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Complexité-Simplexité

 | 
Alain Berthoz
, 
Jean-Luc Petit

II. Des mathématiques en biologie

Simplexité et activité corticale : explorations mathématiques

Jonathan Touboul

Texte intégral

1Si des mécanismes simplexes prennent place dans l’activité du cerveau, ceux-ci peuvent-ils être exploités pour prédire le comportement d’un ensemble de neurones ? L’analyse mathématique et numérique des grands réseaux de neurones permet-elle de mettre en évidence ces phénomènes de simplification à l’origine d’un mécanisme simplexe ? C’est ce que nous nous proposons d’étudier dans ce chapitre. Afin de rigoureusement démontrer l’émergence de la simplexité, nous nous proposons d’entreprendre une approche mathématique basée sur la modélisation de réseaux de neurones aux échelles fonctionnelles. À de telles échelles, les réseaux sont hautement redondants, mais néanmoins chaque élément est perturbé aléatoirement du fait du grand nombre d’évènements probabilistes intervenant dans la machinerie cellulaire.

  • 1 Fatt & Katz, 1952.
  • 2 Cf. Faisal, Selen & Wolpert, 2008 pour une discussion plus exhaustive des sources de bruit dans le (...)

2Commençons par quelques mots sur la physiologie du cerveau et des réseaux de neurones. Le développement des méthodes d’observation expérimentale de l’activité corticale depuis le milieu du siècle dernier a mené à de formidables avancées sur la connaissance du fonctionnement du cerveau, de l’échelle moléculaire aux échelles macroscopiques. L’exploration expérimentale du cerveau révèle une extraordinaire complexité. Il est maintenant établi que l’activité corticale est le résultat de l’interaction d’un nombre gigantesque de cellules, parmi lesquelles les neurones assurent la majeure partie du traitement de l’information. Les neurones sont des cellules électriques excitables : elles interagissent à travers l’émission d’impulsions électriques stéréotypées, les potentiels d’actions. L’activité des neurones, et en particulier le potentiel électrique au travers de leur membrane, varie en fonction de mécanismes complexes d’échanges d’ions au travers de protéines hautement spécialisées, les canaux ioniques. Ces canaux s’ouvrent ou se ferment aléatoirement et la probabilité d’ouverture dépend du potentiel de membrane de la cellule. Ce bruit des canaux n’est pas la seule source d’aléas. Par exemple les stimuli sensoriels, le bruit thermique omniprésent dans tout circuit électrique, mais aussi les courants postsynaptiques spontanés1 introduisent une variabilité aléatoire intrinsèque2. L’ensemble de ces sources crée globalement un courant aléatoire que nous appellerons génériquement bruit. Ces différentes sources de bruit sont la cause de la non-reproductibilité à l’identique des expériences mettant en œuvre peu de neurones. À l’échelle d’un neurone, ou de quelques neurones, l’activité corticale est donc aléatoire et non-reproductible. Pour comprendre ce type de mécanisme, considérons un instant l’exemple probablement le plus simple de mécanisme aléatoire : le jeu du pile ou face. Le neurone traite les stimuli sensoriels et les potentiels d’action qu’il reçoit, et fait métaphoriquement un tirage de pile ou face avec une pièce pipée afin de décider s’il émet ou non un potentiel d’action. L’information est ainsi contenue dans la probabilité d’apparition d’une des deux faces de la pièce, et l’apparition d’un petit nombre de potentiels d’action informe très peu sur cette probabilité. En reproduisant l’expérience à l’identique un grand nombre de fois, la loi des grands nombres permettrait d’accéder à cette information. Cependant, une telle procédure prendrait un temps rédhibitoire. Par ailleurs, il n’est pas possible d’envisager un tel mécanisme en place dans le cortex, puisque l’information reçue par un neurone dépend très fortement du temps (les stimuli évoluent en fonction du temps et des variations du monde extérieur). C’est ce qui explique qu’aux petites échelles comprenant peu de neurones, les expériences ne sont pas reproductibles à l’identique.

3Cependant, aux échelles fonctionnelles, le cerveau s’organise généralement en structures spécialisées comprenant un grand nombre de neurones, de l’ordre de plusieurs milliers à plusieurs centaines de milliers. L’activité corticale pertinente à l’accomplissement d’une tache résulte donc de l’activité macroscopique émergeant de tels réseaux gigantesques. Décrire de tels réseaux à l’échelle microscopique, incluant l’ensemble des connaissances que nous avons sur chaque neurone et sur leurs interactions, est donc une tâche extraordinairement complexe pour un mathématicien. Pourtant, pour comprendre les phénomènes pertinents dans l’activité corticale, il s’agit bien d’accéder à de tels comportements collectifs. Du point de vue de la simplexité, la question qu’il s’agit d’explorer à ce point est la suivante : est-ce que le comportement de l’ensemble s’explique de façon « plus simple » que la description détaillée de chacune des parties ?

4Comprendre le comportement d’un grand nombre de processus aléatoires en interaction n’est pas un nouveau problème en mathématiques. La question s’est déjà posée dans le domaine de la thermodynamique et a donné lieu au développement de la très belle théorie cinétique des gaz. Cette théorie a été développée à partir du xviiie siècle, et a trouvé son expression mathématique au milieu du xixe siècle grâce aux travaux de James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann. Ces travaux séminaux ont ouvert la voie à tout à un vaste domaine des mathématiques, et c’est en grande partie pour ses contributions édifiantes dans le domaine qu’a été décernée au mathématicien français Cédric Villani la médaille Fields en 2010. L’approche cinétique de la dynamique des gaz consiste à décrire le comportement macroscopique d’un gaz à partir des caractéristiques du mouvement des particules qui le composent, et permet d’interpréter, d’un point de vue microscopique, les notions classiques de température d’un gaz (correspondant à l’énergie cinétique des particules, c’est-à-dire à leur « agitation ») et de pression (force exercée sur une paroi virtuelle due aux chocs des particules sur celle-ci). L’analyse mathématique des équations du mouvement pour un grand nombre de particules reste extrêmement complexe. Cependant, il est possible mathématiquement de trouver la limite, quand le nombre de particules tend vers l’infini, de l’activité des particules. Cette limite est bien sûr une idéalisation du problème de base, étant donné qu’en réalité le nombre de particules est toujours fini. Cependant, lorsque le nombre de particules est grand, il est possible de quantifier la distance entre le comportement d’une particule et la solution théorique donnée par la limite où le nombre de neurones est infini. La théorie cinétique des gaz décrit différents régimes, en particulier le comportement d’un fluide dans la limite dite thermodynamique, décrite par la célèbre équation de Boltzmann. Cette équation présente des difficultés importantes, et même si la description macroscopique se réduit à une unique équation, celle-ci est extrêmement complexe, et il est très difficile d’en décrire les comportements.

  • 3 Touboul, 2014.
  • 4 Touboul, 2012a ; Hermann & Touboul, 2012 ; Cabana & Touboul, 2013.

5Mais revenons au problème des réseaux de neurones. Même si le système physique étudié est très différent de la dynamique d’un gaz, le problème de la dynamique macroscopique des réseaux de neurones, formalisé mathématiquement, présente de nombreuses similitudes avec la théorie des gaz : en effet, les deux problèmes décrivent le comportement macroscopique de processus aléatoires (ou stochastiques) en interaction. Le problème biologique, formalisé mathématiquement, est, par certains aspects, plus simple que celui de la dynamique des gaz : en particulier, l’interaction entre les neurones n’est pas aussi singulière que peut l’être un choc entre particules. Cependant, il présente des difficultés supplémentaires, toutes liées à l’organisation du cortex. En effet, un gaz ne présente généralement pas de structure, tandis que le cortex est hautement structuré en groupes de neurones chargés de traiter une information particulière, mais aussi en couches constituées de différents types cellulaires. Cette organisation spatiale nécessite donc de comprendre le comportement de grands réseaux de neurones structurés spatialement et avec délais de communication. La théorie des probabilités modernes permet de traiter ces spécificités3 et d’ainsi comprendre le comportement d’un réseau de neurones dans la limite où le nombre de neurones tend vers l’infini. Comme dans le cas de la théorie cinétique des gaz, on trouve, dans la limite où le nombre de neurones tend vers l’infini, une équation très complexe sur la dynamique macroscopique des neurones en fonction des populations neuronales auxquelles ils appartiennent. Par ailleurs, il est possible de prouver rigoureusement, toujours dans la limite d’un nombre infini de neurones, que les activités de neurones initialement indépendants restent indépendantes au cours du temps. Les neurones sont donc des réalisations indépendantes d’un même processus stochastique, dont la loi est donnée par une équation, dite équation de champ moyen, du type de l’équation de Boltzmann. La même approche permet de traiter également des cas où l’on prend en compte l’hétérogénéité entre les différents neurones4.

6En toute généralité, cette équation est hautement complexe. À ce niveau de description, nous entrevoyons néanmoins un mode de fonctionnement du cerveau qui pourrait être qualifié de simplexe : en effet, la complexité apparente due à la redondance induit néanmoins des effets de moyennisation dans la limite d’un grand nombre de neurones, et chaque neurone a, dans cette limite, un comportement indépendant des autres. Le comportement d’un neurone suit une loi de probabilité particulière, indépendante du comportement des autres neurones : la probabilité d’émettre un potentiel d’action à un certain temps est parfaitement décrite et dépend de l’activité reçue du monde extérieur. À nouveau, l’enregistrement d’une unique cellule sera aléatoire. Cependant, grâce à la redondance, il est possible d’accéder à un très grand nombre de réalisations indépendantes du processus en observant l’activité de différentes cellules de la même population : la réplication un grand nombre de fois, non pas à l’identique, mais de façon indépendante et avec la même loi, du processus aléatoire obtenu dans la limite permet donc d’accéder de façon extrêmement rapide et fiable à l’information codée par les neurones. Cette indépendance du comportement des différents neurones, appelée dans la théorie cinétique des gaz la « propagation du chaos », permet donc, du point de vue biologique, de transmettre des informations complexes, sous la forme de lois de probabilités. Ce mécanisme est exactement celui utilisé le plus couramment pour simuler numériquement une loi de probabilité. Revenons un instant à l’exemple du tirage de pile ou face pipé. Dans notre système idéalisé où le nombre de neurones tend vers l’infini, chaque neurone produit une réalisation indépendante du tirage. Nous avons donc directement accès à un nombre arbitrairement grand de tirages indépendants, et la loi des grands nombres nous assure que nous pourrons accéder, avec une précision arbitraire, à l’information pertinente. Dans les réseaux réalistes de taille finie (mais grande), les expériences sont presque indépendantes, et le nombre de neurones très grand, ce qui permet d’accéder avec une grande précision à la loi de probabilité de l’activité d’un neurone. Ce serait donc le même mécanisme qui serait mis en place dans le cerveau et qui permettrait d’encoder avec une grande précision une loi de probabilités, l’équation limite issue de l’interaction d’un grand nombre de neurones.

  • 5 Touboul, Hermann et al 2011 ; Touboul 2012.
  • 6 Voir Uhlhaas & Singer, 2006.

7Mais la simplification va plus loin. En effet, contrairement à l’équation de Boltzmann, les équations macroscopiques de neurones se simplifient de façon drastique. Ainsi, lorsque l’on considère un réseau de neurones de type neurones à taux de décharges – un modèle classique dans l’analyse mathématique des neurones –, il s’avère que le comportement macroscopique du réseau s’exprime rigoureusement de façon très simple comme la solution d’une équation différentielle ordinaire : en effet, il s’avère que les solutions de ces équations sont des Gaussiennes (une des formes les plus classiques de loi de probabilités continues), décrites uniquement par leur moyenne et leur dispersion autour de celle-ci. Ces deux paramètres évoluent dans le temps, et il est possible d’écrire de façon mathématiquement rigoureuse la loi d’évolution de ces deux variables. Celle-ci s’exprime comme des équations différentielles ordinaires (déterministes) dans lesquelles seulement un petit nombre de paramètres statistiques interviennent, en particulier : le courant d’entrée moyen, les coefficients de connectivités moyens et leur variance, ainsi que le niveau global de bruit. Ce type d’équations a été très largement étudié en physique et en mathématiques, et la théorie des bifurcations permet de mettre en évidence l’effet des paramètres sur les comportements qualitatifs du système. Ainsi, l’effet du bruit sur les solutions a été analysé5. Il a été mis en évidence que le bruit contribue de façon essentielle à la dynamique collective des réseaux : des transitions qualitatives sur la nature des solutions obtenues apparaissent quand le niveau de bruit varie. En particulier, il est démontré que des réseaux qui, lorsque le niveau de bruit est faible, présentent un comportement stationnaire où chaque neurone varie aléatoirement autour d’une moyenne constante, le bruit ou l’hétérogénéité peut donner naissance à des états périodiques parfaitement synchronisés, états souvent observés expérimentalement, et directement reliés à des états physiologiques ou pathologiques6. Ainsi, l’analyse mathématique proposée dans Hermann & Touboul (2012) démontre que le degré d’hétérogénéité des connections est directement relié à l’apparition d’états synchronisés, phénomène pouvant apporter une explication à l’observation expérimentale de Aradi et Soltezs (2002) qui ont mis en évidence, chez des rats souffrant d’épilepsie fébrile, un degré d’hétérogénéité de connections plus élevé que celui observé dans les groupes de référence. La complexité apparente du système en présence de bruit et d’hétérogénéités est donc traduite en un signal fiable, pouvant être traité rapidement, et robuste, sans rien perdre de la richesse des états possibles (puisque l’information, maintenant codée sous la forme d’une loi de probabilité, contient beaucoup plus d’information que le temps d’émission de quelques potentiels d’actions).

  • 7 Ecker et al, 2010.
  • 8 Renart et al. 2010.

8Ces états, dont l’existence est prouvée mathématiquement, sont relativement surprenant d’un point de vue biologique : en effet, il peut être relativement contre-intuitif d’affirmer que différents neurones connectés en réseau et appartenant à la même population cellulaire, recevant donc les mêmes entrées et fortement connectés, sont caractérisés par des activités statistiquement indépendante. Une vision classique, en effet, considère que celle-ci devrait être relativement fortement corrélée. C’est ce qui était observé expérimentalement il y a encore quelques années dans les expériences biologiques. Cependant, des travaux récents, utilisant de nouvelles techniques d’enregistrement à haute précision des neurones,ont brisé cette vision. Dans leur travail séminal, Ecker et ses collaborateurs7 ont mis en évidence des niveaux de corrélation très faibles entre différents neurones, qu’ils appartiennent à la même population ou non. L’expérience a consisté à utiliser des tétrodes implantées de façon chronique dans le cortex visuel du macaque. L’usage de tétrodes a permis d’attribuer de façon précise un potentiel d’action à un neurone donné (cette technique permet de distinguer des neurones pouvant être très proches) et d’ainsi calculer avec précision les niveaux de corrélations. Les résultats de cette analyse concluent que les niveaux de corrélation statistique entre les neurones sont extrêmement faibles, bien en-dessous des niveaux usuellement admis. Ce régime permet évidemment un codage presque optimal (comme démontré dans leur article). Cette expérience a été par la suite reproduite, par exemple chez le rongeur8. Les mécanismes produisant une telle décorrélation sont encore discutés, et la théorie mathématique permet ainsi de proposer une explication universelle à ce type de phénomène.

  • 9 Berthoz 2009.

9Cet exemple d’une approche mathématique d’analyse du système nerveux central illustre ainsi plusieurs principes proposés par la théorie de la simplexité. En effet, dans ce système, nous avons montré que la redondance et la coopération, mécanismes décrits dans le chapitre 2 du livre La simplexité9, permettent d’obtenir des réponses fiables dans des environnements aléatoires. Incidemment, nous avons montré que l’information émergeant de tels systèmes récurrents est riche, et codée de façon efficace. Mais cela va plus loin, puisque nous y voyons un exemple typique d’utilisation paradoxale du bruit pour augmenter la fiabilité d’un signal, en transposant l’information du monde déterministe classique (le temps d’émission d’un potentiel d’action) dans le monde des probabilités (la probabilité d’émettre un potentiel d’action à un temps donné). Nous voyons donc là un exemple de détour par la complexité : l’aléa, inhérent au substrat biologique des cellules, est multiplié un grand nombre de fois, menant à une structure hautement complexe, hétérogène et bruitée. Cette apparente complexification du système mène néanmoins à des systèmes relativement simples, nettement plus fiables, permettant d’apporter des réponses rapides et adaptées aux stimuli, de simplifier naturellement le traitement de l’information, tout en conservant une grande richesse dans les réponses possibles.

Bibliographie

Bibliographie

Aradi & Soltesz, 2002 : I. Aradi & I. Soltesz, « Modulation of network behaviour by changes in variance in interneuronal properties », The Journal of physiology, 2002, 538(1), p. 227.

Berthoz, 2006 : Alain Berthoz, La Simplexité, Odile Jacob, 2009.

Cabana & Touboul, 2013 : Tanguy Cabana & Jonathan Touboul, « Large deviations, dynamics and phase transitions in large stochastic heterogeneous neural networks », Journal of Statistical Physics, 2013, 153(2), p. 211-269.

Ecker et al, 2012 : A.S. Ecker, P. Berens, G.A. Keliris, M. Bethge, N.K. Logothetis & A.S. Tolias, « Decorrelated neuronal firing in cortical microcircuits », Science, janvier 2010, 327(5965), p. 584.

Fatt & Katz, 1952 : P. Fatt and B. Katz, « Spontaneous subthreshold activity at motor nerve endings », The Journal of physiology, 1952, 117(1), p. 109.

Faisal, Selen et al, 2008 : A. Faisal, L.P.J. Selen & D.M. Wolpert, « Noise in the nervous system », Nature Review Neuroscience, 2008, 9(4), p. 292–303.

Hermann & Touboul, 2012 : Geoffroy Hermann & Jonathan Touboul, « Heterogeneous connec- tions induce oscillations in large-scale networks », Physical Review Letters, 2012, 109(1), 018702.

Renart et al, 2010 : A. Renart, J. De la Rocha, P. Bartho, L. Hollender, N. Parga, A. Reyes, & K.D. Harris. « The asynchronous state in cortical circuits », Science, janvier 2010, 327(5965), 587.

Touboul, Hermann et al, 2012 : Jonathan Touboul, Geoffroy Hermann, & Olivier Faugeras, « Noise-induced behaviors in neural mean field dynamics », SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2012, 11(1), p. 49–81.

Touboul, 2012 : Jonathan Touboul, « Mean-Field equations for stochastic firing-rate neural fields with delays: derivation and noise-induced transitions », Physica D, 2012, 241(15), p. 1223–1244.

Touboul, 2012a : Jonathan Touboul, « Limits and dynamics of stochastic neuronal networks with random delays », Journal of Statistical Physics, 2012, 149(4), p. 569-597.

Touboul, 2014 : Jonathan Touboul, « Propagation of chaos in neural fields », Annals of Applied Probabilities, 2014, sous presse.

Uhlhass & Singer, 2006 : P.J. Uhlhaas & W. Singer, « Neural synchrony in brain disorders : relevance for cognitive dysfunctions and pathophysiology », Neuron, 2006, 52(1), p. 155-168.

Notes

1 Fatt & Katz, 1952.

2 Cf. Faisal, Selen & Wolpert, 2008 pour une discussion plus exhaustive des sources de bruit dans le système nerveux.

3 Touboul, 2014.

4 Touboul, 2012a ; Hermann & Touboul, 2012 ; Cabana & Touboul, 2013.

5 Touboul, Hermann et al 2011 ; Touboul 2012.

6 Voir Uhlhaas & Singer, 2006.

7 Ecker et al, 2010.

8 Renart et al. 2010.

9 Berthoz 2009.

Auteur

Mathematical Neuroscience Lab, CIRB, Collège de France & INRIA, BANG Laboratory

© Collège de France, 2014

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