à tous les joueurs. Dans un exemple célèbre, Hirshleifer (ibid.) montre ainsi qu’un tel message public peut avoir une valeur informative négative25 (voir aussi Kamien, Tauman et Zamir 1990 dans le cas d’un message privé). En retour, Neyman (1991) et Gossner (2000) démontrent respectivement que la valeur de l’information est toujours positive dans le cas d’un message secret et dans celui d’un message privé délivré aux joueurs d’un jeu à somme nulle. L’une des conséquences spectaculaires de ces différents résultats réside dans le fait qu’il existe des circonstances rationnelles pour lesquelles le joueur préserve son niveau de satisfaction en demeurant ignorant plutôt qu’en devenant savant.

Les généraux byzantins (l’attaque coordonnée)26

  • 26 Dans la première présentation de ce problème (Akkoyunlu, Ekanadham et Huber 1975), les armées sont (...)
  • 27 On raconte ainsi que, lors de la première guerre d’Irak, les pilotes d’avion à qui l’on confiait la (...)

26Une autre manière de mettre en évidence les limites du raisonnement spéculaire est d’insister sur l’antinomie théorique qui oppose parfois la connaissance commune en tant que produit d’une sorte d’« ontogenèse » informationnelle et le processus de décision que cette connaissance commune est censée éclairer. Il est ainsi symptomatique qu’une infime incertitude temporelle affectant le protocole de communication réduise à néant – selon Fagin, Halpern, Moses et Vardi (1995) – les chances que la coordination des joueurs soit parfaite ; pire encore, Rubinstein (1989) montre que toute coordination stratégique, même imparfaite, est définitivement impossible... Tel est finalement l’enseignement majeur du paradoxe des généraux byzantins. Deux armées byzantines commandées par des généraux réputés pour leur grande acuité stratégique préparent une offensive à l’encontre des Perses (au début du VIIe siècle, lors de la conquête des provinces orientales de l’Empire byzantin) qui occupent une vallée coincée entre deux montagnes au sommet desquelles les deux armées byzantines se sont installées. Aussi, seuls des messagers courant d’une montagne à l’autre permettent aux deux généraux byzantins d’échanger des informations. Par ailleurs, quoiqu’ils soient a priori d’accord pour attaquer de conserve et cela dès l’aube, les deux généraux ne se sont pas encore concertés à propos de l’heure exacte à laquelle devra intervenir l’assaut. Mais tous les deux savent que, si le mouvement de leurs deux armées n’est pas très précisément coordonné, l’attaque échouera. Aussi sont-ils absolument contraints de convenir durant la nuit de l’heure optimale à laquelle ils donneront à leurs troupes l’ordre d’attaquer les Perses. De plus, ils doivent être l’un et l’autre convaincus qu’ils disposent bien de la même information, i.e. que cette information, en l’occurrence l’heure d’attaque, est de connaissance commune. L’un des généraux, appelons-le A, étant plus ancien, plus expérimenté que l’autre, le général B, il lui revient de faire une proposition que B se devra de respecter après en avoir pris connaissance. Le général A adresse donc à B un pli sur lequel figure l’heure de l’assaut (message 1). Mais afin qu’il n’y ait aucune ambiguïté, B doit faire savoir à A qu’il a bien reçu son message. Pour cela, il confie au messager un second pli (message 2) par lequel il informe A qu’il a bien reçu le message 1. En retour il attend que A lui confirme (message 3) qu’il a bien reçu le message 2 l’informant que lui, B, a bien reçu le message 1. Dès que B a obtenu confirmation par retour du messager porteur du message 3, il en accuse réception en envoyant un nouveau message (message 4) confirmant qu’il a bien reçu le message 3 l’informant que A a bien reçu le message 2 l’informant que B avait bien reçu le message 1, faute de quoi l’heure d’attaque ne serait pas de connaissance commune, ce qui risquerait alors de compromettre la nécessaire synchronisation des assauts. Au lever du soleil, tout occupés qu’ils sont à attendre le n-ième message autant qu’à rédiger le (n+1)-ième qui en confirmera la réception, nos deux généraux byzantins ne déclenchent pas l’assaut tant ils craignent de ne pas être parfaitement coordonnés. Et les Perses, moins férus de logique que les Byzantins, ou plus pragmatiques, lèvent tranquillement le camp... Ce qu’illustre le problème des généraux byzantins, c’est que le raisonnement spéculaire peut constituer dans certains cas un handicap voire une entrave à l’action. La recherche de la connaissance commune d’un événement – ici l’heure à laquelle doit avoir lieu l’assaut – finit en effet par empêcher toute prise de décision rationnelle en ce que le degré infini de spécularité nécessaire à la définition même de la connaissance commune constitue en soi une ambition inaccessible dès lors qu’il ne peut procéder que d’une communication infiniment itérée d’informations et non d’un mécanisme purement cognitif d’introspection27...

No-trade : le théorème de statu quo

  • 28 Il s’agit ici de présenter le résultat de Milgrom et Stokey (1982) sous une forme pédagogique (voir (...)

27Comme le notent Forges et al. (2007), le théorème d’Aumann (1976) apporte un éclairage nouveau sur les conditions fondamentales de l’échange au travers des différents théorèmes de no-trade à la Milgrom et Stokey (1982) – en même temps qu’il trouve là sa première application véritable en dehors du champ pur de l’épistémologie interactive. En effet, la théorie économique considère traditionnellement que l’échange de biens entre (au moins) deux individus n’est possible que si leurs préférences – en tant qu’elles traduisent la hiérarchie subjective de leurs goûts pour les biens en présence – et/ou leurs opinions – en tant qu’elles reflètent la qualité de leur information sur l’évolution du rapport d’échange lui-même – ne sont pas identiques. Sans hétérogénéité des préférences, nul ne sera prêt, pour posséder un bien qui lui fait défaut, à payer un prix supérieur à celui auquel son vis-à-vis sera prêt à s’en défaire ; de même, deux spéculateurs ayant des opinions rigoureusement identiques à l’endroit de l’évolution d’un titre ne seront jamais prêts à parier l’un avec l’autre sur cette évolution. Dans les deux cas – absence de gain objectif strict à l’échange et absence de différenciation qualitative de l’information – l’échange est essentiellement empêché. L’interprétation épistémique des théorèmes de no-trade est alors assez intuitive28 pour peu que l’ensemble W des mondes possibles soit directement assimilé à un espace fini (W,p) de probabilités (où p est toujours la probabilité a priori – commune aux deux joueurs). Par l’intermédiaire de sa partition d’information Πi, chaque joueur i, i : 1,2 est ici censé avoir reçu une information au sujet du monde ϖ, information préalable à la détermination de sa décision, laquelle consiste à choisir une certaine action ai(ϖ) dans A l’ensemble de ses actions disponibles. En retour, le joueur i reçoit un niveau de satisfaction ui[ϖ, (ai(ϖ))i :1.2] qui dépend du monde réel autant que de la stratégie adoptée par son adversaire. Il est possible aussi bien de distinguer parmi les actions de Ai, celle, notée sti, dite de statu quo, qui correspond à la décision du joueur i de ne pas participer à l’échange. En d’autres termes, une stratégie du joueur i est une fonction a. décrivant la décision prise par le joueur i dans un contexte informationnel donné et traduit au moyen des partitions (Πi)i :1,2. L’équilibre de Nash du jeu ainsi présenté est classiquement défini par un couple de stratégies (si(.))i :1,2  ; il décrit, cet équilibre, une situation telle qu’aucun des deux joueurs ne peut escompter améliorer sa satisfaction en changeant de stratégie. Plus précisément, pour tout joueur i et pour toute action ai ∈ Ai, on a, avec j i :Ʃ ϖ Wp(ϖ)ui,ai(ϖ),sj(ϖ)] ≤ Ʃ ϖwp(ϖ)ui[ϖ,(si(ϖ))i :1,2]. La traduction épistémique de l’hypothèse d’absence de gain objectif à l’échange est alors d’une très grande simplicité. Elle requiert que le statu quo (sti)i :1,2 soit un optimum ex ante, i.e. tout couple (si(.))i :1,2 tel que pour tout i, Σ ϖWp(ϖ)ui[ϖ,(si(ϖ))i :12] ≥ Σ ϖWp(ϖ)ui,(sti(ϖ))i :1,2], vérifie nécessairement : si(ϖ) = sti(ϖ), i : 1, 2, et cela pour tout ϖ ∈ W. Le théorème de statu quo ou no-trade à la Milgrom et Stokey (1982) s’écrit donc de la manière suivante : en l’absence de gain objectif strict à l’échange, le statu quo (sti)i :1,2 est l’unique équilibre de Nash du jeu.

En guise de conclusion...

De la fécondité attendue des faiblesses

28Comme c’est très souvent le cas avec les véritables intuitions scientifiques, la moindre faiblesse des tout premiers modèles de l’économie cognitive s’est avérée d’une incroyable fécondité théorique (et académique) – faiblesse mesurée par le nombre des difficultés conceptuelles que ces modèles ont soulevées et qu’ils soulèvent encore... Qui est le destinataire de l’information diffusée par le modélisateur dans les jeux spéculaires (ce ne peut pas être les joueurs puisque cette information ne leur apporte rien qu’ils ne sachent déjà) ? Que devient le théorème d’Aumann (1976) si l’ensemble W et les partitions d’information cessent d’être de connaissance commune ? Qu’est-ce réellement qu’un état du monde où figure la liste des croyances des autres joueurs ? Qu’arrive-t-il si l’axiome de vérité ou celui d’introspection négative n’est pas satisfait (et que l’on peut donc commettre des erreurs en toute rationalité, être en somme ignorant de son ignorance) ? Dans quelles circonstances peut-on diffuser une information publique sans que cela induise aussitôt qu’elle devienne de connaissance commune ? Dans la sphère plus appliquée de l’analyse économique, la limite entre information publique et information privée n’est-elle pas excessivement ténue ? Il ne suffit que de s’interroger à propos de l’impact sur les croyances privées des agents d’une annonce publique émanant d’une quelconque banque centrale – concernant par exemple une modification de ses taux d’intérêt directeurs – pour mesurer la fragilité empirique de cette distinction cependant féconde sur le plan théorique. En revanche, Morris et Shin (1998) introduisent avec profit la structure formelle des croyances individuelles en univers incertain au cœur même de leur essai de modélisation des attaques spéculatives sur les marchés financiers et monétaires. Ils démontrent ainsi qu’à la condition que les joueurs en présence disposent d’une information privée à l’endroit des paiements du jeu (sans qu’elle soit nécessairement, cette information, de connaissance commune), le jeu de coordination admet un équilibre unique. Ce mouvement de balancier entre la théorie la plus abstraite – la plus « logique » au sens formel du terme – et l’analyse la plus positive des phénomènes de contagion ou de spéculation – plus généralement de diffusion et de transmission de l’information – illustre cette véritable conception alternative que constitue l’« économie cognitive » où se mêlent mathématiques et psychologie, raisonnement et rationalité.

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Notes

1 Un recueil de poésie publié par les éditions Gallimard en 1991.

2 Mise en abyme dont Jean-Paul Sartre, dans L’Imagination, conteste d’ailleurs la fécondité conceptuelle au-delà du stade de la « conscience consciente d’elle-même » en ce qu’il est, dit-il, préférable de s’arrêter à ce niveau de conscience – tout niveau supérieur (i.e. la conscience d’être conscient d’être conscient) corrompant l’analyse philosophique du cogito plus qu’il n’en permet l’approfondissement.

3 Le verbe « spéculer » vient du latin speculari qui signifie « contempler ».

4 Le terme « empathie » (du grec ancien εµ, « à l’intérieur », et παθoϛ, « ce qu’on éprouve ») est une notion qui désigne plus généralement le mécanisme grâce auquel un individu peut comprendre les réactions psychologiques d’autrui en se mettant à sa place mais sans toutefois les ressentir lui-même.

5 Le principe de récurrence est central dans de nombreuses résolutions d’énigmes liées à l’organisation de la connaissance. Par exemple, la logique qui sous-tend le raisonnement par « induction rétrograde » (backward induction) est elle aussi récurrente comme en atteste l’énigme de l’interrogation surprise (ou celle du condamné à mort qui ne doit pas savoir la date de son exécution). Un professeur dit à ses élèves : « La semaine prochaine, vous aurez une interrogation surprise ». Et, aussitôt, les élèves comprennent qu’ils n’auront pas d’interrogation la semaine prochaine. En effet, si le jeudi soir, l’interrogation n’a toujours pas eu lieu, elle ne pourra pas avoir lieu le lendemain, sinon elle ne serait plus surprise. Mais si elle n’a toujours pas eu lieu le mercredi soir, sachant qu’elle ne peut pas avoir lieu le vendredi, elle ne pourra pas non plus avoir lieu le jeudi pour la même raison. En répliquant, jour après jour, le raisonnement par induction rétrograde et cela du vendredi jusqu’au lundi, il devient finalement impossible d’annoncer une interrogation surprise en même temps que la période (finie) durant laquelle elle peut avoir lieu...

6 Également appelé « le problème des quarante cocus de Bagdad » et inspiré par l’un des contes des Mille et Une Nuits qui met en scène le roi Chāhriyār empêché d’égorger chaque matin une femme infidèle grâce aux récits envoûtants et sans fin de la fille du vizir, Schéhérazade... (voir infra)

7 Dont rien n’indique par ailleurs qu’il n’avait pas lu les mille et un contes...

8 Je remercie J.-B. Pontalis de m’avoir signalé l’existence d’une publication de ce texte très antérieure à celle des Écrits.

9 C’est Gottfried Leibniz qui le premier introduit cette notion dans La monadologie, publiée en 1714.

10 Un raisonnement explicitement contrefactuel comme celui qui fonde la spécularité.

11 Il est à noter que Robert Aumann ignorait autant les travaux de Saul Kripke que les intuitions de Jacques Lacan...

12 Dans le cadre de l’exemple emprunté à Jacques Lacan, un monde possible – du moins sa partie matérielle – est par exemple défini par le triplet (Blanc, Noir, Blanc), lequel signifie que l’état du monde envisagé correspond à celui où le premier prisonnier est doté d’un disque blanc, le second d’un rouge et le troisième d’un blanc (voir infra).

13 Ce pourquoi l’on dit alors qu’une telle syntaxe est mixte en ce qu’elle porte sur des événements relatifs à des propositions logiques et non directement sur les propositions elles-mêmes.

14 L’événement ¬ KiE est le champ de la proposition « Le joueur i ne sait pas E », K¬E celui de la proposition « Le joueur i sait le contraire de l’événement E » et Ki KiE celui de la proposition « Le joueur i sait que le joueur j sait E ».

15 Au sens où une fonction d’utilité représente une relation binaire de préférence...

16 Condition qui correspond à la condition de préservation de l’ordre par les fonctions d’utilité dans un contexte de préférence...

17 Le temps de réaction des joueurs, que Jacques Lacan nomme assez justement le « temps logique », est très souvent l’instrument privilégié de cette exploitation cognitive des comportements, comme on peut le voir dans la récurrence exposée supra.Toutefois, on notera que l’unité de référence de ce temps logique doit être elle aussi de connaissance commune (seconde, jour ou semaine...). Implicitement, il est ici recommandé que la vitesse individuelle du raisonnement qui fonde la spécularité ne varie pas, d’un individu à un autre, au-delà d’une certaine limite – laquelle commande que les décisions puissent être raisonnablement considérées comme simultanées.

18 Il existe une version « féminine » de cette énigme proposée par Moses, Dolev et Halpern (1986) où les individus infidèles sont les maris plutôt que les épouses et une version « coloniale » mettant en scène des anthropophages et un missionnaire.

19 On trouve parfois une variante de cette énigme sous le nom de muddy children puzzle. C’est semble-t-il Geneakoplos ([1992] 1994) qui, le premier, a proposé de remplacer la « boue » (mud) par un chapeau rouge : au cours d’une fête d’enfants, trois fillettes sont assises en cercle, chacune ayant la tête recouverte d’un chapeau dont un instituteur (aussi facétieux que logicien) l’a coiffée sans lui en révéler la couleur. En réalité, les trois chapeaux sont rouges mais chaque fillette n’est en mesure de se prononcer qu’en ce qui concerne la couleur des chapeaux qu’elle observe effectivement – i.e. ceux de ses deux camarades et non le sien. Aussi, quand on interroge les trois enfants chacune à leur tour, aucune n’est capable de préciser la couleur de son propre chapeau. Linstituteur décide alors d’intervenir en leur confiant : « l’une parmi vous au moins est coiffée d’un chapeau rouge. » Cependant que dans un premier temps les fillettes sont terriblement déçues – l’information divulguée par l’instituteur n’apporte rien de nouveau ni de pertinent puisque toutes savaient déjà que deux des chapeaux étaient rouges – elles vont peu à peu changer d’avis et finalement conclure simultanément que leurs trois chapeaux sont rouges.

20 La sémantique est d’une certaine façon première et la syntaxe n’en est que la représentation (voir supra). Aussi est-il naturel, chaque fois que c’est possible, de travailler avec les partitions d’information plutôt qu’avec les opérateurs de connaissance.

21 Entre accolades se trouvent des mondes indiscernables, c’est-à-dire des mondes qui sont informationnellement compatibles avec la survenance d’un même événement. En gras sont notés les mondes possibles compatibles avec ce que voit chacun des joueurs lorsque l’état réel est (BBB).

22 Dans le contexte du problème des trois chapeaux (voir note 19 supra), la proposition selon laquelle « l’une au moins des fillettes est coiffée d’un chapeau rouge » est équivalente, dans le contexte de l’énigme des trois prisonniers, à celle selon laquelle « il n’y a que deux disques blancs parmi les cinq susceptibles d’être accrochés dans le dos des prisonniers ».

23 N’ayant pas révisé ses informations lors de l’étape (3), le prisonnier 1, lui, n’est pas en mesure d’inférer quoi que ce soit du comportement du prisonnier 2.

24 Il s’agit là de la très classique règle de Bayes.

25 Le jeu suivant fournit un exemple assez simple d’une situation où la valeur de l’information est négative. Supposons qu’une carte soit extraite au hasard d’un jeu présentant autant de cartes rouges que de cartes noires. La probabilité d’extraire une carte rouge est donc la même que celle d’extraire une carte noire. Supposons que le joueur 1 annonce une couleur, rouge ou noire, et que le joueur 2 écoute ce que dit le joueur 1 avant d’annoncer à son tour une couleur. Supposons enfin que si les deux joueurs annoncent la même couleur, ils gagnent chacun 2 dollars tandis que, dans le cas contraire, celui des deux joueurs dont l’annonce est conforme à la réalité, i.e. la couleur qu’il annonce est celle de la carte extraite, gagne 6 dollars et l’autre joueur ne gagne rien. (1) Il est évident que si le joueur 1 peut voir la couleur de la carte extraite avant de faire son annonce, sa stratégie dominante est de déclarer la couleur de la carte extraite. S’il est de connaissance commune que le joueur 1 voit la couleur de la carte extraite avant de faire son annonce, la meilleure réponse du joueur 2 est alors d’annoncer la même couleur que celle annoncée par le joueur 1 (qui a vu la carte). Et le gain de chaque joueur à l’équilibre de ce jeu est clairement de 2 dollars. (2) Si en revanche le joueur 1 n’a pas la possibilité de voir la couleur de la carte extraite avant de faire son annonce et que cela soit de connaissance commune, il revient au même pour lui d’annoncer la couleur noire ou la couleur rouge. La stratégie dominante du joueur 2 consiste alors à annoncer une couleur différente, i.e. celle qui n’a pas été annoncée par le joueur 1. Et le gain de chaque joueur à l’équilibre de ce jeu est de 3 dollars. Aussi est-il préférable pour les deux joueurs que le joueur 1 ne sache pas la couleur de la carte qui a été extraite...

26 Dans la première présentation de ce problème (Akkoyunlu, Ekanadham et Huber 1975), les armées sont en fait des bandes de gangsters et les généraux, leurs chefs. La forme plus « noble » que l’on retient désormais, celle mettant en scène des généraux byzantins aux prises avec les armées perses, apparaît pour la première fois dans Gray (1978).

27 On raconte ainsi que, lors de la première guerre d’Irak, les pilotes d’avion à qui l’on confiait la mission de détruire de manière simultanée une cible particulière avaient reçu l’ordre de limiter les messages réciproques de confirmation d’« intervention imminente » au nombre de sept avant de passer à l’action... De manière plus générale, il suffit d’admettre que le nombre des messages échangés soit fixé conventionnellement à n, n un nombre fini, pour qu’aussitôt l’attaque coordonnée devienne possible...

28 Il s’agit ici de présenter le résultat de Milgrom et Stokey (1982) sous une forme pédagogique (voir Forges et al. 2007).

Auteur

Professeur à l’université Paris II, Panthéon-Assas
Paris-Jourdan sciences économiques (CNRS, EHESS, ENPC, ENS)
billot@u.paris2.fr

© Éditions de la Maison des sciences de l’homme, 2008

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