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Complexité-Simplexité

 | 
Alain Berthoz
, 
Jean-Luc Petit

I. Pour une théorie de la complexité

La simplexité, ultime avatar de la complexité ?

Jacques Demongeot, Hedi Ben Amor, Hana Hazgui et Athanasios Lontos

Texte intégral

1. Introduction

1La simplexité peut être considérée comme l’émergence de nouvelles fonctionnalités, issues des interactions entre sous-systèmes (ou modules) d’un système complexe : elle apparaît ainsi comme l’ultime avatar de la complexité, ce qui permet de la définir, sans rupture épistémologique avec le courant scientifique des systèmes complexes, comme la tendance qu’a la nature de sélectionner les fonctions vitales des êtres vivants, en particulier celles les plus utiles à la spécificité et à la survie d’une espèce, dans la catégorie des mécanismes simples à déclencher, à contrôler et à maintenir.

2Nous prendrons, comme premier exemple de notre thèse, l’évocation mnésique, qui permet la reconnaissance rapide d’un mot ou d’une image, nécessaire à son identification contextuelle ultérieure (permettant de comprendre le discours d’un locuteur et de lui répondre) ou à un comportement réflexe, sans étape sémantique préalable (permettant la fuite devant l’image d’un prédateur, ou, à tout le moins, l’amorce d’un réflexe primaire, par exemple par adaptation pupillaire ou changement du focus binaural). Cet exemple permettra de mettre en lumière un mode de simplexification fréquent dans le système nerveux, impliquant un triple mécanisme de projection sur une variété lente de l’espace d’état du réseau de neurones impliqué, de moyennisation, et, enfin, de synchronisation des activités des nombreux modules supposés identiques de ce réseau.

3Le second exemple concerne la réduction du nombre d’attracteurs dans les réseaux de contrôle immunologiques, due à la coalescence de réseaux de contrôle génétiques tangents en un de leurs sommets, représenté par un gène critique pour l’unicité de la fonction contrôlée, à savoir le gène de la recombinase RAG, qui permet la création de néo-gènes immuns dans le chromosome 14 de mammifères tels que la souris et l’homme. Cet exemple met en évidence l’importance des circuits dans le contrôle dynamique de l’expression génétique.

4Le dernier exemple montre l’existence d’une optimisation de la forme globale d’une cellule ou d’un tissu, qui reçoit ses éléments nutritifs à travers sa surface externe, tendant ainsi à optimiser le rapport S/V de leur surface externe S à leur volume interne V. Ce mécanisme provoque à la fois la division cellulaire et l’arrêt de la croissance du tissu, pour une valeur critique de S/V, fixant ainsi la taille « adulte » de l’organe concerné.

2. Simplexification dans les systèmes dynamiques complexes

5Le processus de simplexification d’un système dynamique complexe, formé de sous-systèmes (ou modules) en interaction, fait intervenir divers mécanismes, parmi lesquels on peut retenir les suivants :

– la projection sur une variété de l’espace d’état de vitesse lente (« central manifold ») ;

– la moyennisation modulaire et le passage à la limite thermodynamique (« mean field » et loi

des grands nombres), dans le cas de systèmes composés de multiples modules identiques ;

– le codage dynamique et la synchronisation de sous-systèmes ou modules (« phase locking ») ;

– la réduction dynamique par coalescence d’architectures de régulation génétique en interaction (« tangent circuits ») ;

– l’optimisation d’une fonction de coût « universelle » (comme l’index « Cell Surface/Volume Ratio », pour les cellules et tissus).

3. Synchronisation et évocation mnésique

  • 1 Lacy et al., 2011 ; Deshmukh & Knierim, 2012 ; Deng et al., 2010 ; Lerma, 2011 ; Sanchez et al., 20 (...)

6Comment coder une information de type chaîne de caractères, image ou son, dans la trajectoire asymptotique d’un système dynamique, et comment retrouver cette information à la suite d’un stimulus provoquant son évocation ? Pour répondre à cette question, nous prendrons pour exemple le réseau hippocampique, dans lequel s’exercent les deux fonctions mnésiques de stockage à long terme et de requête (volontaire consciente ou réflexe post-stimulus) d’informations mémorisées. Nous considérerons deux types d’interaction1 :

– les interactions lentes, dues aux synapses à récepteurs NMDA, dont la densité est élevée dans la région Cyto-Architecturale CA1 de l’hippocampe. Ces interactions génèrent des potentiels post-synaptiques excitateurs et s’accompagnent d’entrée de calcium dans les neurones CA1, stimulant ainsi la CAM-kinase 2, protéine kinase activée par le couple Calcium-Calmoduline, et impliquée dans le phénomène lent, dit LTP, de potentialisation à long terme, qui constitue le mécanisme de base des processus d’apprentissage et de mémorisation.

  • 2 Sanchez et al., 2005.
  • 3 Lerma, 2011.

– les interactions rapides, dues aux synapses à récepteurs de type GABAergiques (inhibiteurs), ou Dopamine-, AMPA- et kaïnat-ergiques (activateurs)2. Ces interactions permettent l’évocation mnésique, avec possibilité (i) de distinction entre des souvenirs proches dans leur séquence de codage et leur acquisition contextuelle, et (ii) de complétion par une connaissance pré-existante associée. La région CA3 maintient la balance dynamique entre ces deux processus duaux3.

  • 4 Deng et al., 2010.

7Nous retiendrons la structure classique4 des interactions rapides entre les régions CA1 et CA3, par l’intermédiaire de la boucle poly-synaptique passant par le Gyrus Denté (DG), le SuBiculum (SB) et le cortex entorhinal (EC), que l’on peut résumer sur la Figure 1.

Figure 1a

En haut : représentation schématique de la boucle (Cortex Entorhinal EC/SB-SuBiculum-Gyrus Denté DG/IN InterNeurones-CA3-CA1-SB/EC) par une chaîne de régulons négatifs (circuit minimum comportant un circuit négatif et deux circuits positifs), où X1 (resp. X2) représente l'activité des neurones CA3 (resp. CA1). La photographie centrale représente l'anatomie de l'hippocampe dans son contexte, avec les groupes neuronaux CA3, CA1, DG/IN, EC et SB.

En bas : organisation modulaire, avec l’exemple d’un module M2 hippocampique.

Figure 1b.

  • 5 Wilson & Cowan, 1972.

Système d’équations différentielles ordinaires, dites de Wilson-Cowan5.

  • 6 Nous nous appuierons, dans ce qui suit, sur les publications suivantes : Demongeot & Françoise, 200 (...)

8En l’absence de synchronisation6, et en supposant que leurs conditions initiales ont été choisies uniformément au hasard, les modules régulons de la Figure 1 ne sont pas en phase, ce qui signifie que leur moyennisation « verticale », obtenue par passage à la limite thermodynamique (i.e., lorsque le nombre des modules tend vers l’infini, ce qui est une bonne approximation du grand nombre de modules observés dans l’hippocampe) donne un signal moyen égal à la moyenne temporelle « horizontale » de leur activité. Nous modéliserons cette activité, sur la variété rapide de l’espace d’état du système, par le système d’équations différentielles ordinaires, dites de Wilson-Cowan, donné sur la Figure 1b, dans lequel le terme k traduit le couplage entre les modules, b (resp. 1/a) est un paramètre qui règle la raideur de la fonction tangente hyperbolique à l’origine, donc l’intensité des activités synaptiques inhibitrices ou activatrices (resp. l’intensité de la protéolyse) des neurotransmetteurs.

  • 7 Forest, Glade & Demongeot, 2007 ; Demongeot, Glade & Forest, 2007.

9Ce système est proche, si l’on développe en série les fonctions tangentes hyperboliques (supposées quasi-linéaires à l’origine) pour les faibles valeurs de b (en supposant les activités Xi comprises entre 0 et 1), de la famille des systèmes dynamiques apparentés au système de Liénard7 : dx/dt=y, dy/dt=g(x)+f(x)y, où g et f sont des polynômes. Cela permet de réunir les équations classiques de van der Pol, de FitzHugh-Nagumo (approximation 2D de Hodgkin-Huxley) et de Hopfield dans un même ensemble d’équations exprimant les interactions entre modules d’un système complexe, ici neuronal, et génétique dans les paragraphes suivants (Figure 2).

Figure 2.

Représentation simplifiée des systèmes dynamiques (en périphérie) apparentés au système de Liénard (au centre).

Figure 3.

Réseau isochrone du système de Wilson-Cowan (à gauche) et valeur (entre 0 et 2π) du déphasage consécutif à une perturbation P du point de phase φ du cycle limite C de l’oscillateur.

10La synchronisation de modules identiques, dont la dynamique est gérée par les équations de Wilson-Cowan, est étudiée à l’aide de son réseau de fibres isochrones, ou isochron (Figure 3). L’isochron de phase φ d’un oscillateur de cycle limite C, est l’ensemble des conditions initiales ayant une dynamique asymptotique en phase avec la trajectoire issue, au temps 0, d’un point de C ayant une phase initiale φ, dans la période, ramenée à 2π, de l’oscillateur.

Figure 4.

Fibrations transverses isochrone et trajectorielle du système de Wilson-Cowan (en haut à gauche) ; perturbations instantanées désynchronisante (A) et synchronisante (B), avec les translatés correspondants du cycle-limite, τA(C) et τB(C), symbolisés par des cercles (en haut à droite) ; profils temporels en absence d’interaction intermodulaire, en cas de perturbations de type A et B (en bas à gauche) et en présence d’interaction intermodulaire (k = 0.1, en bas à droite), avec indication du seuil de conscience du comportement de persévération (à gauche) et de désynchronisation (à droite).

11Une perturbation instantanée du système, représentée par un vecteur translation dans l’espace d’état de l’oscillateur, peut être synchronisante, si elle envoie tous les points du cycle limite C de l’oscillateur entre deux isochrons, ou au contraire désynchronisante si le translaté du cycle, noté τ(C), intersecte beaucoup d’isochrons (Figure 4). Supposons que cette synchronisation soit obtenue par une cascade de stimulations répétées régulièrement, aux bornes d’intervalles successifs de durée T. Soit le niveau de gris Gi,j (supposé normalisé entre 0 et 2π) du pixel (i,j), issu des N pixels d’une image : Gi,j = gi,j2π/N, où gi,j est un entier entre 0 et N. Supposons que ce niveau de gris Gi,j soit codé dans un sous-ensemble de n oscillateurs identiques de Wilson-Cowan, par le gi,jème point, de phase Gi,j2π/N, dans l’ordre de description temporelle des N points du cycle limite, de phases successives 0, 2π/N, 4π/N, 6π/N, …, (N-1)2π/N).

Figure 5.

Synchronisation progressive, par perturbations répétées de type B à intervalles de temps constants de durée T (en haut), avec codage du niveau de gris par la phase finale observée en retour après une perturbation instantanée de l’image d’un chat dans une grille d’oscillateurs de Wilson-Cowan, de cycle limite C.

Figure 6.

Sommation, donnant un signal constant, des signaux temporels d’activation de modules désynchronisés (à gauche) ; sommation, en cas de synchronisation, révélant la « mélodie » sous-jacente (à droite).

  • 8 Yeckel & Berger, 1990 ; Vinogradova, 2001.
  • 9 Vinogradova, 2001.

12Pour évoquer le niveau Gi,j du pixel (i,j), on devra appliquer à l’état initial du réseau constitué des oscillateurs ayant des phases équi-réparties entre 0 et 2π (état désynchronisé de repos, Figure 6 à gauche), une stimulation synchronisante sur l’axe horizontal des X (intensité des neurones de la zone CA3, qui reçoivent et traitent, de manière multi-modale et rapidement apprise, les afférences sensorielles, en particulier celles de l’aire 17 optique8) : elle enverra chacun des oscillateurs au voisinage de l’isochron de phase Gi,j (état synchronisé excité, Figure 6 à droite), selon le schéma de la Figure 5. On suppose donc que l’évocation de l’image de chat résulte de N stimulations (résultant de l’excitation par les N pixels de l’image) des n modules d’un système de Wilson-Cowan, initialement dans l’état de repos. La phase d’apprentissage de la « phasotopie » de la fibration isochrone peut se faire par présentation précoce répétée de l’image, stabilisant l’intensité de la réponse des neurones de CA39. La désynchronisation sera obtenue naturellement par le couplage des oscillateurs des modules, qui seront remis à leur activité constante de repos (Figure 6).

13L’exemple ci-dessus permet d’identifier le pouvoir « simplexificateur » de la synchronisation, qui « verrouille en phase » des activités neuronales codant des intensités de gris, dans des zones neuronales hippocampiques en homotopie de projection avec des zones de stimulation de l’aire 17 optique, elles-mêmes homologues des zones rétinotopiques périphériques. Un tel pouvoir devrait pouvoir faire l’objet de réalisations hardware neuromimétiques, dans lesquelles la recherche d’information par RAM (Random Access Memory) dans des mémoires statiques serait remplacée par la perturbation (éventuellement en cascade, pour augmenter la synchronisation, donc l’intensité du signal mnésique) de mémoires dynamiques déphasées à l’état de repos et stimulées par une entrée de type image, son ou chaîne de caractères, le protocole d’I/O (Input/Output) étant numérisé et programmé, ou étant analogique.

  • 10 Nérot, 1996 ; Bosch et al., 1998.

14La requête d’information par un tel processeur à mémoire dynamique aurait ainsi beaucoup d’analogie avec le processus d’évocation mnésique émergente hippocampique et permettrait de modéliser les processus attentionnels, en ne synchronisant qu’une partie du message (image ou signal) évoqué10, qui est alors seul à passer le seuil de conscience (Figure 4). Il pourrait également simuler les phénomènes pathologiques de « persévération » dans la synchronie, qui ne permettent pas l’alternance physiologique rapide des phases de synchronisation et désynchronisation, nécessaires à la compréhension de stimuli successifs polysémiques, dans la fluidité d’évocations successives. De tels comportements de persévération sont observés dans des maladies dégénératives, comme la maladie d’Alzheimer.

4. Réduction dynamique en immunologie

  • 11 Demongeot, Elena & Sené, 2008 ; Demongeot, Jezequel & Sené, 2008 ; Ben Amor et al., 2008 ; Demongeo (...)

15Considérons, de manière générale11, un réseau de contrôle génétique (ou métabolique) : il possède, comme sommets, des gènes (resp. protéines) et, comme arcs, des liens correspondant à des interactions d’inhibition (resp. activation), exercés par des complexes protéiques répresseurs (resp. inducteurs) de l’expression génique, ou par des substrats activateurs (resp. inhibiteurs) d’une activité fonctionnelle enzymatique, transporteuse, réceptrice, …

Figure 7.

Architecture générale d’un réseau de contrôle génétique, avec sa structure arborescente

  • 12 Demongeot, Elena, Noual, Sené & Thuderoz, 2011.

16L’architecture générale du réseau consiste en trois parties principales (Figure 712) :

– une arborescence initiale, faite d’arbres sources, partant des gènes qui n’ont pas d’antécédents dans le réseau (gènes sources) ;

– une arborescence terminale, faite d’arbres puits, aboutissant à des gènes qui n’ont pas de successeurs dans le réseau (gènes puits) ;

– entre les deux, des composantes fortement connexes, c’est-à-dire connexes et maximales : connexes, car composées uniquement de circuits (chemins d’interaction fermés, dont les deux extrémités sont identiques) ; et maximales, car non contenues dans une composante connexe strictement plus grande. Elles sont faites d’un circuit isolé, ou de grappes de circuits tangents (un seul gène commun) ou intersectés (plus d’un gène commun) (Figure 7), pouvant être une arborescence de grappes dépendantes, situées hors de la composante source, mais non isolées.

17Seules les composantes fortement connexes peuvent avoir plusieurs configurations attractantes, une fois fixées leurs conditions initiales et les états des gènes qui les précèdent dans leurs arbre sources. Les états des arbres sources dépendent des états des gènes sources, et ceux des arbres puits dépendent des états des composantes fortement connexes. La syntaxe « grammaticale » dynamique générale d’un réseau est telle qu’un groupe contextuel, arbre source, instancie un attracteur du groupe « verbal », composante fortement connexe, qui agit sur un groupe objet, arbre puits, pour en fixer la configuration attractante, fixe ou périodique (cycle limite). Dans le cas d’un cycle limite, si l’on considère qu’il y autant d’oscillateurs que de cellules qui expriment cet attracteur, le signal global correspondant à une expression synchrone, par ces cellules, de la fonction codée par cet attracteur, est la résultante d’une mise en phase provoquée par une stimulation « évocatrice », comme dans le paragraphe précédent. La simulation de l’expression globale du réseau peut s’effectuer avec une règle de mise à jour des gènes parallèle ou séquentielle, ou guidée par l’horloge chromatinienne, qui est une mise à jour endogène, dépendant de l’état de certains gènes régulateurs temporels (histone-acétyltransférases, endonucléases, hélicases, réplicases, ligases, polymerases, …).

Figure 8.

Action de la recombinase, qui excise la boucle d’ADN contenant une partie des gènes V et J du chromosome 14 de la souris ou de l’homme, pour constituer un nouveau gène immun.

  • 13 Baum et al., 2006 ; Thuderoz et al., 2010.

18Considérons à présent le réseau de contrôle du gène Recombinase RAG, qui assure la recombinaison des gènes de la zone V et de la zone J, pour donner les gènes des récepteurs α des lymphocytes T (TCRα) dans le chromosome 14 de la souris (Figure 8) et de l’homme13 : la protéine RAG excise la boucle d’ADN contenant une partie des gènes V et J, pour reconstituer un nouveau gène immun, à condition que le triplet du gène V commençant ce gène et celui du gène de la zone J le terminant soient en phase de part et d’autre de la coupure.

Figure 9.

Histogramme des fréquences de recombinaison entre les gènes V et J du chromosome 14 de la souris, dans les lymphocytes T circulants du système immunitaire périphérique (à gauche) et les thymocytes du système embryonnaire thymique (à droite).

19La diversité de cette production de néo-gènes immuns est montrée sur la Figure 9 (gènes immuns de souris), où sont confrontées la diversité résiduelle du répertoire périphérique (dans les lymphocytes T circulants) et la distribution des recombinaisons V-J possibles, pour deux gènes V1 et V21, montrant la combinaison préférentielle des gènes V et J distaux (par rapport à la coupure), ainsi que celle des gènes V et J proximaux.

Figure 10.

  • 14 D’après Georgescu et al., 2008 ; et Anderson et al., 2002.

Réseau de contrôle de la Recombinase RAG, avec 2 circuits négatifs tangents de taille 2 (en rouge) et 6 (en bleu) et 2 gènes de contrôle, inhibiteur Notch/CSL et activateur GATA-1 (en brun) 14.

20Le réseau de contrôle de la Recombinase RAG possède, comme dans l’architecture générale de la Figure 7, une arborescence source, une arborescente puits, et deux circuits négatifs tangents, de taille respectivement 2 (en rouge) et 6 (en bleu), dans la composante fortement connexe isolée dans la Figure 10.

Figure 11.

Nombre d’attracteurs de deux circuits négatifs tangents de longueurs 6 et 2, mis à jour en mode synchrone (en bleu, en haut) ; en bas, nombre d’attracteurs de période p d’un circuit négatif isolé de longueur n, mis à jour en mode synchrone, pour les longueurs 6 (en bleu, en bas) et 8 (en vert, en bas).

  • 15 D’après Demongeot, Noual & Sené, 2012.
  • 16 Demongeot, Noual & Sené, 2012.
  • 17 Demongeot & Waku, 2012.

21Le nombre d’attracteurs de la composante fortement connexe est donné (en bleu) dans la Figure 1115 : il est égal à 1 dans le cas des circuits négatifs tangents de taille 6 et 2, et il aurait été de 6 dans le cas de circuits isolés, et de 16 dans le cas d’un unique circuit négatif de taille 6+2=8 (en vert). Cette unicité, dans le cas du réseau de contrôle de la RAG, permet donc d’observer seulement (i) un seul attracteur périodique 1100, constitué des états successifs de la RAG exprimé/exprimé/silencieux/silencieux, si les gènes de contrôle sont silencieux ; (ii) un seul état stationnaire de Recombinase RAG, égal à 1 (état exprimé), si le gène de contrôle activateur GATA-1 est exprimé et l’inhibiteur Notch/CSL silencieux ; (iii) un seul état stationnaire de la Recombinase RAG, égal à 0 (état silencieux), si GATA-1 et Notch/CSL sont exprimés. Le « double-pédalage » spécifique du contrôle de la Recombinase RAG, joint aux propriétés combinatoires générales de l’architecture des circuits tangents, permet ainsi de simplifier la fonction16, tout en assurant sa robustesse17.

5. Optimisation en morphogenèse

22Les processus de morphogenèse font intervenir des opérations endogènes complexes, sous le contrôle de réseaux de régulation génétique spécifiques, composés de morphogènes et sous l’influence de champs exogènes physico-chimiques (chimiotactiques, haptotactiques, électro-magnétiques, gravitationnels, lumineux, fluidiques, …). La diffusion des éléments physico-chimiques internesconstituant le champ externe, jointe aux réactions propres aux processus vivants interne, constitue le moteur de la morphogenèse, qui remplit 3 objectifs, consistant à assurer :

– (i) le développement de l’organe (et donc de l’organisme), jusqu’à l’obtention de sa fonction, phase dans laquelle la prolifération et la diffusion dominent les processus réactionnels cellulaires endogènes spécifiques de cette fonction ;

  • 18 Caraguel et al., 2010.

– (ii) le maintien de l’état adulte, dans une homéostasie appelée maintien du « moule intérieur » par Buffon, phase dans laquelle la prolifération est équilibrée par l’apoptose et où l’exérèse accidentelle du tout ou d’une partie d’un organe est intégralement ou partiellement compensée (méro- ou apo-catagenèse18) ;

– (iii) le contrôle du vieillissement, en évitant les discontinuités des pertes totale ou partielle de la fonction, phase dans laquelle dominent les processus de réparation et de prévention de néogenèses anarchiques.

  • 19 Forest et al., 2004 ; Forest & Demongeot, 2008.

23Dans la phase de développement, l’action des champs externes et la diffusion doivent équilibrer la production de structures dissipatives par les réactions cinétiques endogènes. Si u(s,a,t) dénote la densité des cellules d’âge a, situées en un point de l’espace s, à l’instant t, et si B(ε,a,t) dénote la courbe de niveau définie par u(s,a,t)=ε, alors la dynamique morphogénétique peut être définie par une équation générale du type19 :

Croissance Diffusion Vieillissement Chimiotaxie Haptotaxie Convection Différentiation

∂u/∂t = DΔu - β∂u/∂a + ∇(u∇c(u)) + ∇(u∇h(z)) - ∇(uv) - 2(1-Q)βu,

  • 20 Pour une utilisation dans la croissance tronculaire des arbres, cf. Forest & Demongeot, 2006 ; Fore (...)

où 1/D est la viscosité, (1-β) le taux de mortalité, v la vitesse du fluide externe, c la fonction de sécrétion chimiotactique, z la densité de la matrice extracellulaire, h la fonction haptotactique et (1-Q) un taux de différentiation. À la limite supérieure M de l’âge cellulaire, on utilise la loi de prolifération, appelée loi de Thom, ou règle de division en fonction du rapport Surface/Volume cellulaire20 :

u(s,1,t) = ∫1M2QßCε(s,a,t)u(s,a,t)da,

où Cε(s,a,t) est la courbure de B(ε,a,t) en s.

24Le fait que la division cellulaire soit liée, dans sa régulation épigénétique, à la courbure des frontières où se fait la nutrition/excrétion permet à l’organe d’adapter le flux nutritif au volume à nourrir (anabolisme) et/ou drainer (catabolisme). Cette adaptation de la forme organique, pour accomplir de manière optimale une fonction, peut être considérée comme un des phénomènes centraux de la simplexité morphogénétique. Ce processus est également soumis à un contrôle génétique, et l’exemple de la gastrulation est, sur ce plan, démonstratif.

Figure 12.

Réseau de contrôle de la production de Myosine (Myo), avec deux circuits positifs de taille 1, un circuit négatif de taille 2 et un circuit positif de taille 3 dépendant de ceux-ci.

Figure 13.

Diffusion de la myosine (en haut, en bleu) provoquant la contraction cellulaire et la formation du sillon ventral gastrique (au milieu). Division cellulaire dépendant de la courbure (en bas).

  • 21 Leptin, 1999 ; Aracena et al., 2006; González-Mariscal, 2008 ; Sokac & Wieschaus, 2008a, 2008b ; Ma (...)
  • 22 Tayyab et al., 2011 ; Demongeot, Gaudart, Lontos, Promayon, Mintsa & Rachdi, 2012 ; Almeida & Demon (...)

25Nous suivrons les travaux expérimentaux de référence21, qui décrivent la première étape de formation du sillon ventral chez la drosophile, préalable à la formation du tube gastrique. La production progressive de myosine, contrôlée par un réseau impliquant de nombreux gènes régulateurs (Figure 12), apparaît initialement comme une fluctuation aléatoire dans une zone centrale du cylindre embryonnaire, diffusant ensuite vers ses extrémités (Figure 13). La myosine provoque une contraction cellulaire, qui, compte tenu des contraintes exercées sur les parois de l’embryon, provoque une invagination, en l’absence de prolifération cellulaire, d’abord aux extrémités, puis ensuite au centre de la surface embryonnaire, phénomène que l’on peut simuler22.

  • 23 Demongeot, Noual & Sené, 2012.

26La régulation génétique de la gastrulation s’exerce à travers un circuit négatif de taille 2 (Figure 12), qui a un seul attracteur cycle limite de période 4, 1100 pour les états successifs de DRho, dont dépend un circuit positif de taille 3, qui a un comportement périodique dépendant de ce cycle limite (0110 pour Rho)23. La présence des 2 circuits positifs de taille 1 représente l’auto-activation des gènes de l’ATPase et de la DiNucléotide Phosphate Kinase (DNKP), ce qui permet d’avoir en tout 4 attracteurs, correspondant aux 4 états de différenciation des cellules constituant la paroi du futur tube gastrique, issu de la gastrulation. L’expression du réseau de contrôle de la gastrulation, comme celui du réseau précédent de contrôle de la recombinase RAG, présente donc un optimum de simplexification, en termes d’architecture de son graphe d’interaction.

Figure 14a

Cellule en bouteille (flèche blanche) induisant une frontière concave, prélude à la prolifération axiale du sillon (flèches noires) et à la prolifération longitudinale faisant croître le stroma interne (flèches rouges).

Figure 14b.

Schéma des contours cellulaires AiBiCiDi, dont la division dépend, dans les simulations, du signe de l’angle a: la prolifération a lieu, si ce signe est négatif (cellule « concave »).

Figure 15

Apparition des premières divisions cellulaires (marquées en vert au BRDU, en haut à gauche) dans la zone la plus concave du sillon ventral gastrique (image microscopique en bas à gauche). À droite : simulations.

  • 24 Cui et al., 2005.

27Dans la phase non proliférante, les simulations des Figures 13 et 15 sont effectuées en respectant les règles de diffusion sur les surfaces régulières, discrétisées dans un « mesh » prenant en compte chaque cellule à travers le cytosquelette de tubuline et du réseau d’acto-myosine. Le bilan des contractions cellulaires fait apparaître, dans les simulations comme dans la réalité, la formation du sillon ventral gastrique aux extrémités du cylindre embryonnaire, l’invagination s’étendant, dans un second temps, à la partie centrale. De plus, les cellules ectodermiques profondes des extrémités du sillon devenant concaves, elles se mettent à proliférer, en majorité par des divisions axiales (Figure 14), comme cela est prouvé expérimentalement par fluorescence du BRDU (5-bromo-2’-deoxyuridine) (Figure 15), provoquant alors la fermeture progressive du sillon, qui devient ainsi le tube gastrique24.

28L’exemple de la gastrulation montre que l’application d’un principe variationnel simple, consistant à optimiser la surface nutritive d’une cellule ou d’un organe en fonction du volume à nourrir, suffit à expliquer la formation d’une structure importante, qui représente la deuxième brisure de symétrie du processus de développement de l’embryon : la première est une rupture de symétrie sphérique, due au contact entre la coiffe (acrosome) du spermatozoïde et la membrane pellucide de l’œuf, permettant l’apparition de l’axe céphalo-caudal. La seconde est ici la rupture de la symétrie de révolution du cylindre embryonnaire, et l’apparition du premier tube de l’organisme, le tube gastrique, qui permettra sa nutrition, en changeant l’homotopie sphérique de l’embryon en une homotopie torique, spécialisant ainsi la surface externe pour les échanges gazeux et liquidiens de la thermorégulation (ectoderme) et la surface interne pour les échanges alimentaires (endoderme), les cellules mésodermiques entre ces surfaces étant responsables du maintien de la forme globale de l’organisme. La structure torique, qui n’est pas de révolution, mais appartient à une classe d’homotopie différente de celle du cylindre, sera ensuite brisée de nombreuses fois, en particulier par la seconde structure canalaire de l’organisme, le tube neural, nécessaire à la commande nerveuse centrale, permettant par exemple la locomotion contrôlée par la vision (activité sensorimotrice utilisant dans les deux sens le support de la moelle épinière, située dans ce tube neural), ainsi qu’aux activités réflexes médullaires. La succession de ces brisures de symétrie peut être considérée comme une phase cruciale du développement, relevant de la simplexification de la forme d’un organe, afin d’en optimiser la fonction.

6. Résonance entre réseaux

Figure 16.

Coalescence du réseau de contrôle central Engrailed et des réseaux RAG Myosine, Hippocampe et Cycle Cellulaire. Les flèches rouges (resp. vertes) correspondent à des activations (resp. blanc inhibitions).

  • 25 Almeida & Demongeot, 2012.
  • 26 Mantrova & Hsu, 1998.
  • 27 Matise & Joyner, 1997.
  • 28 Takashima et al., 2002.

29Les réseaux de régulation qui ont été considérés dans cet article sont en fait interconnectés et leur coalescence globale en un réseau supérieur permet d’étudier l’intrication de fonctions primaires participant à une régulation d’ordre supérieur. Un exemple est donné par le contrôle de la taille d’un organe à l’état adulte : le réseau de contrôle du cycle cellulaire est activé par l’une des protéines anti-tumorales ubiquitaires majeures, p53 (Figure 16, rectangle bleu), qui active périodiquement le processus linéaire d’apoptose, de manière à juste compenser le processus exponentiel de mitose, afin de conserver le nombre de cellules d’un tissu25. Cette protéine est sous la dépendance du réseau central de régulation Erk-Engrailed, qui participe également, via le gène Elk, au contrôle des canaux potassiques permettant le fonctionnement du circuit négatif hippocampique de la Section 3, nécessaire à l’évocation mnésique. Enfin, Egfr est activé par Rho26 et Engrailed est inhibé par Notch chez la souris27 et la drosophile28. Notch inhibe également le réseau de contrôle de la Recombinase RAG (Figure 9).

  • 29 Thomas, 1981.
  • 30 Cinquin & Demongeot, 2002 ; Soulé, 2003.
  • 31 Delbrück, 1949.

30L’existence d’un petit nombre de gènes dans les arbres sources (en général inhibiteurs, que ce soient des gènes véritables ou de petits ARN, eux-mêmes inhibés par des ARN circulaires cytoplasmiques comme ciRS7), responsables du faible nombre final d’attracteurs du réseau global, permet de penser que la simplicité de l’architecture de haut niveau est la condition de la simplexité des processus de contrôle génétique mis en jeu. L’existence d’un contrôle inhibiteur de haut niveau dans le système nerveux central (comme l’inhibition corticale des noyaux de la base) invite à considérer que ce mécanisme est général et sélectionne finalement un faible nombre d’attracteurs, parmi ceux générés par les circuits positifs internes des réseaux (comme conjecturé par R. Thomas29, puis démontré ensuite théoriquement30, optimisant ainsi le nombre de fonctions liées à ces attracteurs (comme le proposait déjà M. Delbrück en 194931), en supprimant les attracteurs inutiles et donc leurs fonctions associées superflues.

7. Conclusion

31En conclusion , nous avons vu successivement le rôle de la simplexité dans l’émergence de nombreuses fonctions cruciales pour la survie d’un organisme :

– fonction cognitive de l’évocation mnésique ;

– contrôle de la diversité des gènes des récepteurs α des lymphocytes T, responsable de la richesse des capacités de réponse immunologique ;

– apparition de phénomènes dynamiques primitifs, comme la gastrulation, étape cruciale de la morphogenèse.

32Le rôle des circuits à l’intérieur des systèmes complexes (neuronaux ou génétiques) mis en jeu dans cette émergence fonctionnelle, ainsi que dans l’apparition de comportements dynamiques robustes et optimaux des cellules et des organes, soumis à des principes variationnels d’optimisation, permet d’envisager la simplexité comme l’ultime avatar de la complexité, et invite à chercher d’autres procédures simplexifiantes que celles décrites dans cet article, rendant ainsi l’étude de la simplexité duale et naturellement complémentaire de celle de la complexité.

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Notes

1 Lacy et al., 2011 ; Deshmukh & Knierim, 2012 ; Deng et al., 2010 ; Lerma, 2011 ; Sanchez et al., 2005.

2 Sanchez et al., 2005.

3 Lerma, 2011.

4 Deng et al., 2010.

5 Wilson & Cowan, 1972.

6 Nous nous appuierons, dans ce qui suit, sur les publications suivantes : Demongeot & Françoise, 2006 ; Demongeot, Thellier & Thomas, 2006 ; Forest, Glade & Demongeot, 2007 ; Demongeot, Glade & Forest, 2007 ; Ben Amor, 2012 ; Wilson & Cowan, 1972 ; Yeckel & Berger, 1990 ; Vinogradova, 2001 ; Nérot, 1996 ; Bosch et al., 1998.

7 Forest, Glade & Demongeot, 2007 ; Demongeot, Glade & Forest, 2007.

8 Yeckel & Berger, 1990 ; Vinogradova, 2001.

9 Vinogradova, 2001.

10 Nérot, 1996 ; Bosch et al., 1998.

11 Demongeot, Elena & Sené, 2008 ; Demongeot, Jezequel & Sené, 2008 ; Ben Amor et al., 2008 ; Demongeot, Ben Amor, Gillois, Noual & Sené, 2009 ; Ben Amor et al., 2010 ; Demongeot, Noual & Sené, 2012 ; Demongeot & Waku, 2012 ; Baum et al., 2006 ; Thuderoz et al., 2010 ; Demongeot, Goles, Morvan, Noual & Sené, 2010.

12 Demongeot, Elena, Noual, Sené & Thuderoz, 2011.

13 Baum et al., 2006 ; Thuderoz et al., 2010.

14 D’après Georgescu et al., 2008 ; et Anderson et al., 2002.

15 D’après Demongeot, Noual & Sené, 2012.

16 Demongeot, Noual & Sené, 2012.

17 Demongeot & Waku, 2012.

18 Caraguel et al., 2010.

19 Forest et al., 2004 ; Forest & Demongeot, 2008.

20 Pour une utilisation dans la croissance tronculaire des arbres, cf. Forest & Demongeot, 2006 ; Forest et al., 2006 ; Abbas et al., 2009.

21 Leptin, 1999 ; Aracena et al., 2006; González-Mariscal, 2008 ; Sokac & Wieschaus, 2008a, 2008b ; Martin et al., 2009 ; Tang et al., 2012.

22 Tayyab et al., 2011 ; Demongeot, Gaudart, Lontos, Promayon, Mintsa & Rachdi, 2012 ; Almeida & Demongeot, 2012 ; Cui et al., 2005.

23 Demongeot, Noual & Sené, 2012.

24 Cui et al., 2005.

25 Almeida & Demongeot, 2012.

26 Mantrova & Hsu, 1998.

27 Matise & Joyner, 1997.

28 Takashima et al., 2002.

29 Thomas, 1981.

30 Cinquin & Demongeot, 2002 ; Soulé, 2003.

31 Delbrück, 1949.

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